第三十章投影与视图（期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

第三十章 投影与视图　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 投影 1.1 投影、投影线与投影面 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫作物体的投影。当光线照射到物体上时，物体在一些平面上会投下影子；照射到物体上的光线称为投影线，投影所在的平面称为投影面。 示例：灯光照在手上形成手影，其中灯光的光线是投影线，墙面是投影面。 1.2 中心投影 由同一个点光源发出的光线形成的投影叫作中心投影。点光源叫作投影中心。 示例：路灯照到人身上，在地面留下的人影就是中心投影。 图1：中心投影 线段在中心投影下的图形 线段 的位置 中心投影的形状 平行于投影面 是线段 ，此时 ，所以 ，线段 是线段 放大后的图形 不平行于投影面，且两个端点不在同一条投影线上 是线段 ，它的长度可能等于 ，也可能不等于 两个端点在同一条投影线上 两个端点的中心投影重合，此时是一个点 平面图形在中心投影下的图形 当 与投影面平行时， 的中心投影也是一个三角形， 是 放大后的图形， 与 是相似的。一般地，在中心投影下，当一个平面图形与投影面平行时，这个平面图形的中心投影与原平面图形是相似的。 1.3 平行投影 由平行的投影线所形成的投影叫作平行投影。由于太阳与地球之间的距离非常遥远，所以太阳光在到达地面时可以近似看作是平行的射线，太阳光下形成的影子都可以看作是平行投影。 示例：太阳光照射在窗框上形成的窗影、照射在树上形成的树影都是平行投影。 图2：平行投影 线段在平行投影下的图形 线段 的位置 平行投影的形状 平行于投影面 是一条线段 ，此时四边形 是一个平行四边形，所以 不平行于投影面且不平行于投影线 是一条线段 ，此时 与 不平行，其长度可能等于也可能不等于 两个端点在同一条投影线上 是一个点 平面图形在平行投影下的图形 当矩形 平行于投影面时，它的平行投影是矩形 ，它们的形状相同、大小相等。一般情况下，当一个平面图形与投影面平行时，所得的平行投影与原平面图形是全等的。 2. 三视图 2.1 正投影与视图 投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影。用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形通常称为物体的视图。 2.2 三视图（主视图、俯视图、左视图） 使用三个相互垂直的平面作为投影面：正对我们的平面称为正面，下方的平面称为水平面，右边的平面称为侧面。 主视图：从前向后观察物体时在正面上得到的视图。 俯视图：从上向下观察物体时在水平面上得到的视图。 左视图：从左向右观察物体时在侧面上得到的视图。 主视图、俯视图和左视图统称为三视图。三视图能够正确地反映物体在长、宽和高方面的情况。 图3：三视图 2.3 长、宽、高 物体左右之间的水平距离称为长，前后之间的水平距离称为宽，上下之间的竖直距离称为高。 2.4 三视图反映的尺寸关系 视图 反映物体的尺寸 主视图 长和高 俯视图 长和宽 左视图 宽和高 在三视图中，三个视图的大小是相互关联的：主视图与俯视图可以显示同一个物体的长，主视图与左视图可以显示同一个物体的高，左视图与俯视图可以显示同一个物体的宽。 2.5 画三视图的方法 在画一个立体图形的三视图时，通常首先选择一个主视角方向，画出它的主视图，再将俯视图画在主视图的下方，并将左视图画在主视图的右侧。可见的轮廓线画成实线（或点），而被遮挡、无法看见的轮廓线画成虚线。 2.6 直棱柱 由几个多边形围成的封闭的几何体，其中有两个全等的多边形（它们所在的平面互相平行），其余的多边形都是矩形，这样的立体图形叫作直棱柱。 在直棱柱中，各个多边形叫作直棱柱的面，各相邻面的公共边叫作直棱柱的棱，多边形的顶点叫作直棱柱的顶点；那一对全等且所在的平面互相平行的面叫作直棱柱的底面；其余的各个面（都是矩形）叫作直棱柱的侧面；相邻两个侧面的公共边叫作直棱柱的侧棱。 底面是三角形、四边形……的直棱柱分别称为直三棱柱、直四棱柱……。长方体和正方体都是直四棱柱。 图4：直棱柱 2.7 圆柱、圆锥、球的三视图 立体图形 主视图 俯视图 左视图 圆柱 矩形 圆 矩形 球 圆 圆 圆 圆锥 等腰三角形 圆（含圆心） 等腰三角形 圆柱在正面上的正投影是一个矩形，在水平面上的正投影是一个圆，在侧面上的正投影也是一个矩形；球在三个方向上的正投影都是圆。圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆（圆心是圆锥顶点在底面的正投影）。 注意：同一个物体在以不同的方式摆放时可能会有不同的三视图。 图5：圆锥的三视图 2.8 根据三视图想象立体图形 根据三视图想象一个立体图形时，首先需要根据主视图、俯视图和左视图分别想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后综合考虑这些视图，想象整体的立体图形。若无特别说明，本章中所讨论的立体图形（实物）仅限于直棱柱、圆柱、圆锥和球。 3. 立体模型的制作 3.1 平面展开图 有些立体图形（比如直棱柱）可以沿着某些线（如棱线）剪开，将立体图形的表面展开成一个平面图形，这个平面图形称为该立体图形的平面展开图。在实际生产中，三视图和平面展开图通常结合使用，通过它们可以制作出一个立体图形的模型。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 中心投影的相似比 平行于投影面的线段 ，在投影中心 的中心投影下得到线段 ，由 得 ，故 （对应边成比例）。据此可由已知线段长求投影长或光源到物体的距离。 1.2 平行投影的等长性与全等性 线段平行于投影面时，其平行投影与原线段等长（）；平面图形平行于投影面时，其平行投影与原图形全等。由此可用平行投影把一个图形”平移复制”到投影面上而不改变其形状、大小。 1.3 三视图的尺寸对应规律（“长对正、高平齐、宽相等”） 三视图满足”长对正、高平齐、宽相等”：主视图与俯视图的长相等（对正），主视图与左视图的高相等（平齐），左视图与俯视图的宽相等（相等）。据此由两个视图的对应尺寸，可推断第三个视图的尺寸。 1.4 常见立体图形的三视图识别 俯视图是矩形时，对应直棱柱（长方体、正方体等）；俯视图是圆时，再据主（左）视图区分：矩形 → 圆柱，等腰三角形 → 圆锥，圆 → 球。俯视图是否含圆心可进一步区分圆锥（含）与圆柱、球（不含）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 画三视图的四步 先选主视方向 → 画出主视图 → 俯视图画在主视图正下方 → 左视图画在主视图正右方；可见的轮廓线画实线、被遮挡的轮廓线画虚线。如底面为等边三角形的直三棱柱，左视图中看不见的侧棱应画成虚线。 2.2 由三视图还原立体图形的两步 先分别由主视图、俯视图、左视图想象立体图形的前面、上面、左侧面，再综合三个视图想象整体。如主视图是矩形、俯视图是圆、左视图是矩形 → 圆柱。 2.3 确定中心投影点光源的位置 连接物体顶端与其影子顶端并延长，多组延长线的交点即点光源的位置。如已知木桩 的影子 、木桩 的影子 ，连接 、 并延长，交点即为点光源。 2.4 由三视图求表面积 先由三视图还原立体图形 → 再画出其平面展开图（或直接按视图标注的数据）→ 套相应公式计算。如底面为等边三角形的直三棱柱，表面积 = 侧面积 两个底面积。 3. 投影、识图与运算小技巧 技巧 要点 示例 判投影类型 光线从同一点发出是中心投影，光线平行是平行投影；太阳光近似平行 路灯、手电筒、吸顶灯是中心投影；太阳、探照灯是平行投影 记”长对正、高平齐、宽相等” 主视图与俯视图的长相等，主视图与左视图的高相等，左视图与俯视图的宽相等 已知俯视图宽为 ，则左视图宽也是 被遮挡轮廓画虚线 看不见的轮廓线画成虚线，才能完整反映形状 直三棱柱左视图中间有一条竖直虚线 俯视图圆是否含圆心 圆锥俯视图是圆且含圆心；圆柱、球俯视图是圆但不含圆心 俯视图为圆且含圆心 → 圆锥 4. 常见考试模型 4.1 由三视图求表面积 / 体积 公式：先由三视图还原立体图形（直棱柱、圆柱、圆锥、球），再套表面积、体积公式。直棱柱表面积 侧面积 底面积；圆柱侧面积 、体积 ；圆锥侧面积 （ 为母线长）、体积 ；球表面积 、体积 。 限定：注意视图标注的单位，区分直径与半径；题目要求”结果保留 “或”精确到……“时按题意作答。 示例：如圆柱三视图标注高 、底面直径 （单位 ），则 ，体积 。 4.2 中心投影测高（相似三角形） 公式：利用中心投影下 的对应边成比例，由”物高 : 影长”的比例关系列式求高或求距离。 限定：物体与投影面（地面或墙面）平行时才能用相似；注意区分”到光源的距离”与”影子的长度”。 示例：如甲身高 、影长 ，灯泡到地面的距离为 ，由相似三角形可求出甲到路灯的距离 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把中心投影与平行投影混淆，只看物体不看光线来源 典例：下列物体发出的光线所形成的投影是平行投影的是（　） Ａ. 壁灯　Ｂ. 手电筒　Ｃ. 太阳　Ｄ. 吸顶灯 错解：选 Ａ 或 Ｂ 或 Ｄ。 正解：选 Ｃ。太阳光到达地面时近似平行，是平行投影；壁灯、手电筒、吸顶灯的光线都是从一点（灯泡）发出的，是中心投影。 原因：概念理解错误。学生只记住”中心投影是灯泡、平行投影是太阳光”的表面印象，没有抓住本质区别——光线是否从同一点发出。壁灯、手电筒、吸顶灯虽然形态不同，但光线都发自一个点光源，都是中心投影；只有太阳光（距离极远）可近似看作平行射线。判断的关键是”光线的来源”，不是”灯具的名称”。 易错点 2：三视图尺寸对应关系记反 典例：关于三视图反映物体的尺寸，下列说法正确的是（　） Ａ. 主视图反映物体的长和宽　Ｂ. 俯视图反映物体的宽和高　Ｃ. 左视图反映物体的长和高　Ｄ. 主视图反映物体的长和高 错解：选 Ａ 或 Ｂ 或 Ｃ。 正解：选 Ｄ。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的宽和高。口诀”长对正、高平齐、宽相等”：主视图与俯视图的长相等，主视图与左视图的高相等，左视图与俯视图的宽相等。 原因：对应关系混淆。学生没有建立”观察方向 → 反映哪两个维度”的空间对应：主视图是”从前向后”看，看到长（左右）和高（上下）；俯视图是”从上向下”看，看到长和宽；左视图是”从左向右”看，看到宽和高。根源是机械背口诀而不理解视图的观察方向。 易错点 3：画三视图时被遮挡的轮廓线漏画虚线 典例：画出底面为等边三角形的直三棱柱的三视图。 错解：左视图只画成一个矩形，中间被遮挡的侧棱没有画出来。 正解：左视图是一个矩形，且矩形中间有一条竖直的虚线（表示被遮挡的侧棱）。 原因：条件遗漏。学生画三视图时只关注”看见的部分”，忽略了”看不见但存在的轮廓线也要用虚线表示”这一要求。根源是对”三视图要完整反映立体图形的形状”理解不到位——若不画虚线，就无法从视图判断内部结构，三视图就失去了”完整反映形状”的意义。 易错点 4：圆锥俯视图漏画圆心，或把圆柱俯视图误画成含圆心 典例：某几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆，则该几何体是（　） Ａ. 圆柱　Ｂ. 圆锥　Ｃ. 球　Ｄ. 不能确定 错解：选 Ｄ（认为只凭俯视图是圆，无法区分圆柱、圆锥、球）。 正解：选 Ｂ。主、左视图都是等腰三角形且俯视图是圆（含圆心），可确定是圆锥。圆锥的俯视图是圆，且中间有一个点（圆锥顶点在底面的正投影，即圆心）。 原因：细节遗漏。学生画圆锥俯视图时只画一个圆，忘了圆心是”顶点在底面的正投影”必须画出；反过来，又把圆柱俯视图误画成含圆心，混淆了圆柱（无顶点）与圆锥（有顶点）。根源是没有把”圆锥顶点在底面的正投影恰是圆心”这一几何事实与俯视图中的”点”联系起来。 易错点 5：由三视图还原立体图形只凭一个视图，不综合判断 典例：某几何体的主视图是矩形，则这个几何体（　） Ａ. 一定是长方体　Ｂ. 一定是圆柱　Ｃ. 可能是长方体，也可能是圆柱　Ｄ. 是球 错解：选 Ａ（只凭主视图是矩形就断定是长方体）。 正解：选 Ｃ。仅凭主视图是矩形，几何体可能是长方体（俯视图是矩形、左视图是矩形），也可能是圆柱（俯视图是圆、左视图是矩形），还可能是其他组合体，需要综合俯视图、左视图才能确定。 原因：以偏概全。学生没有理解”一个视图只能反映物体在某个方向上的形状，不能完整反映物体的整体结构”这一前提，拿到一个视图就下结论。根源是忽略了”由三视图还原立体图形”必须三个视图综合、互相印证。 学科网（北京）股份有限公司 $