3.2 圆心角-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

BDCE是菱形 10.如图，连结AG,作线段AG和线段HG的垂直平分线 交于点O,HG的垂直平分线交HG于点K,交EF于点 M,连结OG,则A,G,H三点刚好在以点O为圆心，OG为 半径的圆上.因为∠BCD=∠DEF=90°，四边形ABCJ, CDEI,EFGH均为正方形，AB=2dm,CD=3dm,EF 5dm,所以易得AC=2√2dm,EC=3√2dm,EG= 5√2dm.所以AG=10√2dm,AE=EG=52dm.所以E 为线段AG的中点.因为∠GEF=45°，OE⊥AG,所以 ∠OEF=45°.所以易得△OEM是等腰直角三角形.所以 M0=EM=2ER.因为1HG=EF=5dm,所以OK=5+ 号(dm,KG=号dm所以在R△0KG中，0G= 2 vKc+0派=√侵》+(-5dm.所以该 金属框的半径为5而 2 dm (第10题) 3.2圆心角 1.C因为AB=BC=CD,所以∠AOB=∠BOC= ∠DC=80°.所以∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC- ∠C0D=360°-80°-80°-80°=120°.所以AD的度数 为120°. 2.等边因为OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,且OD= OE=OF,所以AB=BC=CA.所以△ABC是等边三角形. 3.20 思路导引 AB-BC 连结OA,OB OA-OB-OC ∠AOB=∠BOC ∠OBC=∠OCB,∠OAB=∠OBA ∠0BA=∠0BC=号∠ABC ∠0CB=2∠ABC 连结OA,OB,则OA=OB=OC,所以∠OBC=∠OCB, ∠OAB=∠OBA.因为AB=BC,所以∠AOB=∠BOC. 所以2180-∠A0B)=180°-∠B0C),即∠OBA= ∠OB.因为∠ABC=40°，所以∠OCB=∠OBC= 3∠AC=20 4.因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CD.所以 AB=CD.因为M为AD的中点，所以AM=DM.所以 AB+AM=CD+DM,即BM=CM.所以BM=CM, 5.A如图，连结OA.因为AB=CD,所以∠AOB= ∠COD,即∠BOD+∠AOD=∠AOC+∠AOD.因为 ∠BOD=84°，所以∠AOC=∠BOD=84°.因为OA=OC,所 以∠A00=号(180-∠A0C)=号×180-8M)=48 (第5题) 6.B取AB的中点E,连结OE,AE,BE,则AE=EB.所 以AE=EB,∠AOE=∠BOE.因为∠AOB=2∠BOC= ∠AOE+∠BOE,所以∠AOE=∠BOE=∠BOC.所以 AE=BE=BC,AE=BE=BC.在△AEB中，因为AB< AE+BE,所以AB<2BC.故①错误.因为AB=AE+ BE,所以AB=2BC.故②正确.因为OA=OB=OC,所以 ∠OBA-2(180°-∠AOB)=90°-∠B0C,∠OCA= 名1s0-∠A0C)=90-号∠0C所以∠0BA≠ 3 ∠OCA.故③错误.综上所述，正确的个数是1. 易错警示 由圆心角、弧、弦之间的相等关系误得倍数关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条孤、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等.但应注意的是，同圆中或等圆中，当两个圆心角或 两条孤存在倍数(1倍除外)关系时，对应的两条弦不存 在相应的倍数关系 7.125如图，过点O作OM⊥DE于点M,OK⊥FG于点 K,OP⊥HI于点P.因为DE=FG=HI,所以OM= OK=OP.所以AO平分∠BAC,CO平分∠ACB.所以 ∠0AC-∠BMC,∠0CA=号∠BCA.因为∠B=70, 所以∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°.所以∠OAC+ ∠CA=号（∠nAC+∠BCA)-×10=55所以 26 ∠AOC=180°-（∠0AC+∠0CA)=180°-55°=125. G (第7题) 8.(1)如图，连结OC.因为C是ACB的中点，所以AC BC.所以∠COD=∠COE.因为OA=OB,AD=BE,所以 OA一AD=OB一BE,即OD=OE.在△COD和△COE (OD=OE, 中，3∠COD=∠COE,所以△COD≌△COE.所以CD= C0=C0, CE.(2)如图，连结OM,ON.由(1)知，△COD≌ △COE,所以∠CO=∠CEO,∠OCD=∠OCE.因为OC= OM=ON,所以∠OCM=∠M,∠OCN=∠N.所以 ∠M=∠N.因为∠CDO=∠M+∠MOD,∠CEO= ∠N+∠NOE,所以∠MOD=∠NOE,即∠MOA= ∠NOB.所以AM=BN. 0 B N (第8题) 9.A如图，连结AC,OC,OB,过点B作BH⊥AO交AO 的延长线于点H.设⊙O的半径为r,因为CD垂直平分半 径0A,所以AC-0C,0D=号0A=.因为0A-0C, 所以OA=OC=AC.所以△OAC是等边三角形.所以 ∠AOC=60°.因为C是AB的中点，所以∠BOC= ∠AOC=60°.所以∠BOH=180°-∠AOC-∠BOC= 180°-60°-60°=60°.所以∠OBH=90°-∠BOH=90° 60=30.所以0H=号0B=号.所以BH= V0s-0m√P-(可-，DH=0D+0H r.因为在Rt△BHD中，BH+DH=BD,所以 (停)广'+=(27)，解得r=4或r=-4(舍去.所以 ⊙0的半径为4. (第9题) D 10.4√2一4<0D<2√如图①，连结OC,当点M落在 OB上时，CD⊥OB.因为C是AB的中点，所以AC=CB. 因为∠A0B=90°，所以∠A0C=∠COB=号∠AOB= 45°.因为∠CD0=90°，所以∠DCO=∠COD=45°.所以易 用cD-0D号0C-号×1-2E如图8当点M洁在 OA上时，连结CM,CB,CO,DM,过点C作CT⊥OB于点 T,CJ⊥OA于点J,则∠CJO=∠JOT=∠OTC=90°，所 以四边形JOTC是矩形.因为易知OT=TC,所以四边形 JOTC是正方形.所以OJ=OT=CJ=CT=2√2.因为 CM=CB,CJ=CT,∠CJM=∠CTB=90°，所以 Rt△CJM≌Rt△CTB(HL).所以JM=TB=4-2√2.设 OD=y,则DM=DB=4-y.因为OMP+OD2=DM,所 以[2√2-(4-22)]+y2=(4-y)2,解得y=4√2-4. 综上所述，当点M落在扇形AOB内（不含边界），OD长的 取值范围是42-4<OD<22. D B ① ② (第10题) 3.3垂径定理 第1课时垂径定理 1A因为半径0CLAB于点D,所以AD=AB 2×8=因为0A=OC=5,所以在R△0DA中，0D= √OA2-AD=√52-4=3. 2.C如图，连结OA.因为CD是⊙O的直径，AB⊥CD, AB=10寸，所以AP=BP=号AB=5寸.设O0的半径 为x寸，则OC=x寸.因为CP=1寸，所以OP=(x一1)寸. 在Rt△AOP中，根据勾股定理，得AP2十OP2=OA2,即 52+(x-1)2=x2,解得x=13.所以CD=20C=26寸. P 0 D (第2题) 3.3如图，连结OD.因为OD为⊙O的半径，OC⊥CD,第3章圆的基本性质 3.2圆心角 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基。 1.如图，点A,B,C,D在⊙O上，AB=BC=CD.若∠AOB=80°，则AD的度数为 () A.100° B.105° C.120° D.130° D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，AB,AC,BC是⊙O的三条弦，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,且 OD=OE=OF,则△ABC是 三角形（按边分）. 3.如图，点A,B,C在⊙O上，连结AB,BC,OC.若AB=BC,∠B=40°，则∠OCB 4.如图，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，M为AD的中点，连结BM,CM.求证：BM=CM. (第4题) 幻二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，AB,CD是⊙O的弦，且AB=CD.若∠BOD=84°，则∠ACO的度数是 () A.48 B.429 C.44 D.46° (第5题) (第6题) (第7题) 6.易错题如图，A,B,C是⊙O上的三个点，∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC.有下列结论： ①AB=2BC;②AB=2BC;③∠OBA=∠OCA.其中，正确的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 7.如图，在△ABC中，∠B=70°，⊙O截三边所得的弦长DE=FG=HI,则∠AOC= 0 41 拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 8.如图，在⊙O中，C是ACB的中点，D,E分别是OA,OB上的点，且AD=BE,弦CM,CV分别 过点D,E.求证： (1)CD=CE. (2)AM=BN. (第8题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维◆ 9.如图，在⊙O中，C是AB的中点，CD垂直平分半径OA,BD=27,则⊙O的半径为() A.4 B.2 c D.√7 D (第9题) (第10题) 10.分类时论思想如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OB=4,C为AB的中点，D为半径OB上一 动点，点B关于直线CD的对称点为M.若点M落在扇形AOB内（不含边界），则OD长的取 值范围是 42 >“答案与解析”见D26