第二十章二次根式（期中知识清单）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

第二十章 二次根式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 二次根式及其性质 1.1 二次根式的定义 形如 的代数式（其中 为有理式），叫作二次根式。例如，、、、、 等，都是二次根式。 示例：、 都是二次根式；、 这样的有理式不是二次根式。 1.2 二次根式有意义的条件 在实数范围内，负数没有平方根，所以如 、（）这样的式子没有意义， 有意义的条件是代数式 的值不小于 0，即 。 示例： 有意义需 ，即 ； 有意义需 ； 对任意实数 都有意义。 注意：如无特别说明，本章出现的二次根式的变形与运算总是在二次根式有意义的前提下进行。 1.3 二次根式的性质 因为 表示 的算术平方根，所以 的平方等于 。 性质1 （）。 示例：；（其中 ）。 性质2 。 示例：；。 注意：当 时， 的算术平方根为 ；当 时， 的算术平方根为 ；当 时， 的算术平方根为 。 性质3 （，）。 示例：；。 性质4 （，）。 示例：。 1.4 化简二次根式 把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为化简二次根式。 示例：；。 注意：形如 （ 为整式）的代数式称为完全平方式，如 、。为了方便，我们常把形如 （其中 、 为有理式）的代数式也称为二次根式，如 、、 等。 1.5 最简二次根式 由以上观察，可以发现：(1) 被开方数中各因式的指数都为 ；(2) 被开方数不含分母。我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。 示例：、、 都是最简二次根式；、 不是最简二次根式。 注意：在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式。 2. 二次根式的运算 2.1 同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式。例如， 与 是同类二次根式，而 与 不是同类二次根式。 示例：，，化成最简后被开方数都是 ，是同类二次根式。 2.2 二次根式的加减 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式。为了合并同类二次根式，应当先把各个二次根式化成最简二次根式。 示例：。 2.3 二次根式的乘法 应用二次根式的性质3从右向左进行转化，即得二次根式相乘的法则：。 示例：；。 2.4 二次根式的除法 同样地，二次根式的性质4给出了二次根式相除的法则，即 。 示例：；。 2.5 分母有理化 把分母中的根号化去的过程称为分母有理化。分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号。 示例：；。 2.6 有理化因式 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式。例如， 与 互为有理化因式， 与 互为有理化因式。 示例：； 的一个有理化因式可取 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 二次根式的双重非负性 表示 的算术平方根，因此 ；同时被开方数 。二者合称”双重非负性”，是求字母取值、求最值的常用依据。如由 可得 ，。 1.2 与 的区别 ，其成立以 为前提（先开方后平方）；，结果随 的符号而定（先平方后开方）。两者运算顺序相反，切忌混用。 1.3 完全平方式移出根号 （）。被开方数中的完全平方式用其算术平方根（非负数）代替后移出根号；若已知 ，可省略绝对值写成 。如 。 1.4 有理化因式与共轭式 （不再含根号），故 与 互为有理化因式； 与 互为有理化因式（积为 ）。 1.5 分母有理化的三种常用结果 ；；（分母要求 且原式有意义）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 化最简二次根式的步骤 被开方数分解为”完全平方式（平方数）与其余因式”之积 → 完全平方式用算术平方根替代移出根号（注意加绝对值）→ 化去被开方数中的分母（分子、分母同乘适当代数式使分母成完全平方式）。如 ，由 知 ，故为 。 2.2 二次根式加减的步骤 先化最简 → 找出同类二次根式 → 合并（同类二次根式系数相加减，根式部分不变）。如 。 2.3 解含二次根式方程与不等式 移项、合并同类二次根式 → 系数化 （两边同除以含根式的系数）→ 结果分母有理化。解不等式时，若两边同除以负数系数，不等号方向要改变。如 ：移项得 ，因 ，故 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 3.1 常用化简结果速记 原式 化简结果 原式 化简结果 3.2 大小比较与运算技巧 技巧 要点 示例 平方法比较大小 比较两个非负数的大小，可比较它们的平方 与 ：平方得 与 ，故 夹逼法估算 找相邻整数 、 使 ，则 ，故 ， 的整数部分为 先化简再判同类 判断同类二次根式，先化最简再比较被开方数 与 是同类 分母有理化速记 单项根式分母乘自身；二项式分母乘共轭式 ； 非负性求值 多个非负式之和为 ，则每个都为 ，则 ， 4. 常见考试模型 4.1 非负性求值模型 公式：若 （各加数均为非负数），则 。 限定：根式、绝对值、偶次方都非负，必须”和为 “这一条件才可让各项同时为 。 示例：如 ，则 且 ，即 ，。 4.2 隐含条件模型 公式： 隐含 ； 隐含 ； 隐含按 的符号分情况脱绝对值。 限定：先由隐含条件确定字母范围，再化简、求值或解方程；讨论要完整，不要漏掉等于 的临界情形。 示例：如化简 ： 时等于 ， 时等于 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：二次根式有意义，漏”等于”或把被开方数条件写错 典例：当 取何值时， 有意义？ 错解：由 ，得 。 正解：由 ，得 。所以当 时， 有意义。 原因：忽略”被开方数可以等于 “。学生把”有意义”（被开方数 ）与”结果为正”（被开方数 ）混为一谈，认为根号内必须大于 。实际上 是有意义的，“有意义”对应的是”非负”而非”正”。 易错点 2：化简 型漏绝对值 典例：化简 。 错解：。 正解：。因为 ，所以 ，故 。 原因：概念理解错误。把 与 混为一谈，忽略了算术平方根的结果是非负数，而 本身可能为负。 表示 的算术平方根，其结果应等于 ，需要看 的符号再脱绝对值。 易错点 3：完全平方式移出根号忘加绝对值 典例：化简 。 错解：。 正解：。当题中未说明 的符号时，只能写成 ；若补充条件 ，才可写成 。 原因：条件遗漏。移出根号时用的是”算术平方根”，算术平方根是非负数；学生直接把 开方成 ，忘记 可能为负，须用 保证结果非负。 易错点 4：判断同类二次根式前未先化简 典例：判断 与 是否为同类二次根式。 错解：因为被开方数 ，所以不是同类二次根式。 正解：，，化成最简二次根式后被开方数都是 ，所以是同类二次根式。 原因：方法遗漏。判断同类二次根式必须先”化成最简二次根式”，再比较被开方数，而不是直接比较原式中的被开方数。学生跳过化简这一步，只看表面数字不同就下结论。 易错点 5：分母有理化用错平方差公式 典例：把 分母有理化。 错解：。 正解：。 原因：公式记忆错误。分母有理化用平方差公式 ，学生把它记成 或把中间的”减号”写成”加号”。此外还要注意分母展开后是 ，别把结果继续带着分母。 易错点 6：误把”和”拆成平方和，错用乘法性质 典例：化简 。 错解：。 正解：。 原因：负迁移。把乘法性质 （，）错误推广到加法，误认为 。实际上 必须先算出 再开方，根号对”和”没有分配律。 学科网（北京）股份有限公司 $