专题30 空间中直线、平面的垂直（练习）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题30 空间中直线、平面的垂直 1．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由空间中线面关系可得答案. 【详解】对于A，若，则或与相交，故A错误； 对于B，若，则或与相交或是异面直线，故B错误； 对于C，若，则或是异面直线，故C错误； 对于D，根据平面与平面垂直的判定定理可推出，故D正确． 2．如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（    ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【详解】对于AB，由于与相交，，因此直线与直线异面，AB错误， 对于C，若与直线垂直，,平面， 故平面，而平面，故， 这与四棱锥为正四棱锥矛盾，故与直线不可能垂直，C错误， 对于D， 由于与相交，，因此直线与直线异面，D正确， 3．设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】直接在长方体模型中，分别找ABD选项的反例可得，对C则由线面垂直的性质定理可得. 【详解】如图：在长方体中， 选项A：如图，记平面为平面，设为直线，设为直线， 显然有，，但，故A错误； 选项B：如图，记平面为平面，设平面为平面，记为直线， 记为直线，显然有，，，但，故B错误； 选项C：由线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行，因此该命题成立，C正确. 选项D：如图：记平面为平面，设为直线，设为直线， 显然有，，但，故D不正确. 4．直线，互相平行的一个充分条件是（    ） A．，都平行于同一平面 B．，与同一个平面所成的角相等 C．，都垂直于同一平面 D．平行于所在的平面 【答案】C 【详解】对于A，若，都平行于同一个平面，则直线，可能相交，比如正方体上底面的棱平行于下底面，但相邻的棱相交，故A错误； 对于B，若，与同一个平面所成的角相等，则直线，可能相交，比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误； 对于C，若，都垂直于同一个平面，则直线，平行，这是线面垂直的性质定理，符合充分条件，故C正确； 对于D，与不仅可以平行还可能异面，比如正方体上底面的棱与下底面的棱可能平行也可能异面，故D错误. 5．直线平面，，直线，则，的位置关系是（    ） A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】D 【详解】直线平面，，平面， ， 6．以下角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】直接判断出异面直线所成的角的范围、直线和平面所成的角的范围、二面角的平面角的范围即可得结果. 【详解】异面直线所成的角的范围为， 直线和平面所成的角的范围为， 二面角的平面角的范围为， 所以只有二面角的平面角可能为钝角． 故选：B 7．已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质定理判断即可. 【详解】①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件， 所以这条直线不一定垂直于另一个平面， 因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交， 另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面， 因而也垂直于这个平面内的该已知直线； ③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线， 过一点作一条直线的垂线有无数条， 只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线， 这条垂线才垂直于另一个平面. 故选：C． 8．如图，已知棱长为2的正方体中，二面角的大小是（    ） A． B．45° C．60° D． 【答案】B 【分析】找到二面角的平面角为，即可得到答案； 【详解】由平面，平面，所以， 又，可知为二面角的平面角， 因为为正方形，所以， 所以二面角的大小是. 故选：B 9．若有①；②，；③，，则二面角的平面角是________． 【答案】 【分析】略 【详解】略 10．在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与底面所成的角， 在中，，则， 即直线与底面所成角为. 11．在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 【答案】 【分析】连接，由平面，得到为与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，连接， 在正方体中，可得平面， 所以体对角线与平面所成角，即为， 在直角中，，所以, 所以体对角线与平面所成角的正切值是. 故答案为：. 12．如图，设平面，，，垂足分别是，，，则与的位置关系是__________．    【答案】垂直 【分析】利用线面垂直的性质及判定推理判断. 【详解】由，，得，则直线与确定一个平面， 由，，得，又，，平面， 因此平面，又平面，所以. 故答案为：垂直 13．如图，为圆柱底面直径，为母线，若，则与圆柱底面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角定义得为所求的角，再利用等腰直角三角形性质即可得到答案. 【详解】因为母线底面， 则与圆柱底面所成角即为，又因为为圆柱底面直径，则， 因为，所以. 故选：B. 14．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则与的位置关系可能是平行､相交或，故B错误； 对于C，由线面平行的性质定理知，，故C正确； 对于D，若，，，则与可能平行，也可能异面，故D错误. 15．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若与没有公共点，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】对于A，若与没有公共点，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行、相交或异面，不一定是异面直线，故B错误； 对于C，若，，则由线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，，则，不是，故D错误． 16．给出如下3个命题：①过空间任意三点有且只有一个平面；②如果一个平面内有无数条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若平面平面，且，直线，则．其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】只有过不共线的三点才有且只有一个平面，若三点共线，则存在无数个平面经过这三点，命题①为假命题； 若两个平面相交，设交线为，则其中一个平面内所有平行于的直线均与另一个平面平行，②是假命题； 根据面面垂直的性质定理，若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面，命题③为真命题.综上，真命题的个数为1. 17．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的为（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【详解】对于A选项，如果，，那么与平行、相交或异面，A错； 对于B选项，如果，，则与平行或相交，B错； 对于C选项，如果，，则与平行或相交，C错； 对于D选项，如果，，由线面垂直的性质可知，D对. 18．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A求证平面；B求证平面；C利用反证法判断；D根据平面求证. 【详解】因为平面，平面， 所以，，，故D正确； 因为为正方形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故B正确； 假设， 则由平面，得平面， 因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 19．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定直线与平面所成的角，再求余弦值. 【详解】因为平面，所以是直线与平面所成的角， 设正方体的棱长为，则，,所以， 所以，则与平面所成的角的余弦值为. 20．在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 【答案】A 【分析】先通过投影证明垂直于平面POC，再有平面POC与平面POM共面，从而得到EF垂直于平面POM内的MP，最后结合两直线不共面，得出MP与EF异面且垂直的结论. 【详解】设在底面的投影为， 易得平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，且为底面中心，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 易得平面与都在平面内，所以平面， 因为平面，所以，因为直线与直线不共面， 所以直线与直线异面且垂直. 21．如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________. 【答案】/ 【分析】由线面垂直得到面面垂直，再利用二面角的定义得到即为所求角，解三角形即可求解. 【详解】因为平面，又平面，所以平面平面， 平面平面，又，所以平面， 又平面，所以， 则即为平面与平面所成的角， 在中，，所以. 故答案为： 22．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足________时，. 【答案】 【分析】欲使成立，即得到平面，已知，再增加即可得到. 【详解】当底面四边形的两对角线垂直时，可得到. 证明如下：如图，连接. ∵在直四棱柱中， 平面，平面， . 若，又， 则平面. 又平面， . 在直四棱柱中，且， 则四边形是平行四边形， 所以，故. 故答案为： 23．在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 【答案】/ 【分析】利用等体积法来求点到面的距离即可求解. 【详解】    如图， 易知为的中位线，故平面，平面，所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， ， 在中，所以， 即， 设点到平面的距离为， 则根据， 解得， 所以直线与平面的距离为， 故答案为： 24．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】找到在平面上的投影可得即为直线与平面所成的角，结合所给条件计算即可得解. 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 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14．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 15．已知，，为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若与没有公共点，则 B．若，，则，是异面直线 C．若，，则 D．若，，则 16．给出如下3个命题：①过空间任意三点有且只有一个平面；②如果一个平面内有无数条直线均平行于另一个平面，则这两个平面平行；③若平面平面，且，直线，则．其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题正确的为（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 18．如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 19．如图，正方体中，E为的中点，则与平面所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 20．在正方体中，分别为棱的中点，为底面的中心，则直线与直线（    ） A．异面且垂直 B．不异面且垂直 C．异面且不垂直 D．不异面且不垂直 21．如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________. 22．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足________时，. 23．在长方体中，为的中点，则直线与平面的距离为___________． 24．如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $