4.4同角三角函数的基本关系（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块上册》【上好课】

高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 第四章 三角函数 4.4同角三角函数的基本关系 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节《4.4同角三角函数的基本关系》是第四章三角函数的核心基础内容，位于任意角三角函数定义之后、三角恒等变换之前，起到承上启下的关键作用。学生此前已掌握任意角正弦、余弦、正切的定义，本节课通过推导同角三角函数的平方关系与商数关系，建立同一个角不同三角函数值之间的内在联系。 五、学情分析 学生已经掌握任意角的概念、弧度制、三角函数的定义，能够根据定义求解简单三角函数值，具备本节课学习的基础铺垫；能力层面，学生具备基础的代数运算、公式推导和几何分析能力，但逻辑思维的严谨性不足，对公式的适用条件、变形应用、分类讨论思想掌握薄弱。 六、教学目标 知识层面：推导并记忆同角三角函数的平方关系与商数关系，掌握两个基本关系式及其常见变形。 能力层面：根据一个三角函数值求解其余三角函数值；能根据条件完成三角函数化简､简单恒等式证明。 核心素养层面：通过同角三角恒等变换的运算练习，培养逻辑推理与数学运算的能力，提升数学核心素养。 七、教学重点 1.同角三角函数平方关系、商数关系的推导、记忆与理解； 2.利用基本关系式进行三角函数求值、式子化简、简单恒等式证明。 八、教学难点 1.理解公式中“同角”的广义含义，掌握商数关系的定义域限制条件； 2.求值问题中根据角所在象限判断三角函数符号，熟练运用分类讨论思想解题。 九、教学方法 1.情境导入法：结合扶梯生活情境、斜面受力物理情境创设问题，激发学生探究兴趣，引出本节课知识点； 2.启发探究法：通过设问、分层引导，带领学生自主推导公式，理解公式成立条件，突破认知误区； 3.讲练结合法：精讲典型例题，分层设置课堂练习、学以致用习题，即时巩固知识点，规范解题步骤； 4.归纳总结法：梳理公式、解题技巧、易错点，帮助学生构建系统的知识框架，规避常见错误。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 复习回顾 我们知道，对于任意角 的正弦函数、余弦函数和正切函数，都是角 的三角函数。 正弦函数 余弦函数 正切函数 电动扶梯情境 走进商场，乘坐自动扶梯上楼，扶梯与水平面形成一个倾斜角。 设某商场自动扶梯与水平面的夹角为 ❓已知 ，求扶梯的水平跨度 (即的值)，你能做到吗？ 已知： ，求: 物理情境 物体静止在倾角为 的斜面上，重力 分解为沿斜面分力 和垂直斜面分力 沿斜面方向： 垂直斜面方向： 勾股定理: 通过回顾旧知，帮助学生复习任意角三角函数的定义，为本节课公式推导奠定知识基础。结合生活扶梯情境与物理斜面受力专业情境创设真实问题，将抽象的三角函数关系具象化，有效激发学生的探究兴趣与课堂参与度。 新知讲授 推导 对于任意角 的正弦函数 、余弦函数 和正切函数 ，这些三角函数之间存在怎样的关系呢？ 由勾股定理 思考：对所有的 ，这个公式都成立吗？ 由 如图， 的终边与坐标轴重合，交点为、 这时，成立。 除此之外， 的终边无论与哪条坐标轴重合， 都成立。 所以，当角 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立 ✔。 继续推导正切： 条件： 即 同角三角函数的基本关系 1.平方关系 同一个角 的正弦、余弦平方和恒等于 1 2.商数关系 同一个角 的正弦与余弦之商等于正切 概念理解 “同角” 是基本关系成立的前提，揭示同角不同名三角函数之间的关系；公式中的角可以是数值、变量、单项式或多项式表示的角。 “同角” 应作广义理解，与角的表达形式无关，例如 、 恒成立。 是 的简写，不能写成，前者是的正弦的平方，后者是 的正弦，两者不同。 变式挑战：同角三角函数基本关系式的变形 1.平方关系 的变形 注意： 不能同时取，它是由 角 终边所在象限确定。 2. 商数关系 的变形 新知速记 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 采用启发式探究教学，引导学生依托三角函数定义与勾股定理自主推导公式，变被动听讲为主动探究，培养学生逻辑推理能力。通过对终边在坐标轴、各象限的特殊情况逐一验证，让学生理解公式的普适性，明确平方关系、商数关系的成立条件与定义域限制。针对“同角概念”“平方书写格式”等易错点进行专项辨析，突破学生认知误区。通过公式变式拓展，丰富学生知识储备，提升学生对公式的灵活运用能力，构建完整的公式知识体系。 案例分析 例 1已知 , 且角 α 是第二象限角，求 和. 解：因为 α 是第二象限角，所以 例 2已知 , 且角 α 是第四象限角，求 和 解：由题设及同角三角函数基本关系，得方程组 有， 将其代入 得 ，解得 。 因为是第四象限角，，所以 例 3 化简: . 解：因为 所以 例 4 求证: . 解： 所以 . 例 5已知 求 解一: 代数式上下同除以, 代入 ： 解二: 由 , 得 , 即。 精选梯度化典型例题，覆盖本节课核心考点：知一求二、三角化简、恒等式证明、齐次式求值，题型全面、层层递进。教师精讲示范，规范解题步骤、书写格式与解题思路，帮助学生建立标准化解题思维。同时针对每类题型总结解题技巧和易错点，针对性突破本节课教学难点，让学生掌握不同题型的通用解题方法，实现从“记公式”到“用公式”的能力转化。 学以致用 1.已知 ，且 为第二象限角，求 的值。 解： 是第二象限角， 2.判断正误 (1) 对任意角 ， 恒成立。（✓） (2) 对任意角 ， 恒成立。（✓） 注：原文答案错误，平方关系对任意角恒成立 (3) 。（✓） (4) 对任意角 ， 恒成立。（✗） 3.已知 ，，则 （A） 解： 为第一象限角， 4.已知 ，求 的值。 解：分子分母同除 ： 代入 ： 设置判断、选择、计算等多样化基础题型，针对性巩固新知，快速检验学生对公式概念、适用条件、基础应用的掌握情况。通过即时训练、即时纠错，帮助学生排查基础漏洞，加深对公式内涵和符号规则的理解。题目难度贴合基础学情，帮助学困生夯实基础，树立学习信心，为后续综合性课堂练习做好铺垫。 课堂练习 1.已知 ，且 为第二象限角，求 。 解： 第二象限， 2.已知 ，且 为第三象限角，求 。 解： 第三象限， 3.已知 ，且 为第一象限角，求 。 解：由题意得方程组： ，即 代入平方关系： 化简得： 第一象限，，故 4.化简 (1) ； (2) ； (3) ，其中角 是第二象限角。 解：(1) (2) (3)， 第二象限， 故原式 5.已知 ，求：(1) ； (2) . 解：(1) 代数式上下同除以 所以 (2) 上下同除 ： 代入 ： 6.求证： 解： 故 ， 采用分层梯度练习，兼顾全体学生学情。基础题型强化求值运算能力，提升题型侧重公式变形、综合化简与恒等证明，锻炼学生知识迁移与综合运用能力。学生独立作答、教师巡视答疑，既能训练学生独立解题能力，又能精准捕捉课堂共性问题与个性问题，实现当堂训练、当堂巩固、当堂纠错，有效落实本节课教学重点。 课堂小结 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 采用师生共同复盘的方式，梳理本节课核心公式、适用条件、核心题型与解题思想，帮助学生系统化梳理零散知识点，构建完整的知识框架。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 同角三角函数的基本关系 平方关系： 商数关系： 本节课板书简洁精炼、重点突出、结构清晰，将核心公式、公式变式、必考题型、易错要点分区呈现，条理分明。能够直观展现本节课知识主干，方便学生跟随课堂思路记笔记、抓重点。 11、 教学反思 本节课整体教学流程流畅，贴合1课时教学节奏，通过情境导入有效调动了学生学习积极性，学生能够掌握同角三角函数的两个基本公式及基础应用，基本达成预设教学目标。公式推导过程以学生探究为主，有效培养了学生的逻辑推理能力，讲练结合的模式也大幅提升了课堂知识落实效果。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $