专题28 空间点、线、面的位置关系（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题28 空间点、线、面的位置关系 【复习目标】 1. 理解平面的基本性质； 2. 理解空间直线与直线的位置关系； 3. 掌握直线与直线平行、垂直关系的判定与性质； 4. 了解异面直线所成角，并会解决相关的简单问题. 【考点1 平面的性质】 1、 平面的基本性质 公理1 内容 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点均在此平面内   作用 判断一条直线是否在一个平面内 公理2 内容 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面   作用 给出了三个点确定一个平面的依据 公理3 内容 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线   作用 给出了两个平面相交的条件与结论，也给出了交线的定义 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面   推论作用 给出了如何确定一个平面的理论依据 2、 平面中的符号语言 点是空间的基本元素，直线、平面、空间均可看作为点的集合，且直线为平面的子集，平面为空间的子集． 位置关系 符号表示 点P在直线a上  P∈a 点P不在直线a上  P∉a 点P在平面α内  P∈平面α 点P不在平面α内  P∉平面α 直线a与直线b相交于点M  a∩b＝M 直线a在平面α内  a⊂平面α 直线b不在平面β内 b⊄平面β 【即时训练】 1．如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用点、线、面的关系判断即得. 【详解】点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误； 而直线在平面内表示为，C错误，D正确． 故选：D 2．下列说法错误的是（    ） A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C．平面不具有边缘，平面无限延展 D．若A、B两点均在平面内，则直线也在内 【答案】A 【详解】对于A，过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确； 对于C，由平面的概念可知，平面不具有边缘，平面无限延展，故选项C正确； 对于D，A、B两点均在平面内，则直线也在内，故选项D正确， 3．若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确； 对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误； 对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线上或平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误； 对于D：表示直线与平面相交于点，不符合题意，D错误. 4．下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，线，面的关系及符号表示判断各个选项即可. 【详解】，A选项正确； ，B选项错误；D选项正确； ，C选项正确； 故选：B. 5．构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【分析】根据空间合体的基本元素判断即可 【详解】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 6．下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】C 【分析】A选项，考虑点可以随意运动可判断；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移可判断；C选项，考虑两直线的垂直与否可判断；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面与不垂直于矩形所在平面可判断. 【详解】对于A，一个点运动也可以形成曲线，故A错； 对于B，在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错； 对于C，在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面， 当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确； 对于D，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体， 若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：C. 7．在正四棱台中，下列判断错误的是（     ） A． B．该棱台有条棱 C．，，，四点不共面 D．平面平面 【答案】C 【详解】正四棱台上下底面均为正方形，对应边互相平行，， 又，由平行传递性可得，故A正确； 上底面4条棱、下底面4条棱、侧棱4条，总计条棱，故B正确； 棱台的侧棱延长后会交于同一点，因此，，，四点共面，故C错误； 棱台的定义就是用平行于底面的平面截取棱锥得到，上下底面互相平行， 即平面平面，故D正确． 8．如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据异面直线的定义判断ABD；根据线线平行可证四点共面，即可判断C. 【详解】由图可知：直线、直线、直线均与直线异面，故ABD错误； 连接，    由题意可知：，，则， 可知四点共面，所以直线与直线不是异面直线，故C正确. 【考点2 空间中两直线的位置关系】 位置关系 共面情况 公共点的个数 相交 在同一个平面内  1 平行 在同一个平面内  0 异面 不同在任何一个平面内 0 【即时训练】 1．如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】先确定两直线共面，再确定不平行，根据共面直线的位置关系，不是平行就是相交. 【详解】 A选项，E、F分别为、的中点，所以，即，所以四点共面，因为，所以与相交，故A正确. B选项，因为平面，平面，所以与无交点，故B错误. C选项，因为平面，不过点，所以与异面，无交点，故C错误. D选项，因为平面，平面，所以与无交点，故D错误. 故选：A. 2．已知，，是空间三条直线，，则“”是“，，三线共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当，时，，如三棱柱的三条侧棱所在直线分别为，，，满足，，但这三条直线不共面，充分性不成立； 当，，三线共面，且时，与可能相交，也可能平行，所以必要性不成立. 所以“”是“三线共面”的既不充分也不必要条件. 3．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 【答案】D 【分析】根据空间点线面面位置关系、基本事实一及推论判断即可. 【详解】设是空间中不重合的两条直线， 对于A，若直线相交于一点，则这两条直线可能既共面，又共点，故A说法正确； 对于B，若直线是异面直线，则这两条直线既不共面，又不共点，故B说法正确； 对于C，若直线是平行直线，这两条直线共面但不共点，故C说法正确； 对于D，若直线相交于一点，则直线一定共面，故D说法错误. 故选：D 4．如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 【答案】 4 【分析】逐类判断长方体的棱与直线 的位置关系：相交或平行的棱都不是异面直线，只需统计既不相交也不平行的棱． 【详解】在长方体 中，与 相交的棱有 ； 与 平行的棱有 ；棱 所在直线与自身重合． 剩下的棱 所在直线与既不相交,也不平行,故均与是异面直线． 所以所求棱共有 条． 5．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； 【答案】 平行 异面 相交 【详解】对于①，长方体中，// // ，且， 所以四边形是平行四边形，所以直线与直线的位置关系是平行； 对于②，由①知，// ，由于过一点作已知直线的平行线，有且只有一条，所以直线与直线不平行， 直线平面，直线平面，且， 所以直线与直线不相交，所以直线与直线的位置关系是异面； 对于③，直线与直线有公共点，所以其位置关系是相交； 6．若两条不同直线，没有公共点，则，所有可能的位置关系是______. 【答案】平行或异面 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可得出结论. 【详解】当，在同一平面内时，若两条不同直线，没有公共点,此时两直线平行； 当，不在同一平面内时，两直线无公共点，即两直线异面. 故答案为：平行或异面 7．如图为正六棱柱，与直线异面的侧棱共有______条．    【答案】4 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以，与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 8．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【答案】相交或异面 【分析】由异面直线定义以及平行线之间的关系分类讨论即可得出结论. 【详解】显然直线不可能平行，否则，由，知，与是异面直线矛盾， 根据异面直线定义可知， 设平面，当，，且，如下图所示： 此时与为异面直线； 当，，且时，如下图所示： 此时与相交， 所以与的位置关系是异面直线或相交直线. 故答案为：相交或异面 【考点3 异面直线】 1、异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线． 2、异面直线的判定方法：与一个平面相交于一点的直线，和这个平面内不经过交点的直线为异面直线． 3、异面直线所成的角：若a，b为异面直线，则经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角． 4、异面直线所成的角θ的取值范围：θ∈．特别地，当θ＝时，称两条异面直线互相垂直，记作a⊥b. 特别提醒：作异面直线所成的角时，为了方便，通常将点O取在两条异面直线中的一条上，也就是说只需要平移另外一条直线即可． 【即时训练】 1．如图，在长方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 【答案】C 【分析】由题意易得平面，则有，结合异面直线的位置关系即可判断直线与的位置关系. 【详解】在长方体中，平面， 因为平面，所以， 又直线与不相交且不平行， 所以直线与异面且垂直. 2．如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（    ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【详解】对于AB，由于与相交，，因此直线与直线异面，AB错误， 对于C，若与直线垂直，,平面， 故平面，而平面，故， 这与四棱锥为正四棱锥矛盾，故与直线不可能垂直，C错误， 对于D， 由于与相交，，因此直线与直线异面，D正确， 3．已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以与所成的角为， 又，所以与所成的角为． 4．如图， ，，，是正方体所在棱的中点，则直线与直线所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， 因为，故，同理， 故或其补角为异面直线与直线所成的角， 由正方体的性质可得为等边三角形，故， 故直线与直线所成角为. 5．如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 6．正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为________； （2）异面直线与所成角的大小为________； （3）异面直线和所成角的大小为________． 【答案】 45° 90° 60° 【分析】运用平移法找出异面直线所成的角度即可. 【详解】异面直线与所成角即为；    异面直线与所成角即为;    异面直线和所成角，由于面对角线， 则为等边三角形，则.则异面直线和所成角大小为.    故答案为：. 7．异面直线所成的角的取值范围：___________． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的范围可得结果. 【详解】异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：. 8．在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】 【分析】根据正四棱柱的几何性质，结合异面直线所成角的定义、余弦定理进行求解即可. 【详解】连接， 正四棱柱中， 有且，四边形为平行四边形， 则有， 则就是异面直线与所成的角． 设，则， 中，由余弦定理得． 故答案为： 1.（2026·天津·真题T07）在正方体内，与所在直线垂直的棱是（ ） A. B. AB C. D. BC 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线（含异面直线）所成角的定义，可判断A、C、D选项中的直线与所在直线所成角为；根据线面垂直的判定和性持，可得B选项正确. 【详解】 对A选项，与所成的角为，而，故选项错误； 对B选项，在正方体中， ，，平面， 所以平面. 又平面，所以，故选项正确； 对C选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误； 对D选项，因为， 所以与所成的角就是与所成的角，即为所求， 而，故选项错误. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题28 空间点、线、面的位置关系 【复习目标】 1. 理解平面的基本性质； 2. 理解空间直线与直线的位置关系； 3. 掌握直线与直线平行、垂直关系的判定与性质； 4. 了解异面直线所成角，并会解决相关的简单问题. 【考点1 平面的性质】 1、 平面的基本性质 公理1 内容 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上_________均在此平面内   作用 判断一条直线是否在一个平面内 公理2 内容 经过不在同一条直线上的三点，_________一个平面   作用 给出了三个点确定一个平面的依据 公理3 内容 如果两个不重合的平面有_________，那么它们有且只有一条过这个点的_________   作用 给出了两个平面相交的条件与结论，也给出了交线的定义 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有_________ 推论2 经过两条相交直线，有且只有_________ 推论3 经过两条平行直线，有且只有_________   推论作用 给出了如何确定一个平面的理论依据 2、 平面中的符号语言 点是空间的基本元素，直线、平面、空间均可看作为点的集合，且直线为平面的子集，平面为空间的子集． 位置关系 符号表示 点P在直线a上 _________ 点P不在直线a上  _________ 点P在平面α内  _________ 点P不在平面α内  _________ 直线a与直线b相交于点M _________ 直线a在平面α内  _________ 直线b不在平面β内 _________ 【即时训练】 1．如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下列说法错误的是（    ） A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C．平面不具有边缘，平面无限延展 D．若A、B两点均在平面内，则直线也在内 3．若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列用符号表示空间内点A，直线l，平面α，β的位置关系，符号使用不恰当的是（   ） A． B． C． D． 5．构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 6．下列说法正确的是（    ） A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 7．在正四棱台中，下列判断错误的是（     ） A． B．该棱台有条棱 C．，，，四点不共面 D．平面平面 8．如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【考点2 空间中两直线的位置关系】 位置关系 共面情况 公共点的个数 相交 在同一个平面内  1 平行 在同一个平面内  0 异面 不同在任何一个平面内 0 【即时训练】 1．如图，在正方体中，E、F分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知，，是空间三条直线，，则“”是“，，三线共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列关于空间中不重合的两条直线说法中错误的是（    ） A．这两条直线可能既共面，又共点 B．这两条直线可能既不共面，又不共点 C．这两条直线可能共面但不共点 D．这两条直线可能共点但不共面 4．如图，在长方体的棱中，其所在直线与是异面直线的棱有________条． 5．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； 6．若两条不同直线，没有公共点，则，所有可能的位置关系是______. 7．如图为正六棱柱，与直线异面的侧棱共有______条．    8．已知，是异面直线，直线平行于直线，那么直线与的关系是________． 【考点3 异面直线】 1、异面直线：不同在_________内的两条直线． 2、异面直线的判定方法：与一个平面相交于一点的直线，和这个平面内_________的直线为异面直线． 3、异面直线所成的角：若a，b为异面直线，则经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把_____________________叫作异面直线a与b所成的角． 4、异面直线所成的角θ的取值范围：θ∈．特别地，当θ＝时，称两条异面直线互相_________，记作a⊥b. 特别提醒：作异面直线所成的角时，为了方便，通常将点O取在两条异面直线中的一条上，也就是说只需要平移另外一条直线即可． 【即时训练】 1．如图，在长方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面但不垂直 2．如图，在正四棱锥中，下列结论正确的是（    ） A．直线与直线相交 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线是异面直线 3．已知正方体，下列直线与所成角为的是（   ） A． B． C． D． 4．如图， ，，，是正方体所在棱的中点，则直线与直线所成角为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 6．正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为________； （2）异面直线与所成角的大小为________； （3）异面直线和所成角的大小为________． 7．异面直线所成的角的取值范围：___________． 8．在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 1.（2026·天津·真题T07）在正方体内，与所在直线垂直的棱是（ ） A. B. AB C. D. BC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $