专题27 空间几何体的表面积和体积（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 空间几何体的表面积和体积 【复习目标】 1. 了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念； 2. 理解实物或空间图形的三视图，掌握直观图的斜二测画法； 3. 会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、锥体、球的体积； 4. 会求简单组合体的表面积和体积. 【考点1 空间几何体的结构】 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 图形 底面 互相平行且全等 多边形 侧棱 平行且全等 相交于一点但不一定相等 侧面形状 特别提醒：1.棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱. 2、特殊的棱柱和棱锥 ①侧棱垂直于底面的棱柱叫做____________，底面是正多边形的直棱柱叫做__________，反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形. 长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则其体对角线长为______________ . ②底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做________，特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做__________，反过来，正棱锥的底面是________，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心. a. 正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形． b. 各等腰三角形底边上的高相等，称为正棱锥的斜高． c. 在正棱锥中，要特别注意正棱锥的高、侧棱、斜高、底面边长之间的关系． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 球 图形 母线 平行、相等且垂直 相交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 圆 侧面 4、组合体 由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的几何体． 【即时训练】 1．已知直角梯形，，，绕着它的腰所在直线旋转一周，形成的面所围的几何体为（   ） A．球体 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱 2．下列几何体中，棱的条数最多的是（    ）． A．四棱锥 B．三棱柱 C．四棱台 D．四面体 3．有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（    ） A．五棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 4．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（    ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 5．底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（     ） A．一个边长为的正方形 B．一个边长为的正方形 C．一个长为，宽为的矩形 D．一个长为，宽为的矩形 6．下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 7．设M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合的关系是(　　) A．P ⫋N⫋M⫋Q B．Q⫋M⫋N⫋P C．P⫋M⫋N⫋Q D．Q⫋N⫋M⫋P 【考点2 空间几何体的三视图与直观图】 1、平行投影 在投影中，若投射线___________，这样的投影称为平行投影．其中，投射线_______投影面的平行投影称为斜投影，投射线________投影面的平行投影称为正投影．可以利用_________的方法，画出物体的三视图与直观图． 2、三视图 三视图包括__________、__________和__________． ①三视图的位置规定：一个几何体的左视图画在主视图的__________，俯视图画在主视图的__________． ②三视图的投影规律：长对正、高平齐、宽相等． 3、直观图 用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图．经常使用__________来作直观图． ①规则：原图形中x轴、y轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45°. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半（记忆口诀：横不变，纵减半，平行关系不改变） 4、直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:. 【即时训练】 1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．棱锥 2. 图①、②、③是图1所示几何体的三个视图，则与主视图、俯视图、左视图对应的序号依次为（    ） A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②① 3.如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（     ） A．OC B．OB C．AC D．BC 4.水平放置的有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【考点3 空间几何体的表面积与体积】 1、空间几何体的表面积 ①直棱柱 a．侧面积公式：__________(c为底面周长，h为直棱柱的高)； b．表面积公式：__________． ②正棱锥 a．侧面积公式：__________(c为底面正多边形周长，h′为正棱锥的斜高)； b．表面积公式：__________． ③圆柱：圆柱的侧面展开图是矩形． a．侧面积公式：__________(c为底面圆的周长，l为母线长，r为底面圆的半径)； b．表面积公式：__________． ④圆锥：圆锥的侧面展开图是扇形． a．侧面积公式：__________(c为底面圆周长，l为母线长，r为底面圆半径)； b．表面积公式：__________． ⑤球：表面积公式__________(R为球的半径). 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积公式：__________(S为底面积，h为柱体的高). ②锥体的体积公式：__________(S为底面积，h为锥体的高). ③球的体积公式：__________(R为球的半径). 特别提醒：正方体的棱长为a，球的半径为R, （1）若球为正方体的外接球，则； （2）若球为正方体的内切球，则 2R=a； （3）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R= （4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1. 【即时训练】 1．底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 3．已知圆柱的底面半径为，高为，则此圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 8．若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的体积为______. 9．设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 10．若球的半径为，则该球的体积为__________． 11．已知圆锥的侧面积为，底面半径为cm，则该圆锥的体积是____________. 12．已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 13．棱长为的正方体体积为_____. 1.（2025·天津·真题T11）半径为3的球的体积是__________ 2.（2024·天津·真题T10）已知长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的体积为_______________． 3.（2023·天津·真题T07）底面圆直径为4，高为4的圆柱体的体积为（ ） A. B. C. D. 4.（2022·天津·真题T07）高为4，底面圆直径为4的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题27 空间几何体的表面积和体积 【复习目标】 1. 了解多面体、旋转体和棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的概念，理解直棱柱、正棱锥的有关概念； 2. 理解实物或空间图形的三视图，掌握直观图的斜二测画法； 3. 会求直棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥和球的表面积，会求柱体、锥体、球的体积； 4. 会求简单组合体的表面积和体积. 【考点1 空间几何体的结构】 1、多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 图形 底面 互相平行且全等 多边形 侧棱 平行且全等 相交于一点但不一定相等 侧面形状 平行四边形 三角形 特别提醒：1.棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱. 2、特殊的棱柱和棱锥 ①侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形. 长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则其体对角线长为 . ②底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥，特别地，各棱长均相等的正三棱锥叫做正四面体，反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心. a. 正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形． b. 各等腰三角形底边上的高相等，称为正棱锥的斜高． c. 在正棱锥中，要特别注意正棱锥的高、侧棱、斜高、底面边长之间的关系． 3、旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 球 图形 母线 平行、相等且垂直 相交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 圆 侧面 矩形 扇形 4、组合体 由多面体、旋转体等基本几何体组合而成的几何体． 【即时训练】 1．已知直角梯形，，，绕着它的腰所在直线旋转一周，形成的面所围的几何体为（   ） A．球体 B．圆锥 C．圆台 D．圆柱 【答案】C 【详解】如图，绕着它的腰所在直线旋转一周，形成的面所围的几何体为圆台. 2．下列几何体中，棱的条数最多的是（    ）． A．四棱锥 B．三棱柱 C．四棱台 D．四面体 【答案】C 【详解】由题意得四棱锥有8条棱，三棱柱有9条棱， 四棱台有12条棱，四面体有6条棱，则棱的条数最多的是四棱台，故C正确. 3．有一个多面体，由六个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为（    ） A．五棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征，结合多面体的面数与面的形状判断即可. 【详解】多面体共6个面，仅有1个面不是三角形，则其余5个面均为三角形， 可知非三角形的面为五边形（作为棱锥底面），5个三角形为共顶点的侧面， 总面数为，符合五棱锥的结构特征. A选项五棱柱共7个面，不符合面数要求； C选项四棱柱的6个面均为四边形，不符合“仅1个面不是三角形”的要求； D选项四棱锥共5个面，不符合面数要求. 4．有一个棱柱由5个面围成，那么它有（    ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【答案】B 【详解】∵任意棱柱都有2个底面， ∴该棱柱的侧面数量为，即该棱柱为三棱柱． ∵三棱柱的上下底面各有3条棱，侧面有3条棱， ∴总棱数为条． 5．底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（     ） A．一个边长为的正方形 B．一个边长为的正方形 C．一个长为，宽为的矩形 D．一个长为，宽为的矩形 【答案】C 【详解】底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形. 6．下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】C 【分析】根据棱柱、正方体、棱台、正棱锥的定义对选项逐一分析即可. 【详解】对于A：有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误； 对于B：直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C：根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D：底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正棱锥，故D错误. 7．设M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合的关系是(　　) A．P ⫋N⫋M⫋Q B．Q⫋M⫋N⫋P C．P⫋M⫋N⫋Q D．Q⫋N⫋M⫋P 【答案】B 【解析】根正确区分各种柱体的联系与区别，正方体一定是正四棱柱，正四棱柱一定是长方体，长方体一定是直四棱柱. 故选：B. 【考点2 空间几何体的三视图与直观图】 1、平行投影 在投影中，若投射线相互平行，这样的投影称为平行投影．其中，投射线倾斜于投影面的平行投影称为斜投影，投射线垂直于投影面的平行投影称为正投影．可以利用平行投影的方法，画出物体的三视图与直观图． 2、三视图 三视图包括主视图、左视图和俯视图． ①三视图的位置规定：一个几何体的左视图画在主视图的右边，俯视图画在主视图的下面． ②三视图的投影规律：长对正、高平齐、宽相等． 3、直观图 用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图．经常使用斜二测画法来作直观图． ①规则：原图形中x轴、y轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45°. ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半（记忆口诀：横不变，纵减半，平行关系不改变） 4、直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系:. 【即时训练】 1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．棱锥 【答案】A 【分析】根据三视图的定义分析即可. 【详解】根据所给的三视图，正面为长方形，排除CD， 又因为俯视图为圆，排除B， 所以该几何体为圆柱. 故选：A. 2. 图①、②、③是图1所示几何体的三个视图，则与主视图、俯视图、左视图对应的序号依次为（    ） A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②① 【答案】D 【分析】根据三视图的概念即可得出结论. 【详解】①为左视图，②为俯视图，③为主视图， 所以与主视图、俯视图、左视图对应的序号依次为③②①. 故选：D. 3.如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，则在平面直角坐标系中，最长的线段是（     ） A．OC B．OB C．AC D．BC 【答案】D 【分析】根据斜二测画法还原三角形易得答案. 【详解】有斜二测画法图像知道原三角形是直角三角形，是直角三角形的斜边，故是最长的线段. 故选：D. 4.水平放置的有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【答案】C 【分析】由斜二测画法的定义即可得解. 【详解】根据斜二测画法作平面图形的直观图原理，可得中有一个角为钝角．故选：. 【考点3 空间几何体的表面积与体积】 1、空间几何体的表面积 ①直棱柱 a．侧面积公式：S直棱柱侧＝ch(c为底面周长，h为直棱柱的高)； b．表面积公式：S＝S直棱柱侧＋2S底． ②正棱锥 a．侧面积公式：S正棱锥侧＝ch′(c为底面正多边形周长，h′为正棱锥的斜高)； b．表面积公式：S＝S正棱锥侧＋S底． ③圆柱：圆柱的侧面展开图是矩形． a．侧面积公式：S圆柱侧＝cl＝2πrl(c为底面圆的周长，l为母线长，r为底面圆的半径)； b．表面积公式：S＝S圆柱侧＋2S底． ④圆锥：圆锥的侧面展开图是扇形． a．侧面积公式：S圆锥侧＝＝πrl(c为底面圆周长，l为母线长，r为底面圆半径)； b．表面积公式：S＝S圆锥侧＋S底． ⑤球：表面积公式S球＝4πR2(R为球的半径). 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积公式：V柱＝Sh(S为底面积，h为柱体的高). ②锥体的体积公式：V锥＝(S为底面积，h为锥体的高). ③球的体积公式：V球＝(R为球的半径). 特别提醒：正方体的棱长为a，球的半径为R, （1）若球为正方体的外接球，则； （2）若球为正方体的内切球，则 2R=a； （3）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R=； （4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:1. 【即时训练】 1．底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 2．直径为6的球的表面积与体积（    ） A．36，36 B．144，36 C．36，144 D．144，144 【答案】A 【详解】由题可知，球的半径为， 所以球的表面积为，体积为. 3．已知圆柱的底面半径为，高为，则此圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱的表面积． 4．体积为的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该球半径为r，则，解得，则该球的表面积为． 5．已知圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形，则该圆柱侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆柱底面直径为4，侧面展开图为正方形， 则圆柱的底面周长即为正方形的边长，正方形的边长即为圆柱的高， 所以正方形的边长为，圆柱的高为， 则圆柱侧面积为. . 6．已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式和侧面积公式即可求解. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为1，由圆柱的体积为可得：， 所以该圆柱的表面积为， 故选：C. 7．已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该圆柱的底面半径为，高为， ，，得， 所以该圆柱的体积． 8．若长方体的长、宽、高分别为，，，则长方体的体积为______. 【答案】 【分析】代入长方体体积公式求解. 【详解】长方体的体积. 9．设一个球的大圆面积为，则该球的表面积为______． 【答案】 【分析】利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】设该球的半径为，则该球的大圆面积为， 故该球的表面积为. 10．若球的半径为，则该球的体积为__________． 【答案】 【分析】由球的体积公式代入半径即可得到球的体积 【详解】因为球的半径为，并且球的体积公式为 故答案为： 11．已知圆锥的侧面积为，底面半径为cm，则该圆锥的体积是____________. 【答案】 【分析】先利用圆锥侧面积公式结合已知条件求出母线长，再借助勾股定理算出圆锥的高，最后代入圆锥体积公式即可求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为，体积为， 由题知，侧面积为， 因为，可得母线长， 则高， 所以体积. 12．已知圆台的上、下底面半径分别为、，高为，则该圆台的体积为________． 【答案】 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为、，高为， 由台体体积公式可知，该圆台的体积为. 13．棱长为的正方体体积为_____. 【答案】8 【解析】直接由正方体的体积公式可得答案. 【详解】正方体的棱长为，则其体积为 故答案为：8 1.（2025·天津·真题T11）半径为3的球的体积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 则球的体积为. 故答案为：. 2.（2024·天津·真题T10）已知长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的体积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，长方体的长，宽，高分别为，则长方体的体积为. 故答案为：. 3.（2023·天津·真题T07）底面圆直径为4，高为4的圆柱体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式即可求解. 【详解】由题意得，圆柱体的底面圆直径为4，则半径为. 则该圆柱体的体积为：. 故选：B 4.（2022·天津·真题T07）高为4，底面圆直径为4的圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求出圆锥的底面圆半径，结合圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】因为圆锥的底面圆直径为4， 所以圆锥的底面圆半径为2， 所以圆锥的体积. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $