专题31 计数原理与排列组合（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 计数原理与排列组合 【复习目标】 1. 掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决一些较简单的问题； 2. 理解排列和排列数的意义，会用排列数公式计算简单的排列问题； 3. 理解组合的概念及组合数的性质，会用组合数公式计算简单的组合问题. 【考点1 计数原理】 1、分类计数原理（加法原理） 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______________种不同的方法． 2、分步计数原理（乘法原理） 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______________种不同的方法． 特别提醒：两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类办法中的每一种办法都能把事单独完成； 分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成，必须经过每一个步骤，才能完成这件事． 【即时训练】 1．某校开设类选修课3门，类选修课2门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（    ） A．2种 B．3种 C．5种 D．6种 2．甲乙丙三名同学分别从A，B，C，D四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有________种． 3．某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 4．一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄球和5个不同的蓝球． (1)从盒子中任取一个球，有多少种不同的取法？ (2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，有多少种不同的取法？ (3)从盒子中任取2个颜色不同的球，有多少种不同的取法？ 5. 某中职学校为庆元旦排练了6个歌曲节目，3个舞蹈节目，4个小品节目． (1)从中选一个节目参加比赛，共有几种不同的选法？ (2)从中选歌曲、舞蹈、小品节目各一个，有几种不同的选法？ (3)从中选两个不同类型的节目各一个，有几种不同的选法？ 6．由数字0，1，2，3，4，5可以组成： (1)多少个不同的三位数？ (2)多少个没有重复数字的三位数？ 7.由数字0～7可以组成： (1)多少个没有重复数字的四位数？ (2)多少个没有重复数字的四位奇数？ 8．将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ 9.学校有4名学生报名参加三项体育比赛． (1)若每人限报一项，报名方法的种数为多少？ (2)若他们争夺这三项比赛的冠军，荣获冠军的可能性有多少种？ 【考点2 排列】 1、定义 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．如果m<n，这样的排列叫作_______．如果m＝n，这样的排列叫作_______．全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序完全相同． 2、排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_______表示． 3、排列数公式 ①＝_______________________________； ②＝_______________； ③特别地， ＝_____，规定0！＝______． 【即时训练】 1．（    ） A．50 B．35 C．25 D．40 2．用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 3．计算：（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 4．有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（    ） A．120种 B．180种 C．240种 D．360种 5．用数字组成没有重复数字的四位数的个数为（     ） A．96 B．72 C．120 D．24 6．已知有7名同学，若这7名同学站成一排，则共有______种不同的排法． 7.现有5名同学，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法． (1)5名同学站成一排； (2)5名同学站成两排，前排2名，后排3名； (3)5名同学站成一排，其中甲同学站在中间的位置； (4)5名同学站成一排，甲、乙只能站在两端； (5)5名同学站成一排，甲、乙不能站在两端； (6)5名同学站成一排，甲、乙不能相邻； (7)5名同学站成一排，甲、乙、丙三人必须相邻． 8.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数字的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数． 【考点3 组合】 1、定义 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号______表示．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，它们是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 3、组合数公式 或(n，m∈N＋，且m≤n). 特别地，规定 (3) 组合数性质 ①＝__________； ②＝__________． 【即时训练】 1．2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行比赛场数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有（ ） A．540种 B．90种 C．60种 D．10种 3．一次聚会共8人参加，每两人之间都握了一次手且只握一次，则所有人总握手次数为（   ） A．64 B．56 C．28 D．14 4．一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 5．某校要从足球、篮球、排球、跳绳、拔河、踢毽6个项目中选择3个作为本学期的班级联赛项目，则不同的选法共有________种．（用数字作答） 6．在5个人中选3个人去演讲，则甲被选中的概率为_____． 7．10本相同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1本，则不同分法共有________种． 8．从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有_____种． 1.（2025·天津·真题T08）五门课程任选三门的选法一共有多少种? （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 2.（2024·天津·真题T08）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，不同的排法一共有（ ） A. 120种 B. 100种 C. 80种 D. 60种 3.（2023·天津·真题T08）从1，2，3，6，7这五个数中任取两个数相加，则得到不同的和的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 9 D. 10 4.（2022·天津·真题T08）从四个数中任取两个数相除，则得到不同的商的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题31 计数原理与排列组合 【复习目标】 1. 掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决一些较简单的问题； 2. 理解排列和排列数的意义，会用排列数公式计算简单的排列问题； 3. 理解组合的概念及组合数的性质，会用组合数公式计算简单的组合问题. 【考点1 计数原理】 1、分类计数原理（加法原理） 如果完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2、分步计数原理（乘法原理） 如果完成一件事，需分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种不同的方法． 特别提醒：两个基本计数原理的区别：分类计数原理——每一类办法中的每一种办法都能把事单独完成； 分步计数原理——缺少任何一个步骤都无法把事完成，必须经过每一个步骤，才能完成这件事． 【即时训练】 1．某校开设类选修课3门，类选修课2门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（    ） A．2种 B．3种 C．5种 D．6种 【答案】C 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种. 2．甲乙丙三名同学分别从A，B，C，D四个景点中选择一处游览，则不同的选择方案有________种． 【答案】 64 【详解】不同的选择方案有. 3．某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】C 【详解】先从5人中选1人担任组长，再从其余4人中选2人参赛，共有种选派方法． 4．一个盒子里有4个不同的红球，7个不同的黄球和5个不同的蓝球． (1)从盒子中任取一个球，有多少种不同的取法？ (2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，有多少种不同的取法？ (3)从盒子中任取2个颜色不同的球，有多少种不同的取法？ 【答案】(1)16；(2)140；(3)83 【解析】(1)从盒子中任取一球有三类取法：第一类是从4个红球中任取1个，有4种取法；第二类是从7个黄球中任取1个，有7种取法；第三类是从5个蓝球中任取1个，有5种取法．只要任取一球即可完成任务，根据分类计数原理，不同的取法共有N＝4＋7＋5＝16(种). (2)从盒子中取红球、黄球和蓝球各一个，可以分为三个步骤完成：第一步取红球，有4种不同的方法；第二步取黄球，有7种不同的方法；第三步取蓝球，有5种不同的方法．根据分步计数原理，不同的取法共有N＝4×7×5＝140(种). (3)可按所选两球的颜色分为如下三类． 第一类：红球、黄球各一个，有4×7＝28种选法； 第二类：红球、蓝球各一个，有4×5＝20种选法； 第三类：黄球、蓝球各一个，有7×5＝35种选法． 根据分类计数原理，不同的选法种数为N＝28＋20＋35＝83(种). 5. 某中职学校为庆元旦排练了6个歌曲节目，3个舞蹈节目，4个小品节目． (1)从中选一个节目参加比赛，共有几种不同的选法？ (2)从中选歌曲、舞蹈、小品节目各一个，有几种不同的选法？ (3)从中选两个不同类型的节目各一个，有几种不同的选法？ 【答案】(1)13；(2)72；(3)54 【解析】(1)由分类计数原理可知，不同的选法共有N＝6＋3＋4＝13(种). (2)由分步计数原理可知，不同的选法共有N＝6×3×4＝72(种). (3)选两个不同类型的节目，可分为3类： 第1类选歌曲和小品，有6×4＝24(种)选法； 第2类选歌曲和舞蹈，有6×3＝18(种)选法； 第3类选舞蹈和小品，有3×4＝12(种)选法． 由分类计数原理可知，共有不同的选法为N＝24＋18＋12＝54(种). 6．由数字0，1，2，3，4，5可以组成： (1)多少个不同的三位数？ (2)多少个没有重复数字的三位数？ 【答案】(1)180；(2)100 【解析】(1)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法； 第二步：选十位上的数字，从0，1，2，3，4，5中任选一个，有6种选法； 第三步：选个位上的数字，从0，1，2，3，4，5中任选一个，有6种选法； 由分步计数原理可知，共可以组成不同的三位数5×6×6＝180(个). (2)第一步：选百位上的数字，从1，2，3，4，5中任选一个，有5种选法； 第二步：选十位上的数字，从第一步中剩余的4个数和0中任选一个，有5种选法； 第三步：选个位上的数字，从剩余的4个数中任选一个，有4种选法； 由分步计数原理可知，共可以组成没有重复数字的三位数5×5×4＝100(个). 7.由数字0～7可以组成： (1)多少个没有重复数字的四位数？ (2)多少个没有重复数字的四位奇数？ 【答案】(1)1470；(2)720 【解析】解：(1)要组成没有重复数字的四位数，要依次不能重复的选出千位、百位、十位、个位上的数字，并且千位上的数不能为0. 根据分步计数原理可知， 可组成没有重复数字的四位数的个数为N＝7×7×6×5＝1 470(个). (2)根据分步计数原理，第一步，个位上的数需从1，3，5，7中选一个数字，有4种选法； 第二步，千位上的数需从剩余的6个非零数字中选一个，有6种选法； 百位、十位上依次有6种和5种选法． 故组成没有重复数字的四位奇数共有N＝4×6×6×5＝720(个). 8．将3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ 【答案】64 【解析】根据题意，3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则3个小球有4×4×4＝64(种)不同的放法． 9.学校有4名学生报名参加三项体育比赛． (1)若每人限报一项，报名方法的种数为多少？ (2)若他们争夺这三项比赛的冠军，荣获冠军的可能性有多少种？ 【答案】(1)81；(2)64 【解析】(1)4名学生中的任一名均可报其中的一项，因此每个学生都有3种报名方法，由分步计数原理，报名方法有N＝3×3×3×3＝81(种). (2)因为每个项目的冠军只有一个，4名学生中的每一名学生都有可能获得其中的一个冠军，所以每个项目获得冠军的可能性有4种，由分步计数原理，获得冠军的可能性有N＝4×4×4＝64(种). 【考点2 排列】 1、定义 一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．如果m<n，这样的排列叫作选排列．如果m＝n，这样的排列叫作全排列．全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样，只是元素排列的顺序完全相同． 2、排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示． 3、排列数公式 ①＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)； ②＝； ③特别地， ＝n！，规定0！＝1． 【即时训练】 1．（    ） A．50 B．35 C．25 D．40 【答案】A 【分析】利用排列数公式计算即得. 【详解】. 故选：A 2．用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是. 3．计算：（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【分析】根据排列数公式计算可得结果. 【详解】. 故选：D 4．有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（    ） A．120种 B．180种 C．240种 D．360种 【答案】C 【详解】将甲、乙两人捆绑为一个整体，两人内部的排列种数为， 将甲乙整体看成一个元素与剩余的4人共5个不同元素进行全排列，排列种数为， 总排法种数为种. 5．用数字组成没有重复数字的四位数的个数为（     ） A．96 B．72 C．120 D．24 【答案】A 【分析】首先考虑四位数的最高位不是0，然后依次考虑其他位数的情况，利用乘法原理计算即可. 【详解】首先考虑四位数的最高位不是0， 故最高位有4种选法（从1到4四个数字中任选一个数字）， 百位有4种选法，十位有3种选法，个位有2种选法. 由乘法原理，用数字组成没有重复数字的四位数的个数为个. 6．已知有7名同学，若这7名同学站成一排，则共有______种不同的排法． 【答案】5040 【详解】共有（种）排列方法． 7.现有5名同学，分别按下列要求，求各有多少种不同的排法． (1)5名同学站成一排； (2)5名同学站成两排，前排2名，后排3名； (3)5名同学站成一排，其中甲同学站在中间的位置； (4)5名同学站成一排，甲、乙只能站在两端； (5)5名同学站成一排，甲、乙不能站在两端； (6)5名同学站成一排，甲、乙不能相邻； (7)5名同学站成一排，甲、乙、丙三人必须相邻． 【答案】(1)120　；(2)120　；(3)24；(4)12；(5)36；(6)72；(7)36 【解析】解：(1)5名同学的全排列，即＝120(种). (2)由分步计数原理可得＝120(种). (3)采用先特殊后一般的方法．第一步，将甲排在中间的位置； 第二步，对剩余的4名同学进行全排列．即 ＝24(种). (4)采用先特殊后一般的方法．第一步，在两端排甲、乙两同学； 第二步，对剩余的3名同学进行全排列．即＝12(种). 采用先特殊后一般的方法．第一步，在中间的三个位置选两个排甲、乙两同学； 第二步，对剩余的3名同学进行全排列．即＝36(种). 不相邻问题采用插空法．第一步，把甲、乙之外的3名同学进行全排列； 第二步，在3名同学之间或两端共4个空中插入甲、乙两名同学．即＝72(种). (7)相邻问题采用捆绑法．第一步，把甲、乙、丙看成一个元素，与其他2人共3个元素进行全排列； 第二步，甲、乙、丙三人进行全排列．即＝36(种). 8.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，求： (1)组成的三位数的个数； (2)组成的三位数中偶数的个数； (3)组成的三位数中比200大的数字的个数； (4)组成的三位数中奇数的个数． 【答案】(1)48；(2)30；(3)36；(4)18 【解析】(1)应采用特殊位置优先法．因为0不能为首位(百位)，所以首位的排法有种，其他两位是从剩余的4个数字中选2个的一个排列，有种，所以共有＝48(个). (2)由于0的存在，应分两类：第一类个位是0，有种；第二类个位不是0，先确定个位，从2，4中选一个，有种，再确定首位，有种，剩余的一位是从3个数中选1个，有种． 所以共有＝30(个). (3)要组成比200大的数，首位应从2，3，4中选一个，有种选法，其他两位有种排法，所以比200大的数共有＝36(个). (4)方法一：直接法．因为要组成一个三位奇数，首先个位数是从1，3中选一个，共有种选法，然后首位不能为0，首位的排法种数是，最后十位从剩下的三个数中选一个，共有种选法，所以共有 ＝18(个). 方法二：间接法．组成三位数的个数减去组成的三位数中偶数的个数即为组成的三位数中奇数的个数，即48－30＝18(个). 注意：对数字进行排列时，如果数字中含有0，应区别对待．因为0作为特殊元素，不能出现在首位． 【考点3 组合】 1、定义 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，它们是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 3、组合数公式 或(n，m∈N＋，且m≤n). 特别地，规定 (3) 组合数性质 ①＝； ②＝． 【即时训练】 1．2026年世界杯小组赛，某组有4支球队，每两队之间赛一场，则该组小组赛阶段共进行比赛场数为（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【详解】. 2．将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，则不同的分配方案有（ ） A．540种 B．90种 C．60种 D．10种 【答案】D 【分析】对6个相同的元素进行分配，利用隔板法，在5个间隙中加入2块隔板即可. 【详解】6个相同的布娃娃排成一排，中间有5个间隙，要分给3位小朋友，且每位小朋友至少有一个布娃娃， 则只需插入2块隔板，把它分成3份，每份至少1个，共有种. 3．一次聚会共8人参加，每两人之间都握了一次手且只握一次，则所有人总握手次数为（   ） A．64 B．56 C．28 D．14 【答案】C 【详解】题中所给的握手是组合问题，所以所有人总握手次数为次. 4．一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 【答案】 / 【详解】从个不同的球中一次性摸出个，不考虑取球顺序， 等可能基本事件的总数为 . 设事件为“摸出的两个球中没有红球”，则事件等价于从黄、蓝、绿个非红球中摸出个， 所以事件包含的基本事件数为 . 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率为. 5．某校要从足球、篮球、排球、跳绳、拔河、踢毽6个项目中选择3个作为本学期的班级联赛项目，则不同的选法共有________种．（用数字作答） 【答案】 20 【详解】从6个不同项目中选3个项目，不考虑项目的排列顺序，因此共有种. 6．在5个人中选3个人去演讲，则甲被选中的概率为_____． 【答案】0.6/ 【详解】由题意得，甲被选中的概率为 7．10本相同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1本，则不同分法共有________种． 【答案】36 【分析】用插隔板法：把10本书排成一列，中间有9个空隙，从中选2个空隙插入隔板 【详解】这是相同元素分配问题．把10本书排成一列，中间有9个空隙，从中选2个空隙插入隔板，把书分成3份，每人至少1本．因此分法数为． 8．从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有_____种． 【答案】12 【详解】因为选中的4人中恰有1名女生，即有3名男生， 所以不同的选法共有种. 1.（2025·天津·真题T08）五门课程任选三门的选法一共有多少种? （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数公式求解即可. 【详解】五门课程任选三门的选法一共有种. 故选：B. 2.（2024·天津·真题T08）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，不同的排法一共有（ ） A. 120种 B. 100种 C. 80种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】根据全排列的定义即可求解. 【详解】5名同学站成一排，是一个全排列问题， 可以理解为，先让甲选，则甲有5种选择，再让乙选，乙有4种选择. 以此类推， 5人共有一共有种排法 故选：A. 3.（2023·天津·真题T08）从1，2，3，6，7这五个数中任取两个数相加，则得到不同的和的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】一一列举出所有可能即可. 【详解】所以得到不同的和有，共8个， 故选：A 4.（2022·天津·真题T08）从四个数中任取两个数相除，则得到不同的商的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数的应用，即可求解. 【详解】由题意，从四个数中任取两个数相除，得到不同的商的个数为. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $