10.3概率初步(讲义)-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 概率与统计 10.3 概率初步 【复习目标】 1.了解样本空间、随机事件、基本事件、古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质，会求简单随机事件的古典概率，会求互斥事件的概率； 2.能运用概率、统计初步知识解决简单的实际问题. 【知识梳理内容】 考点1 随机事件的概念 1.随机事件:随机试验的结果叫作随机事件，简称事件.常用英文大写字母A、B、C等表示． 2.必然事件:在一定条件下， 发生的事件，记为 . 3.不可能事件:在一定条件下， 发生的事件，记为 . 4.基本事件:在实验和观察中不能再分的最简单的随机事件.换句话说，随机试验的每一种可能出现的结果看成一个 ． 【即时训练】 1.下列事件中，属于随机事件的是(  ) A.明天太阳从西边升起 B.从一副扑克牌中任抽一张，抽到红桃 C.掷一枚骰子，出现的点数小于 D.在与之间任取实数，所得数的绝对值不大于 2.从数字1，2，3中任取一个数字，样本空间为(  ) A. B. C. D. 3.若事件为必然事件，则(  ) A. B. C. D.无法确定 4.掷一枚普通骰子一次，出现点数是(  ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.等可能事件 5.下列叙述中，更能体现“随机试验”特点的是(  ) A.重复条件相同，结果未必相同 B.结果一定完全相同 C.没有任何可能结果 D.只能出现一个指定结果 【知识梳理内容】 考点2 古典概率 1.古典概型:如果一个随机试验满足条件:(1)基本事件只有 个，(2)每个基本事件发生的可能性 ，我们把满足这样两个条件的随机试验称为古典概型． 2.古典概型的概念公式 在古典概型中，如果实验的基本事件的总数为n，那么包含m个基本事件的事件A的概率的计算公式是： P(A)＝＝ . 【即时训练】 6.从标有1,2,3,4,5,6的卡片中任取一张，若已知取到的数为偶数，则该数大于的概率为(  ) A. B. C. D. 7.同时抛掷两颗质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为9的概率是(  ) A. B. C. D. 8.下列是古典概型的是(  ) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 9.从长度为1，2，3，4，5的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是(  ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 10.先后拋掷两枚骰子，第一枚的点数不小于第二枚的点数的概率是(  ) A. B. C. D. 11.从数字，，，中任取两个不同的数字组成两位数，所得数为偶数的概率为(  ) A. B. C. D. 12.甲、乙、丙三个小朋友玩剪子、包袱、锤的游戏(剪子胜包袱、包袱胜锤、锤胜剪子)，若他们三人随机伸手一次，则甲获胜的概率是(  ) A. B. C. D. 13.袋中有3个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出2个球，则第一次取到白球且第二次取到黑球的概率为(  ) A. B. C. D. 14.已知有6个大小和质地完全相同的小球，先将标号分别为1,2,3,4的四个小球放入甲袋子中，再将标号分别为5,6的两个小球放入乙袋子中．现从甲袋和乙袋中各任取一个小球，则取出的两小球标号之和不小于8的概率为(  ) A. B. C. D. 15.某商场举办迎亚运抽奖活动，在一个不透明的箱子内放入2个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余都相同.随机摸出一个球，摸到红球即为中奖.若中奖的概率为60%，则红球有(  ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 16.一个工具柜中有4把同型号扳手，其中1把有标记，随机取出2把. (1)列出是否取到有标记扳手的两类结果； (2)求至少取到1把有标记扳手的概率. 17.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，求 (1)事件的概率； (2)事件直线与圆相切的概率． 【知识梳理内容】 考点3 互斥事件及其概率 1.和事件:在一个随机试验中，事件C发生就意味着事件A与事件B中至少有一个发生，这时把事件C叫作事件A与事件B的 事件.记作C＝ . 2.互斥事件:在一次试验中 发生的两个事件.从集合的观点来看，事件A与事件B互斥，实际上就是A∩B＝ . 3.对立事件:在一次试验中，有两个事件 ，且这两个事件的和是 事件，称这两个事件是相互对立事件.从集合的观点来看，事件A与事件B相互对立，实际上就是A∩B＝ ，A∪B＝ . 4.概率的加法公式 (1)事件A与B是互斥事件，有P(A∪B)＝ ＋ ． 推广:如果A1，A2，…，An中的任何两个事件都互斥，就称A1，A2，…，An两两互斥.P(A1∪A2∪…∪An)＝P＋P＋…＋P. (2)一个事件A的对立事件通常记为 ，有 ． 【即时训练】 18.从装有个红球、个白球的盒中任取一个球，取到红球或白球的概率为(  ) A. B. C. D. 19.已知事件A与B是互斥事件，事件A的对立事件记为，若，，则等于(  ) A.1 B.0.9 C.0.8 D.0.7 20.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为(  ) A. B. C. D. 21.某事件，若，则______. 22.甲、乙两人各射击一次，命中目标的概率分别为0.8和0.7，则两人恰好一人命中目标的概率为_________. 23.盒子中有10个球，其中2个白球，3个红球，2个黄球，3个黑球，从中任取1球，事件A={取到的是红球}，事件B={取到的是黄球｝，事件C={取到的是黑球}，求事件D={取到的是红球、黄球或黑球}的概率. 【知识梳理内容】 考点4 用频率估计概率 1.几个相关的概念 频数:在n次重复试验中，事件A发生的次数． 频率:在n次重复试验中，事件A发生的次数m(0≤m≤n)与试验次数n的比值． 概率:当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率 总稳定在某个常数P附近，那么就把这个常数P叫作事件A发生的概率，记作P(A)． 2.概率的简单性质 (1)P(Ω)＝ ，P()＝ . (2)对于任意事件A， ≤P(A)≤ . 【即时训练】 24.试验次数较大时，事件发生的频率通常在其概率附近(  ) A.波动 B.恒等 C.递增 D.递减 25.某事件发生的频率一定在(  ) A. B. C. D. 26.掷一枚骰子，出现奇数点或偶数点的概率为(  ) A. B. C.无法确定 D. 27.统计发现200辆汽车通过某段公路时，时速在内的汽车的频率是0.3，则时速在内的汽车辆数为(  ) A.90 B.80 C.60 D.40 28.一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下，2；，3；，4；，5；，4；，2.则样本在上的频率是(  ) A.5% B.25% C.60% D.75% 29.某项试验中事件共发生次，且其频率为，则试验总次数为(  ) A. B. C. D. 30.某人做抛硬币试验，用一枚质地均匀的硬币做100次试验，发现正面朝上出现了46次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(  ) A.0.46，0.46 B.0.5，0.5 C.0.46，0.5 D.0.5，0.46 31.下列说法中，正确的是(  ) A.进行1000次随机试验，事件发生了500次，则事件发生的概率是 B.抛掷两颗骰子，点数之和为13，这是可能事件 C.若某种疾病的治愈率为，则10个病人进行治疗，一定有8个人被治愈 D.不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1 32.某同学记录了次罚球结果，其中命中次. (1)求本次记录中命中的频率； (2)若以后再罚球次，按本次频率估计，约能命中多少次. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是(  ) A. B. C. D. 2.(2025年山东省春季高考数学真题)甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是(  ) A. B. C. D. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)，则至少有2名学生相邻的概率是(  ) A. B. C. D. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是___________． 5.(2022年山东省春季高考数学真题)某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是(  ) A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 概率与统计 10.3 概率初步 【复习目标】 1.了解样本空间、随机事件、基本事件、古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质，会求简单随机事件的古典概率，会求互斥事件的概率； 2.能运用概率、统计初步知识解决简单的实际问题. 【知识梳理内容】 考点1 随机事件的概念 1.随机事件:随机试验的结果叫作随机事件，简称事件.常用英文大写字母A、B、C等表示． 2.必然事件:在一定条件下，必然会发生的事件，记为Ω. 3.不可能事件:在一定条件下，肯定不会发生的事件，记为. 4.基本事件:在实验和观察中不能再分的最简单的随机事件.换句话说，随机试验的每一种可能出现的结果看成一个基本事件． 【即时训练】 1.下列事件中，属于随机事件的是(  ) A.明天太阳从西边升起 B.从一副扑克牌中任抽一张，抽到红桃 C.掷一枚骰子，出现的点数小于 D.在与之间任取实数，所得数的绝对值不大于 【答案】B 【分析】根据随机事件的概念求解即可. 【详解】选项A:明天太阳从西边升起是不可能事件. 选项B:抽到红桃可能发生，也可能不发生，因此是随机事件. 选项C:掷一枚骰子，出现的点数小于是必然事件. 选项D:在与之间任取实数，所得数的绝对值不大于是必然事件. 故选:B. 2.从数字1，2，3中任取一个数字，样本空间为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据样本空间的概念即可得出结论. 【详解】任取一个，所有可能结果:，样本空间. 故选:A 3.若事件为必然事件，则(  ) A. B. C. D.无法确定 【答案】C 【分析】必然事件的概率为即可得解. 【详解】事件为必然事件，则. 故选:. 4.掷一枚普通骰子一次，出现点数是(  ) A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.等可能事件 【答案】C 【分析】根据不可能事件的定义判断即可. 【详解】骰子点数只能为至，不可能出现点数7，故出现点数是不可能事件． 故选:C． 5.下列叙述中，更能体现“随机试验”特点的是(  ) A.重复条件相同，结果未必相同 B.结果一定完全相同 C.没有任何可能结果 D.只能出现一个指定结果 【答案】A 【分析】根据“随机试验”的性质求解即可. 【详解】因为随机试验的结果事先不能确定，但所有可能结果可以讨论. 所以“随机试验”特点的是重复条件相同，结果未必相同. 故选:A. 【知识梳理内容】 考点2 古典概率 1.古典概型:如果一个随机试验满足条件:(1)基本事件只有有限个，(2)每个基本事件发生的可能性相同，我们把满足这样两个条件的随机试验称为古典概型． 2.古典概型的概念公式 在古典概型中，如果实验的基本事件的总数为n，那么包含m个基本事件的事件A的概率的计算公式是： P(A)＝＝. 【即时训练】 6.从标有1,2,3,4,5,6的卡片中任取一张，若已知取到的数为偶数，则该数大于的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】已知取到偶数，先缩小样本空间，再在里边找到大于3的数，进而求解. 【详解】1,2,3,4,5,6的卡片中， 偶数:2,4,6共3个；其中大于的有4,6，共2个， 则该数大于的概率为:. 故选:A 7.同时抛掷两颗质地均匀的骰子，向上一面的点数之和为9的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意结合古典概型公式即可得解. 【详解】抛掷两颗质地均匀的骰子，总的基本事件数为， 向上一面的点数之和为9的情况有，共种， 所以概率为， 故选:. 8.下列是古典概型的是(  ) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 【答案】C 【分析】依据古典概型有限性与等可能性两个条件逐一判断选项即可. 【详解】A选项，掷两枚骰子，点数之和作为样本点，则样本点有2,3…12共种结果，但这些结果不是等可能的， 例如和为2只有，和为7则有，，，，共6种， 不满足等可能性，不是古典概型，故不符合题意； B选项，取任意正整数，平方的个位数字是1的概率： 正整数无限多，基本事件无限，不满足有限性，不是古典概型，故不符合题意； C选项，从条路线中选一条，正好选中最短路线： 条路线有限，且每条路线被选中的概率相等(假设随机选择)，同时满足有限性、等可能性，是古典概型，故符合题意； D选项，抛硬币首次出现正面为止： 可能需要抛1次、2次、…理论上可能无限次，基本事件无限，不满足有限性，不是古典概型，故不符合题意. 故选:C. 9.从长度为1，2，3，4，5的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是(  ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率公式求解. 【详解】从5条线段中任取3条的所有情形为： ，共10种， 其中能构成三角形的情形有：，共3种， 则能构成三角形的概率为:， 故选:B. 10.先后拋掷两枚骰子，第一枚的点数不小于第二枚的点数的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意结合古典概型公式即可得解. 【详解】先后拋掷两枚骰子，总样本数为种， 第一枚的点数不小于第二枚的点数的情况有： 当第一枚点数为时，有； 当第一枚点数为时，有； 当第一枚点数为时，有； 当第一枚点数为时，有； 当第一枚点数为时，有 当第一枚点数为时，有， 所以共有种情况， 则概率为， 故选:. 11.从数字，，，中任取两个不同的数字组成两位数，所得数为偶数的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】从，，，中任取两个不同数字组成两位数的所有可能情况有(种)， 若这个两位数为偶数，则其个位数字为或， 当个位数字为时，十位数字可以从，，中任选一个，有种情况； 当个位数字为时，十位数字可以从，，中任选一个，有种情况， 所以所得数为偶数的情况共有(种)， 因此所得数为偶数的概率为. 故选:B. 12.甲、乙、丙三个小朋友玩剪子、包袱、锤的游戏(剪子胜包袱、包袱胜锤、锤胜剪子)，若他们三人随机伸手一次，则甲获胜的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先计算三人出手的总等可能结果数，再计算甲获胜包含的结果数，然后利用古典概型的概率公式求得概率. 【详解】甲、乙、丙每人有剪子、包袱、锤3种选择，因此总基本事件数为种， 甲获胜需甲的手势同时击败乙、丙的手势： 甲出剪子时，乙、丙需同时出包袱，共1种情况； 甲出包袱时，乙、丙需同时出锤，共1种情况； 甲出锤时，乙、丙需同时出剪子，共1种情况； 因此甲获胜包含的基本事件共3种， 所以甲获胜的概率为. 故选:D. 13.袋中有3个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出2个球，则第一次取到白球且第二次取到黑球的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式求解. 【详解】袋中一共有球个，其中白球有个， 则第一次取到白球的概率， 因为是不放回取球，第一次取走一个白球后，袋中还剩下个球，其中黑球有个， 所以第二次取到黑球的概率， 所以，第一次取到白球且第二次取到黑球的概率. 故选:A. 14.已知有6个大小和质地完全相同的小球，先将标号分别为1,2,3,4的四个小球放入甲袋子中，再将标号分别为5,6的两个小球放入乙袋子中．现从甲袋和乙袋中各任取一个小球，则取出的两小球标号之和不小于8的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知甲袋子中有1,2,3,4的四个小球， 乙袋子中有5,6的两个小球， 所以现从甲袋和乙袋中各任取一个小球共有种取法， 取出的两小球标号之和不小于8有共种， 所以取出的两小球标号之和不小于8的概率为， 故选:D. 15.某商场举办迎亚运抽奖活动，在一个不透明的箱子内放入2个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余都相同.随机摸出一个球，摸到红球即为中奖.若中奖的概率为60%，则红球有(  ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率问题即可求解. 【详解】由题意得，一个不透明的箱子内有2个白球和若干个红球，摸到红球的概率为， 设红球为个，则，解得，即红球有个. 故选:A. 16.一个工具柜中有4把同型号扳手，其中1把有标记，随机取出2把. (1)列出是否取到有标记扳手的两类结果； (2)求至少取到1把有标记扳手的概率. 【答案】(1)取到有标记、未取到有标记 (2) 【分析】(1)先区分两类互斥结果，再列举全部基本事件； (2)利用古典概型求概率即可. 【详解】(1)两类结果:①取到有标记的扳手；②没有取到有标记的扳手. (2)记有标记扳手为，其余三把扳手记为. 取出2把扳手所有的基本事件:，一共种. “至少取到1把有标记扳手”包含的事件:，共种. 所求概率. 故至少取到1把有标记扳手的概率为. 17.先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，求 (1)事件的概率； (2)事件直线与圆相切的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据古典概型公式即可得解. (2)根据直线与圆相切得出，利用古典概型公式即可得解. 【详解】(1)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，包含的基本事件有个． 事件共4个， 所以. (2)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，包含的基本事件有个， 圆，圆心坐标为，半径为， ∵直线与圆相切， ，整理得：． 由于，共2个 . 【知识梳理内容】 考点3 互斥事件及其概率 1.和事件:在一个随机试验中，事件C发生就意味着事件A与事件B中至少有一个发生，这时把事件C叫作事件A与事件B的和事件.记作C＝A∪B. 2.互斥事件:在一次试验中不可能同时发生的两个事件.从集合的观点来看，事件A与事件B互斥，实际上就是A∩B＝. 3.对立事件:在一次试验中，有两个事件互斥，且这两个事件的和是必然事件，称这两个事件是相互对立事件.从集合的观点来看，事件A与事件B相互对立，实际上就是A∩B＝，A∪B＝Ω. 4.概率的加法公式 (1)事件A与B是互斥事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 推广:如果A1，A2，…，An中的任何两个事件都互斥，就称A1，A2，…，An两两互斥.P(A1∪A2∪…∪An)＝P＋P＋…＋P. (2)一个事件A的对立事件通常记为，有． 【即时训练】 18.从装有个红球、个白球的盒中任取一个球，取到红球或白球的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据古典概型与互斥事件的概率公式求解. 【详解】盒中一共有个球，其中红球有个，白球有个， 则取到红球的概率为，取到白球的概率为， “取到红球”和“取到白球”是互斥事件， 所以取到红球或白球的概率为. 故选:B. 19.已知事件A与B是互斥事件，事件A的对立事件记为，若，，则等于(  ) A.1 B.0.9 C.0.8 D.0.7 【答案】B 【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式求解. 【详解】因为，所以， 因为事件A与B是互斥事件， 所以. 故选:B. 20.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选:C. 21.某事件，若，则______. 【答案】 【分析】根据对立事件的概率和为1求解即可. 【详解】某事件，若，则. 故答案为:. 22.甲、乙两人各射击一次，命中目标的概率分别为0.8和0.7，则两人恰好一人命中目标的概率为_________. 【答案】0.38/ 【分析】根据独立事件的概率求解即可. 【详解】甲、乙两人各射击一次，命中目标的概率分别为0.8和0.7， 则两人恰好一人命中目标的概率为. 故答案为:. 23.盒子中有10个球，其中2个白球，3个红球，2个黄球，3个黑球，从中任取1球，事件A={取到的是红球}，事件B={取到的是黄球｝，事件C={取到的是黑球}，求事件D={取到的是红球、黄球或黑球}的概率. 【答案】 【分析】根据互斥事件以及古典概率公式求解即可. 【详解】总球数个，事件D={取到红球或黄球或黑球}=， 因为两两互斥，所以. 【知识梳理内容】 考点4 用频率估计概率 1.几个相关的概念 频数:在n次重复试验中，事件A发生的次数． 频率:在n次重复试验中，事件A发生的次数m(0≤m≤n)与试验次数n的比值． 概率:当试验次数充分大时，如果事件A发生的频率总稳定在某个常数P附近，那么就把这个常数P叫作事件A发生的概率，记作P(A)． 2.概率的简单性质 (1)P(Ω)＝1，P()＝0. (2)对于任意事件A，0≤P(A)≤1. 【即时训练】 24.试验次数较大时，事件发生的频率通常在其概率附近(  ) A.波动 B.恒等 C.递增 D.递减 【答案】A 【分析】频率与概率的性质求解即可. 【详解】试验次数较大时，事件发生的频率通常在其概率附近波动. 故选:A. 25.某事件发生的频率一定在(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据频率的概念求解即可. 【详解】某事件发生的频率一定在. 故选:B. 26.掷一枚骰子，出现奇数点或偶数点的概率为(  ) A. B. C.无法确定 D. 【答案】D 【分析】根据必然事件的概率求解即可. 【详解】骰子点数，不是奇数就是偶数，事件一定发生，概率. 故选:D 27.统计发现200辆汽车通过某段公路时，时速在内的汽车的频率是0.3，则时速在内的汽车辆数为(  ) A.90 B.80 C.60 D.40 【答案】C 【分析】根据样本的频率求解即可. 【详解】由时速在内的汽车的频率是0.3， 而共有200辆车通过该路段， 所以估计时速在内的汽车有辆. 故选:C. 28.一个容量为20的样本数据，分组后组距与频数如下，2；，3；，4；，5；，4；，2.则样本在上的频率是(  ) A.5% B.25% C.60% D.75% 【答案】B 【分析】根据频率的概念即可求解. 【详解】由题意可知， 样本在上的频数为，容量为20， 则频率为， 故选:B 29.某项试验中事件共发生次，且其频率为，则试验总次数为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据频率的公式求解． 【详解】设试验总次数为，则，解得. 故选:A. 30.某人做抛硬币试验，用一枚质地均匀的硬币做100次试验，发现正面朝上出现了46次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(  ) A.0.46，0.46 B.0.5，0.5 C.0.46，0.5 D.0.5，0.46 【答案】C 【分析】根据频率，概率的概念判断即可. 【详解】正面朝上的频率为， 概率是一个确定的值，硬币只有两个面，所以正面朝上的概率为. 故选:C 31.下列说法中，正确的是(  ) A.进行1000次随机试验，事件发生了500次，则事件发生的概率是 B.抛掷两颗骰子，点数之和为13，这是可能事件 C.若某种疾病的治愈率为，则10个病人进行治疗，一定有8个人被治愈 D.不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1 【答案】D 【分析】利用频率与概率的关系、概率的定义与事件的定义，逐一分析判断即可得解. 【详解】A选项:进行1000次试验，事件发生500次， 这只能说明事件的频率为， 而概率是理论值，频率不等于概率，故A错误， B选项:抛掷两颗骰子，点数之和的最大值为， 点数和为13是不可能发生的，属于不可能事件，而非可能事件，故B错误， C选项:治愈率为是一个统计概率，意味着每个病人被治愈的可能性为， 对于10个病人，这是一个随机事件， 一定有8个人被治愈的说法过于绝对，实际被治愈的人数是一个随机变量，故C错误， D选项:根据概率的定义，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故D正确. 故选:D. 32.某同学记录了次罚球结果，其中命中次. (1)求本次记录中命中的频率； (2)若以后再罚球次，按本次频率估计，约能命中多少次. 【答案】(1) (2)约次 【分析】(1)利用频率的公式计算； (2)用频率估计概率即可. 【详解】(1)命中频数为52，总次数80，频率. (2)用频率0.65估计，(次). 1.(2026年山东省春季高考数学真题)现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【详解】所有可能的分配方式共有6种情形，如下表： A车间 甲乙 甲丙 乙丙 甲 乙 丙 B车间 丙 乙 甲 乙丙 甲丙 甲乙 其中，甲被分到A车间的情形有3种，如下表： A车间 甲乙 甲丙 甲 B车间 丙 乙 乙丙 所以甲被分到A车间的概率是， 故选:C． 2.(2025年山东省春季高考数学真题)甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】写出基本事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】甲乙两人随机拿出一张比较大小共有 种可能结果；满足甲不小于乙的有种可能结果， 所以甲不小于乙的概率是. 故选:C. 3.(2024年山东省春季高考数学真题)某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)，则至少有2名学生相邻的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据排列的间接法和插空法易得答案. 【详解】教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)站在一排照相共有种， 教师甲位于教师乙的左边(可相邻，可不相邻)至少有2名学生相邻 站在一排照相共有种， 所以至少有2名学生相邻的概率， 故选:D. 4.(2023年山东省春季高考数学真题)某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是___________． 【答案】 【分析】根据古典概型的基本公式求概率即可. 【详解】甲乙两种商品被快递员随机寄存到三个快递投放点，共有个基本事件，随机事件“甲、乙两种商品都被寄存在投放点””的基本事件个数为， 所以概率. 故答案为:. 5.(2022年山东省春季高考数学真题)某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】用古典概型的概率计算公式直接计算即可. 【详解】乙两名同学从这三项活动中任选一项，一共有种选法, 其中恰好都选择舞蹈的选法有种，所以恰好都选择舞蹈的概率是. 故选:B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $