专题29 空间中直线、平面的平行（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题29 空间中直线、平面的平行 【复习目标】 1. 理解直线与平面及平面与平面的位置关系； 2. 掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质； 3. 理解平行平面间的距离的概念，并会解决相关的简单问题. 【考点1 直线与平面的位置关系】 位置关系 公共点个数 符号表示 图形表示 直线在平面内 ___________ ___________ 直线与平面相交 ___________ ___________ 直线与平面平行 ___________ ___________ 【即时训练】 1．若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为（        ） A．0 B．0或1 C．1 D．2 2．如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 3．过平面外一点，能做（    ）条直线与平面平行. A．0 B．1 C．2 D．无数 4．如图所示，用符号语言可表示为 (　　) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α C．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α 5．“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 7．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________． 8．平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是________ 【考点2 空间直线与平面平行】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 直线与平面平行 定义 若一条直线与平面___________，则称该直线与平面平行    a∥α 判定 定理 若平面外一条直线与平面内一条直线____，则该直线与平面平行   性质 定理 若一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线与两平面的交线________   【即时训练】 1．已知表示一条直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．在正方体中，以下直线与平面平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 4．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 5．如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，长方体中，与AB平行的平面是________．    7．以下命题中（其中a，b表示直线，α表示平面），写出所有错误命题的编号________． ①若，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 8．在正方体中，，则直线到平面的距离为______． 【考点3 平面与平面平行】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 平面与平面 平行 定义 若两个平面没有______，则称这两个平面平行   ___________ 判定 定理 若一个平面内有两条____直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行   推论 若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的___________，则这两个平面平行   性质 定理 若两个平行平面同时与第三个平面_____，则它们的交线平行   两个平行平 面的公垂线 与两个平行平面都______的直线叫作这两个平行平面的公垂线   — 夹在两个平行平面间的公垂线段(图中的线段AB)的长度叫作两个平行平面间的距离 两个平行平 面间的距离 特别提醒：1.垂直于同一直线的两个平面平行，即“若则”. 2. 垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若则”. 3. 平行于同一个平面的两个平面平行，即“若则”. 4. 两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一平面，即“若则”. 【即时训练】 1．在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 2．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．， B．， C．，，， D．，， 4．下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 5．若平面平面，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则___________．      7．若平面平面，，下列说法正确的是__________．（填序号） ①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行； ③与无公共点． 8．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面： （1）与平面平行的平面为______； （2）与平面平行的平面为______； （3）与平面平行的平面为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题29 空间中直线、平面的平行 【复习目标】 1. 理解直线与平面及平面与平面的位置关系； 2. 掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质； 3. 理解平行平面间的距离的概念，并会解决相关的简单问题. 【考点1 直线与平面的位置关系】 位置关系 公共点个数 符号表示 图形表示 直线在平面内 无数个 a⊂α 直线与平面相交 有且只有一个 a∩α＝A 直线与平面平行 无交点 a∥α 【即时训练】 1．若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为（        ） A．0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【详解】直线l在平面外，则直线l与平面相交或者平行，当直线l与平面相交时，公共点的个数是1个，当直线l与平面平行时，公共点的个数是0个， 故选：B 2．如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【答案】D 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 3．过平面外一点，能做（    ）条直线与平面平行. A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】D 【分析】根据线面平行的定义判断可得； 【详解】解：过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，这些直线在与这个平面平行的平面内 故选：D 4．如图所示，用符号语言可表示为 (　　) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α C．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α 【答案】D 【分析】由空间中面面关系,线面关系结合符号语言即可得解. 【详解】解:由题意可知,图中面面关系,线面关系用符号语言可表示为α∥β，l⊂α, 故选:D. 5．“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用集合中对应的符号正确表示即可. 【详解】点在平面上，可表示为：. 直线与相交于点，可表示为：. 所以“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为：，. 故选：    A 6．用适当的符号填空：如图，已知长方体，则直线______平面． 【答案】 【分析】根据线面的位置关系解答即可. 【详解】因为直线在平面内， 所以直线平面. 故答案为：. 7．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________． 【答案】相交或平行或 【分析】 根据两点在平面同侧，两点在平面异侧，两点都在平面上，分别进行讨论，由此能求出结果． 【详解】 解：直线上有两点到平面的距离相等， 如果两点在平面同侧，则， 如果两点在平面异侧，则与相交， 如果两点都在平面上，则． 故答案为：相交、平行或． 8．平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是________ 【答案】相交、异面 【详解】利用线面的位置关系可知，平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内直线的关系是异面或相交． 【考点2 空间直线与平面平行】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 直线与平面平行 定义 若一条直线与平面无公共点，则称该直线与平面平行    a∥α 判定 定理 若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行   性质 定理 若一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线与两平面的交线平行   【即时训练】 1．已知表示一条直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间线面、面面平行与垂直的判定及性质定理，逐一判断各选项即可. 【详解】对于A：若，，则可得或，故A错误； 对于B：由面面平行的性质可知，若两个平行平面中的一个垂直于一条直线， 则另一个平面也垂直于该直线，即，时，有，故B正确； 对于C：若，，则与可能平行、垂直相交，斜交或在平面内， 不一定垂直，故C错误； 对于D：若，，则可得或，故D错误. 2．在正方体中，以下直线与平面平行的是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】对于A，，与平面相交，故与平面相交，A错误. 对于B，，与平面相交，故与平面相交，B错误. 对于C，，平面，平面，则平面，C正确. 对于D，，与平面相交，故与平面相交，D错误. 3．如图，在三棱锥中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系为（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．无法判断 【答案】B 【详解】因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 4．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（     ）条件： A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 5．如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面平行性质定理即可判断AB；根据线面平行判定定理即可判断C；由两平面相交即可判断D. 【详解】对于AB，由于，且与均不重合， 由且，可得，又因，据线面平行性质定理可得，同理，故AB正确； 对于C，且，可得，故C正确； 对于D，由，可得相交，不可能平行，故D错误. 6．如图，长方体中，与AB平行的平面是________．    【答案】 【分析】根据线面平行的判定定理判断可得答案. 【详解】长方体中，， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以与平行的平面是． 故答案为：． 7．以下命题中（其中a，b表示直线，α表示平面），写出所有错误命题的编号________． ①若，，则    ②若，，则 ③若，，则    ④若，，，则 【答案】①②③ 【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定命题即可. 【详解】对于①，若，，则或，故①错误； 对于②，若，，则或a与b异面或a与b相交；故②错误； 对于③，若，，则或，故③错误； 对于④，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若，，，则”是正确的. 故答案为：①②③ 8．在正方体中，，则直线到平面的距离为______． 【答案】2 【分析】根据已知先得出平面.然后求出点到平面的距离，即可得出答案. 【详解】根据正方体的性质可知，. 又平面，平面， 所以，平面. 所以，点A到平面的距离，即等于直线到平面的距离. 又平面，所以点A到平面的距离即为. 所以，直线到平面的距离为2.    故答案为：2. 【考点3 平面与平面平行】 位置关系 内容 图形表示 符号表示 平面与平面 平行 定义 若两个平面没有公共点，则称这两个平面平行   α∥β 判定 定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行   推论 若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行   性质 定理 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行   两个平行平 面的公垂线 与两个平行平面都垂直的直线叫作这两个平行平面的公垂线   — 夹在两个平行平面间的公垂线段(图中的线段AB)的长度叫作两个平行平面间的距离 两个平行平 面间的距离 特别提醒：1.垂直于同一直线的两个平面平行，即“若则”. 2. 垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若则”. 3. 平行于同一个平面的两个平面平行，即“若则”. 4. 两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一平面，即“若则”. 【即时训练】 1．在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 2．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（    ） A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 【答案】B 【分析】根据面面平行的性质定理即可得结果. 【详解】∵α∥β，∴α与β无公共点. ∵l⊂α，∴l与β无公共点， ∴l∥β. 故选：. 3．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．， B．， C．，，， D．，， 【答案】B 【分析】结合空间中线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐一验证各选项的正误即得. 【详解】对于A，由，可得或，故A错误； 对于B，根据线面垂直的性质，两条平行直线中若有一条垂直于某平面，则另一条也垂直于该平面， 由可得，故B正确； 对于C，因，，若，且，则可得，满足条件， 但得不到，故C错误； 对于D，根据面面垂直的性质定理，只有当且时，才能推出，选项未说明，故D错误. 4．下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 5．若平面平面，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面平行的性质定理，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】时，不一定成立，如图， 在长方体中，记上下底面分别为，，但是与不平行， 当时，根据面面平行的性质可知， 所以是的必要不充分条件. 故选：C 6．已知平面平面，点是平面外一点（如图所示），且直线分别与相交于点，若，则___________．      【答案】9 【分析】先由题意，根据面面平行性质定理，得到，推出，进而得到，根据题中数据，即可得出结果. 【详解】因为平面平面，根据面面平行的性质定理，可得：， 所以，，又， 所以， 因此， 又，所以. 故答案为：9 7．若平面平面，，下列说法正确的是__________．（填序号） ①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行； ③与无公共点． 【答案】②③ 【分析】在正方体中，借助正方体中的线、面间的关系，逐个对选项进行分析判断，从而求出结果. 【详解】∵，，∴，∴与无公共点，③正确； 如图，在正方体中，令线段所在的直线为，则， 显然与（平面）内无数条直线平行，故②正确； 但与平面内的直线不平行，故①错误． 故答案为：②③ 8．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面： （1）与平面平行的平面为______； （2）与平面平行的平面为______； （3）与平面平行的平面为______． 【答案】 平面 平面 平面 【分析】结合长方体的结构特征和面面平行的判定定理即可判断. 【详解】因为为长方体，所以平面∥平面，平面∥平面，同时∥，∥， 又因为平面，平面，所以∥面，∥平面，因为，所以平面∥平面. 故答案为：①平面；②平面；③平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $