第2章 专题提升课6 电磁感应中的动量问题-【优学精讲】2026-2027学年高中物理选择性必修二同步教参（教科版·新教材）

专题提升课6　电磁感应中的动量问题 微专题一　动量定理的应用 1．电荷量的求解 (1)恒定电流的电荷量可以用q＝It求解。 (2)变化的电流的电荷量则需用动量定理求解。 2．动量定理的应用 (1)如图，导体棒运动时会受到向左的安培力F＝BIl＝，I、v、F均随时间变化。考虑很短的时间Δt，由动量定理得 －BIlΔt＝－·Δt＝mΔv 对等式两边求和，考虑到 ∑IΔt＝q，∑vΔt＝x，∑Δv＝v′－v0 可得－Blq＝－＝m(v′－v0) 由此式可知，若知道导体棒的速度变化量，就能得出该运动过程通过电路的电荷量q、位移x，反之亦可以求出末速度v′。 (2)上面是通过微元法求和分析的，由于动量定理只考虑初末状态，我们还可以从整体上以平均值的角度分析。 导体棒运动位移x时， ΔΦ＝Blx，＝，＝，x＝Δt，q＝Δt， 则－Δt＝－BlΔt＝－Blq＝－＝m(v′－v0)。　 　如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是(　　) A．ab杆将做匀减速运动直到静止 B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C．ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D．ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 [解析]　ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小FA＝，加速度大小a＝＝，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为时，加速度大小a＝，故B正确；对ab杆，由动量定理得－LBΔt＝m－mv0，即BLq＝mv0，解得q＝，即通过定值电阻的电荷量为，故C错误；由q＝＝，解得ab杆通过的位移x＝＝，故D错误。 [答案]　B 　(多选)(2025·河南省华大联考期中)如图所示，平行光滑金属导轨间距为L，导轨处在竖直向上的匀强磁场中，两个相同的金属棒ab、cd垂直于导轨平行放置，与导轨始终接触良好，每个金属棒的质量均为m，接入电路的电阻均为R0。开始时cd棒锁定在轨道上，对ab棒施加水平向右的恒定拉力F，经时间t，ab棒的速度达到最大值v，此时撤去拉力，同时解除对cd棒的锁定，导轨足够长且电阻不计，则(　　) A．匀强磁场的磁感应强度大小B为 B．撤去拉力时ab棒前进的距离为2vt－ C．撤去拉力时ab棒前进的距离为vt－ D．全过程中回路产生的焦耳热为Fvt－ [解析]　ab棒匀速时受力平衡，有F＝BIL，E＝BLv，I＝，解得B＝，故A正确；ab棒从开始运动到匀速，由动量定理有Ft－＝mv，解得x＝vt－，故B错误，C正确；对撤去拉力后到cd杆、ab杆皆匀速的过程，由动量定理有mv＝2mv共，解得v共＝，对全过程，由能量守恒定律有Fx－Q总＝mv×2，解得Q总＝Fvt－，故D正确。 [答案]　ACD 　如图所示，一对间距L＝1 m、足够长的平行光滑金属导轨固定于绝缘水平面上，导轨左端接有R＝0.5 Ω的电阻，长度与导轨间距相等的金属棒ab垂直放置于导轨上，其质量m＝0.1 kg，电阻也为R，整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝1 T。水平向右的恒力F＝4 N作用在金属棒ab上，当t＝2 s时，金属棒ab的速度达到最大，随后撤去力F，金属棒最终静止在导轨上。导轨电阻忽略不计，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)金属棒ab运动的最大速度v； (2)撤去拉力F前通过定值电阻R的电荷量； (3)撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移。 [解析]　(1)当金属棒ab所受合力为零时，棒的速度最大，对棒ab有F＝F安＝ 所以金属棒ab运动的最大速度v＝＝4 m/s。 (2)前2 s内对棒ab，由动量定理得 Ft－BLt＝mv－0 其中q＝t＝ 解得q＝7.6 C。 (3)撤去拉力后，对棒ab利用动量定理得 －BLt＝0－mv 其中q′＝t＝＝0.4 C 根据法拉第电磁感应定律有＝ 由闭合电路的欧姆定律有＝ 联立可得q′＝＝ 所以撤去拉力F后金属棒ab继续沿水平轨道运动的位移x＝＝0.4 m。 [答案]　(1)4 m/s　(2)7.6 C　(3)0.4 m 微专题二　动量守恒定律的应用 　 如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所处空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b。开始时金属棒b静止，金属棒a获得向右的初速度v0。 (1)试分析金属棒a、b的运动情况，两金属棒稳定后分别做什么运动。 (2)在运动过程中两金属棒受到安培力的冲量有什么关系？把两棒作为一个系统，该系统的动量怎样变化。 (3)金属棒a、b稳定后的速度大小是多少？ (4)从两金属棒开始运动至稳定的过程中产生的焦耳热是多少？ [提示]　(1)金属棒a向右运动切割磁感线，根据右手定则可知在回路中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则可知，a棒受到向左的安培力， b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做减速运动，b棒在安培力作用下做加速运动，b棒切割磁感线产生顺时针方向的感应电流；两棒的速度差减小，总电动势E＝ BL(va－vb)减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，即a棒做加速度减小的减速直线运动，b棒做加速度减小的加速直线运动，两金属棒稳定后均做匀速直线运动。 (2)两金属棒所受安培力冲量等大反向，系统的合外力为零，两棒组成的系统动量守恒。 (3)设最终达到的共同速度为v，由动量守恒定律得mv0＝2mv，解得v＝。 (4)据能量守恒定律可知，整个过程产生的焦耳热Q＝mv－×2mv2，解得Q＝mv 1．守恒条件分析 在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大、反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。 2．解题三大观点 (1)动力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。 (2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒所受的安培力大小相等、方向相反，通常情况下系统的动量守恒。 (3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。 　(多选)如图所示，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动。运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，回路中的电流用I表示。下列图像中可能正确的是(　　) [解析]　以两导体棒为研究对象，在导体棒运动过程中，两导体棒所受的安培力大小相等、方向相反，且不受其他水平外力作用，在水平方向两导体棒组成的系统动量守恒，对系统有mv0＝2mv，解得两导体棒运动的末速度v＝v0，棒ab做变减速运动，棒cd做变加速运动，稳定时两导体棒的加速度均为零，一起向右做匀速运动，A正确，B错误；两棒之间的速度差Δv＝v1－v2逐渐减小，整个系统产生的感应电动势逐渐减小，回路中感应电流逐渐减小，最后变为零，C正确，D错误。 [答案]　AC 　(2026·辽宁沈阳市期中)如图所示，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为L和2L，分别处于磁感应强度大小为2B和B的竖直向下匀强磁场中，导轨右端接一阻值为R的电阻。金属棒a、b分别置于左、右两侧导轨上，a的电阻为r、长度为L、质量为m，b的电阻为2r、长度为2L、质量为2m。初始时刻开关S断开，静止的两棒用绝缘丝线连接，两棒间置有劲度系数为k、压缩量为x0的轻质绝缘弹簧，弹簧与两棒不连接。剪断丝线，弹簧恢复原长时，a恰好脱离导轨，b速度大小为v0，此时闭合S。已知弹簧弹性势能Ep＝kx2(x为弹簧形变量)，整个过程中两棒与导轨垂直并接触良好，右侧导轨足够长，所有导轨电阻均不计，求： (1)初始时刻a棒距导轨左端的距离xa； (2)弹簧恢复原长过程中，a棒上产生的热量Qa。 [解析]　(1)设弹簧弹开两棒的过程中，任一时刻流过两棒的电流为I，则有Fa＝2BIL＝Fb＝BI·2L 故两棒系统动量守恒，根据动量守恒定律可得 ma＝2mb 则有a＝，b＝ 且有xa＋xb＝x0 整理可得mxa＝2mxb 联立解得xa＝，xb＝。 (2)弹簧恢复原长时，根据动量守恒定律有 mva＝2mv0 根据能量守恒定律有 kx＝mv＋·2mv＋Qa＋Qb 结合题意可知＝ 解得Qa＝－mv。 [答案]　(1)　(2)－mv 　 1．常见双杆模型 2．解答“双杆”模型的技巧 (1)确定电源：两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl|v1－v2|。 (2)分析电路结构：分析内、外电路，以及外电路的串并联关系，画出等效电路图。 (3)动量、能量分析：若双杆系统所受外力的矢量和为零，首先用动量守恒定律求速度，再用能量守恒定律求电能。若双杆系统所受合外力不为零，应考虑应用动量定理进行求解。 (4)位移分析：利用动量定理结合磁通量的变化量进行求解。 1．(动量定理和动量守恒定律的综合应用)(多选)如图所示，两足够长、阻值不计、间距为L的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，两导轨所在区域存在着竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场，质量均为m的导体棒ab、cd垂直放在金属导轨MN、PQ上，并与导轨保持良好接触，接入电路的导体棒长度均为L、阻值均为R。现给导体棒ab一个水平向右的瞬时冲量，使其获得水平向右的初速度v0，则关于ab、cd两棒此后的整个运动过程，下列说法正确的是(　　) A．ab、cd两导体棒组成的系统动量守恒 B．ab、cd两导体棒最终都将停止运动 C．整个过程中，ab棒上产生的焦耳热为mv D．整个过程中，流过ab棒的电荷量为 解析：选AD。ab、cd棒与导轨组成闭合回路，则两棒中的电流相等，由左手定则可知，两棒所受安培力大小相等、方向相反，则ab、cd两导体棒组成的系统所受合外力为0，故系统动量守恒，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律可得mv0＝2mv，得v＝，即ab、cd两导体棒最终以的速度匀速运动，故A正确，B错误；由能量守恒定律得mv＝×2m×＋Q，得Q＝mv，则ab棒上产 生的焦耳热Qab＝Q＝mv，故C错误；对ab棒由动量定理有－FAt＝mv－mv0，即－LBt＝－，又q＝t，得q＝，故D正确。 2．(动量守恒定律的应用)如图所示，两根光滑的导轨平行放置，导轨的水平部分放在绝缘水平面上，水平部分所在空间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。两根完全相同的金属棒ab和cd的质量均为m、接入电路的电阻均为R，将cd置于导轨的水平部分与导轨垂直放置，将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直放置，ab离水平面的高度为h，重力加速度为g，现将ab由静止释放，假设两棒不会相碰。求： (1)cd棒最终的速度大小； (2)整个过程中产生的焦耳热Q。 解析：(1)ab下落过程中，由机械能守恒定律得 mgh＝mv，解得v1＝ ab进入水平面后ab和cd组成的系统动量守恒， mv1＝2mv2，v2＝。 (2)由能量守恒定律得整个过程中产生的焦耳热 Q＝mv－×2mv＝mgh。 答案：(1)　(2)mgh 学科网（北京）股份有限公司 $