10.3概率初步(练习)-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题十 10.3 概率初步 【考点1 随机事件的概念】 1.下列事件中是随机事件的是(  ) A.从一副扑克牌中任抽一张，抽到黑桃 B.三角形内角和为 C.在实数中任取一个数，它小于自身 D.明天太阳从西边升起 2.任意一个实数的平方不小于是(  ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法判断 3.从装有红、白两种球的袋中任取一球，取到红球是(  ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.确定事件 4.抛掷一枚均匀骰子一次，事件“出现奇数点”的样本点有______个. 5.掷一枚骰子，事件“点数为偶数”可表示为______. 6.一个试验在相同条件下可以重复进行，且结果事先不能确定，这类试验通常称为______试验. 【考点2 古典概率】 7.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是(  ) A. B. C. D. 8.投掷两颗质地均匀的骰子，点数不相同的概率为(  ) A. B. C. D. 9.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数之和是3的倍数的概率是(  ) A. B. C. D. 10.从集合的所有真子集中随机选取一个，则该真子集恰好包含2个元素的概率是(  ) A. B. C. D. 11.连续抛掷3枚硬币，恰好有2枚正面朝上的概率是(  ) A. B. C. D. 12.从1，2，3，4，5，6中任取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为(  ) A. B. C. D. 13.袋子中装着形状完全相同的2个红球和2个白球，有放回地从中随机地抽两次，每次抽取一个球，则两次都摸到红球的概率是(  ) A. B. C. D. 14.现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是(  ) A. B. C. D. 15.把3枚均匀的硬币一起抛出，则出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是_______. 16.用1,2,3这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是________． 17.抛掷3枚硬币，观察硬币的正、反情况，求出下列事件的古典概率． (1)事件两枚反面朝上，一枚正面朝上； (2)事件至少有一枚正面朝上. 18.从一副有54张的扑克牌中，任意抽取一张，求： (1)抽到数字为2的概率； (2)抽到花色为红桃的概率； (3)抽到大小王的概率. 【考点3 互斥事件及其概率】 19.中国体操队甲、乙两名队员参加奥运会双杠比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得双杠冠军的概率为(  ) A. B. C. D. 20.掷一枚骰子，事件为“点数不大于2”，事件为“点数大于4”，则 为(  ) A. B. C. D. 21.某设备一天内正常运行的概率为，出现故障是其对立事件，则出现故障的概率为 ______. 22.一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，称事件A与B______.事件A的对立事件记作，如图阴影部分所示： 由对立事件定义可得______，故______． 【考点4 用频率估计概率】 23.下列数值中，可以作为某事件概率的是(  ) A. B. C. D. 24.在10人中，有4名学生，2名学校行政干部，3名专业教师，1名工人，则数0.3是专业教师在总体中的(  ) A.频数 B.频率 C.累计频率 D.概率 25.一组个数据中，落在某一组内的频数为，其频率为(  ) A. B. C. D. 26.某事件发生的频率为，试验次数为，则该事件发生了(  )次 A. B.2 C.8 D. 27.某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的(  ) A.频率为，概率为 B.频率为，概率为 C.频率为，概率为 D.频率为，概率为 28.下列说法一定正确的是(  ) A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B.随机事件发生的概率与试验次数无关 C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D.一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【考点1 随机事件的概念】 29.连续抛两枚硬币，出现的结果总数是(  ) A.3 B.4 C.2 D.1 30.抛掷两枚骰子，事件“朝上一面的点数之和不大于4”所包含的样本点的个数是(  ) A.4 B.5 C.6 D.8 31.若从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物，则下列事件中属于必然事件的是(  ) A.5盆都是绿萝 B.5盆都是百合花 C.至少有1盆是绿萝 D.至少有1盆是百合花 32.有下列事件： ①如果，那么； ②某人射击一次，命中靶心； ③任取一实数a(且)，函数是增函数； ④从装有1个白色小球、2个红色小球的袋子中，摸出1个小球，观察结果是黄球． 其中是随机事件的有(  ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 33.在100件产品中，有98件是一级品，有2件是二级品，在这100件产品中任意选出5件，则下列事件： ①选出的产品全部是一级品； ②选出的产品全部是二级品； ③选出的产品不全是一级品； ④选出的产品中，不是一级品的件数小于5． 其中_______是必然事件， _______是不可能事件， _________是随机事件. 34.下列说法:①“若，则”是必然事件；②“任意抛掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件；③“若，则”是必然事件；④“方程有实数根”是不可能事件.其中正确的序号是_________. 35.一只口袋中装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球. (1)写出该试验的样本空间； (2)写出事件“摸出的两个球都是白球”． 【考点2 古典概率】 36.下列是古典概型的是(  ) ①从三名同学中选一人担任班长； ②扔一枚硬币，观察向上一面的正反情况； ③在所有整数中选一个； ④选择题的四个选项选一个. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④ 37.古代“五行”学说认为:“物质分为金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(  ) A. B. C. D. 38.某商场进行元旦促销减免活动，规定一次性消费满288元的每位顾客可以在装有1个黑球，2个红球，3个白球(这些小球除颜色外大小、形状完全相同)的抽奖箱中一次性地抽取2个球，已知抽到1个黑球减40元，抽到1个红球减20元，抽到白球不减免，则参加抽奖的某顾客所获得的减免金额不低于40元的概率为(  ) A. B. C. D. 39.某品牌盲盒共有7种不同款式的玩偶，其中有4款为隐藏款，3款为普通款.现小丽和小明两人各随机购买一个盲盒，且两人购买相互独立，则两人恰好买到同一款玩偶的概率为_________；两人中至少有一人买到隐藏款的概率为_________. 40.如图，在等边中，、、分别是的中点.若在内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为_________. 41.袋中有3个红球、2个白球、1个黑球，从中任取2个球，记 “取到红球得2分，取到白球得1分，取到黑球得0分”，用表示得分，则的值为________. 【考点3 互斥事件及其概率】 42.甲乙两人下棋，乙胜概率是，甲乙和棋的概率是，则下列说法正确的是(  ) A.甲获胜概率是 B.甲不输的概率是 C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是 43.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为___________. 44.甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的不中靶概率为0.3，则两个人各射击一次恰有一人中靶的概率为___________. 45.已知名学生中有3名男生，7名女生，从中任意选出2名学生，指出下列事件哪些是互斥事件. (1)全部都是女生和全部都是男生； (2)1名男生1名女生和至少有一名女生； (3)至少有一名女生和全部都是女生； (4)全部都是女生和1名男生1名女生. 【考点4 用频率估计概率】 46.下列说法正确的是(  ) A.甲、乙两人做游戏:甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平 B.做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率 C.某地发行福利彩票，回报率，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 D.有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件 47.质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如:3和，和，那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件:这两个数都是素数，事件B:这两个数不是孪生素数，则(  ) A. B. C. D. 48.为估计某型号零件的不合格率，随机检查了件零件，发现其中件不合格. (1)求本次检查中不合格的频率； (2)若生产件同型号零件，按该频率估计，约有多少件不合格. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是(  ) A. B. C. D. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是(  ) A. B. C. D. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)，则至少有2名学生相邻的概率是(  ) A. B. C. D. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是___________． 5.(2022年山东省春季高考数学真题)某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是(  ) A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题十 10.3 概率初步 【考点1 随机事件的概念】 1.下列事件中是随机事件的是(  ) A.从一副扑克牌中任抽一张，抽到黑桃 B.三角形内角和为 C.在实数中任取一个数，它小于自身 D.明天太阳从西边升起 【答案】A 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义即可得出结果. 【详解】A:抽一张牌，有可能抽到黑桃，也有可能抽不到，属于随机事件. B:三角形内角和一定为，是必然事件. C:实数不可能小于自身，是不可能事件. D:太阳不会从西边升起，是不可能事件. 故选:A 2.任意一个实数的平方不小于是(  ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法判断 【答案】A 【分析】根据必然事件的定义判断即可． 【详解】任意一个实数的平方不小于，这是恒成立的，是必然事件． 故选:A． 3.从装有红、白两种球的袋中任取一球，取到红球是(  ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.确定事件 【答案】B 【分析】根据可能取到红球，也可能取到白球求解即可. 【详解】从装有红、白两种球的袋中任取一球，取到红球是随机事件. 故选:B. 4.抛掷一枚均匀骰子一次，事件“出现奇数点”的样本点有______个. 【答案】3 【分析】骰子点数1，2，3，4，5，6，找出其中奇数即可. 【详解】奇数点为，一共3个样本点. 故答案为: 5.掷一枚骰子，事件“点数为偶数”可表示为______. 【答案】 【分析】写出所有基本结果，进而可得点数为偶数的结果. 【详解】掷一枚骰子，所有结果为，，，，5，6， 其中点数为偶数的结果为2，4，6， 所以事件“点数为偶数”可表示为. 故答案为:. 6.一个试验在相同条件下可以重复进行，且结果事先不能确定，这类试验通常称为______试验. 【答案】随机 【分析】根据随机试验的概念求解即可. 【详解】一个试验在相同条件下可以重复进行，且结果事先不能确定，这类试验通常称为随机试验. 故答案为:随机. 【考点2 古典概率】 7.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意写出所有可能结果，根据古典概型的概率公式计算结果即可. 【详解】由题知，不放回的从1，2，3，4中任意取两个数， 所有可能的结果有，共12种， 其中两个数都是偶数的结果有，共2种， 所以两个数都是偶数的概率是. 故选:A. 8.投掷两颗质地均匀的骰子，点数不相同的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求总基本事件数和点数相同的事件数，再通过对立事件概率公式计算点数不同的概率即可. 【详解】投掷两颗质地均匀的骰子， 每颗骰子有6种点数结果，因此总基本事件数为， “两颗骰子点数相同”的事件为共6个， 则“两颗骰子点数相同”的概率为， 所以点数不相同的概率为， 故选:D. 9.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数之和是3的倍数的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意求出基本事件总数，求出符合题意事件数，代入古典概型公式即可得解. 【详解】总事件数为，两枚骰子点数和是的倍数的有， 则符合题意的组合有，共种， 所以概率为， 故选:. 10.从集合的所有真子集中随机选取一个，则该真子集恰好包含2个元素的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】首先求出集合的所有真子集，再根据古典概率公式求解即可. 【详解】集合的所有真子集有7个，分别是， 其中恰好包含2个元素的真子集3个， 所以其概率是 . 故选:C. 11.连续抛掷3枚硬币，恰好有2枚正面朝上的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】列举全部基本事件，统计符合条件个数，套用古典概型公式即可. 【详解】连续抛掷3枚硬币，总的基本事件数为， 若代表正面朝上，代表反面朝上， 则全部样本点:， 恰好有2枚正面朝上的样本点为共3个，故. 故选:C. 12. 从1，2，3，4，5，6中任取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据古典概型概率计算即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6中任取两个不同的数， 则这两个数之和为偶数的概率. 故选:C. 13.袋子中装着形状完全相同的2个红球和2个白球，有放回地从中随机地抽两次，每次抽取一个球，则两次都摸到红球的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先确定所有可能的基本事件，再找出两次都摸到红球的基本事件，最后根据古典概型的概率公式计算概率. 【详解】把个红球编号为，，把个白球编号为，. 有放回地从中随机地抽两次，所有基本事件为: ，，，，，，，， ，，，，，，，，共16个， 记“两次都摸到红球”为事件，其基本事件为:，，，，共个， 则两次都摸到红球的概率为. 故选:B. 14.现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【详解】所有可能的分配方式共有6种情形，如下表： A车间 甲乙 甲丙 乙丙 甲 乙 丙 B车间 丙 乙 甲 乙丙 甲丙 甲乙 其中，甲被分到A车间的情形有3种，如下表： A车间 甲乙 甲丙 甲 B车间 丙 乙 乙丙 所以甲被分到A车间的概率是， 故选:C． 15.把3枚均匀的硬币一起抛出，则出现2枚正面朝上、1枚反面朝上的概率是_______. 【答案】/ 【分析】根据古典概率公式求解即可. 【详解】每枚硬币抛出都有正面、反面2种结果，3枚硬币的所有等可能结果总数为种， 分别是(正正正)、(正正反)、(正反正)、(正反反)、(反正正)、(反正反)、(反反正)、(反反反). 满足“2枚正面朝上、1枚反面朝上”的结果共有3种(正正反)、(正反正)、(反正正). 则概率为. 故答案为:. 16.用1,2,3这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是________． 【答案】 【分析】利用列举法和古典概率模型公式即可求解. 【详解】用1,2,3这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，共有6种情况： ， 其中组成的三位数为偶数的只有两种， 故组成的三位数为偶数的概率是. 故答案为:. 17.抛掷3枚硬币，观察硬币的正、反情况，求出下列事件的古典概率． (1)事件两枚反面朝上，一枚正面朝上； (2)事件至少有一枚正面朝上. 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)列出全部样本点，统计事件所含样本点，代入古典概型公式即可. (2)利用对立事件计算，简化至少有一枚正面朝上的概率即可. 【详解】(1)抛掷3枚硬币，每枚硬币有正()、反()2 种结果，总基本事件数为， 全部样本点:， 事件两枚反面朝上，一枚正面朝上，包含的样本点为，共3个， 故. (2)事件的对立事件为三枚硬币全部反面朝上， 对应样本点为， 对立事件包含1个基本事件， 则事件包含个基本事件， 故. 18.从一副有54张的扑克牌中，任意抽取一张，求： (1)抽到数字为2的概率； (2)抽到花色为红桃的概率； (3)抽到大小王的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用古典概型的概率公式计算. 【详解】(1)一副扑克牌中数字为2的牌有4张(每种花色各一张)，总牌数为54张， 所以抽到数字为2的概率为. (2)一副扑克牌中红桃有13张，总牌数是54张， 因此抽到花色为红桃的概率为. (3)一副扑克牌中大小王共2张，总牌数为54张， 所以抽到大小王的概率为. 【考点3 互斥事件及其概率】 19.中国体操队甲、乙两名队员参加奥运会双杠比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得双杠冠军的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先判断甲、乙夺冠为互斥事件，再利用互斥事件的概率加法公式计算中国队夺冠概率. 【详解】由于双杠比赛仅产生1名冠军，因此“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”为互斥事件，即两个事件不可能同时发生. 设事件“甲夺得冠军”，；事件“乙夺得冠军”，， 中国队夺得双杠冠军的事件等价于事件或事件发生， 因此中国队夺得双杠冠军的概率为， 故选:D. 20.掷一枚骰子，事件为“点数不大于2”，事件为“点数大于4”，则 为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，两个事件为互斥事件，利用互斥事件概率加法公式即可求解. 【详解】掷一枚骰子，基本事件共6种， 事件A(点数不大于2):点数1,2,， 事件B(点数大于4):点数5,6,， 事件A和事件B不可能同时发生，属于互斥事件， 则， 故选:C 21. 某设备一天内正常运行的概率为，出现故障是其对立事件，则出现故障的概率为 ______. 【答案】/ 【分析】根据对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得，某设备一天内正常运行的概率为 ，则出现故障的概率为 . 故答案为：. 22.一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，称事件A与B______.事件A的对立事件记作，如图阴影部分所示： 由对立事件定义可得______，故______． 【答案】 互为对立 1 【分析】根据对立事件的定义及对立事件的概率关系即可得解. 【详解】一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即，且，称事件A与B互为对立． 事件A的对立事件记作，如图阴影部分所示： 由对立事件定义可得，故． 故答案为:互为对立；；. 【考点4 用频率估计概率】 23.下列数值中，可以作为某事件概率的是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据概率的性质求解即可. 【详解】因为某一事件概率应在到之间，观察选项，只有 符合要求. 故选:B. 24.在10人中，有4名学生，2名学校行政干部，3名专业教师，1名工人，则数0.3是专业教师在总体中的(  ) A.频数 B.频率 C.累计频率 D.概率 【答案】B 【分析】根据频数、频率、累计频率和概率的概念即可求解. 【详解】对A:频数:在一组依大小顺序排列的测量值中，当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目， 专业教师的频数为3，故A项错误； 对B:频率:是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)， 专业教师在总体中的频率为，故B项正确； 对C:累积频率:是指前面各组频率之和，故C项错误； 对D:概率:概率是描述某随机事件发生可能性大小的数值，故D项错误. 故选:B. 25.一组个数据中，落在某一组内的频数为，其频率为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据频率的计算公式即可求解. 【详解】频率频数总数， 题中总数为50，落在某一组内的频数为， 则频率， 故选:A 26.某事件发生的频率为，试验次数为，则该事件发生了(  )次 A. B.2 C.8 D. 【答案】A 【分析】根据发生次数=试验次数×频率计算即可. 【详解】发生次数为:. 故选:A 27.某人将一枚硬币连续掷了10次，6次正面朝上，若事件A表示“抛掷一枚硬币，正面朝上”，则事件A的(  ) A.频率为，概率为 B.频率为，概率为 C.频率为，概率为 D.频率为，概率为 【答案】B 【分析】由频率和概率的定义，计算即可. 【详解】由题意，事件出现的频数是，出现的频率是， 概率是反映随机事件出现的可能性大小，是确定值，事件出现的概率是， 故选:B. 28.下列说法一定正确的是(  ) A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B.随机事件发生的概率与试验次数无关 C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D.一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【答案】B 【点睛】逐个判断选项正误，得到答案. 【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误； B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确； C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误； D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误. 故选:B. 【考点1 随机事件的概念】 29.连续抛两枚硬币，出现的结果总数是(  ) A.3 B.4 C.2 D.1 【答案】B 【分析】抛一枚硬币有“正面”或“反面”两种结果，连续抛两枚硬币，样本空间一一列举所有有序结果对即可. 【详解】连续抛两枚硬币的可能结果为(正，反)，(反，反)，(反，正)，(正，正)， 共4种结果. 故选:B. 30.抛掷两枚骰子，事件“朝上一面的点数之和不大于4”所包含的样本点的个数是(  ) A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】C 【分析】根据列举法列出所有满足题意的基本事件求解即可. 【详解】抛掷两枚骰子时，每枚骰子的朝上点数都是1到6， 有序数对表示第一枚骰子点数为、第二枚骰子点数为的样本点. 则“朝上一面的点数之和不大于4”等价于点数之和. ，和为2；，和为3；，和为4； ，和为3；，和为4；，和为4；总共包含6个样本点. 故选:C. 31.若从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物，则下列事件中属于必然事件的是(  ) A.5盆都是绿萝 B.5盆都是百合花 C.至少有1盆是绿萝 D.至少有1盆是百合花 【答案】D 【分析】根据必然事件的概念逐项分析即可. 【详解】已知从4盆绿萝和6盆百合花中任选5盆植物， 5盆都是绿萝，为不可能事件不是必然事件，故A错误， 5盆都是百合花，为随机事件不是必然事件，故B错误， 至少有1盆是绿萝，为随机事件不是必然事件，故C错误， 至少有1盆是百合花为必然事件，故D正确， 故选:D. 32.有下列事件： ①如果，那么； ②某人射击一次，命中靶心； ③任取一实数a(且)，函数是增函数； ④从装有1个白色小球、2个红色小球的袋子中，摸出1个小球，观察结果是黄球． 其中是随机事件的有(  ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义易得答案. 【详解】对于①，当时，一定成立，是必然事件. 对于②，某人射击一次，有可能命中靶心，所以②是随机事件. 对于③，任取一实数a(且)，若，则函数是增函数， 若，则函数是减函数，所以③是随机事件. 对于④，由于袋子中没有黄球，所以摸出1个小球，观察结果是黄球是不可能事件. 故选:D. 33.在100件产品中，有98件是一级品，有2件是二级品，在这100件产品中任意选出5件，则下列事件： ①选出的产品全部是一级品； ②选出的产品全部是二级品； ③选出的产品不全是一级品； ④选出的产品中，不是一级品的件数小于5． 其中_______是必然事件， _______是不可能事件， _________是随机事件. 【答案】 ④ ② ①③ 【分析】根据必然事件、不可能事件以及随机事件的概念求解即可. 【详解】事件①:可能全是一级品，也可能包含二级品，是随机事件. 事件②:二级品只有2件，不可能选出5件全是二级品，是不可能事件. 事件③:“不全是一级品”意味着至少有一件二级品，可能发生(如抽到1或2件二级品)， 也可能不发生(5件全是一级品)，是随机事件. 事件④:不是一级品的件数只可能是0、1、2(因为总共只有2件二级品)，所以小于5，是必然事件. 故答案为:④；②；①③. 34.下列说法:①“若，则”是必然事件；②“任意抛掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件；③“若，则”是必然事件；④“方程有实数根”是不可能事件.其中正确的序号是_________. 【答案】①③④ 【分析】根据必然事件、随机事件以及不可能事件的概念求解即可. 【详解】①:恒成立，是必然事件，正确. ②:抛硬币正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件，错误. ③:若，则中元素都在中，即，是必然事件，正确. ④:方程在实数范围内无解，是不可能事件，正确. 因此正确的序号是①、③、④. 故答案为:①③④. 35.一只口袋中装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球. (1)写出该试验的样本空间； (2)写出事件“摸出的两个球都是白球”． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】(1)设3个白球分别为，2个黑球分别为，写出任取两个球的所有情况即可； (2)找出两个球均为白球的情形即可. 【详解】(1)设3个白球分别为，2个黑球分别为. 样本空间. (2)事件. 【考点2 古典概率】 36.下列是古典概型的是(  ) ①从三名同学中选一人担任班长； ②扔一枚硬币，观察向上一面的正反情况； ③在所有整数中选一个； ④选择题的四个选项选一个. A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.②④ 【答案】B 【分析】根据古典概型的要求逐项分析即可. 【详解】①从三名同学中选一人担任班长： 结果有限，每个同学被选中的机会相等，是古典概型， ②扔一枚硬币，有限结果(正、反)，等可能，是古典概型， ③在所有整数中选一个，整数个数无限多，不满足有限个基本事件，不是古典概型， ④选择题的四个选项选一个:有限，随机选时每个选项等可能，是古典概型. 故选:B. 37.古代“五行”学说认为:“物质分为金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”.从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意求出满足题目的条件，再根据古典概率公式求解即可. 【详解】从金、木、水、火、土5种不同属性的物质中随机抽2种，总抽取情况数为. 根据相克关系共5种：金克木、木克土、土克水、水克火、火克金， 则不相克的组合数=总组合数-相克组合数= 则抽取两种物质不相克的概率为. 故选:C. 38.某商场进行元旦促销减免活动，规定一次性消费满288元的每位顾客可以在装有1个黑球，2个红球，3个白球(这些小球除颜色外大小、形状完全相同)的抽奖箱中一次性地抽取2个球，已知抽到1个黑球减40元，抽到1个红球减20元，抽到白球不减免，则参加抽奖的某顾客所获得的减免金额不低于40元的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】先列出一次性抽出2个球的所有事件，再列出顾客抽到减免金额不低于40元的情况，结合古典概型公式，即可解得. 【详解】将1个黑球记为，2个红球记为，3个白球记为， 记事件为顾客所获得的减免金额不低于40元，随机抽取2个小球， 所有的情况有，共15种， 而， 故参加抽奖的某顾客所获得的减免金额不低于40元的概率. 故选:C. 39.某品牌盲盒共有7种不同款式的玩偶，其中有4款为隐藏款，3款为普通款.现小丽和小明两人各随机购买一个盲盒，且两人购买相互独立，则两人恰好买到同一款玩偶的概率为_________；两人中至少有一人买到隐藏款的概率为_________. 【答案】 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，先求出总的事件个数，再求出两人恰好买到同一款玩偶的事件个数，结合古典概率的计算，即可求得两人恰好买到同一款玩偶的概率；结合对立事件的概率的性质，即可求得两人中至少有一人买到隐藏款的概率. 【详解】由题意，两人各随机购买一个盲盒，总的事件个数为个， 其中两人恰好买到同一款玩偶的事件个数为7个， 故两人恰好买到同一款玩偶的概率； 两人都没买到隐藏款的事件个数为个， 故两人中至少有一人买到隐藏款的概率. 故答案为:；. 40.如图，在等边中，、、分别是的中点.若在内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为_________. 【答案】/0.25 【分析】直接根据几何概型公式计算面积比得到答案. 等边中，、、分别是的中点， 所以，，， 所以， 所以若在内随机取一点，则此点取自黑色部分()的概率. 故答案为:. 41.袋中有3个红球、2个白球、1个黑球，从中任取2个球，记 “取到红球得2分，取到白球得1分，取到黑球得0分”，用表示得分，则的值为________. 【答案】 【分析】先分析“”对应的取球情况，再计算任意取两球的情况，即可得到概率. 【详解】 “” 包含两种情况:①1个红球+ 1个黑球；②2个白球， 所以取法， 任意取两球的取法有， 所以概率. 故答案为:. 【考点3 互斥事件及其概率】 42.甲乙两人下棋，乙胜概率是，甲乙和棋的概率是，则下列说法正确的是(  ) A.甲获胜概率是 B.甲不输的概率是 C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是 【答案】A 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式，逐项计算即可得出答案. 【详解】对于选项A:设甲获胜为事件，“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件， 所以“甲获胜”的概率，故A正确； 对于选项B:设甲不输为事件，“甲不输”是“甲胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件， 所以“甲不输”的概率，故B错误； 对于选项C:设乙输为事件，“乙输”即为“甲赢”，则，故C错误； 对于选项D:设乙不输为事件，“乙不输”是“乙输”的对立事件， 则，故D错误， 故选:A. 43.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为___________. 【答案】 【分析】根据独立事件的概率易得答案 【详解】由于各路口信号灯工作相互独立， ∴可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率： . 故答案为:. 44.甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的不中靶概率为0.3，则两个人各射击一次恰有一人中靶的概率为___________. 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件概率即可得解. 【详解】由题设，甲的不中靶概率为0.2，乙的中靶概率为0.7， ∴两个人各射击一次恰有一人中靶的概率， 故答案为:0.38． 45.已知名学生中有3名男生，7名女生，从中任意选出2名学生，指出下列事件哪些是互斥事件. (1)全部都是女生和全部都是男生； (2)1名男生1名女生和至少有一名女生； (3)至少有一名女生和全部都是女生； (4)全部都是女生和1名男生1名女生. 【答案】(1)是互斥事件 (2)不互斥 (3)不互斥 (4)是互斥事件 【分析】互斥事件指两个事件不能同时发生（交集为空），题中根据学生性别分类，列出每个事件的含义，并判断它们是否可能同时发生即可. 【详解】(1)A:2人全是女生，B:2人全是男生， 显然A与B不可能同时发生，因为2人不可能既全是女生又全是男生，故为互斥事件； (2)C:一男一女，D:至少一名女生，包括:一男一女、两女， C发生时D必然发生，二者可同时发生，故不是互斥事件； (3)D:至少一名女生，包括:一男一女、两女，A:两女， A是D的一部分，A发生时D必发生，故不是互斥事件； (4)A:两女，C:一男一女，A与C不可能同时发生，所以A与C交集为空，故为互斥事件. 【考点4 用频率估计概率】 46.下列说法正确的是(  ) A.甲、乙两人做游戏:甲、乙两人各写一个数字，若都是奇数或都是偶数则甲胜，否则乙胜，这个游戏公平 B.做次随机试验，事件发生的频率就是事件发生的概率 C.某地发行福利彩票，回报率，某人花了100元买该福利彩票，一定会有47元的回报 D.有甲、乙两种报纸可供某人订阅，事件“某人订阅甲报纸”是必然事件 【答案】A 【分析】根据随机事件发生的概率及概率和频率的区别求解即可. 【详解】对于A，甲，乙两人各写一个数字，所有可能的结果为(奇，偶)， (奇，奇)， (偶，奇)， (偶，偶)， 则都是奇数或都是偶数的概率为，游戏是公平的； 对于B，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，但两个概念不同， 事件A发生的频率就是事件A发生的概率这种说法是不正确的； 对于C，某人花100元买福利彩票，中奖或者不中奖都有可能，但事先无法预料， C不正确； 对于D，某人订阅可能订阅甲或乙报纸事件，事件B可能发生也可能不发生，事件B是随机事件，D不正确. 故选:A. 47.质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如:3和，和，那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件:这两个数都是素数，事件B:这两个数不是孪生素数，则(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据条件概率的概率公式求值即可. 【详解】已知不超过的自然数中， 有素数共个， 则事件，随机选取两个不同的数，都是素数有个基本事件， 其中孪生素数有3和，和7，和，和共对， 所以是素数但不是孪生素数共有个基本事件， 所以， 故选:D. 48.为估计某型号零件的不合格率，随机检查了件零件，发现其中件不合格. (1)求本次检查中不合格的频率； (2)若生产件同型号零件，按该频率估计，约有多少件不合格. 【答案】(1) (2)约件 【分析】(1)根据频率的定义即可求解； (2)用已求出的频率乘以总体数量，即可估算总体中不合格零件的件数. 【详解】(1)不合格的频率不合格数量总件数， 题中随机检查了件零件，发现其中件不合格， 则不合格的频率； (2)用已求出的频率乘以总体数量，即可估算总体中不合格零件的件数， 题中总体数量为2000，则不合格的大约有件. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【详解】所有可能的分配方式共有6种情形，如下表： A车间 甲乙 甲丙 乙丙 甲 乙 丙 B车间 丙 乙 甲 乙丙 甲丙 甲乙 其中，甲被分到A车间的情形有3种，如下表： A车间 甲乙 甲丙 甲 B车间 丙 乙 乙丙 所以甲被分到A车间的概率是， 故选:C． 2.(2025年山东省春季高考数学真题)甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】写出基本事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】甲乙两人随机拿出一张比较大小共有 种可能结果；满足甲不小于乙的有种可能结果， 所以甲不小于乙的概率是. 故选:C. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)，则至少有2名学生相邻的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据排列的间接法和插空法易得答案. 【详解】教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)站在一排照相共有种， 教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)至少有2名学生相邻 站在一排照相共有种， 所以至少有2名学生相邻的概率， 故选:D. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是___________． 【答案】 【分析】根据古典概型的基本公式求概率即可. 【详解】甲乙两种商品被快递员随机寄存到三个快递投放点，共有个基本事件，随机事件“甲、乙两种商品都被寄存在投放点””的基本事件个数为， 所以概率. 故答案为:. 5.(2022年山东省春季高考数学真题)某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】用古典概型的概率计算公式直接计算即可. 【详解】乙两名同学从这三项活动中任选一项，一共有种选法, 其中恰好都选择舞蹈的选法有种，所以恰好都选择舞蹈的概率是. 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $