专题特训4 与圆有关的不规则图形面积的求法&专题特调5 构造辅助圆-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 专题特训四 与圆有关的不规则图形面积的求法 类型一 和差法 模型特征：根据所给图形，将所求图形的面积转化为几个规则图形的面积的和或差 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D.若BC=42,则图 中阴影部分的面积为 () A.π+1 B.π+2 C.2π+2 D.4π+1 0 (第1题) (第2题) 2.如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O,分别以点A,C为圆心，AO的长 为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中涂色部分的面积为 (结果保留π)· 3.[2025青岛中考]如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=2√3，点C在OB上，且OC=AC.延 长CB到点D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作□ACDE,求图中涂色部分的面积（结果保留π）. (第3题) 4.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点D,交CA的延长线于点E,连结DE,且 ∠C=∠E (1)求证：BD=CD. (2)若AC=4,BD=2AD,求涂色部分的面积. 0 D (第4题) 58 第3章圆的基本性质 类型二 割补法 模型特征：将不规则的组合图形经过分割、拼合后，转化成规则的几何图形，再结合面积公式求解 5.如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，连结AC,则图中涂色部分的面积是 () A.9 B.6 C.3 D.12 B B E (第5题) (第6题) 6.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，E,F分别为BC,AD的中点，以点C为圆 心，2为半径作BD,再分别以点E,F为圆心，1为半径作BO,OD,则图中涂色部分的面积为 类型三等积转化法 模型特征：适用情形：①图中某些空白部分可通过对称、旋转等方式使之和部分阴影（涂色）面积相等，进而将阴 影（涂色）部分转化为规则图形；②利用全等的三角形、同底等高的三角形面积相等转化. 7.如图，正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的半径为2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB的 延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为 () A.4π-4 B.4π-8 C.8π-4 D.8π-8 C (第7题) (第8题)》 8.如图，将四边形ABCD绕顶点A按顺时针方向旋转45至四边形AB'C'D'的位置.若AB=4,则 图中涂色部分的面积为 9.如图，AB是⊙O的直径，CD,EF是⊙O的弦，且AB//CD//EF,AB=10,CD=6,EF=8,求图 中阴影部分的面积. E腕 (第9题) 59 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 类型四容斥原理法 模型特征：有的涂色部分的面积是由两个基本图形相互重叠得到的，此时求涂色部 模型图示：① 分面积常用的方法：两个基本图形的面积之和一组合图形的面积=涂色部分的面 ⑨ 积.如图，求涂色部分的面积：S0十S@十S@十Sg=2S国，S0十S。十S。=S方形， ③ 1 S徐色=S8=2S国一S正方形： 10.如图，在正方形ABCD中，AB=1,分别以点A,D为圆心，1为半径作BD和AC,两块涂色部 分的面积分别记为S1和S2,则S1一S2等于 () D (第10题) A.-1 R1-牙 C.3-1 D1-8 11.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，以点A为圆心，AC长为半径 画弧，交AB于点E,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点F,求图中涂色部分的 面积. (第11题) 60 >“答案与解析”见D38 第3章圆的基本性质 专题特训五 构造辅助圆 类型一定（动）点定长模型 1.*如图，AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°，则∠CAD的度数为 A.68 B.88° C.90° D.112 (第1题) (第2题) 2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P是直线AB上的一个动点，AE=2,将△APE沿PE翻 折形成△FPE,连结F℃，则FC长的最小值是 ,点F到线段BC的最短距离是 类型二对角互补模型 3.如图，AB为⊙O的直径，AB=4,C,D为圆上的两个动点，N为CD的中点，CM⊥AB于点M, 当点C,D在圆上运动保持∠CMN=30时，CD的长 () A.随点C,D的运动而变化，且最大值为4 B.随点C,D的运动而变化，且最小值为2 C.不随点C,D的运动而变化，为定值2 0 D.随点C,D的运动而变化，没有最值 (第3题) 类型三直径对直角模型 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=90°.若∠CAD=30°，CD=3,则BC的长为 B E (第4题) (第5题) 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5,AD=4,AD<BC,点E在线段BC 上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE,则线段BF长的最小值为 类型四定弦对定角模型 6.*如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC=∠ADC=45°，AC=6,则AD长的最大值为 (第6题) 7.在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(一6,0)，C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45时，点 C的坐标为 ●“答案与解析”见D40 61∠CDG=∠BDH, CD=BD, 所以△CDG≌△BDH.所以S△cx= ∠DCG=∠B, 5am,所以5ea=Sam=号X1X1=2·所以 S亲色第分=S前无BDr一S四边无GCH=S前无mr一S△CD附= 90x×12_1=x-1 3602=4-2 R G￥ (第6题) 方法归纳 求不规则几何图形面积的方法 一般不能直接利用公式求解，常用的方法有：①等 积变形法：②和差法：③割补法：④迁移变换法：⑤化 零为整法等.解题的思想都是将不规则图形的面积转化 为规则图形（可直接求面积的图形，如三角形、特殊四边 形、圆、扇形等)的面积或规则图形面积的和与差 7.于+2如图，连结OE.因为DE/AB,OH=EF,所以 四边形HOEF是平行四边形.所以HF=OE.因为OF⊥ AB,DE∥AB,所以OF⊥DE.所以DF=EF.又因为 OH=EF,所以DF=OH.所以DF+AH=AO.所以 DF+AH+HF=AO+OE=AB.因为AB=2,所以 DF+AH十HF=2.因为E是BC上一动点，所以当点E 与，点C重合时，AD的长最大，此时涂色部分的周长最大. 因为AC=2BC,所以∠BOC=60°.所以AD的长为 6-号所以涂色部分的周长的景大值为号+2 180 H (第7题) 8.(1)如图，过点O'作OD⊥BC于点D.由题意，易得 ∠CBA'=30°，O'B=O'A'=10cm,BD=CD.因为O'C= O'B,所以∠O'CB=∠CBA'=30°.所以∠BO'C=120°.所 以BC的长为120x×10-20 180 π(cm).(2)由(1)，易得 O'D=5cm,BD=5√3cm.所以BC=2BD=10W3cm.所 以5=号×xX10-(20X10-x10w5x） 360 D (号+255)m (第8题) 微专题·平面图形中的滚动问题 1.15十元圆心O运动的路径如图所示.因为O0, AB=10.0,0,的长度为90mX2=元，0,0，=BC=5,所 180 以圆心0运动的路程是10十π+5=15+元 0 B C 0 (第1题) 2.(1)如图，连结AC,A,C.因为∠ABC=∠BCD= 90°，BC=4cm,AB=3cm,所以AC=√AB2+BC √32+4=5(cm).因为∠A,CD,=∠ACD,所以 ∠ACA,=∠A,CD,+∠ACB=∠ACD+∠ACB= ∠BCD=90°.因为∠A2B'A,=90°-30°=60°，所以点 A翻滚到点A,的位置时共走过的路径长为90X元X5+ 180 60XπX3_7(cm.(2)根据题意，得线段AB扫过 180 2 的面积为S第形ACA,+S△A,C一S前蒂xB'一S△C+ S前无A1BA2 90XπX52 2×3X4-90XxX41 1 360 360 十 3X4+60Xr☒3=5r(cm2). 360 E 30 B (第2题)》 专题特训四 与圆有关的不规则图形 面积的求法 1.B连结OD.因为在△ABC中，AB=AC,∠B=45°，所 以∠C=45°.所以∠BAC=90°.所以△ABC是等腰直角三 角形.因为BC=42,所以易得AC=AB=4.因为AB为 ⊙0的直径，所以B0=D0-AB=2因为OD-0B, 38 ∠B=45°，所以∠B=∠BDO=45°.所以∠DOA= ∠BOD=90°.所以阴影部分的面积=S韦AoD十S△n= 0+号×2x2=对2 360 2.4一元因为四边形ABCD为正方形，所以AB=BC= 2,∠DAB=∠DCB=∠ABC=90°.在Rt△ABC中，由勾 股定理，得AC=√AB2+BC=2√2.因为O为AC的中 点，所以0A=OC=2AC=2.所以S色部分=22- 90XX(5)×2=4-元 360 3.如图，过点A作AH⊥OD于点H.因为∠AOB=30°， 0A=25,所以AH=20A=5.因为0C=AC,所以 ∠AOB=∠OAC=30°.所以∠ACB=∠AOB+∠OAC= 30°+30°=60°.所以∠CAH=90°-∠ACB=90°-60°= 30°.所以在Rt△AHC中，AC=2CH.设CH=x,则AC= 2x.在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH2+AH2=AC2, 即x2+(3)2=(2x)2,解得x=1或x=一1（舍去）.所以 AC=2.所以CD=AC=OC=2.所以S,包部分=S△0c+ 1 SUACDE一Sm无A0B=2 X2×3+2×√5- 30π×(2√3)2 360 =3√3一π. 0 CHBD (第3题)》 4.(1)连结AD.因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB= 90°.所以AD⊥BD.又因为∠E=∠B,∠C=∠E,所以 ∠B=∠C.所以AB=AC.所以BD=CD.(2)连结 OD,OE.因为BD=2AD,所以∠BOD=2∠AOD.又 ∠B0D+∠A0D=180,所以∠A0D=号×180°=602.所 以∠B=号∠A0D=30因为∠B=∠C=30,所以 ∠OAE=∠B+∠C=30°+30°=60°.因为OA=OE,所以 △AOE是等边三角形.因为AB=AC=4,所以OA= OE=AE=号AB=2所以S*B=Sme-Sw 60xX22W3 360 5.A如图，设AC与半圆交于点E,半圆的圆心为点O, 连结BE,OE.因为四边形ABCD是正方形，所以 ∠ABC=90°，AB=BC=6,∠BCE=45°.因为BC是半圆 O的直径，所以∠BEC=90°.所以∠CBE=45°.所以 ☑CBE=∠CE.所以易得BE-=CE-号BC=32.所 易得弓形BE的面积=弓形CE的面积.所以S色都分 5e=Sawe-SaE=号X6X6-号X32X3E=9. 0 0 (第5题) 6.π一2如图，连结BD,EF.因为正方形ABCD的边长 为2，O为对角线的交点，所以EF,BD经过点O,且EF⊥ AD,EF⊥CB.因为E,F分别为BC,AD的中点，所以 FD=FO=EO=EB=1,OB=OD,OB=OD.所以弦OB 和OB围成的图形的面积等于弦OD和OD围成的图形的 面积.所以涂色部分的面积等于弦BD和BD围成的图形 的面积所以s5:e,=5w一5m-”罗-名× 2×2=π一2. B (第6题) 7.A因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAD=90°， AOLBD,AO=CO=BO=DO=2.所以AC=BD=4.由 对称性可知，S号AB=S号形？，S马形AD=S号CD,所以 S9身=S-SAm-90xX4-号 360-2×4X2=4r-4. 8.2π因为将四边形ABCD绕顶点A按顺时针方向旋转 45°至四边形AB'C'D'的位置，所以∠BAB'=45°，四边形 ABCD≌四边形AB'C'D'.所以S四边表An=Sm边ABC'p· 所以S亲色部分一S四边无AD十S豹无BAB'一S四边无ACT一 S特Bn-45XxX4=2元 360 9.如图，连结CO并延长，交⊙O于点G,连结OD,OE, OF,DG.因为CG是⊙O的直径，所以∠CDG=90°.所以 在Rt△CDG中，DG=√CG-CD=√102-6=8.又 因为EF=8,所以DG=EF.所以DG=EF.所以 S蒂G=S第无ar.因为AB∥CD∥EF,所以SAcn S△ACD,S△OFr=S△ABr.所以S阴事都分=S豹形COD十S前无Or= 5m+5a-Sa号xX10÷2r-2 1 (第9题) 39 10.A如图，记两块空白部分的面积分别为S3,S.根据 题意，得S正方An=S,十S,十Sg+S1①；S帝DAB十 S扇无Ax=2S1+S+S1②.由②-①，得S1-S2= SnMa十Sx-SE市n=90XI'+90X1-1X 360 360 1-1. S (第10题) 11.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 2√2，所以∠A=∠B=45°.所以S亲色都分=S前CaB十 S扇无Or一S△Ax= 5aXX2-立×2x2i= 360 2π-4 专题特训五构造辅助圆 1.B如图，因为AB=AC=AD,所以点B,C,D在以点 A为圆心，AB长为半径的圆上.因为∠CBD=2∠BDC, ∠BAC=2∠BDC,所以∠CBD=∠BAC.又因为 ∠CAD=2∠CBD,所以∠CAD=2∠BAC=2×44°=88°. C (第1题) 方法归纳 利用定点定长构造辅助圆 当条件中出现两个或两个以上的，点到某一定点的 距离相等时，我们可以尝试以这个定点为圆心、各点到 定，点的距离为半径构造一个圆，往往能够在问题的条件 与结论之间架设新的桥梁，从而使解题思路“柳暗花明”」 2.2√13-22如图，连结CE,过点E作EG⊥BC于 点G.由折叠可知，EF=AE=2,所以点F在以点E为圆 心，2为半径的圆上运动.因为四边形ABCD为矩形，所以 ∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=BC=8,CD=AB=4.所 以DE=AD一AE=8-2=6.在Rt△CDE中，由勾股定 理，得EC=√DE+CD=√6+4区=2√3，所以当点 F在线段EC上时，FC的长取得最小值，为2√3一2.因 为EG⊥BC,所以∠BGE=∠DAB=∠ABC=90°.所以四 边形ABGE是矩形.所以EG=AB=4.所以当点F在线 0 段EG上时，点F到线段BC的距离最短，为4一2=2. A C (第2题) 3.C如图，连结OC,ON,OD.因为N是CD的中点， OC=OD,所以ON⊥CD,∠CON=∠DON.又因为 CM⊥AB,所以∠ONC+∠CMO=180°.所以O,N,C,M 四点共圆.所以∠NOC=∠NMC=30°.所以∠COD= 2∠NOC=60°.又因为OC=OD,所以△OCD为等边三角 形所以CD=OC=2AB=2.所以CD的长不随，点C,D 的运动而变化，为定值2. (第3题) 4.6因为∠BAC=∠BDC=90°，所以A,B,C,D四，点共 圆.如图，取BC的中点O,以BC为直径作⊙O.因为 ∠CAD=30°，所以∠CBD=∠CAD=30°.在Rt△BCD 中，BC=2CD=6. (第4题) 5.√29-2如图，设AD的中点为O,以AD为直径画 圆，连结OB,设OB与⊙O的交点为F'.因为∠ABC= ∠BAD=90°，即∠ABC+∠BAD=180°，所以AD∥BC. 所以∠DAE=∠AEB.因为∠ADF=∠BAE,所以 ∠DFA=∠ABE=90°.所以点F在以AD为直径的半圆 上运动.所以当点F运动到OB与⊙O的交点F处时，线 段BF的长有最小值.因为AD=4,所以AO=OF'= 名AD=-2所以0=VAB+0=V尽+交-网. 所以线段BF长的最小值为√29一2. (第5题) 40 6.62因为∠ABC=∠ADC=45°，所以A,C,D,B四 点在同一个圆上.如图，作⊙O经过A,C,D,B四点，连结 AO,OC,延长AO交⊙O于点D'.当AD为⊙O的直径 时，AD的长有最大值，为AD'的长.因为∠ADC=45°，所 以∠AOC=90°.因为OA=OC,所以△AOC是等腰直角三 角形.因为AC=6,所以易得AO=3√2.所以AD'= 2AO=6√2，即AD长的最大值为6√2. (第6题) 方法归纳 利用定弦、定角构造辅助圆 若固定线段所对的动角的度数为定值，则可以构造 辅助圆解题」 (1)如图，若固定线段AB所对的动角∠P的度数 为定值，则构造过A,B,P三点的辅助圆. P(动) P(动) A (2)如图，若固定线段AB所对的同侧动角∠P= ∠C,则构造过A,B,C,P四点的辅助圆。 P(动) P(动) 7.(0,12)或(0，一12) 思路导引 点A(4,0),B(-6,0) C为动点，∠BCA=45 过A,B,C三，点的圆P 圆周角∠ACB=45° 勾股定理和 B、 垂径定理 求y轴正半轴上，点C的坐标 类比求y轴负半轴上点C的坐标 设线段BA的中点为E.因为点A(4,0),B(一6,0)，所以 AB=10,E(一1,0).如图①，过点E在第二象限作EP⊥ BM,且EP=号AB=5,则易知△PBA为等腰直角三角 形，∠BPA=90°，PA=PB=5√2.以点P为圆心，PA(或 PB)长为半径作⊙P,与y轴的正半轴交于点C.因为 ∠BCA为⊙P的圆周角，所以∠BCA=号∠BPA=45, 则点C即为所求.过点P作PF⊥y轴于点F,则OF= PE=5,PF=1.在Rt△PFC中，PF=1,PC=5√2，由勾 股定理，得CF=√PC2-PF=√(5√2)2-1=7，所以 OC=OF+CF=5+7=12.所以点C的坐标为(0,12).如 图②，同理可求得y轴负半轴上点C的坐标为(0，一12). 综上所述，点C的坐标为(0,12)或(0，一12. y ① ② (第7题) 专题特训六与圆有关的综合问题 1(①因为点A(-1.0)在地物线3=号r+2十 上，所以-号一号+(=0，解得。=2所以驰物线对应的函 2x2+3 数表达式为y= x+2.(2)连结DB.在 y=-7x+号x+2中，令y=0,得-22+号x2= 1 3 0解得=4，=-1.所以B4,0.在y=一号十 2x+2中，令x=0,得y=2,所以C(0,2).因为⊙D经过 3 B,C两点，所以DB=DC.设点D的坐标为(0，y),则 DB2=(4-0)2+(0-y)2=16+y2,DC2=(2-y)2,所以 16十y=(2-y)2,解得y=-3.所以点D的坐标为(0，一3). 2.(1)∠CPD是CD的“幸运角”.理由：因为弦CE⊥AB, AB是⊙O的直径，所以AB平分EC.所以AB为EC的垂 直平分线.所以PC=PE.因为AB⊥EC,所以∠CPA ∠EPA=∠BPD.所以∠CPD是CD的“幸运角”. (2)因为D的度数为，所以∠CED-兰.因为CEL AB,所以∠APE=90°-∠CED=90°-？.所以∠BPD= ∠APE=90°-2.所以∠APC=∠BPD=90°-2.所以 41