第五章 磁场 章末小结（举一反三·讲义） 物理沪科版选择性必修第二册

第五章 磁场 章末小结 【新教材沪科版】 安培力作用下的平衡问题 安培力作用下的装置：磁电式电流表、简易电动机、电磁炮、电流传感器、常导磁吸式、电磁弹射技术。 洛伦兹力作用下的动态圆问题、多解问题、周期性问题 连续场、叠加场问题 带电粒子在磁场中三维的运动情况 带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况： (1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 (2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。 模块二 知识精讲 情景导入 安培力作用主要通过受力平衡进行考查，洛伦兹力作用主要通过匀速圆周运动及匀速直线运动进行考查。 知识归纳 【知识点1 安培力作用下的临界问题】 一、共点力的平衡条件及应用 1．共点力的平衡 (1)平衡状态：物体 或做匀速直线运动． (2)平衡条件：F合＝0或Fx＝0，Fy＝0. (3)常用推论 ①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反． ②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段 组成一个封闭三角形． 2．处理共点力平衡问题的基本思路 确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论． 求解共点力平衡问题的常用方法： （1）．合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡． （2）． 法：Fx合＝0，Fy合＝0，常用于多力平衡． （3）．矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形． 二、动态平衡的处理方法 1．图解法（三力平衡，既有最稳定的，又有次稳定的） 2．解析法 三、安培力作用下的平衡 1．安培力作用下导体的平衡模型中，常见的由倾斜导轨、导体棒、电源和电阻等组成。这类题目的难点是题图具有立体性，各力的方向不易确定。因此解题时一定要先把立体图转化成 图，通过受力分析建立各力的平衡关系，如图所示。 2．安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，解题的关键是画出受力分析示意图。 四、安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后根据牛顿第二定律求出加速度。 【例1】如图所示，用三条细线悬挂的水平圆形线圈共有n匝，线圈由粗细均匀、单位长度的质量为2.5 g 的导线绕制而成，三条细线呈对称分布，稳定时线圈平面水平，在线圈正下方放有一个圆柱形条形磁铁，磁铁中轴线OO′垂直于线圈平面且通过其圆心O，测得线圈的导线所在处磁感应强度大小为0.5 T，方向与竖直线成30°角，要使三条细线上的张力为零，线圈中通过的电流至少为(　　) A. 0.1 A　　　　　　　　　　 B. 0.2 A C. 0.05 A D. 0.01 A 【变式1-1】如图所示，两平行光滑金属导轨CD、EF间距为L，与电动势为E0的电源相连，质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置构成闭合回路，回路平面与水平面成θ角，回路其余电阻不计。为使ab棒静止，需在空间施加的匀强磁场磁感应强度的最小值及其方向分别为(　　) A.，水平向右 B.，垂直于回路平面向上 C.，竖直向下 D.，垂直于回路平面向下 【变式1-2】如图所示，在倾角为θ＝37°的斜面上，固定一宽为L＝1.0 m的平行金属导轨。现在导轨上垂直导轨放置一质量m＝0.4 kg、电阻R0＝2.0 Ω、长为1.0 m的金属棒ab，它与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝2 T的匀强磁场中。导轨所接电源的电动势为E＝12 V，内阻r＝1.0 Ω，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，滑动变阻器的阻值符合要求，其他电阻不计，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。现要保持金属棒在导轨上静止不动，求： (1)金属棒所受安培力的取值范围； (2)滑动变阻器接入电路中的阻值范围。 【变式1-3】如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽为L。匀强磁场磁感应强度为B。金属杆质量为m，水平放在导轨上。当回路总电流为I1时，金属杆正好能静止。求： (1)B至少多大？这时B的方向如何？ (2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能使金属杆保持静止？ 【知识点2 安培力作用下的联系实际问题】 1．安培力做功的特点和实质 (1)安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。 (2)安培力做功的实质是 转化 ①安培力做正功时将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能。 ②安培力做负功时将其他形式的能转化为电能后储存起来或转化为其他形式的能。 2．主要装置 磁电式电流表、简易电动机、电磁炮、电流传感器、常导磁吸式、电磁弹射技术。 【例2】如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度，它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为L，处于匀强磁场内，匀强磁场的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，调节砝码使两臂达到平衡，然后使电流反向，大小不变，这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再次达到新的平衡。 (1)若线圈串联一个电阻R连接到电压为U的稳定电源上，已知线圈电阻为r，当线圈中通过电流I时，请用题给的物理量符号表示出电阻R的大小。 (2)请用重力加速度g和n、m、L、I导出B的表达式。 【变式2-1】电流天平是一种测量磁场力的装置，如图所示，两相距很近的通电平行线圈Ⅰ和Ⅱ，线圈Ⅰ固定，线圈Ⅱ置于天平托盘上。当两线圈均无电流通过时，天平示数恰好为零。下列说法正确的是(　 ) A．当天平示数为负时，两线圈电流方向相同 B．当天平示数为正时，两线圈电流方向相同 C．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力大于线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的作用力 D．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力与托盘对线圈Ⅱ的作用力是一对相互作用力 【变式2-2】如图所示为一种新型的电磁船的俯视图，MN、PQ为固定在船上的竖直平行金属板，直流电源接在M、P之间，船上装有产生强磁场的装置，可在两平行金属板间海水中的虚线框内产生强磁场。闭合开关S后，电流通过海水从N流向Q，若船受到海水的反冲向左运动，虚线框中的磁场方向应该(　 ) A．竖直向下 B．竖直向上 C．水平向左 D．水平向右 【变式2-3】目前全球已经开始全面注射新冠疫苗,全球经济有望在今年恢复。科学家研发出一种无需针头就能注射药物的新方法,可用一种高压喷射器将药物透过皮肤注入体内。如图所示是竖直放置的高压喷射器的示意图,已知高压喷射器泵体是高为h的长方体槽,槽左、右正对的两壁是间距为L的导电金属板,两金属板间加上电压U,槽的前、后两绝缘壁间的距离为d,两绝缘壁间有沿水平方向的磁感应强度大小为B的匀强磁场,槽的下部与其中的药液接触,上部与竖直的绝缘细管相连。己知药液的电阻率为、密度为,重力加速度为g,喷射器正常工作时,药液可以被压到细管中,则下列说法正确的是( ) A.槽的左壁应该接电源负极,右壁接电源正极 B.电压以及泵体其他参数一定时,槽的长度L越长,药液受到的安培力越大 C.电压以及泵体其他参数一定时,槽的前、后绝缘壁间的距离d越大,药液受到的安培力越大 D.高压喷射器正常工作时, 【知识点3 洛伦兹力作用下的动态圆问题】 1．“平移圆” 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 2．“旋转圆” 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 3．“放缩圆” 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 4．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。 5．带电粒子的发散 如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 【例3】(多选)如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1 cm，中点O与S间的距离d＝4.55 cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4 T。电子质量m＝9.1×10－31 kg，电量e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力。电子源发射速度v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则(　　) A.θ＝90°时，l＝9.1 cm B.θ＝60°时，l＝9.1 cm C.θ＝45°时，l＝4.55 cm D.θ＝30°时，l＝4.55 cm 【变式3-1】(多选)如图所示，在荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q，质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　) A.粒子能打到荧光屏上的区域长度为2d B.能打到荧光屏上最左侧的粒子所用的时间为 C.粒子从发射到达到荧光屏上的最长时间为 D.同一时刻发射的粒子打到荧光屏上的最大时间差 【变式3-2】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为(　　) A.∶2 B.∶1 C.∶1 D．3∶ 【变式3-3】如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则等于(　　) A. B. C．2 D．3 【知识点4 洛伦兹力作用下的多解问题】 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的周期性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。 1．找出多解的原因。 2．画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 【例4】(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　 ) A．使粒子的速度v＜ B．使粒子的速度v＞ C．使粒子的速度v＞ D．使粒子的速度＜v＜ 【变式4-1】(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　 ) A. B. C. D. 【变式4-2】(多选)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是(　 ) A. B. C. D. 【变式4-3】如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B，顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、带电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则粒子能通过B点时发射的速率v0为(　 ) A. B. C. D. 【知识点5 连续场问题】 1．组合场（连续场）：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出带电粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的 (包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3．常见带电粒子的运动及解题方法 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心 的特点，进一步寻找边角关系。 4．先电场后磁场 先电场后磁场的几种常见情形 (1)带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 (2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 　 5．先磁场后电场 先磁场后电场的几种常见情形 常见情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图 在电场中的运动性质 加速或减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 6．带电粒子在交变电、磁场中的运动 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 【例5】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度v0沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为θ，且tan θ＝，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求： (1)粒子第一次经过N点的速度v； (2)粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量I； (3)电场强度E的大小； (4)粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔Δt。 【变式5-1】(多选)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点来定位的，蜜蜂飞行时就是根据这三个位置关系呈“8”字形运动来告诉同伴蜜源的方位。某兴趣小组用带电粒子在如图所示的电场和磁场中模拟蜜蜂的“8”字形运动，即在y＞0的空间中和y＜0的空间内同时存在着大小相等，方向相反的匀强电场，上、下电场以x轴为分界线，在y轴左侧和图中竖直虚线MN右侧均无电场，但有方向垂直纸面向里和向外的匀强磁场，MN与y轴的距离为2d。一重力不计的带负电荷的粒子从y轴上的P(0，d)点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，经过一段时间后，粒子又以相同的速度回到P点，则下列说法正确的是(　 ) A．电场与磁场的比值为v0 B．电场与磁场的比值为2v0 C．带电粒子运动一个周期的时间为＋ D．带电粒子运动一个周期的时间为＋ 【变式5-2】如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求： (1)电场强度E的大小； (2)粒子到达a点时速度的大小和方向； (3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。 【变式5-3】CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则(　 ) A．M处的电势高于N处的电势 B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移 C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外 D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移 【知识点6 叠加场问题】 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 【例6】如图所示，质量为m＝1 kg、电荷量为q＝5×10－2 C的带正电的小滑块，从半径为R＝0.4 m的固定光滑绝缘圆弧轨道上由静止自A端滑下。整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中。已知E＝100 V/m，方向水平向右，B＝1 T，方向垂直纸面向里，g取10 m/s2，求： (1)滑块到达C点时的速度； (2)在C点时滑块所受洛伦兹力； (3)在C点滑块对轨道的压力。 【变式6-1】(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场(场强为E)和匀强磁场(磁感应强度为B)的复合场中，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则(　　) A.小球可能带正电 B.小球做匀速圆周运动的半径r＝ C.小球做匀速圆周运动的周期T＝ D.若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加 【变式6-2】如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度为E，方向竖直向下；该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A．液滴带正电 B．液滴比荷＝ C．液滴沿顺时针方向运动 D．液滴运动速度大小v＝ 【变式6-3】如图，在竖直xOy平面内有一个半径为R的圆形区域与x轴相切于O点，在圆形区域外(包括圆形边界)的空间存在垂直纸面向外的匀强磁场，xOy平面内有沿y轴负方向的匀强电场。现从坐标原点O以速率v向第一象限内的不同方向发射相同的带电小球，小球的质量为m、电荷量为－q(q＞0)，所有小球均在磁场中做匀速圆周运动，且都能沿平行于x轴的方向进入圆形区域并再次通过O点，不计小球间的相互作用，重力加速度为g，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)沿与x轴正向成60°角发射的小球从O点开始运动到再次通过O点经历的时间。 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示，两根长为L的平行直导线P、Q固定在水平面上，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。当导线中通入图中所示方向相反、大小相等的电流I时，两导线所受安培力均为零。现将导线Q中的电流反向，大小不变，导线P受到的安培力为(　 ) A．BIL B．2BIL C．3BIL D．4BIL 2．在光滑桌面上将长为πL的软导线两端固定，固定点的距离为2L，导线通有电流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为(　 ) A．BIL B．2BIL C．πBIL D．2πBIL 3．如图所示，在固定放置的条形磁铁S极附近悬挂一个金属线圈，线圈与水平磁铁位于同一竖直平面内，当在线圈中通入沿图示方向流动的电流时，将会看到(　 ) A．线圈向左平移 B．线圈向右平移 C．从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁 D．从上往下看，线圈逆时针转动，同时靠近磁铁 4．如图所示，两个完全相同、互相垂直的导体圆环Q、P（Q平行纸面，P垂直纸面）中间用绝缘细线连接，通过另一绝缘细线悬挂在天花板下，当Q有垂直纸面往里看顺时针方向的电流、同时P有从左往右看顺时针方向的电流时，关于两线圈的转动（从上向下看）以及细线中拉力的变化，下列说法中正确的（　　）。 A．Q逆时针转动，P顺时针转动，Q、P间细线拉力变小 B．Q逆时针转动，P顺时针转动，Q、P间细线拉力变大 C．Q顺时针转动，P逆时针转动，Q、P间细线拉力变小 D．Q顺时针转动，P逆时针转动，Q、P间细线拉力变大 5．如图所示，把一重力不计的通电直导线水平放在蹄形磁铁两极的正上方，导线可以自由转动，当导线通入图示方向电流I时，导线的运动情况是(从上往下看)(　　) A.顺时针方向转动，同时下降 B.顺时针方向转动，同时上升 C.逆时针方向转动，同时下降 D.逆时针方向转动，同时上升 6．一直导线平行于通电螺线管的轴线放置在螺线管的上方，如图所示，如果直导线可以自由地运动且通以由a到b的电流，则关于导线ab受磁场力后的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．从上向下看顺时针转动并靠近螺线管 B．从上向下看顺时针转动并远离螺线管 C．从上向下看逆时针转动并远离螺线管 D．从上向下看逆时针转动并靠近螺线管 7．如图所示为一种新型的电磁船的俯视图，MN、PQ为固定在船上的竖直平行金属板，直流电源接在M、P之间，船上装有产生强磁场的装置，可在两平行金属板间海水中的虚线框内产生强磁场。闭合开关S后，电流通过海水从N流向Q，若船受到海水的反冲向左运动，虚线框中的磁场方向应该(　 ) A．竖直向下 B．竖直向上 C．水平向左 D．水平向右 8．依据如图所示的“处在磁场中的通电金属棒在导轨上运动”这一实验现象及相应规律设计的家用电器是(　　) A.电热水壶 B.电饭锅 C.电风扇 D.电熨斗 9．如图所示为电磁炮的简化原理示意图，它由两条水平放置的平行光滑长直轨道组成。轨道间放置一个导体滑块作为弹头。当电流从一条轨道流入，经弹头从另一条轨道流回时，在两轨道间产生磁场，弹头就在安培力推动下以很大的速度射出去。不计空气阻力，将该过程中安培力近似处理为恒力，为了使弹头获得更大的速度，可适当( ) A.减小平行轨道间距 B.增大轨道中的电流 C.缩短轨道的长度 D.增大弹头的质量 10．(多选)如图所示中装置可演示磁场对通电导线的作用。电磁铁上下两磁极之间某一水平面内固定两条平行金属导轨，L是置于导轨上并与导轨垂直的金属杆。当电磁铁线圈两端a、b和导轨两端e、f分别接到两个不同的直流电源上时，L便在导轨上滑动。下列说法正确的是(　 ) A．若a接正极，b接负极，e接正极，f接负极，则L向右滑动 B．若a接正极，b接负极，e接负极，f接正极，则L向右滑动 C．若a接负极，b接正极，e接正极，f接负极，则L向左滑动 D．若a接负极，b接正极，e接负极，f接正极，则L向左滑动 11．[多选]如图所示，在两磁极之间放一培养皿，磁感线垂直培养皿，皿内侧壁有环状电极A，中心有电极K，皿内装有电解液，若不考虑电解液和培养皿之间的阻力，当通以如图所示电流时，则(　　) A．电解液将顺时针旋转流动 B．电解液静止不动 C．若将滑动变阻器的滑片向左移动，则电解液旋转流动将变慢 D．若将磁场的方向和电流的方向均变为和原来相反，则电解液转动方向不变 12．如图所示，太极图由“阴鱼”和“阳鱼”构成，其边界是以O为圆心R为半径的圆，内部由以O1和O2为圆心等半径的两个半圆分割成上下两部分，其中上部分为“阳鱼”，下部分为“阴鱼”，“阳鱼”中有垂直纸面向外的匀强磁场。Q为太极图边缘上一点，且O1、O2、O、Q四点共线。一电量为＋q，质量为m的带电粒子，在Q点以大小v的速度指向圆心O射入“阳鱼”区域，若带电粒子在“太极图”运动过程中没有进入“阴鱼”区域，带电粒子重力不计。则磁感应强度的最小值为(　 ) A. B. C. D. 13．如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是(　 ) A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶ C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1 D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2 14．如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1∶t2为(　 ) A．3∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．2∶1 15．我国新托卡马克装置——中国环流器二号M装置由中核集团核工业西南物理研究院承建，托卡马克装置意在通过可控热核聚变的方式，给人类带来几乎无限的清洁能源，俗称“人造太阳”。要实现可控热核聚变，装置中必须有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是通过磁约束，使之长时间束缚在某个有限空间内。如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，磁感应强度大小为B，中空区域内带电粒子的质量为m，电荷量为q，具有各个方向的速度。欲保证带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为(　 ) A. B. C. D. 16．如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是(　 ) A．电子的运动轨迹为PENCMDP B．B1＝2B2 C．电子从射入磁场到回到P点用时为 D．B1＝4B2 17．(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现都没有粒子从OC边界射出。则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 18．(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(　 ) A．在电场中的加速度之比为1∶1 B．在磁场中运动的半径之比为2∶1 C．在磁场中转过的角度之比为1∶2 D．离开电场区域时的动能之比为1∶3 19．(多选)如图所示，为研究某种射线装置的示意图。射线源发出的射线以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的中央O点，出现一个亮点。在板间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场后，射线在板间做半径为r的圆周运动，然后打在荧光屏的P点。若在板间再加上一个方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，亮点又恰好回到O点，由此可知该射线源发射的射线粒子(　 ) A．带正电　　　　　　　　　 B．初速度为v＝ C．比荷为＝ D．比荷为＝ 20．(多选)如图所示，一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R(比细管的内径大得多)，在圆管的最低点有一个直径略小于细管内径的带正电小球处于静止状态，小球的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g。空间存在一磁感应强度大小未知(不为零)，方向垂直于环形细圆管所在平面且向里的匀强磁场。某时刻，给小球一方向水平向右、大小为v0＝的初速度，则以下判断正确的是(　 ) A．无论磁感应强度大小如何，获得初速度后的瞬间，小球在最低点一定受到管壁的弹力作用 B．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球在最高点一定受到管壁的弹力作用 C．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球到达最高点时的速度大小都相同 D．小球在从环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中，水平方向分速度的大小一直减小 21．(多选)某实验小组用图甲所示装置研究电子在平行金属板间的运动。将放射源P靠近速度选择器，速度选择器中磁感应强度为B，电场强度为E，P能沿水平方向发出不同速率的电子，某速率的电子能沿直线通过速度选择器，再沿平行金属板A、B的中轴线O1O2射入板间。已知平行金属板长为L、间距为d，两板间加有图乙所示的交变电压，电子的电荷量为e，质量为m(电子重力及相互间作用力忽略不计)。以下说法中正确的有(　 ) A．沿直线穿过速度选择器的电子的速率为 B．只增大速度选择器中的电场强度E，沿中轴线射入的电子穿过A、C板的时间变长 C．若t＝时刻进入A、C板间的电子恰能水平飞出，则飞出方向可能沿O1O2 D．若t＝0时刻进入A、C板间的电子恰能水平飞出，则T＝(n＝1,2,3，…) 22．如图所示，甲是回旋加速器，乙是磁流体发电机，丙是速度选择器，丁是霍尔元件，下列说法正确的是(　　) A.甲图要增大粒子的最大动能，可增加电压U B.乙图可判断出A极板是发电机的负极 C.丙图可以判断出带电粒子的电性，粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是v＝ D.丁图中若载流子带负电，稳定时C板电势高 23．为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的长方体流量计．该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　) A．M端的电势比N端的高 B．电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关 C．电压表的示数U与污水的流量Q成正比 D．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0 24．(多选)如图所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是(　　) A.加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大 B.粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关 C.若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小 D.粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为∶ 25．磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的等离子体垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为ρ，忽略边缘效应，下列判断正确的是(　 ) A．上板为正极，电流I＝ B．上板为负极，电流I＝ C．下板为正极，电流I＝ D．下板为负极，电流I＝ 26．如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是(　 ) A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ 27．如图所示为电磁流速/流量仪的简化模型示意图，在磁感应强度为B的匀强磁场中，垂直于磁场方向放一个内径为D的不导磁管道，当导电液体在管道中以流速v流动时，导电液体切割磁感线产生电动势，在管道截面上垂直于磁场方向的直径两端安装一对电极，该电动势被信号电极采集，通过测量电压的仪表放大转换实现流速的测量，也可以实现流量(单位时间内流经某一段管道的流体体积)的测量。则关于电磁流速/流量仪的说法正确的是(　 ) A．测量电压仪表a端的电势高于b端的电势 B．稳定时信号电极采集到的电势差与流速v大小成反比 C．仪表盘如果是刻度盘，流速/流量刻度都是均匀的 D．流量的测量值与电磁流速/流量仪管道的长度成正比 28．笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的(　 ) A．前表面的电势比后表面的低 B．前、后表面间的电压U与v无关 C．前、后表面间的电压U与c成正比 D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 29．(2026·河北沧州市五县联考一模)一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、R的环状区域内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从P点沿圆的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内做周期性运动，不计粒子重力，则该粒子的运动周期为(　　) A.(＋) B．(＋) C．(＋) D．(＋) 30．2021年我国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　) A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 二、计算、问答题 31．如图所示，在xOy平面内，有一以O为圆心、R为半径的半圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向里，磁感应强度大小为B。位于O点的粒子源向第二象限内的各个方向连续发射大量同种带电粒子，粒子均不会从磁场的圆弧边界射出。粒子的速率相等，质量为m、电荷量大小为q，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。 (1)若粒子带负电，求粒子的速率v应满足的条件及粒子在磁场中运动的最短时间t； (2)若粒子带正电，求粒子在磁场中能够经过区域的最大面积。 32．如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda′b′c′d′内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电量为＋q的粒子，以初速度v0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求： (1)粒子进入磁场区域时的速率。 (2)磁感应强度的大小。 33．如图所示，在y≥0的区域存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向均匀地不断发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为＋q的同种带电粒子。在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度为x0、厚度不计、能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板 P上，其速度立即变为0)。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与y轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，求： (1)磁感应强度B的大小； (2)被薄金属板接收的粒子中运动的最长与最短时间的差值； (3)打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比。 34．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T。磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×107 C/kg。现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。 35．如图所示，在xOy平面直角坐标系的第一象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，OA与y轴所夹区域内有沿y轴负方向的匀强电场，其他区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点沿着x轴正方向以初速度v0射入电场，运动一段时间后经过Q点垂直于射线OA进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场。已知OP＝h，不计粒子重力，求： (1)粒子经过Q点时的速度大小； (2)匀强电场电场强度的大小； (3)粒子从Q点运动到M点所用的时间。 36．如图所示，直线PQ的左边为磁感应强度为B的匀强磁场，右边为电场强度为E的匀强电场。一带电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子从MN上的C点沿与MN成60°角的方向，以速度v射入匀强磁场，在磁场中发生偏转后从D点(图中未画出)垂直PQ进入匀强电场，最后到达MN上F点(图中未画出)，不计粒子重力，求： (1)从C点到F点所用的时间； (2)到达F点时的动能。 37．如图所示，在x轴上方有一匀强磁场方向垂直纸面向里。在x轴下方有一匀强电场，方向竖直向上。一个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y轴上的a点(0，h)处沿y轴正方向以初速度v＝v0开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°角进入电场，经过y轴上b点时速度方向恰好与y轴垂直。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间。 38．如图甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上。b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p。忽略空气阻力，重力加速度为g。求： (1)油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离； (2)匀强电场的场强大小及油滴a、b结合为p后瞬间的速度； (3)若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面周期性变化的磁场，磁场变化规律如图乙所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知p始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。(忽略磁场突变的影响) 39．如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：＝；粒子的比荷满足：＝。 求： (1)在t＝时，粒子的位置坐标； (2)粒子偏离x轴的最大距离； (3)粒子运动至A点的时间。 40．如图，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁感应强度大小相等。一带正电的粒子，从x轴负方向上的P点沿与x轴正方向成α＝60°角平行xOy平面入射，经过第二象限后恰好由y轴上的Q点(0，d)垂直y轴进入第一象限，然后又从x轴上的N点进入第四象限，之后经第四、三象限重新回到P点，回到P点的速度方向与入射时相同。不计粒子重力。求： (1)粒子从P点入射时的速度v0； (2)粒子进入第四象限时在x轴上的N点到坐标原点O距离； (3)粒子在第三、四象限内做圆周运动的半径(用已知量d表示结果)。 41．如图所示，静止于A处的离子，经电压为U的加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为E0，方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；QN＝2d、PN＝3d，离子重力不计。 (1)求圆弧虚线对应的半径R的大小； (2)若离子恰好能打在NQ的中点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值； (3)若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围。 42．如图所示，在坐标系xOy平面的x＞0区域内，存在电场强度大小E＝2×105 N/C、方向垂直于x轴的匀强电场和磁感应强度大小B＝0.2 T、方向与xOy平面垂直向外的匀强磁场。在y轴上有一足够长的荧光屏PQ，在x轴上的M(10,0)点处有一粒子发射枪向x轴正方向连续不断地发射大量质量m＝6.4×10－27 kg、电荷量q＝3.2×10－19 C 的带正电粒子(重力不计)，粒子恰能沿x轴做匀速直线运动。若撤去电场，并使粒子发射枪以M点为轴在xOy平面内以角速度ω＝2π rad/s顺时针匀速转动(整个装置都处在真空中)。 (1)判断电场方向，求粒子离开发射枪时的速度大小； (2)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； (3)荧光屏上闪光点的范围距离； 43．如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g. (1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC； (2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf； (3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP. 44．为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转． 扇形聚焦磁场分布的简化图如图7所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场．质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示． (1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针； (2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T； (3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系．已知：sin (α±β )＝sin αcos β±cos αsin β，cos α＝1－2sin2. 45．如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。 (1)求粒子加速器M的加速电压U； (2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向； (3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。 46．如图甲所示，质量为m，带电荷量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小不变、方向周期性变化，如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B0。粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过MN的时刻均为整数倍，则： (1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？ (2)若初始位置与第四次经过MN时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过MN)。 47．某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d＝4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场强度等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度v0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图所示)，已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)离子到达B点时速度的大小； (3)Ⅱ区中磁感应强度的大小； (4)Ⅱ区的长度L应为多大。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 磁场 章末小结 【新教材沪科版】 安培力作用下的平衡问题 安培力作用下的装置：磁电式电流表、简易电动机、电磁炮、电流传感器、常导磁吸式、电磁弹射技术。 洛伦兹力作用下的动态圆问题、多解问题、周期性问题 连续场、叠加场问题 带电粒子在磁场中三维的运动情况 带电粒子在匀强磁场中“旋进”运动 空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况： (1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 (2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。 带电粒子在立体空间中的偏转 分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。 模块二 知识精讲 情景导入 安培力作用主要通过受力平衡进行考查，洛伦兹力作用主要通过匀速圆周运动及匀速直线运动进行考查。 知识归纳 【知识点1 安培力作用下的临界问题】 一、共点力的平衡条件及应用 1．共点力的平衡 (1)平衡状态：物体静止或做匀速直线运动． (2)平衡条件：F合＝0或Fx＝0，Fy＝0. (3)常用推论 ①若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反． ②若三个共点力的合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形． 2．处理共点力平衡问题的基本思路 确定平衡状态(加速度为零)→巧选研究对象(整体法或隔离法)→受力分析→建立平衡方程→求解或作讨论． 求解共点力平衡问题的常用方法： （1）．合成法：一个力与其余所有力的合力等大反向，常用于非共线三力平衡． （2）．正交分解法：Fx合＝0，Fy合＝0，常用于多力平衡． （3）．矢量三角形法：把表示三个力的有向线段构成一个闭合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形． 二、动态平衡的处理方法 1．图解法（三力平衡，既有最稳定的，又有次稳定的） 2．解析法 三、安培力作用下的平衡 1．安培力作用下导体的平衡模型中，常见的由倾斜导轨、导体棒、电源和电阻等组成。这类题目的难点是题图具有立体性，各力的方向不易确定。因此解题时一定要先把立体图转化成平面图，通过受力分析建立各力的平衡关系，如图所示。 2．安培力作用下导体的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法相同，只不过多了安培力，解题的关键是画出受力分析示意图。 四、安培力作用下导体的加速问题与动力学问题分析方法相同，关键是做好受力分析，然后根据牛顿第二定律求出加速度。 【例1】如图所示，用三条细线悬挂的水平圆形线圈共有n匝，线圈由粗细均匀、单位长度的质量为2.5 g 的导线绕制而成，三条细线呈对称分布，稳定时线圈平面水平，在线圈正下方放有一个圆柱形条形磁铁，磁铁中轴线OO′垂直于线圈平面且通过其圆心O，测得线圈的导线所在处磁感应强度大小为0.5 T，方向与竖直线成30°角，要使三条细线上的张力为零，线圈中通过的电流至少为(　　) A. 0.1 A　　　　　　　　　　 B. 0.2 A C. 0.05 A D. 0.01 A 解析：选A　设线圈的半径为r，则线圈的质量m＝2nπr×2.5×10－3 kg，磁场的水平分量为Bsin 30°，线圈受到的安培力为：F＝Bsin 30°×I×2nπr，由于线圈所受向上的安培力等于线圈的重力，则 2nπr×2.5×10－3×10＝Bsin 30°×I×2nπr， 解得：I＝0.1 A，选项A正确。 【变式1-1】如图所示，两平行光滑金属导轨CD、EF间距为L，与电动势为E0的电源相连，质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直于导轨放置构成闭合回路，回路平面与水平面成θ角，回路其余电阻不计。为使ab棒静止，需在空间施加的匀强磁场磁感应强度的最小值及其方向分别为(　　) A.，水平向右 B.，垂直于回路平面向上 C.，竖直向下 D.，垂直于回路平面向下 解析：选D　对金属棒受力分析，受重力、支持力和安培力，如图所示； 从图可以看出，当安培力沿斜面向上时，安培力最小，故安培力的最小值为：FA＝mgsin θ，故磁感应强度的最小值为B＝＝，根据欧姆定律，有E0＝IR，故B＝，故D正确。 【变式1-2】如图所示，在倾角为θ＝37°的斜面上，固定一宽为L＝1.0 m的平行金属导轨。现在导轨上垂直导轨放置一质量m＝0.4 kg、电阻R0＝2.0 Ω、长为1.0 m的金属棒ab，它与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.5。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝2 T的匀强磁场中。导轨所接电源的电动势为E＝12 V，内阻r＝1.0 Ω，若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，滑动变阻器的阻值符合要求，其他电阻不计，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。现要保持金属棒在导轨上静止不动，求： (1)金属棒所受安培力的取值范围； (2)滑动变阻器接入电路中的阻值范围。 答案　(1) N≤F≤8 N　(2)0≤R≤30 Ω 解析　(1)当金属棒刚好达到向上运动的临界状态时，金属棒受到的摩擦力为最大静摩擦力，方向平行斜面向下，对金属棒受力分析，如图甲所示，此时金属棒所受安培力最大，设为F1，则有 垂直斜面方向 FN＝F1sin θ＋mgcos θ 沿斜面方向 F1cos θ＝mgsin θ＋Ffmax 又Ffmax＝μFN 以上三式联立并代入数据可得F1＝8 N 甲 乙 当金属棒刚好达到向下运动的临界状态时，金属棒受到的摩擦力为最大静摩擦力，方向平行斜面向上，其受力分析如图乙所示，此时金属棒所受安培力最小，设为F2，则有 FN′＝F2sin θ＋mgcos θ F2cos θ＋Ffmax′＝mgsin θ，Ffmax′＝μFN′ 以上三式联立并代入数据可得F2＝ N 所以金属棒受到的安培力的取值范围为 N≤F≤8 N。 (2)因磁场与金属棒垂直，所以金属棒受到的安培力为F＝ILB，因此有I＝，由安培力的取值范围可知电流的取值范围为 A≤I≤4 A 设电流为I1＝ A时滑动变阻器接入电路中的阻值为R1，由闭合电路欧姆定律，有E－I1r＝I1(R0＋R1)， 代入数据可得R1＝30 Ω 设电流为I2＝4 A时滑动变阻器接入电路中的阻值为R2，由闭合电路欧姆定律，有E－I2r＝I2(R0＋R2) 代入数据可得R2＝0 所以滑动变阻器接入电路中的阻值范围为0≤R≤30 Ω。 【变式1-3】如图所示，光滑导轨与水平面成α角，导轨宽为L。匀强磁场磁感应强度为B。金属杆质量为m，水平放在导轨上。当回路总电流为I1时，金属杆正好能静止。求： (1)B至少多大？这时B的方向如何？ (2)若保持B的大小不变而将B的方向改为竖直向上，应把回路总电流I2调到多大才能使金属杆保持静止？ 解析　(1)画出截面图，如图所示。由三角形定则可知，只有当安培力方向沿导轨平面向上时安培力才最小，B也最小。根据左手定则，这时B应垂直于导线平面向上，大小满足：BI1L＝mgsin α，B＝。 (2)当B的方向改为竖直向上时，安培力的方向变为水平向右，由沿导轨方向合力为零，得BI2Lcos α＝mgsin α，I2＝。 答案　(1)　方向垂直导轨平面向上　(2) 【知识点2 安培力作用下的联系实际问题】 1．安培力做功的特点和实质 (1)安培力做功与路径有关，不像重力、电场力做功与路径无关。 (2)安培力做功的实质是能量转化 ①安培力做正功时将电源的能量转化为导线的动能或其他形式的能。 ②安培力做负功时将其他形式的能转化为电能后储存起来或转化为其他形式的能。 2．主要装置 磁电式电流表、简易电动机、电磁炮、电流传感器、常导磁吸式、电磁弹射技术。 【例2】如图所示为电流天平，可以用来测量匀强磁场的磁感应强度，它的右臂挂着矩形线圈，匝数为n，线圈的水平边长为L，处于匀强磁场内，匀强磁场的方向与线圈平面垂直。当线圈中通过电流I时，调节砝码使两臂达到平衡，然后使电流反向，大小不变，这时需要在左盘中增加质量为m的砝码，才能使两臂再次达到新的平衡。 (1)若线圈串联一个电阻R连接到电压为U的稳定电源上，已知线圈电阻为r，当线圈中通过电流I时，请用题给的物理量符号表示出电阻R的大小。 (2)请用重力加速度g和n、m、L、I导出B的表达式。 解析：(1)根据闭合电路欧姆定律可得I＝ 解得R＝－r。 (2)根据平衡条件有：mg＝2nBIL 得B＝。 答案：(1)－r　(2)B＝ 【变式2-1】电流天平是一种测量磁场力的装置，如图所示，两相距很近的通电平行线圈Ⅰ和Ⅱ，线圈Ⅰ固定，线圈Ⅱ置于天平托盘上。当两线圈均无电流通过时，天平示数恰好为零。下列说法正确的是(　 ) A．当天平示数为负时，两线圈电流方向相同 B．当天平示数为正时，两线圈电流方向相同 C．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力大于线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的作用力 D．线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力与托盘对线圈Ⅱ的作用力是一对相互作用力 解析：选A　通电线圈相当于条形磁铁，两线圈电流方向相同时，相当于异性磁极相互吸引，天平示数为负，A正确，B错误；线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力跟线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的作用力是一对作用力与反作用力，大小相等，C错误；线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的作用力与托盘对线圈Ⅱ的作用力都是线圈Ⅱ受到的力，不是一对相互作用力，D错误。 【变式2-2】如图所示为一种新型的电磁船的俯视图，MN、PQ为固定在船上的竖直平行金属板，直流电源接在M、P之间，船上装有产生强磁场的装置，可在两平行金属板间海水中的虚线框内产生强磁场。闭合开关S后，电流通过海水从N流向Q，若船受到海水的反冲向左运动，虚线框中的磁场方向应该(　 ) A．竖直向下 B．竖直向上 C．水平向左 D．水平向右 解析：选A　闭合开关S后，电流通过海水从N流向Q，且船向左运动，船体所受的力方向向左，根据牛顿第三定律可知，海水所受的安培力方向向右，再根据左手定则可知，磁场方向竖直向下，故A正确，B、C、D错误。 【变式2-3】目前全球已经开始全面注射新冠疫苗,全球经济有望在今年恢复。科学家研发出一种无需针头就能注射药物的新方法,可用一种高压喷射器将药物透过皮肤注入体内。如图所示是竖直放置的高压喷射器的示意图,已知高压喷射器泵体是高为h的长方体槽,槽左、右正对的两壁是间距为L的导电金属板,两金属板间加上电压U,槽的前、后两绝缘壁间的距离为d,两绝缘壁间有沿水平方向的磁感应强度大小为B的匀强磁场,槽的下部与其中的药液接触,上部与竖直的绝缘细管相连。己知药液的电阻率为、密度为,重力加速度为g,喷射器正常工作时,药液可以被压到细管中,则下列说法正确的是( ) A.槽的左壁应该接电源负极,右壁接电源正极 B.电压以及泵体其他参数一定时,槽的长度L越长,药液受到的安培力越大 C.电压以及泵体其他参数一定时,槽的前、后绝缘壁间的距离d越大,药液受到的安培力越大 D.高压喷射器正常工作时, 答案：C 解析：本题考查左手定则、安培力、电阻定律和欧姆定律。根据题意可知，安培力方向向上，结合左手定则可知，电流方向由左向右，则槽的左壁应该接电源正极，右壁接电源负极，A错误；左、右两壁间的电阻为，电流大小为，安培力大小为，即安培力大小与L无关，与槽侧面的面积有关，d越大，面积越大，安培力越大，B错误，C正确；要把药液喷到高处，则有，解得，D错误。 【知识点3 洛伦兹力作用下的动态圆问题】 1．“平移圆” 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 2．“旋转圆” 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 3．“放缩圆” 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 4．带电粒子的会聚 如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(会聚) 证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。 5．带电粒子的发散 如图乙所示，圆形磁场圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 【例3】(多选)如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1 cm，中点O与S间的距离d＝4.55 cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4 T。电子质量m＝9.1×10－31 kg，电量e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力。电子源发射速度v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则(　　) A.θ＝90°时，l＝9.1 cm B.θ＝60°时，l＝9.1 cm C.θ＝45°时，l＝4.55 cm D.θ＝30°时，l＝4.55 cm 解析　电子在匀强磁场运动的轨道半径为R＝＝4.55 cm，电子沿逆时针方向做匀速圆周运动，当θ＝90°时，竖直向下发射的粒子恰好打到N点，水平向右发射的粒子恰好打到M点，如图甲所示，故l＝L＝9.1 cm，A正确；当θ＝30°时，竖直向下发射的粒子，恰好打到N点，由几何关系知，另一临界运动轨迹恰好与MN相切于O点，如图乙所示，故粒子只能打在NO范围内，故l＝＝4.55 cm，D正确；进而可分析知当θ＝45°或θ＝60°时，粒子打到板上的范围大于ON小于NM，即4.55 cm<l<9.1 cm，故B、C错误。 答案　AD 【变式3-1】(多选)如图所示，在荧光屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧光屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q，质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　) A.粒子能打到荧光屏上的区域长度为2d B.能打到荧光屏上最左侧的粒子所用的时间为 C.粒子从发射到达到荧光屏上的最长时间为 D.同一时刻发射的粒子打到荧光屏上的最大时间差 答案　BD 解析　打在荧光屏上粒子轨迹的临界状态如图甲所示： 甲 根据几何关系知，带电粒子能到达荧光屏上的长度为l＝R＋R＝R＝d，A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧光屏上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为t＝T，又T＝，解得t＝，B正确；设此时粒子出射速度的大小为v，在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子运动轨迹示意图如图乙所示： 乙 粒子做整个圆周运动的周期T＝，由几何关系可知最短时间t2＝T＝，最长时间t1＝T＝，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧光屏上的最大时间差Δt＝t1－t2，解得Δt＝，C错误，D正确。 【变式3-2】如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为(　　) A.∶2 B.∶1 C.∶1 D．3∶ 解析：选C　由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝m可知，R＝，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。若粒子运动的速度大小为v1，如图所示， 通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点A离P点最远时，则AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子在磁场边界的出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝，R2＝Rcos 30°＝R，则＝＝，C项正确。 【变式3-3】如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则等于(　　) A. B. C．2 D．3 解析：选B　当轨道半径小于或等于磁场区域半径时，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径。如图所示，当粒子从圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨道直径为PQ，粒子都从圆弧PQ之间射出，因此轨道半径r1＝Rcos 30°＝R；若粒子射出的圆弧对应弧长为“原来”的一半，即周长，对应的弦长为R，即粒子运动轨迹直径等于磁场区域半径R，半径r2＝，由r＝可得＝＝。 【知识点4 洛伦兹力作用下的多解问题】 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的周期性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。 1．找出多解的原因。 2．画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 【例4】(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　 ) A．使粒子的速度v＜ B．使粒子的速度v＞ C．使粒子的速度v＞ D．使粒子的速度＜v＜ [解析]　若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r12＝＋l2，又因为r1＝，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，解得v2＝，故A、B正确。 [答案]　AB 【变式4-1】(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　 ) A. B. C. D. [解析]　根据题意，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝m，得v＝，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝m，v＝，负电荷运动的角速度为ω＝＝，故A、C正确。 [答案]　AC 【变式4-2】(多选)如图所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场。欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是(　 ) A. B. C. D. [解析]　粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R＝知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的轨迹和边界QQ′相切时，粒子刚好不从QQ′射出，此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电，其运动轨迹如图(a)所示(此时圆心为O点)，由几何关系得R1sin 45°＋d＝R1，将R1＝代入上式得v0＝，A正确。若粒子带负电，其运动轨迹如图(b)所示(此时圆心为O′点)，由几何关系得R2＋R2cos 45°＝d，将R2＝代入上式得v0＝，C正确。 [答案]　AC 【变式4-3】如图所示，边长为L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B，顶点A处有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、带电荷量均为＋q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则粒子能通过B点时发射的速率v0为(　 ) A. B. C. D. [解析]　粒子带正电，且经过B点，其可能的运动轨迹如图所示， 所有圆弧所对圆心角均为60°，所以粒子运动半径r＝(n＝1,2,3，…)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m，解得v0＝＝(n＝1,2,3，…)，故A、B、C错误，D正确。 [答案]　D 【知识点5 连续场问题】 1．组合场（连续场）：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出带电粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3．常见带电粒子的运动及解题方法 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 4．先电场后磁场 先电场后磁场的几种常见情形 (1)带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 (2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 　 5．先磁场后电场 先磁场后电场的几种常见情形 常见情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图 在电场中的运动性质 加速或减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 6．带电粒子在交变电、磁场中的运动 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 【例5】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度v0沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为θ，且tan θ＝，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求： (1)粒子第一次经过N点的速度v； (2)粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量I； (3)电场强度E的大小； (4)粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔Δt。 答案　(1)v0，速度方向与x轴正方向成45°角 (2)2mv0，方向沿y轴负方向　(3)　(4) 解析　(1)设带电粒子从M运动到N的过程中，水平位移为x，竖直位移为y，则有 tan θ＝ x＝v0t y＝t 粒子第一次经过N点的速度v＝ 解得v＝v0 设粒子第一次经过N点的速度与x轴夹角为α， 则tan α＝ 解得α＝45° 即速度方向与x轴正方向成45°角。 (2)粒子从N点运动到O点的过程中，利用动量定理有 I＝mΔv＝2mv0，方向沿y轴负方向。 (3)由向心力公式和牛顿第二定律得qvB＝ 由几何知识得x＝R y＝R 由运动学公式得v＝2ay 由牛顿第二定律得qE＝ma 解得E＝。 (4)带电粒子在复合场中的运动轨迹如图所示。 由周期公式得T＝ 带电粒子在磁场中的运动时间t1＝T 带电粒子在电场中的运动时间t2＝2 所以Δt＝t1＋t2＝。 【变式5-1】(多选)研究表明，蜜蜂是依靠蜂房、采蜜地点和太阳三个点来定位的，蜜蜂飞行时就是根据这三个位置关系呈“8”字形运动来告诉同伴蜜源的方位。某兴趣小组用带电粒子在如图所示的电场和磁场中模拟蜜蜂的“8”字形运动，即在y＞0的空间中和y＜0的空间内同时存在着大小相等，方向相反的匀强电场，上、下电场以x轴为分界线，在y轴左侧和图中竖直虚线MN右侧均无电场，但有方向垂直纸面向里和向外的匀强磁场，MN与y轴的距离为2d。一重力不计的带负电荷的粒子从y轴上的P(0，d)点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，经过一段时间后，粒子又以相同的速度回到P点，则下列说法正确的是(　 ) A．电场与磁场的比值为v0 B．电场与磁场的比值为2v0 C．带电粒子运动一个周期的时间为＋ D．带电粒子运动一个周期的时间为＋ 解析：选BD　 粒子在电场中做类平抛运动，有：d＝v0t1，d＝··t12，粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：R＝。结合几何关系，有：R＝d，联立解得：＝2v0，A错误，B正确；带电粒子在电场中运动的总时间为4t1＝，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹是两个半圆，故运动时间为t2＝，带电粒子运动一个周期的时间为t＝4t1＋t2＝＋，故C错误，D正确。 【变式5-2】如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。求： (1)电场强度E的大小； (2)粒子到达a点时速度的大小和方向； (3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值。 解析　(1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有 x＝v0t＝2h， y＝at2＝h， qE＝ma， 联立以上各式可得E＝。 (2)粒子到达a点时沿负y方向的分速度为vy＝at＝v0， 所以va＝＝v0， 方向指向第Ⅳ象限且与x轴正方向成45°角。 (3)粒子在磁场中运动时，有qvaB＝m， 当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r＝L，所以B＝。 答案　(1)　(2)v0　指向第Ⅳ象限且与x轴正方向成45°角　(3) 【变式5-3】CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则(　 ) A．M处的电势高于N处的电势 B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移 C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外 D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移 [解析]　电子在电场中加速运动，电场力的方向和运动方向相同，而电子所受电场力的方向与电场的方向相反，所以M处的电势低于N处的电势，A错误；增大M、N之间的电压，根据动能定理可知，电子进入磁场时的初速度变大，根据r＝知其在磁场中的轨迹半径增大，P点将右移，B错误；根据左手定则可知，磁场的方向应该垂直于纸面向里，C错误；结合B分析，可知增大磁场的磁感应强度，轨迹半径将减小，P点将左移，D正确。 [答案]　D 【知识点6 叠加场问题】 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 【例6】如图所示，质量为m＝1 kg、电荷量为q＝5×10－2 C的带正电的小滑块，从半径为R＝0.4 m的固定光滑绝缘圆弧轨道上由静止自A端滑下。整个装置处在方向互相垂直的匀强电场与匀强磁场中。已知E＝100 V/m，方向水平向右，B＝1 T，方向垂直纸面向里，g取10 m/s2，求： (1)滑块到达C点时的速度； (2)在C点时滑块所受洛伦兹力； (3)在C点滑块对轨道的压力。 答案　(1)大小为2 m/s，方向水平向左 (2)大小为0.1 N，方向竖直向下 (3)大小为20.1 N，方向竖直向下 解析　以滑块为研究对象，自轨道上A点滑到C点的过程中，受重力mg，方向竖直向下；静电力qE，方向水平向右；洛伦兹力F洛＝qvB，方向始终垂直于速度方向。 (1)滑块从A到C的过程中洛伦兹力不做功，由动能定理得mgR－qER＝mv 得vC＝＝2 m/s，方向水平向左。 (2)根据洛伦兹力公式得 F＝qvCB＝5×10－2×2×1 N＝0.1 N，由左手定则知方向竖直向下。 (3)在C点，由牛顿第二定律得FN－mg－qvCB＝m 得FN＝mg＋qvCB＋m＝20.1 N 由牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小为20.1 N，方向竖直向下。 【变式6-1】(多选)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开始经电压U加速后，水平进入互相垂直的匀强电场(场强为E)和匀强磁场(磁感应强度为B)的复合场中，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则(　　) A.小球可能带正电 B.小球做匀速圆周运动的半径r＝ C.小球做匀速圆周运动的周期T＝ D.若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加 解析　小球在复合场中做匀速圆周运动，则小球受的电场力和重力大小相等，方向相反，则小球带负电，A错误；由牛顿第二定律和动能定理可得：Bqv＝，Uq＝mv2，联立mg＝qE可得：小球做匀速圆周运动的半径r＝，由T＝可以得出T＝，所以B、C正确，D错误。 答案　BC 【变式6-2】如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度为E，方向竖直向下；该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A．液滴带正电 B．液滴比荷＝ C．液滴沿顺时针方向运动 D．液滴运动速度大小v＝ 解析：选C　液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知，qE＝mg，得＝，故B错误；电场力竖直向上，液滴带负电，A错误；由左手定则可判断液滴沿顺时针转动，C正确；对液滴qE＝mg，qvB＝m得v＝，故D错误。 【变式6-3】如图，在竖直xOy平面内有一个半径为R的圆形区域与x轴相切于O点，在圆形区域外(包括圆形边界)的空间存在垂直纸面向外的匀强磁场，xOy平面内有沿y轴负方向的匀强电场。现从坐标原点O以速率v向第一象限内的不同方向发射相同的带电小球，小球的质量为m、电荷量为－q(q＞0)，所有小球均在磁场中做匀速圆周运动，且都能沿平行于x轴的方向进入圆形区域并再次通过O点，不计小球间的相互作用，重力加速度为g，求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)沿与x轴正向成60°角发射的小球从O点开始运动到再次通过O点经历的时间。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)小球在磁场中做匀速圆周运动，则电场力和重力平衡，即qE＝mg，匀强电场的电场强度大小E＝。 (2)小球从O点以与x轴成θ角射入第一象限，运动轨迹如图， 轨迹圆心C′与交点D的连线平行y轴，设圆形区域的圆心为C，由几何关系可知，四边形C′DCO是菱形，所以小球在磁场中运动的轨道半径为 r＝R 洛伦兹力提供向心力， 即qvB＝m 可得磁感应强度B＝。 (3)小球从O点以与x轴成θ＝角射入第一象限 小球在磁场中的运动周期T＝ 小球在磁场中运动时间t1＝2×T 小球在圆形区域做匀速直线运动，通过的距离L＝2Rsin θ 运动时间t2＝ 从O点出发到再次回到O点经历的时间 t＝t1＋t2＝ 将θ＝代入，解得t＝。 模块三 课后作业 一、选择题 1．如图所示，两根长为L的平行直导线P、Q固定在水平面上，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。当导线中通入图中所示方向相反、大小相等的电流I时，两导线所受安培力均为零。现将导线Q中的电流反向，大小不变，导线P受到的安培力为(　 ) A．BIL B．2BIL C．3BIL D．4BIL 解析：选B　导线P所受安培力为零，由安培力公式F＝B合IL可知，P处的磁感应强度为零，因此Q在P处产生的磁感应强度与匀强磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，即Q在P处产生的磁场的磁感应强度方向竖直向下，大小为B；当Q中的电流反向、大小不变时，由安培定则可知，Q中的电流在P处产生的磁场的磁感应强度大小不变，仍为B，方向竖直向上，P处的合磁感应强度大小为2B，此时导线P受到的安培力F′＝2BIL，故B正确，A、C、D错误。 2．在光滑桌面上将长为πL的软导线两端固定，固定点的距离为2L，导线通有电流I，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，导线中的张力为(　 ) A．BIL B．2BIL C．πBIL D．2πBIL 解析：选A　从上向下看导线的图形如图所示， 导线的有效长度为2L，则所受的安培力大小F＝2BIL，设导线中的张力为T，由平衡知识可知T＝，解得T＝BIL，故A正确，B、C、D错误。 3．如图所示，在固定放置的条形磁铁S极附近悬挂一个金属线圈，线圈与水平磁铁位于同一竖直平面内，当在线圈中通入沿图示方向流动的电流时，将会看到(　 ) A．线圈向左平移 B．线圈向右平移 C．从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁 D．从上往下看，线圈逆时针转动，同时靠近磁铁 [解析]　把通电线圈等效成小磁针，等效小磁针的N极垂直于纸面向外，根据同名磁极相互排斥，异名磁极相互吸引可知：从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁，C正确。 [答案]　C 4．如图所示，两个完全相同、互相垂直的导体圆环Q、P（Q平行纸面，P垂直纸面）中间用绝缘细线连接，通过另一绝缘细线悬挂在天花板下，当Q有垂直纸面往里看顺时针方向的电流、同时P有从左往右看顺时针方向的电流时，关于两线圈的转动（从上向下看）以及细线中拉力的变化，下列说法中正确的（　　）。 A．Q逆时针转动，P顺时针转动，Q、P间细线拉力变小 B．Q逆时针转动，P顺时针转动，Q、P间细线拉力变大 C．Q顺时针转动，P逆时针转动，Q、P间细线拉力变小 D．Q顺时针转动，P逆时针转动，Q、P间细线拉力变大 【答案】A 【详解】根据安培定则，Q产生的磁场的方向垂直于纸面向里，P产生的磁场水平向右，将Q等效于S极在外、N极在里的小磁针，P等效于左侧S极、右侧N极的小磁针，根据同名磁极相互排斥、异名磁极相互吸引的特点，P将顺时针转动，Q逆时针转动；转动后P、Q两环的电流的方向相同，所以两个线圈相互吸引，细线张力减小；故A正确，BCD错误。故选A。 5．如图所示，把一重力不计的通电直导线水平放在蹄形磁铁两极的正上方，导线可以自由转动，当导线通入图示方向电流I时，导线的运动情况是(从上往下看)(　　) A.顺时针方向转动，同时下降 B.顺时针方向转动，同时上升 C.逆时针方向转动，同时下降 D.逆时针方向转动，同时上升 答案　A 解析　如图甲所示，把直线电流等效为无数小段，中间的点为O点，选择在O点左侧S极右上方的一小段为研究对象，该处的磁场方向指向左下方，由左手定则判断，该小段受到的安培力的方向垂直纸面向里，在O点左侧的各段电流元都受到垂直纸面向里的安培力，把各段电流元受到的力合成，则O点左侧导线受到垂直纸面向里的安培力；同理判断出O点右侧的导线受到垂直纸面向外的安培力。因此，由上向下看，导线沿顺时针方向转动。分析导线转过90°时的情形，如图乙所示，导线中的电流垂直纸面向外，由左手定则可知，导线受到向下的安培力。由以上分析可知，导线在顺时针转动的同时向下运动，选项A正确。 6．一直导线平行于通电螺线管的轴线放置在螺线管的上方，如图所示，如果直导线可以自由地运动且通以由a到b的电流，则关于导线ab受磁场力后的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．从上向下看顺时针转动并靠近螺线管 B．从上向下看顺时针转动并远离螺线管 C．从上向下看逆时针转动并远离螺线管 D．从上向下看逆时针转动并靠近螺线管 解析：选D　由安培定则可判定通电螺线管产生的磁场方向，导线等效为Oa、Ob两电流元，由左手定则可判定两电流元所受安培力的方向，Oa向纸外，Ob向纸里，所以从上向下看导线逆时针转动，当转过90°时再用左手定则可判定导线所受磁场力向下，即导线在逆时针转动的同时还要靠近螺线管，D对。 7．如图所示为一种新型的电磁船的俯视图，MN、PQ为固定在船上的竖直平行金属板，直流电源接在M、P之间，船上装有产生强磁场的装置，可在两平行金属板间海水中的虚线框内产生强磁场。闭合开关S后，电流通过海水从N流向Q，若船受到海水的反冲向左运动，虚线框中的磁场方向应该(　 ) A．竖直向下 B．竖直向上 C．水平向左 D．水平向右 解析：选A　闭合开关S后，电流通过海水从N流向Q，且船向左运动，船体所受的力方向向左，根据牛顿第三定律可知，海水所受的安培力方向向右，再根据左手定则可知，磁场方向竖直向下，故A正确，B、C、D错误。 8．依据如图所示的“处在磁场中的通电金属棒在导轨上运动”这一实验现象及相应规律设计的家用电器是(　　) A.电热水壶 B.电饭锅 C.电风扇 D.电熨斗 解析　处在磁场中的通电金属棒在导轨上运动，是通电导体在磁场中受安培力问题，A、B、D选项均为电流的热效应，只有C选项符合题意。 答案　C 9．如图所示为电磁炮的简化原理示意图，它由两条水平放置的平行光滑长直轨道组成。轨道间放置一个导体滑块作为弹头。当电流从一条轨道流入，经弹头从另一条轨道流回时，在两轨道间产生磁场，弹头就在安培力推动下以很大的速度射出去。不计空气阻力，将该过程中安培力近似处理为恒力，为了使弹头获得更大的速度，可适当( ) A.减小平行轨道间距 B.增大轨道中的电流 C.缩短轨道的长度 D.增大弹头的质量 答案：B 解析：根据题意，安培力做的功等于弹头获得的动能。轨道间距减小，安培力减小，安培力做的功减小，弹头获得的动能减小，速度减小，故A错误；增大轨道中的电流，安培力增大，安培力做的功增大，弹头获得的动能增大，速度增大，故B正确；缩短轨道的长度，安培力做的功减小，弹头获得的动能减小，速度减小，故C错误；只增大弹头质量，安培力做的功不变，弹头获得的动能不变，所以速度减小，故D错误。 10．(多选)如图所示中装置可演示磁场对通电导线的作用。电磁铁上下两磁极之间某一水平面内固定两条平行金属导轨，L是置于导轨上并与导轨垂直的金属杆。当电磁铁线圈两端a、b和导轨两端e、f分别接到两个不同的直流电源上时，L便在导轨上滑动。下列说法正确的是(　 ) A．若a接正极，b接负极，e接正极，f接负极，则L向右滑动 B．若a接正极，b接负极，e接负极，f接正极，则L向右滑动 C．若a接负极，b接正极，e接正极，f接负极，则L向左滑动 D．若a接负极，b接正极，e接负极，f接正极，则L向左滑动 【答案】BD 【答案】选BD　若a接正极，b接负极，由右手螺旋定则知电磁铁上下两磁极间磁场方向向上，若e接正极，f接负极，由左手定则知L受到的安培力方向向左；若e接负极，f接正极，L受到的安培力方向向右，选项A错误，选项B正确。同理，若a接负极，b接正极，磁场方向向下，e接负极，f接正极，L所受的安培力方向向左；e接正极，f接负极，L所受的安培力方向向右，选项C错误，选项D正确。 11．[多选]如图所示，在两磁极之间放一培养皿，磁感线垂直培养皿，皿内侧壁有环状电极A，中心有电极K，皿内装有电解液，若不考虑电解液和培养皿之间的阻力，当通以如图所示电流时，则(　　) A．电解液将顺时针旋转流动 B．电解液静止不动 C．若将滑动变阻器的滑片向左移动，则电解液旋转流动将变慢 D．若将磁场的方向和电流的方向均变为和原来相反，则电解液转动方向不变 解析：选AD　电解液中当通以如题图所示电流时，将电解液看成无数个幅条状导体组成，每根导体中电流从环边缘流向K，由左手定则判断可知，电解液所受的安培力方向沿顺时针，因此电解液将顺时针旋转流动，故A正确，B错误；若将滑动变阻器的滑片向左移动，其有效电阻减小，电路中电流增大，由F＝BIL知，电解液所受的安培力增大，则电解液旋转流动将变快，故C错误；若将磁场的方向和电流的方向均变为和原来相反，由左手定则可知安培力方向不变，则电解液转动方向不变，故D正确。 12．如图所示，太极图由“阴鱼”和“阳鱼”构成，其边界是以O为圆心R为半径的圆，内部由以O1和O2为圆心等半径的两个半圆分割成上下两部分，其中上部分为“阳鱼”，下部分为“阴鱼”，“阳鱼”中有垂直纸面向外的匀强磁场。Q为太极图边缘上一点，且O1、O2、O、Q四点共线。一电量为＋q，质量为m的带电粒子，在Q点以大小v的速度指向圆心O射入“阳鱼”区域，若带电粒子在“太极图”运动过程中没有进入“阴鱼”区域，带电粒子重力不计。则磁感应强度的最小值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　若使带电粒子没进入“阴鱼”区域，则带电粒子在磁场中运动轨迹如图， 轨迹与圆O1相切时粒子达到最大半径，此时磁感应强度最小，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系可得 解得r＝2R，由牛顿第二定律可得qvB＝m，联立解得B＝，故选B。 13．如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是(　 ) A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶ C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1 D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2 [解析]　粒子a向上偏转，由左手定则得，粒子a带正电；粒子b向下偏转，粒子b带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Rasin 60°＝Rbsin 30°，Ra∶Rb＝1∶，故B正确；由qvB＝m得v＝，两粒子比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶，故C错误；粒子运动周期T＝，a运动时间ta＝T＝T，b运动时间tb＝T＝T，故ta∶tb＝2∶1，故D错误。 [答案]　B 14．如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场。之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则t1∶t2为(　 ) A．3∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．2∶1 解析：选A　电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示， 电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r＝可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，△aOc为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为60°，所以电子1运动的时间t1＝＝，电子2运动的时间t2＝＝，所以＝3，故A正确。 15．我国新托卡马克装置——中国环流器二号M装置由中核集团核工业西南物理研究院承建，托卡马克装置意在通过可控热核聚变的方式，给人类带来几乎无限的清洁能源，俗称“人造太阳”。要实现可控热核聚变，装置中必须有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是通过磁约束，使之长时间束缚在某个有限空间内。如图所示，环状磁场的内半径为R1，外半径为R2，磁感应强度大小为B，中空区域内带电粒子的质量为m，电荷量为q，具有各个方向的速度。欲保证带电粒子都不会穿出磁场的外边缘而被约束在半径为R2的区域内，则带电粒子的最大速度为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由r＝可知，粒子的速度越大，在磁场中运动的半径越大，故带电粒子的最大速度可通过最大半径求得，最大半径为rmax＝。根据r＝，得vmax＝，A、C、D错误，B正确。 16．如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN为理想边界，磁感应强度大小分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e的电子从MN上的P点沿垂直于磁场方向射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是(　 ) A．电子的运动轨迹为PENCMDP B．B1＝2B2 C．电子从射入磁场到回到P点用时为 D．B1＝4B2 解析：选B　根据左手定则可知，电子从P点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1时，受到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运行轨迹为PDMCNEP，故A错误；电子在题图所示运动过程中，在左侧匀强磁场中运动两个半圆，即运动一个周期，在右侧匀强磁场中运动半个周期，所以t＝＋，故C错误；由题图可知，电子在左侧匀强磁场中的运动半径是在右侧匀强磁场中的运动半径的一半，根据r＝可知，B1＝2B2，故B正确，D错误。 17．(多选)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现都没有粒子从OC边界射出。则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 答案　AD 解析　要使没有粒子从OC边界射出，沿如图路线运动的粒子不离开磁场，满足lsin 60°＝，v＝，故A正确，B错误；粒子速度v＝，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2R＝lsin60°＝l，故C错误，D正确。 18．(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(　 ) A．在电场中的加速度之比为1∶1 B．在磁场中运动的半径之比为2∶1 C．在磁场中转过的角度之比为1∶2 D．离开电场区域时的动能之比为1∶3 [解析]　两个离子的质量相同，其带电荷量之比是1∶3的关系，所以由a＝可知，其在电场中的加速度之比是1∶3，故A错误。要想知道半径必须先知道进入磁场的速度，而速度的决定因素是加速电场，所以在离开电场时其速度表达式为v＝ ，可知其速度之比为1∶。又由qvB＝m知r＝，所以其半径之比为∶1，故B错误。由B项分析知道，离子在磁场中运动的半径之比为∶1，设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角，所以sin θ＝，则可知角度的正弦值之比为1∶，又P＋的偏转角度为30°，可知P3＋的偏转角度为60°，即在磁场中转过的角度之比为1∶2，故C正确。由电场加速后：qU＝mv2可知，两离子离开电场的动能之比为1∶3，故D正确。 [答案]　CD 19．(多选)如图所示，为研究某种射线装置的示意图。射线源发出的射线以一定的初速度沿直线射到荧光屏上的中央O点，出现一个亮点。在板间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场后，射线在板间做半径为r的圆周运动，然后打在荧光屏的P点。若在板间再加上一个方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场，亮点又恰好回到O点，由此可知该射线源发射的射线粒子(　 ) A．带正电　　　　　　　　　 B．初速度为v＝ C．比荷为＝ D．比荷为＝ 解析：选AD　粒子在向里的磁场中向上偏转，根据左手定则可知，粒子带正电，A正确；粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有：Bqv＝m；粒子在电磁叠加场中有：qE＝qvB，则v＝，＝，B、C错误，D正确。 20．(多选)如图所示，一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R(比细管的内径大得多)，在圆管的最低点有一个直径略小于细管内径的带正电小球处于静止状态，小球的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g。空间存在一磁感应强度大小未知(不为零)，方向垂直于环形细圆管所在平面且向里的匀强磁场。某时刻，给小球一方向水平向右、大小为v0＝的初速度，则以下判断正确的是(　 ) A．无论磁感应强度大小如何，获得初速度后的瞬间，小球在最低点一定受到管壁的弹力作用 B．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球在最高点一定受到管壁的弹力作用 C．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球到达最高点时的速度大小都相同 D．小球在从环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中，水平方向分速度的大小一直减小 解析：选BC　小球在轨道最低点时受到的洛伦兹力方向竖直向上，若洛伦兹力和重力的合力恰好提供小球所需要的向心力，则在最低点时小球不会受到管壁弹力的作用，A错误；小球运动的过程中，洛伦兹力不做功，小球的机械能守恒，运动至最高点时小球的速度v＝，由于小球运动过程不会脱离轨道，所以一定能到达轨道最高点，C正确；在最高点时，小球做圆周运动所需的向心力F＝m＝mg，小球受到竖直向下洛伦兹力的同时必然受到与洛伦兹力等大反向的轨道对小球的弹力，B正确；小球在从最低点运动到最高点的过程中，小球在下半圆内上升的过程中，水平分速度向右且不断减小，到达圆心的等高点时，水平速度为零，而运动至上半圆后水平分速度向左且不为零，所以水平分速度一定有增大的过程，D错误。 21．(多选)某实验小组用图甲所示装置研究电子在平行金属板间的运动。将放射源P靠近速度选择器，速度选择器中磁感应强度为B，电场强度为E，P能沿水平方向发出不同速率的电子，某速率的电子能沿直线通过速度选择器，再沿平行金属板A、B的中轴线O1O2射入板间。已知平行金属板长为L、间距为d，两板间加有图乙所示的交变电压，电子的电荷量为e，质量为m(电子重力及相互间作用力忽略不计)。以下说法中正确的有(　 ) A．沿直线穿过速度选择器的电子的速率为 B．只增大速度选择器中的电场强度E，沿中轴线射入的电子穿过A、C板的时间变长 C．若t＝时刻进入A、C板间的电子恰能水平飞出，则飞出方向可能沿O1O2 D．若t＝0时刻进入A、C板间的电子恰能水平飞出，则T＝(n＝1,2,3，…) 解析：选ACD　电子在速度选择器中受电场力和洛伦兹力的作用，沿直线通过速度选择器，则电子受力平衡，有eE＝Bve，解得v＝，故A正确；若只增大速度选择器中的电场强度E，电子沿中轴线射入，由v＝可知，v增大，则在A、C板长不变的情况下，电子穿过A、C板的时间变短，故B错误；若t＝时刻进入A、C板间的电子恰能水平飞出，飞出方向可能沿O1O2，故C正确；若t＝0时刻进入A、C板间的电子恰能水平飞出，则此时竖直方向的速度为零，电场力做功为零，根据对称性可知，电子飞出的时刻为nT(n＝1,2,3，…)，电子的速度为v＝，根据洛伦兹力和电场力平衡可得Bev＝Ee，联立可得T＝(n＝1,2,3，…)，故D正确。 22．如图所示，甲是回旋加速器，乙是磁流体发电机，丙是速度选择器，丁是霍尔元件，下列说法正确的是(　　) A.甲图要增大粒子的最大动能，可增加电压U B.乙图可判断出A极板是发电机的负极 C.丙图可以判断出带电粒子的电性，粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是v＝ D.丁图中若载流子带负电，稳定时C板电势高 答案　B 解析　根据公式r＝得v＝，故最大动能Ekm＝mv2＝，与加速电压无关，故A错误；由左手定则知正离子向下偏转，所以下极板带正电，A板是电源的负极，B板是电源的正极，故B正确；电场的方向与B的方向垂直，带电粒子进入复合场，受电场力和洛伦兹力，且二力是平衡力，即qE＝qvB，所以v＝，不管粒子带正电还是带负电都可以匀速直线通过，所以无法判断粒子的电性，故C错误；若载流子带负电，由左手定则可知，负粒子向C端偏转，所以稳定时C板电势低，故D错误。 23．为监测某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的长方体流量计．该装置由绝缘材料制成，其长、宽、高分别为a、b、c，左右两端开口．在垂直于上下底面方向加一匀强磁场，前后两个内侧面分别固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经该装置时，接在M、N两端间的电压表将显示两个电极间的电压U.若用Q表示污水流量(单位时间内排出的污水体积)，下列说法中正确的是(　　) A．M端的电势比N端的高 B．电压表的示数U与a和b均成正比，与c无关 C．电压表的示数U与污水的流量Q成正比 D．若污水中正、负离子数相同，则电压表的示数为0 答案　C 解析　根据左手定则知，正离子所受的洛伦兹力方向向里，则向里偏转，N端带正电，M端带负电，则M端的电势比N端电势低，故A错误； 最终离子在电场力和洛伦兹力作用下平衡，有：qvB＝q，解得U＝vBb，电压表的示数U与b成正比，与污水中正、负离子数无关，故B、D错误；因v＝，则流量Q＝vbc＝，因此U＝，所以电压表的示数U与污水流量Q成正比，故C正确． 24．(多选)如图所示是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，分别与高频交流电源连接，两个D形金属盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两个D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，下列说法中正确的是(　　) A.加速电压越大，粒子最终射出时获得的动能就越大 B.粒子射出时的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径和磁感应强度有关 C.若增大加速电压，粒子在金属盒间的加速次数将减少，在回旋加速器中运动的时间将减小 D.粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为∶ 答案　BC 解析　粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvmB＝m，解得vm＝，则粒子获得的最大动能为Ekm＝mv＝，知粒子获得的最大动能与加速电压无关，与D形金属盒的半径R和磁感应强度B有关，故A错误，B正确；对粒子，由动能定理得nqU＝，加速次数n＝，增大加速电压U，粒子在金属盒间的加速次数将减少，粒子在回旋加速器中运动的时间t＝T＝将减小，故C正确；对粒子，由动能定理得nqU＝mv，解得vn＝，粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得qvnB＝m，解得rn＝，则粒子第5次被加速前、后的轨道半径之比为＝，故D错误。 25．磁流体发电的原理如图所示。将一束速度为v的等离子体垂直于磁场方向喷入磁感应强度为B的匀强磁场中，在相距为d、宽为a、长为b的两平行金属板间便产生电压。如果把上、下板和电阻R连接，上、下板就是一个直流电源的两极。若稳定时等离子体在两板间均匀分布，电阻率为ρ，忽略边缘效应，下列判断正确的是(　 ) A．上板为正极，电流I＝ B．上板为负极，电流I＝ C．下板为正极，电流I＝ D．下板为负极，电流I＝ 解析：选C　等离子体是由大量正、负离子组成的气体状物质，根据左手定则可知，正离子受到的洛伦兹力向下，负离子受到的洛伦兹力向上，所以下板为正极；当磁流体发电机达到稳定状态时，极板间的离子受力平衡qvB＝q，可得电动势E＝Bdv，根据闭合电路的欧姆定律，电流I＝，而电源内阻r＝ρ＝，代入得I＝，故C正确。 26．如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是(　 ) A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝ D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝ 解析：选B　由左手定则可知Q板带正电，P板带负电，所以金属棒ab中的电流方向为从a到b，对金属棒受力分析可知，金属棒受到的安培力方向沿导轨平面向上，由左手定则可知导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，由受力平衡可知B2IL＝mgsin θ，而I＝，而对等离子体受力分析有q＝qvB1，解得v＝。故B正确，A、C、D错误。 27．如图所示为电磁流速/流量仪的简化模型示意图，在磁感应强度为B的匀强磁场中，垂直于磁场方向放一个内径为D的不导磁管道，当导电液体在管道中以流速v流动时，导电液体切割磁感线产生电动势，在管道截面上垂直于磁场方向的直径两端安装一对电极，该电动势被信号电极采集，通过测量电压的仪表放大转换实现流速的测量，也可以实现流量(单位时间内流经某一段管道的流体体积)的测量。则关于电磁流速/流量仪的说法正确的是(　 ) A．测量电压仪表a端的电势高于b端的电势 B．稳定时信号电极采集到的电势差与流速v大小成反比 C．仪表盘如果是刻度盘，流速/流量刻度都是均匀的 D．流量的测量值与电磁流速/流量仪管道的长度成正比 [解析]　根据左手定则可知测量电压的仪表a端的电势低于b端的电势，A错误；当导电液体在管道中以流速v流动时，正负离子在磁场的作用下偏转，电极两端形成了电势差，当q＝qvB，即U＝BvD，电势差恒定，保持稳定输出，所以信号电极采集到的电势差与流速大小成正比，B错误；流量为Q＝＝，流量的测量值与流速v成正比，与电磁流速流量仪管道的长度无关，在仪表内部参数确定后，测量流速和流量的仪表盘刻度都是均匀的，C正确，D错误。 [答案]　C 28．笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件，电脑正常工作；当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件，屏幕熄灭，电脑进入休眠状态。如图所示，一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件，元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子，通入方向向右的电流时，电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中，于是元件的前、后表面间出现电压U，以此控制屏幕的熄灭。则元件的(　 ) A．前表面的电势比后表面的低 B．前、后表面间的电压U与v无关 C．前、后表面间的电压U与c成正比 D．自由电子受到的洛伦兹力大小为 解析：选D　由左手定则判断，电子所受的洛伦兹力指向后表面，后表面带负电，电势比前表面低，A错误。电子受力平衡后，U稳定不变，由e＝evB得U＝Bav，前、后表面间的电压U与v成正比，与c无关，故B、C错误。自由电子受到的洛伦兹力F＝evB＝，D正确。 29．(2026·河北沧州市五县联考一模)一磁约束装置的简化示意图如图所示。在内、外半径分别为R、R的环状区域内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从P点沿圆的半径方向射入磁场后恰好不会穿出磁场的外边界，且被约束在大圆以内的区域内做周期性运动，不计粒子重力，则该粒子的运动周期为(　　) A.(＋) B．(＋) C．(＋) D．(＋) [解析]　粒子运动的轨迹如图所示，根据几何关系有r2＋R2＝(R－r)2，tan α＝，解得r＝R，α＝30°，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝，所以粒子的运动周期T＝3··＋3·＝(＋)。 [答案]　C 30．2021年我国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图)，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，不计离子重力，则(　　) A．电场力的瞬时功率为qE B．该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B C．v2与v1的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变 答案　D 解析　根据功率的计算公式可知P＝Fvcos θ，则电场力的瞬时功率为P＝Eqv1，A错误；由于v1与磁场B平行，则根据洛伦兹力的计算公式知F洛＝qv2B，B错误；离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v2与v1的比值不断变小，C错误；离子受到的洛伦兹力大小不变，电场力大小不变，合力大小不变，则该离子的加速度大小不变，D正确。 二、计算、问答题 31．如图所示，在xOy平面内，有一以O为圆心、R为半径的半圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直坐标平面向里，磁感应强度大小为B。位于O点的粒子源向第二象限内的各个方向连续发射大量同种带电粒子，粒子均不会从磁场的圆弧边界射出。粒子的速率相等，质量为m、电荷量大小为q，粒子重力及粒子间的相互作用均不计。 (1)若粒子带负电，求粒子的速率v应满足的条件及粒子在磁场中运动的最短时间t； (2)若粒子带正电，求粒子在磁场中能够经过区域的最大面积。 解析：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则：qvB＝m 由几何关系有：r≤ 联立得：v≤ 粒子在磁场中做圆周运动的周期：T＝ 由粒子在磁场中运动的轨迹可得，沿y轴正向射入磁场中的粒子在磁场中运动时间最短，则：t＝ 联立可得：t＝。 (2)分析可得，粒子在磁场中能经过的区域为半圆，如图中阴影部分， 有几何关系可得该半圆的半径： r′＝R 面积：S＝πr′2 联立可得：S＝πR2。 答案：(1)v≤　　(2)πR2 32．如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N的电势差为U；边长为2L的立方体区域abcda′b′c′d′内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m，电量为＋q的粒子，以初速度v0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动，在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后，从正方形add′a′的中心垂直进入磁场区域，最后由正方形abb′a′中心垂直飞出磁场区域。忽略粒子受到的重力。求： (1)粒子进入磁场区域时的速率。 (2)磁感应强度的大小。 解析：(1)粒子在电场中加速，有动能定理可知： qU＝mv2－mv02 解得：v＝ 。 (2)根据题意分析可得粒子在磁场中运动的轨道半径R＝L 在磁场中运动时洛伦兹力提供了向心力，qBv＝m 解得：B＝。 答案：(1) 　(2) 33．如图所示，在y≥0的区域存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向均匀地不断发射速度大小均为v、质量为m、带电荷量为＋q的同种带电粒子。在x轴上距离原点x0处垂直于x轴放置一个长度为x0、厚度不计、能接收带电粒子的薄金属板P(粒子一旦打在金属板 P上，其速度立即变为0)。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与y轴平行。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力，求： (1)磁感应强度B的大小； (2)被薄金属板接收的粒子中运动的最长与最短时间的差值； (3)打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比。 答案　(1)　(2)　(3)1∶2 解析　(1)由左手定则可以判断带电粒子在磁场中沿顺时针方向做匀速圆周运动，沿－x方向射出的粒子恰好打在金属板的上方，如图a所示： 图a 则R＝x0，qvB＝m，联立得B＝。 (2)粒子做匀速圆周运动的周期为T，根据圆周运动公式可知T＝＝，图b为带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，由图可知，圆心O′与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成30°角，由图b可知到达薄金属板左侧下端的粒子用时最短，即t＝＝ 图c为打在右侧下端的临界点，圆心O″与坐标原点和薄金属板下端构成正三角形，带电粒子速度方向和x轴正方向成150°角，由图a、c可知到达金属板右侧下端的粒子用时最长，即t′＝＝，则被板接收的粒子中最长和最短时间之差为Δt＝t′－t＝。 (3)由图a和图c可知打在右侧面的粒子发射角为30°，由图b知打在左侧面的粒子发射角为60°，所以打在薄金属板右侧面与左侧面的粒子数目之比为＝＝。 34．如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T。磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×107 C/kg。现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。 解析　α粒子带正电，故其在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动。用R表示轨道半径，有qvB＝m 由此得R＝ 代入数值得R＝10 cm，可见2R>l>R。 因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在下图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心、R为半径、作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，垂线与ab的交点即为P1。即：NP1＝。 再考虑N的右侧。α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作弧，交ab于N右侧的P2点，此点即α粒子能打到的右侧最远点。 由图中几何关系得NP2＝，所求长度为P1P2＝NP1＋NP2 代入数值得P1P2＝20 cm。 答案　20 cm 35．如图所示，在xOy平面直角坐标系的第一象限有射线OA，OA与x轴正方向夹角为30°，OA与y轴所夹区域内有沿y轴负方向的匀强电场，其他区域存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场。有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从y轴上的P点沿着x轴正方向以初速度v0射入电场，运动一段时间后经过Q点垂直于射线OA进入磁场，经磁场偏转，过y轴正半轴上的M点再次垂直进入匀强电场。已知OP＝h，不计粒子重力，求： (1)粒子经过Q点时的速度大小； (2)匀强电场电场强度的大小； (3)粒子从Q点运动到M点所用的时间。 解析　(1)粒子做类平抛运动到Q点时将速度分解如图，可得vQ＝＝2v0 (2)vy＝vQcos 30°＝v0 P到Q，带电粒子做类平抛运动，设OQ＝L，则 x轴方向：Lcos 30°＝v0t y轴方向：h－Lsin 30°＝vyt vy＝at，qE＝ma 联立解得： t＝， L＝， E＝ (3)由题意得，粒子在磁场中做圆周运动的半径 r＝L＝h 粒子从Q运动到M点， 圆心角θ＝ 则运动时间t＝T＝＝×＝。 答案　(1)2v0　(2)　(3) 36．如图所示，直线PQ的左边为磁感应强度为B的匀强磁场，右边为电场强度为E的匀强电场。一带电荷量为q(q＞0)、质量为m的粒子从MN上的C点沿与MN成60°角的方向，以速度v射入匀强磁场，在磁场中发生偏转后从D点(图中未画出)垂直PQ进入匀强电场，最后到达MN上F点(图中未画出)，不计粒子重力，求： (1)从C点到F点所用的时间； (2)到达F点时的动能。 答案　(1)　(2)mv2＋ 解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则 qvB＝m r＝ 粒子在磁场中运动的周期为T＝＝ 根据轨迹知粒子在磁场中做圆周运动的时间为 t1＝T＝ 粒子从D运动到F做类平抛运动，竖直方向做初速为零的匀加速直线运动，则 r＋rsin 30°＝at a＝ 解得 t2＝ 故粒子从C点到F点所用的时间为 t＝t1＋t2＝。 (2)对粒子在电场中的运动过程，由动能定理有 qEr＝EkF－mv2 解得EkF＝mv2＋。 37．如图所示，在x轴上方有一匀强磁场方向垂直纸面向里。在x轴下方有一匀强电场，方向竖直向上。一个质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子从y轴上的a点(0，h)处沿y轴正方向以初速度v＝v0开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°角进入电场，经过y轴上b点时速度方向恰好与y轴垂直。求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间。 解析：(1)粒子运动轨迹如图 由图可得rcos 45°＝h 粒子在磁场中做圆周运动 qvB＝m 联立可得r＝h，B＝。 (2)粒子在x轴下方运动到b点过程中，易知vb＝vcos 45°，水平方向r＋rsin 45°＝vcos 45°·t2 竖直方向yb＝(vsin 45°＋0)t2 由动能定理得－Eqyb＝mvb2－mv2 联立可得t2＝h，yb＝h， E＝。 (3)粒子在磁场中运动总的圆心角 θ＝＋rad＝ rad 粒子在磁场中运动总的运动时间t1＝＝ 粒子从开始运动到第三次经过x轴t＝t1＋2t2 联立可得t＝＋2＋2。 答案：(1)　(2) (3)＋2＋2 38．如图甲所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电荷量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上。b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴p。忽略空气阻力，重力加速度为g。求： (1)油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离； (2)匀强电场的场强大小及油滴a、b结合为p后瞬间的速度； (3)若油滴p形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面周期性变化的磁场，磁场变化规律如图乙所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知p始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。(忽略磁场突变的影响) [解析]　(1)设油滴喷出时的速度为v0，油滴b做竖直上抛运动，有0＝v02－2gh，解得v0＝， 由运动学规律可得0＝v0－gt0， 解得t0＝ ， 对油滴a的水平分运动，有x0＝v0t0， 解得x0＝2h。 (2)两油滴结合之前，油滴a做类平抛运动，设加速度为a，有qE－mg＝ma，h＝at02， 解得a＝g，E＝， 设结合前瞬间油滴a的速度大小为va，方向向右上且与水平方向成θ角，则v0＝vacos θ，v0tan θ＝at0， 解得va＝2，θ＝45°， 两油滴的结合过程动量守恒，有mva＝2mvp， 联立解得vp＝，方向向右上且与水平方向成45°角。 (3)因qE＝2mg，油滴p在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r，周期为T，则qvpB＝2m，B＝， 解得r＝， 由T＝可得T＝， 即油滴p在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形，轨迹如图所示， 最小矩形的两条边长分别为2r、4r，则矩形区域的最小面积为Smin＝2r×4r＝。 [答案]　(1) 　2h　(2)　，方向向右上且与水平方向成45°角　(3) 39．如图甲所示，在xOy平面内存在磁场和电场，磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化，B的变化周期为4t0，E的变化周期为2t0，变化规律分别如图乙和图丙所示。在t＝0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力)，初速度大小为v0，方向沿y轴正方向，在x轴上有一点A(图中未标出)，坐标为。若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，y轴正方向为电场强度的正方向，v0、t0、B0为已知量，磁感应强度与电场强度的大小满足：＝；粒子的比荷满足：＝。 求： (1)在t＝时，粒子的位置坐标； (2)粒子偏离x轴的最大距离； (3)粒子运动至A点的时间。 [解析]　(1)在0～t0时间内，粒子做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 qB0v0＝mr1＝m 解得T＝2t0，r1＝＝ 则粒子在时间内转过的圆心角α＝ 所以在t＝时，粒子的位置坐标为。 (2)粒子的运动轨迹如图所示 在t0～2t0时间内，设粒子经电场加速后的速度为v，则v＝v0＋t0＝2v0 运动的位移x＝t0＝1.5v0t0 在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动， 半径r2＝2r1＝ 故粒子偏离x轴的最大距离h＝x＋r2＝1.5v0t0＋。 (3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0，故粒子在一个周期内向右运动的距离d＝2r1＋2r2＝ AO间的距离为＝8d 所以，粒子运动至A点的时间t＝32t0。 [答案]　(1)　(2)1.5v0t0＋　(3)32t0 40．如图，第一象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E；第二、三、四象限存在方向垂直xOy平面向外的匀强磁场，其中第二象限的磁感应强度大小为B，第三、四象限磁感应强度大小相等。一带正电的粒子，从x轴负方向上的P点沿与x轴正方向成α＝60°角平行xOy平面入射，经过第二象限后恰好由y轴上的Q点(0，d)垂直y轴进入第一象限，然后又从x轴上的N点进入第四象限，之后经第四、三象限重新回到P点，回到P点的速度方向与入射时相同。不计粒子重力。求： (1)粒子从P点入射时的速度v0； (2)粒子进入第四象限时在x轴上的N点到坐标原点O距离； (3)粒子在第三、四象限内做圆周运动的半径(用已知量d表示结果)。 答案　(1)　(2)d　(3)d 解析　(1)粒子在第二象限做圆周运动的半径为r1，圆心为O1，有qv0B＝m r1－r1sin 30°＝d 由上两式解得B＝ 粒子在第四、三象限中做圆周运动，由几何关系可知 β＝α＝60° 设粒子在x轴上N点的速度为v，有v＝＝2v0 又qEd＝mv2－mv 解得E＝ 所以v0＝ (2)设P点的纵坐标为(－xP，0)，由几何关系得xP＝d 设粒子在电场中运动的时间为t，N点横坐标为xN，则有d＝t xN＝v0t 解得xN＝d (3)粒子在第四、三象限中运动半径为r2，圆心为O2，则 2r2cos 30°＝d＋d 解得r2＝d 41．如图所示，静止于A处的离子，经电压为U的加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左。静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为E0，方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；QN＝2d、PN＝3d，离子重力不计。 (1)求圆弧虚线对应的半径R的大小； (2)若离子恰好能打在NQ的中点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值； (3)若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围。 解析　(1)离子在加速电场中加速，根据动能定理， 有：qU＝mv2 离子在辐向电场中做匀速圆周运动，静电力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qE0＝， 得：R＝。 (2)离子做类平抛运动，则 d＝vt， 3d＝at2， 根据牛顿第二定律，有qE＝ma， 得：E＝。 (3)离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有qvB＝， 得r＝·， 离子能打在QN上，则既没有从DQ边出去也没有从PN边出去，则离子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ。 由几何关系知，离子能打在QN上，必须满足： d<r≤2d， 则有·≤B<·。 答案　(1)　(2)　(3)·≤B<· 42．如图所示，在坐标系xOy平面的x＞0区域内，存在电场强度大小E＝2×105 N/C、方向垂直于x轴的匀强电场和磁感应强度大小B＝0.2 T、方向与xOy平面垂直向外的匀强磁场。在y轴上有一足够长的荧光屏PQ，在x轴上的M(10,0)点处有一粒子发射枪向x轴正方向连续不断地发射大量质量m＝6.4×10－27 kg、电荷量q＝3.2×10－19 C 的带正电粒子(重力不计)，粒子恰能沿x轴做匀速直线运动。若撤去电场，并使粒子发射枪以M点为轴在xOy平面内以角速度ω＝2π rad/s顺时针匀速转动(整个装置都处在真空中)。 (1)判断电场方向，求粒子离开发射枪时的速度大小； (2)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； (3)荧光屏上闪光点的范围距离； [解析]　(1)带正电粒子(重力不计)在叠加场中沿x轴做匀速直线运动，据左手定则判断可知洛伦兹力方向向下，所以电场力方向向上，电场方向向上，有qE＝qvB 解得速度v＝＝ m/s＝106 m/s。 (2)撤去电场后，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m 所以粒子在磁场中运动的轨迹半径 R＝＝ m＝0.1 m。 (3)粒子运动轨迹如图所示， 粒子打在荧光屏上最上端的点是B点，最下端打在A点 由几何知识可知dOA＝2Rcos 30°＝R，dOB＝R 所以荧光屏上闪光点的范围距离为dAB＝(＋1)R≈0.273 m。 [答案]　(1)106 m/s　(2)0.1 m　(3)0.273 m 43．如图，绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，电场强度大小为E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑，到达C点时离开MN做曲线运动．A、C两点间距离为h，重力加速度为g. (1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC； (2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf； (3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当小滑块运动到D点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的P点．已知小滑块在D点时的速度大小为vD，从D点运动到P点的时间为t，求小滑块运动到P点时速度的大小vP. 答案　(1)　(2)mgh－ (3) 解析　(1)小滑块沿MN运动过程，水平方向受力满足 qvB＋N＝qE 小滑块在C点离开MN时 N＝0 解得vC＝ (2)由动能定理得 mgh－Wf＝mv－0 解得Wf＝mgh－ (3)如图， 小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直．撤去磁场后小滑块将做类平抛运动，等效加速度为g′ g′＝ 且v＝v＋g′2t2 解得vP＝ 44．为了进一步提高回旋加速器的能量，科学家建造了“扇形聚焦回旋加速器”．在扇形聚焦过程中，离子能以不变的速率在闭合平衡轨道上周期性旋转． 扇形聚焦磁场分布的简化图如图7所示，圆心为O的圆形区域等分成六个扇形区域，其中三个为峰区，三个为谷区，峰区和谷区相间分布．峰区内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，谷区内没有磁场．质量为m，电荷量为q的正离子，以不变的速率v旋转，其闭合平衡轨道如图中虚线所示． (1)求闭合平衡轨道在峰区内圆弧的半径r，并判断离子旋转的方向是顺时针还是逆时针； (2)求轨道在一个峰区内圆弧的圆心角θ，及离子绕闭合平衡轨道旋转的周期T； (3)在谷区也施加垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B′，新的闭合平衡轨道在一个峰区内的圆心角θ变为90°，求B′和B的关系．已知：sin (α±β )＝sin αcos β±cos αsin β，cos α＝1－2sin2. 答案　(1)　逆时针　(2)　 (3)B′＝B 解析　(1)离子在峰区内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得qvB＝m 峰区内圆弧半径r＝ 由正离子的运动轨迹结合左手定则知，旋转方向为逆时针方向 (2)如图甲，由对称性，峰区内圆弧的圆心角θ＝ 每个圆弧的弧长l＝＝ 每段直线长度L＝2rcos ＝r＝ 周期T＝ 代入得T＝ (3)如图乙，谷区内的圆心角θ′＝120°－90°＝30° 谷区内的轨道圆弧半径r′＝ 由几何关系rsin ＝r′sin 由三角关系sin ＝sin 15°＝ 代入得B′＝B. 45．如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线(图中平行于导体板的虚线)通过N。不计重力。 (1)求粒子加速器M的加速电压U； (2)求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向； (3)仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。 [解析]　(1)根据功能关系有qU＝mv2 解得U＝。 (2)粒子在速度选择器N中所受电场力与洛伦兹力平衡 则有Eq＝qvB 解得E＝vB，方向垂直导体板向下。 (3)电场力做正功，根据功能关系有Ek＝qU＋Eqd 解得Ek＝mv2＋qBvd。 [答案]　(1)　(2)vB　垂直导体板向下 (3)mv2＋qBvd 46．如图甲所示，质量为m，带电荷量为－q的带电粒子在t＝0时刻由a点以初速度v0垂直进入磁场，Ⅰ区域磁场的磁感应强度大小不变、方向周期性变化，如图乙所示(垂直纸面向里为正方向)；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场，磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B0。粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过MN的时刻均为整数倍，则： (1)粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？ (2)若初始位置与第四次经过MN时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值(初始位置记为第一次经过MN)。 解析：(1)带电粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，即qv0B0＝m 解得r＝。 (2)画出带电粒子的两种运动轨迹示意图。 第一种情况：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝ qv2B0＝m 解得粒子在Ⅲ区域速度大小：v2＝ 第二种情况：粒子在Ⅲ区域运动半径R＝ 解得粒子在Ⅲ区域速度大小：v2＝－2v0。 答案：(1)或　(2)或－2v0 47．某离子实验装置的基本原理图如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ区长度d＝4R，内有沿y轴正向的匀强电场，Ⅱ区内既有沿z轴负向的匀强磁场，又有沿z轴正向的匀强电场，电场强度与Ⅰ区电场强度等大。现有一正离子从左侧截面的最低点A处以初速度v0沿z轴正向进入Ⅰ区，经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区，在以后的运动过程中恰好未从圆柱腔的侧面飞出，最终从右侧截面上的C点飞出，B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图所示)，已知离子质量为m、电荷量为q，不计离子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)离子到达B点时速度的大小； (3)Ⅱ区中磁感应强度的大小； (4)Ⅱ区的长度L应为多大。 答案　(1)　(2)v0　(3) (4)nπR＋R(n＝1,2,3，…) 解析　(1)离子在Ⅰ区做类平抛运动，根据类平抛运动的规律有4R＝v0t，＝at2，根据牛顿第二定律有a＝，解得电场强度的大小为E＝。 (2)类平抛过程由动能定理有 ＝mv2－mv02， 解得离子到达B点时速度的大小为v＝v0。 (3)离子在Ⅱ区内做复杂的旋进运动。将该运动分解为垂直于B方向平面内的匀速圆周运动和z轴正方向的匀加速直线运动，根据题意可得，在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示。 设临界圆半径为r，根据几何知识有(R－r)2＝r2＋，解得离子的轨道半径为 r＝R，离子沿y轴正方向的速度为 vy＝＝v0，则根据洛伦兹力提供向心力有 qvyB＝ 解得Ⅱ区中磁感应强度大小为B＝。 (4)离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为 T＝，由题意知离子在Ⅱ区运动的时间为T的整数倍，离子在z轴正方向上做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式可得L＝v0nT＋a(nT)2(n＝1,2,3，…)，联立解得 Ⅱ 区的长度为L＝nπR＋R(n＝1,2,3，…)。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $