第二十九章三角初步（期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

第二十九章 三角初步　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 锐角的正弦、余弦与正切 1.1 锐角的正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦。 在 中，若 ，直角边 和 分别称为 的对边和邻边。锐角 的正弦记作 ，其值为 （其中 、 分别是 、 的对边）。 示例：在 中，，，，则 。 1.2 锐角的余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦。 在 中，，锐角 的余弦记作 ，其值为 。 示例：在 中，，，，由勾股定理得 ，则 。 1.3 锐角的正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切。 在 中，，锐角 的正切记作 ，其值为 。 示例：在 中，，，，则 。 1.4 正弦、余弦与正切值的唯一确定性 一般地，如果一个锐角的大小确定了，那么这个锐角的正弦、余弦与正切值也是唯一确定的；反之，如果一个锐角的正弦、余弦或正切值确定了，那么这个锐角的大小也是唯一确定的。 示例： 且 为锐角时，必有 。 注意：当角 在 到 的范围内增大时， 的值也增大。 示例：，所以 。 1.5 特殊锐角 、、 的三角函数值 示例：，，。 1.6 用计算器求锐角的三角函数值 利用计算器的功能键 、、，可以求出给定锐角的正弦、余弦和正切值；利用它们的第二功能，可以由给定锐角的正弦、余弦或正切值反过来求出这个锐角的大小。由于初中阶段表示角度的单位是”度、分、秒”，使用计算器时首先必须进入”角度单位”中的”度”模式。 示例：求 ，可先按 键，再输入 、 的度分秒值，最后按 ，得结果 。 2. 解直角三角形 2.1 直角三角形中元素之间的关系 在 中，设 ，它的三条边和两个锐角这五个元素之间满足以下关系： 1. 三边之间的关系：（勾股定理）； 1. 两锐角之间的关系：； 1. 边角之间的关系：，，。 示例：在 中，，，则 ；若 ，由 得 ，再由 得 。 2.2 解直角三角形的定义 在直角三角形中，根据已知元素求出所有未知元素的过程，称为解直角三角形。 示例：已知 中 ，，，由勾股定理求 ，再用三角函数求 、，即为解直角三角形。 2.3 解直角三角形的条件 由相似三角形的相关性质可知，至少需要知道直角三角形的一条边长。在直角三角形中，只要已知两条边长或者一条边长与一个锐角，就可以求得其他所有角和边。 示例：已知两条直角边可先由勾股定理求斜边，再用三角函数求锐角；已知一边一锐角可先用两锐角互余求另一锐角，再用三角函数求边。 3. 解直角三角形的应用 3.1 仰角与俯角 仰角指的是在水平线上方的视线与水平线所成的夹角；俯角指的是在水平线下方的视线与水平线所成的夹角。 示例：从地面上仰视旗杆顶端，视线与水平线所成的角是仰角；从楼顶俯视地面物体，视线与水平线所成的角是俯角。 3.2 坡度与坡角 坡度指的是斜坡上升的垂直距离与水平距离的比（一般表示为 的形式）；坡角指的是斜坡与地面的夹角。 示例：某斜坡的垂直距离 与水平距离 之比 ，则坡度为 ，坡角 满足 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 同角的正弦、余弦与正切关系 对任意锐角 ，有 ，且 。 1.2 互余两角的三角函数关系 若 ，则 ，，（即 ）。 1.3 已知正切求正弦、余弦（设 法） 已知 ，设 的对边为 、邻边为 （），由勾股定理得斜边为 ，于是 ，。如 ，则 ，。 1.4 三角函数值随角度的变化规律 当 时， 随 增大而增大， 随 增大而减小， 随 增大而增大；且 ，，。 1.5 特殊角的记忆规律 、、 的正弦值分别为 、、（分母均为 ，分子依次为 、、）；余弦值的分子恰好反过来，依次为 、、；正切值依次为 、、。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 解直角三角形的两种基本类型 已知两边：先用勾股定理求第三边，再用三角函数求锐角；已知一边一锐角：先用两锐角互余求另一锐角，再用三角函数（或勾股定理）求其余两边。如已知 、，则 ，。 2.2 构造直角三角形的方法 遇等腰三角形、一般三角形或不含直角的情形，通过作高构造直角三角形再解。如等腰三角形作底边上的高，既得直角三角形又平分底边；求一般三角形的面积常作某一边上的高。 2.3 解直角三角形应用题的步骤 审清题意（识别仰角、俯角、方向角、坡度、坡角）→ 画出图形、构造直角三角形 → 选择适当的三角函数建立等式 → 计算并检验、作答。近似计算时中间结果比要求的精确度多保留一位小数。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 特殊角求值 熟记 、、 的三角函数值表代入即可； 表示 设 法 已知三角函数值（比值），设对应边为 的倍数，用勾股定理求其余边 已知 ，设对边 、斜边 ，则邻边 由函数值反求角 特殊角的函数值直接反查角度，一般值用计算器第二功能 且 为锐角，则 比较大小 利用三角函数值随角度的增减性比较 ， 4. 常见考试模型 4.1 仰角、俯角测高模型 公式：物高 测点到被测物的水平距离 （仰角或俯角），再加上（或减去）测角仪（观测点）自身的高度。 限定：仰角视线在水平线上方、俯角在下方，两者选用 或 不同；测角仪高度不可忽略。 示例：距旗杆 处测得仰角 ，测角仪高 ，则旗杆高 。 4.2 坡度、坡角模型 公式：坡度 （坡角），一般写成 的形式。 限定：坡度是比值不是角度，坡角才是角度；由坡度求坡角需用 的第二功能反查。 示例：大坝迎水坡坡度 ，坝高 ，则水平距离为 ，坡长再由勾股定理求得。 4.3 方向角（航海）模型 公式：把航行路线与目标连线放入直角三角形，用 、、 建立边长关系求解距离。 限定：注意”北偏西”“南偏东”等方向的起始边；是否触礁需比较目标到航线的垂直距离与危险半径。 示例：货轮由西向东航行， 处测小岛在南偏西 ，再向东 海里后于 处测其在南偏西 ，作垂线求小岛到航线的距离再判断是否触礁。 4.4 测河宽（公共高）模型 公式：河宽即点 到对岸 的垂直距离 ，在 、 中用 表示 、，由 列方程。 限定：、 及 已知时使用； 是两个直角三角形的公共直角边。 示例：，，，则 ，解得河宽 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：对边、邻边、斜边识别错误 典例：在 中，，，，求 。 错解：。 正解： 的对边是 ，由勾股定理 ，所以 。 原因：概念理解错误。学生看到”“就习惯性地把 当作对边、默认求的是 的三角函数，忽视了”对边、邻边”是相对所研究的锐角而言的——同一条直角边对不同锐角而言既可能是对边也可能是邻边。求某个角的三角函数前，必须先锁定这个角，再定位它的对边与邻边。 易错点 2：特殊角三角函数值记混 典例：求 的值。 错解：。 正解：。 原因：记忆混淆。 和 的正弦、余弦值互为颠倒（、；、），学生凭模糊印象套错。可借助”含 角的直角三角形中， 角所对直角边等于斜边的一半”来记忆 ，再推出其余值。 易错点 3：已知正切求正弦、余弦时误把直角边比例直接当成三角函数值 典例：已知 为锐角，，求 、。 错解：，。 正解：设 的对边为 、邻边为 （），斜边 ，所以 ，。 原因：概念理解错误。学生把”对边∶邻边 “误当成”对边 、斜边 “，或直接把比值当函数值。 只给出两条直角边的比例，必须设比例系数 ，用勾股定理求出斜边后，才能由定义求 、；且 、 的值必小于 ，得到 本身即可判断有误。 易错点 4：已知两边求锐角时选错三角函数 典例：在 中，，，，求 。 错解：，所以 。 正解： 是 的邻边， 是斜边，所以 ，。 原因：边角对应混乱。学生没有先判断已知边 、 相对于所求角 的位置，习惯性地套用 却把邻边当成了对边。解直角三角形前务必画出图形、标注已知元素，明确”这条边是这个角的对边还是邻边”，再选用 、 或 。 易错点 5：应用题混淆仰角与俯角 典例：测绘员在楼顶 处测得电线杆底部 的俯角为 ，下楼后测得 到楼房底部 （在点 的正下方）的距离为 ，求楼高 。 错解：把俯角误当作仰角，作辅助线时把视线画在水平线上方，误列 ，得 。 正解：俯角是在水平线下方视线与水平线所成的角。过 作水平线，则 ，所以 。 原因：概念理解错误。仰角、俯角都以”水平线”为基准：视线在水平线上方是仰角、在下方是俯角。学生常因站在高处向下看而把方向搞反，导致三角函数关系式颠倒。凡遇仰角、俯角，先过观测点作水平线，明确视线在水平线的上方还是下方，再定位所求的直角三角形。 易错点 6：忽略锐角三角函数值的范围 典例：已知 为锐角，且 ，判断这样的 是否存在。 错解：存在，由计算器可查得 的近似值。 正解：不存在。因为锐角 的对边小于斜边，所以 ，而 ，与锐角的正弦值小于 矛盾，故不存在这样的锐角 。 原因：忽略隐含条件。学生机械地接受”方程解出的值”却忘了锐角三角函数的取值范围约束（，）。凡求出 、 后应立即检验是否在 与 之间，超出即说明题目无解或前面计算有误。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $