专题30 空间中直线、平面的垂直（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题30 空间中直线、平面的垂直 【复习目标】 1. 理解直线与平面及平面与平面的位置关系； 2. 掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质； 3. 理解点到平面间的距离、直线到平面的距离并会解决相关的距离问题； 4. 理解直线与平面所成的角、二面角的概念，并会解决相关的简单问题. 【考点1 直线与平面垂直】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 直线与平面垂直 定义 若一条直线与一个平面内____________都垂直，则此直线与该平面垂直   a⊥α，垂足为A 判定定理 若一条直线与一个平面内____________垂直，则此直线垂直于该平面   推论 若两条平行直线中的一条直线垂直于____________，则另一条直线也垂直于该平面 性质定理 若两条直线都垂直于____________，则这两条直线平行   点到平面的距离 过平面外一点作一条与该平面垂直的直线，则该点与垂足之间的线段长度即为该点到平面的距离 d＝|AB| 【即时训练】 1．若表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 2．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 3．直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 4．已知为两个不同的平面，为不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如果直线与平面内的_________一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直． 6．下列命题正确的是__________： ①过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直； ②过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行； ③过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ④过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； ⑤过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直； ⑥过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行. 【考点2 直线与平面所成的角】 1、平面的斜线 若直线与平面相交但不垂直，则称这条直线是该平面的一条斜线．斜线和平面的交点称为斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线PA在这个平面上的____________，如图所示． 2、直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面上的________所成的角称为这条直线与这个平面所成的角．若直线与平面垂直，则所成的角为直角；若直线与平面平行或直线在平面内，则所成的角为零角．直线与平面所成角的范围是__________． 【即时训练】 1．以下说法正确的是（     ） A．空间异面直线的夹角取值范围是B．直线与平面的夹角的取值范围是 C．二面角的取值范围是 D．向量与向量夹角的取值范围是 2．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 3．正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 4．如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【考点3 二面角】 二面角 内容 图形表示 符号表示 定义 从一条直线出发的____________所组成的图形叫作二面角   α－AB－β 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以这个点为________，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两条射线所组成的角叫作二面角的_________   ∠COD 直二面角 平面角是直角的二面角叫作直二面角   ∠COD＝90° 【即时训练】 1．二面角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．二面角是（   ） A．两平面相交所成的角 B．一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该平面所组成的图形 3．下列各图中，能正确表示二面角的是（   ） A． B． C． D． 4．在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 5．在正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 6．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作________的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 【考点4 平面与平面垂直】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 平面与平面 垂直 定义 两个平面相交，若所成的二面角是___________，则称这两个平面互相垂直   α⊥β 判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条______，则这两个平面互相垂直   性质定理 若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于___________   特别提醒：1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； 2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)； 3.垂直于同一条直线的两个平面平行； 4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. 【即时训练】 1．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2．如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 5．已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（判断题）若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( ) 7．（判断题）若平面平面，任取直线，则必有．( ) 8．（判断题）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.( ) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题30 空间中直线、平面的垂直 【复习目标】 1. 理解直线与平面及平面与平面的位置关系； 2. 掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质； 3. 理解点到平面间的距离、直线到平面的距离并会解决相关的距离问题； 4. 理解直线与平面所成的角、二面角的概念，并会解决相关的简单问题. 【考点1 直线与平面垂直】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 直线与平面垂直 定义 若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则此直线与该平面垂直   a⊥α，垂足为A 判定定理 若一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则此直线垂直于该平面   推论 若两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于该平面 性质定理 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线平行   点到平面的距离 过平面外一点作一条与该平面垂直的直线，则该点与垂足之间的线段长度即为该点到平面的距离 d＝|AB| 【即时训练】 1．若表示不重合的直线，表示平面，则下列说法中正确的个数为（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①正确，，．又，； ②正确，，．又，； ③正确，由线面垂直的性质1可知其正确； 故选D． 2．若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，不一定在平面内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，且在平面内 【答案】C 【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A， 由面面垂直的性质定理可知，， 假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行， 又因为都过点P，所以这两直线重合， 因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内， 3．直线与平面相交，直线，直线，则“”是“、”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理、性质，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，若，，，可得，， 若、，，，不一定能得到， 比如时，就不一定能得到， 所以“”是“、”的充分非必要条件. 故选：A 4．已知为两个不同的平面，为不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线面位置位置关系结合线面垂直，线面平行判断各个选项即可. 【详解】为两个不同的平面，为不同的直线， 若，则、异面或相交，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则或，故C错误； 若，则可以成立，故D错误. 故选：B. 5．如果直线与平面内的_________一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直． 【答案】任意 【分析】略 【详解】略 6．下列命题正确的是__________： ①过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直； ②过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行； ③过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ④过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； ⑤过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直； ⑥过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行. 【答案】②③⑥ 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】过直线外一点，存在无数条直线与该直线垂直，故①错误； 过直线外一点，有且只有一个直线与该直线平行，故②正确； 过平面外一点，有且只有一条直线与该平面垂直，故③正确； 过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，故④错误； 过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，故⑤错误； 过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行，故⑥正确. 故答案为：②③⑥. 【考点2 直线与平面所成的角】 1、平面的斜线 若直线与平面相交但不垂直，则称这条直线是该平面的一条斜线．斜线和平面的交点称为斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线PA在这个平面上的射影，如图所示． 2、直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面上的射影所成的角称为这条直线与这个平面所成的角．若直线与平面垂直，则所成的角为直角；若直线与平面平行或直线在平面内，则所成的角为零角．直线与平面所成角的范围是． 【即时训练】 1．以下说法正确的是（     ） A．空间异面直线的夹角取值范围是B．直线与平面的夹角的取值范围是 C．二面角的取值范围是 D．向量与向量夹角的取值范围是 【答案】D 【详解】对于选项A. 空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于选项B. 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于选项C. 二面角的取值范围是，故C错误； 对于选项D. 向量与向量夹角的取值范围是，故D正确. 2．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心. 是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为， 所以与圆锥底面所成角为. 由题设，且，则是等腰直角三角形， 可得，即与圆锥底面所成角为 3．正方体，直线与平面所成的角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，再连接，根据几何体的结构特征可证：平面，则是直线与平面所成的角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可． 【详解】连接，交于点，再连接， ∵是正方形，∴， ∵在正方体中，平面，平面， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成的角． 设正方体的边长为1， ∴在中，， ∴， ∴直线与平面所成的角的大小等于． 故选：A． 4．如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案. 【详解】因为母线底面， 则与圆柱底面所成角即为，又因为为圆柱底面直径，则， 因为，所以. 故选：B. 【考点3 二面角】 二面角 内容 图形表示 符号表示 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角   α－AB－β 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以这个点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两条射线所组成的角叫作二面角的平面角   ∠COD 直二面角 平面角是直角的二面角叫作直二面角   ∠COD＝90° 【即时训练】 1．二面角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二面角的取值范围，需结合二面角的平面角的定义进行判断． 【详解】根据二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 当两个半平面完全重合时，二面角的大小为；当两个半平面共面且朝向相反时，二面角的大小为；其余情形下二面角的大小介于和之间，因此二面角的取值范围是． 2．二面角是（   ） A．两平面相交所成的角 B．一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该平面所组成的图形 【答案】C 【分析】根据二面角的定义判断即可. 【详解】由二面角的定义可知：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 故选：C 3．下列各图中，能正确表示二面角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于二面角，是两个半平面的交线， 而A，B，C中不是两个半平面，D中是两个平面的交线，故D正确. 4．在正方体中，二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二面角的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 在正方体中，平面， 因为、平面，所以，， 易知为等腰直角三角形，且， 由二面角的定义可知，二面角的平面角为， 故选：B. 5．在正方体中，二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，设正方体的棱长为2，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 故答案为：D 6．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值 【详解】长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 7．二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作________的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角． 【答案】垂直于 【分析】略 【详解】略 【考点4 平面与平面垂直】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 平面与平面 垂直 定义 两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直   α⊥β 判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直   性质定理 若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面   特别提醒：1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； 2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)； 3.垂直于同一条直线的两个平面平行； 4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. 【即时训练】 1．已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据直棱柱的结构特征，依次判断各项的正误即可. 【详解】如下图所示，直四棱柱的底面ABCD是正方形，结合直棱柱的结构特征， 易知平面平面，平面平面，平面平面，故A，B，C成立； 当且仅当直四棱柱为正方体时，平面平面，D不一定成立. 故选：D 2．如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定定理推理判断. 【详解】由平面，平面，平面， 得平面平面，平面平面，平面与平面不垂直； 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，平面与平面不垂直； 假定平面平面，在平面内过点作于，连接， 由是斜边，得不与点重合，由平面平面， 得平面，而平面，则，又平面， 于是平面，又平面，则，由平面，平面， 得，而平面，因此与矛盾，即平面与平面不垂直，    所以平面平面，平面平面，平面平面，共有3对. 故选：C 3．对于直线m、n和平面、，能得出的一个条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用平面垂直判定定理，逐一分析各选项中直线与平面的关系是否可以推导出. 【详解】对于A，当垂直相交且同时平行于时，可能有的情况，所以A错误； 对于B，如下图，当，，，不一定得到，所以B错误； 对于C，过直线作平面与平面交于直线，如下图， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， 又，从而得到，故C正确； 对于D，由，可得，而，故可得，即D错误. 故选：C. 4．如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】取的中点为，则可证为等腰直角三角形，故可求的长. 【详解】 设的中点为，因为是边长为2的等边三角形， 故且，同理且， 故为的平面角，而平面平面， 故，故. 5．已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面， 若，且，但如果直线与不相交， 则不能得到，从而不能推出； 如果两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面， 若，由于，，， 则，又，所以. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（判断题）若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.( ) 【答案】错误 【分析】面面垂直的性质定理即可求解. 【详解】平面α⊥平面β，则平面α内垂直于交线的直线垂直于平面，故错误. 故答案为：错误. 7．（判断题）若平面平面，任取直线，则必有．( ) 【答案】错误 【分析】根据面面垂直的性质定理可知. 【详解】根据面面垂直的性质可知其中一个平面内的任意直线与另一平面可能垂直也可能不垂直.故答案为：错误 8．（判断题）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.( ) 【答案】错误 【分析】根据面面垂直的性质定理即可求解. 【详解】如果两个平面垂直，垂直于交线的直线不一定垂直平面内的相交直线， 所以垂直于交线的直线不一定垂直于其中一个平面，故错误， 故答案为：错误. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $