专题03 反比例函数（期中复习课件）九年级数学上学期新教材人教版

九年级数学上学期期中复习 考点大串讲 专题03 反比例函数 新教材人教版 01 期中考情透视 复习目标锚定 知识体系构建 02 03 目 录CONTENTES 核心考点精讲 04 重难题型突破 05 限时分层演练 06 2 PART 01 期中考情透视 期中考情透视 板块 核心考点 常见题型 分值占比（约） 考查频率 概念与三种形式 定义 y＝（k≠0）、xy＝k、y＝kx⁻¹ 选择、填空 约10% 高频 图象与性质 双曲线、两支象限、增减性 选择、填空 约30% 高频 k 的几何意义 矩形面积｜k｜、 三角形面积 填空、解答 约25% 高频（压轴） 与一次函数综合 交点、面积、不等式解集 解答（压轴） 约20% 中高频 实际问题 建模、待定系数法求解析式 解答 约15% 中频 4 PART 02 复习目标锚定 复习目标锚定 识记 能准确说出反比例函数定义、三种形式及 k、x 的取值范围；能画出双曲线草图并标明两支所在象限 理解 理解 k 的符号决定图象所在象限与增减性；理解“在同一象限内”增减性前提；掌握 k 的几何意义，能说明矩形面积与｜k｜的关系 应用 会用待定系数法求解析式；会求反比例函数与一次函数交点并计算面积；能由实际问题建模并求解 6 PART 03 知识体系构建 知识体系构建 8 PART 04 核心要点精讲 考点一 反比例函数的概念 考点二 反比例函数的图象与性质 考点三 k 的几何意义 考点四 待定系数法与一次函数综合 考点五 实际问题与反比例函数 核心要点精讲 考点一反比例函数的概念 ⚠️概念辨析 y＝ 是反比例函数（k＝6）；y＝ 是反比例函数（k＝－3）；y＝2x 是正比例函数，不是反比例函数。 y＝ 可化为 y＝，是反比例函数，k＝；y＝ 是一次函数（正比例），不是反比例函数；y＝ 中 x 的指数为 2，不是反比例函数。 ⚠️记忆口诀 “形如 k 比 x，k 值定生死；分子是常数，分母是自变量。”即 y＝，k≠0，x≠0，y≠0。 ⚠️易混易错 易错1：把 y＝ 误写成 y＝2x（正比例）。 易错2：k＝0 时仍当作反比例函数。 易错3：认为 x 可以取 0。 易错4：y＝ 因分母含常数项，不是反比例函数。 定义：一般地，形如 （k 为常数，且 k≠0）的函数叫做反比例函数，k 称为比例系数。 三种等价形式（可相互转化）： 取值范围：自变量 x≠0；函数值 y≠0。 判定要点：先化为标准形式，看自变量是否位于分母位置且指数为 1，且分子 k 为常数（k≠0）。 ⚠️避坑指南 ❌ 坑1：k≠0 是定义前提，k＝0 时为常值函数，不是反比例函数。 ❌ 坑2：自变量 x≠0，故图象与y 轴无交点；函数值 y≠0，故图象与x 轴无交点。 ❌ 坑3：判断时先化成标准形式，如 y＝ 实质 k＝。 ❌ 坑4：反比例函数自变量在分母位置，一次函数自变量在分子位置，切勿混淆。 10 考点二 反比例函数的图象与性质 图象：y＝（k≠0）的图象是双曲线，由两支组成，分别位于第一、三象限或第二、四象限；两支均不与坐标轴相交。 对称性：图象关于原点中心对称，也关于直线 y＝x 与 y＝－x 轴对称。 增减性（关键前提：在同一象限内）： k>0 时，图象在第一、三象限，每一象限内 y 随 x 的增大而减小；k<0 时，图象在第二、四象限，每一象限内 y 随 x 的增大而增大。 ⚠️概念辨析 双曲线无限接近坐标轴但永不相交（x、y 均不为 0）。 两支曲线互不连通，比较函数值大小必须“在同一象限内”用增减性；跨象限的要画图或按象限符号判断。 ⚠️记忆口诀 “k 正一三减，k 负二四增；双支不过轴，对称原点心。” ⚠️易混易错 易错1：把“k＞0，在同一象限内 y 随 x 增大而减小”漏掉前提，误用于跨象限比较。 易错2：误以为双曲线两支能经过原点。 易错3：k＜0 时误以为每一象限内 y 随 x 增大而减小。 ⚠️避坑指南 ❌ 坑1：“在同一象限内”不能省略——跨象限比较 y 值不能直接套增减性。 ❌ 坑2：｜k｜越大，图象离坐标轴越远；｜k｜越小越贴近坐标轴。 ❌ 坑3：利用对称性可补全图形、求对应点坐标。 k 的符号 图象位置 增减性 图象形状 k＞0 第一、三象限 每一象限内 y 随 x 增大而减小 双曲线（两支） k＜0 第二、四象限 每一象限内 y 随 x 增大而增大 双曲线（两支） ⚠️概念辨析 面积恒为｜k｜（取正值），与 k 的符号无关；k＜0 时面积仍为正｜k｜。 图象上不同点分别作垂线，围成的各矩形面积均为｜k｜，常借此列方程求 k。 ⚠️记忆口诀 “一点作垂两轴夹，矩形面积就｜k｜；一半三角形，千万别忘绝对值。” ⚠️易混易错 易错1：把矩形面积写成 k（漏绝对值）。 易错2：三角形面积写成｜k｜，漏掉“一半”。 ⚠️避坑指南 ❌ 坑1：面积是｜k｜，k 为负时不能直接用 k 当作面积。 ❌ 坑2：仅过一点作一条垂线时，围成的是矩形的一半，面积为。 ❌ 坑3：“矩形”指两坐标轴与两条垂线围成的矩形，别漏算坐标轴。 考点三 k 的几何意义 设 P(x₀，y₀) 是双曲线 y＝（k≠0）上任意一点，过 P 作 PA⊥x 轴于 A、PB⊥y 轴于 B，则矩形 OAPB 的面积为 S矩形＝｜k｜。 理由：由 xy＝k 得｜x₀·y₀｜＝｜k｜，即为矩形面积。 推论：过 P 作坐标轴的垂线，与原点、垂足围成的直角三角形面积为 ⚠️概念辨析 反比例函数图象自身关于原点对称；与一次函数的两个交点通常不关于原点对称（除非一次函数过原点）。 反比例函数与一次函数交点可能有0、1 或 2个，取决于位置关系。 ⚠️记忆口诀 “设列解写四步走，联立求交点；面积一半｜k｜，割补看象限。 ⚠️易混易错 易错1：待定系数法只代一个点就乱设形式。 易错2：联立去分母漏验根，增根未舍。 易错3：解不等式得到的区间未排除 x＝0。 ⚠️避坑指南 ❌ 坑1：求交点时先注意 k≠0、x≠0，去分母后要验根，防止增根。 ❌ 坑2：由图象解不等式，看“谁在上谁在下”，并注意 x≠0 的分界。 ❌ 坑3：面积计算用坐标差的绝对值，别直接代点坐标。 考点四 待定系数法与一次函数综合 待定系数法四步：设（设解析式 y＝）、列（代入一组 x、y 的对应值）、解（解出 k）、写（写出解析式）。 与一次函数 y＝ax＋b 综合： 求交点：联立 y＝ 与 y＝ax＋b，得分式方程，求出交点坐标。 求面积：由交点向坐标轴作垂线围成三角形或四边形，用、割补法或坐标差求。 解不等式：由两图象交点把 x 轴分段，看每一段上哪个函数图象在上方，得解集。 ⚠️概念辨析 判断关键：两量之积为常数，则二者成反比例；“和一定”不构成反比例。 实际情境下自变量常为正数，图象通常只取第一象限对应的一段。 ⚠️记忆口诀 “两量积定即成反，设列求解建模型；实际取值看情境，第一象限画图象。” ⚠️易混易错 易错1：把“和一定”当作成反比例（应为“积一定”）。 易错2：忽略自变量范围，画出完整两支双曲线。 易错3：单位不统一导致 k 错误。 ⚠️避坑指南 ❌ 坑1：实际问题的自变量范围由情境决定（常为正数），图象只画第一象限部分。 ❌ 坑2：单位要统一（如压强、电阻公式中的单位换算），避免 k 出错。 ❌ 坑3：先建模定 k，再代入求解，勿直接套公式。 考点五 实际问题与反比例函数 建模：实际问题中两量成反比例（两量之积为定值），如压强 p＝、电阻 R＝、路程一定时速度与时间、工作量一定时效率与时间、面积一定时底与高，可设 y＝ 建模。 步骤：找出成反比例的两量 → 设解析式 → 由一组已知数据定 k → 求解或预测。 注意自变量在实际情境中的取值范围（如时间>0、边长>0 等），图象只画实际定义域对应的部分。 PART 05 重难题型突破 题型一 待定系数法求解析式（基础） 题型二 利用对称性求点与补图（基础） 题型三 由图象位置或增减性确定字母范围（基础·中档） 题型四 比较函数值大小（跨象限）（中档） 题型五 实际问题建模（中档） 题型六 k 的几何意义与面积（中档·压轴） 题型七 反比例函数与一次函数结合解不等式（压轴） 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 重难题型突破 题型一待定系数法求解析式（基础） 💡破题要诀 已知双曲线上一点坐标，代入 y＝，由 xy＝k 直接求 k（注意 k≠0、x≠0），再写出解析式。 典例1 （25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（    ） A． B． C． D． C 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 16 重难题型突破 题型一待定系数法求解析式（基础） 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知反比例函数经过点，则的值是（   ） A．1 B． C．2026 D． B 【详解】解：∵点在函数上， ∴， 解得：．因此，m的值为． 故选：B． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 5 重难题型突破 题型一待定系数法求解析式（基础） 迁移应用 3．（25-26九年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴 的正半轴上，点在反比例函数（）的图象上， 点的坐标为，将菱形向右平移个单 位，使点刚好落在反比例函数（）的图象上，则的值为（     ） B 【详解】解：∵，∴，∵四边形是菱形， A．5 B． C． D．4 ∴，轴，∴，， ∵点在反比例函数（）的图象上，∴，即， ∴反比例函数为，∵将菱形向右平移个单位， ∴点D平移后的点坐标为，∵点刚好落在反比例函数的图象上， ∴，∴． 重难题型突破 题型二 利用对称性求点与补图（基础） 典例2 （25-26九年级上·湖南郴州·期中）若函数与函数的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是 ． 【详解】解：正比例函数 和反比例函数 （）的图象都关于原点对称， ∴它们的交点也关于原点对称， ∵其中一个交点的坐标为， ∴另一个交点为 ． 故答案为：． 💡破题要诀 双曲线关于原点中心对称，点 (a，b) 在图象上则 (－a，－b) 也在图象上；据此补全另一支或判断点是否在图象上。 重难题型突破 迁移应用1．（24-25八年级下·山西长治·期中）已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（    ） 题型二 利用对称性求点与补图（基础） A． B． C． D． C 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 迁移应用2．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是_____． 【详解】解：因为交点在反比例函数的图象上， 所以将代入，得， 即已知交点坐标为． 因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， 所以两个函数的交点关于原点中心对称． 关于原点中心对称的点，横纵坐标分别互为相反数，因此另一个交点坐标为． 重难题型突破 题型三 由图象位置或增减性确定字母范围（基础·中档） 典例3 （25-26九年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且k为大于的整数，则满足条件的k的值是_________． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 且为整数， 且为整数， ． 💡破题要诀 k>0 ⇔ 图象在一、三象限且每象限内 y 随 x 增大而减小；k<0 ⇔ 图象在二、四象限且每象限内 y 随 x 增大而增大。据图象位置或增减性列不等式求参数范围。 重难题型突破 题型三 由图象位置或增减性确定字母范围（基础·中档） 迁移应用1．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大，则k的值可以是 __________ ．（只写一个） 3（大于2的数均可） 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大， ∴，解得：， ∴k的值可以是3． 故答案为：3（大于2的数均可）． 迁移应用2．（24-25九年级上·广西·期中）若反比例函数图象的每一支上，当时，．则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． D 【详解】解：由题意，∵反比例函数图象的每一支上， ∵当时，，∴y随x的增大而减小， ∴，∴， 故选：D． 重难题型突破 题型三 由图象位置或增减性确定字母范围（基础·中档） 迁移应用3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． A 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：A． 重难题型突破 题型四 比较函数值大小（跨象限）（中档） 典例4 （25-26九年级上·四川成都·期中）在反比例函数（为常数）上有三点，， ， 若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． C 【详解】解：∵ ， ∴ ，即函数系数为正， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限随的增大而减小， 对于点 ， ， ∴ ， 对于点 和 ， ， ∴ ，， ∴ 且 ， ∴ ，因此，， 💡破题要诀 两点在同一象限→用增减性；横坐标一正一负→按象限符号判断正负；必要时借助图象或｜k｜。 重难题型突破 题型四 比较函数值大小（跨象限）（中档） 迁移应用1．（25-26九年级上·四川成都·期中）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． B 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ，，， ∴ ， 故选：B． 迁移应用2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知点均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（    ） A． B． C． D． A 【详解】解：∵ 点在反比例函数上， ， ， ， 故选：． 重难题型突破 题型四 比较函数值大小（跨象限）（中档） 迁移应用3．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）已知反比例函数的图象上有三个点， ，， ，，的大小关系是 _______ ．（用“”号连接）． 【详解】解：反比例函数中，， ∴它的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， ∵，且，在第四象限， ∴， 而在第二象限，即， ∴． 重难题型突破 题型五 实际问题建模（中档） 典例5 （25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的 最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 4 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则． 💡破题要诀 找出“积为定值”的两量→建模→定 k→按实际范围求解。 重难题型突破 题型五 实际问题建模（中档） 迁移应用1．（25-26九年级下·福建莆田·期中）如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使 木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理， 当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆 仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 5 【详解】解：∵ ∴ ∴y关于x的函数解析式为， ∵，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数y的最小值为． 重难题型突破 题型五 实际问题建模（中档） 迁移应用2．（25-26九年级下·贵州铜仁·期中）如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息： ①与的函数解析式是； ②当时，；③在第一象限，随的增大而减小； ④当时，的取值范围是．其中正确的结论个数是（    ） C A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【详解】解：设反比例函数的关系式为，∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得，∴函数关系式为，则①正确； 当时，，则②不正确； 观察图像可知在第一象限，I随着R的增大而减小，则③正确； 当时，；当时，， ∴，则④正确．所以正确的有①③④，一共3个． 重难题型突破 题型五 实际问题建模（中档） 迁移应用3．（25-26九年级下·河南洛阳·期中）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具 （如图1），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿， 在横杆处固定的物 体，且． 若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态， 小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况，如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长减小时，拉力在增大 C．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 D．的长每增大，所施加的拉力就减小 D 【详解】解：由图象中数据发现：， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长减小时，拉力在增大，故B正确，不符合题意； 由图象可得，当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故C正确，不符合题意． 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故D错误，符合题意． 重难题型突破 题型六 k 的几何意义与面积（中档·压轴） 典例6 （25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图，的直角边经过原点，顶点A，B在反比例函数 的图象上，轴，垂足为D，若点A的坐标为，则的面积为______． 5 【详解】解：∵点A的坐标为，点B也在反比例函数图象上， ∴点B的坐标为， ∴，, 设，则，， ∵， ∴，即 解得： ∴， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：5． 故选：C． 💡破题要诀 过双曲线上一点作坐标轴垂线，矩形面积｜k｜、三角形面积；多图形面积用“转化＋加减”。 重难题型突破 题型六 k 的几何意义与面积（中档·压轴） 迁移应用1．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 D 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 重难题型突破 题型六 k 的几何意义与面积（中档·压轴） 迁移应用2．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为_____． 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为： 重难题型突破 题型六 k 的几何意义与面积（中档·压轴） 迁移应用3．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上， 轴于点，轴于点， 矩形的面积为5．若点也在该反比例函数的图象上， 则的值为___________． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上，轴于点，轴于点， 矩形的面积为5，∴， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点也在该反比例函数的图象上， ∴． 重难题型突破 题型七 反比例函数与一次函数结合解不等式（压轴） 典例6 （25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：与反比例函数 图象相交于点和点，直线与x轴，y轴分别交于点C，点D． (1)求m，，的值； (2)不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过点和点， ∴，解得． ∴，，∴， 把，分别代入， 得：， ∴， 即，，； 【详解】（2）解：由（1）知直线：， 当时，则， 解得， ∴， ∴不等式的解集为． 💡破题要诀 先联立求交点横坐标，再以交点分区间，看每段上哪个函数图象在上方（函数值大），并注意排除 x＝0。 重难题型突破 题型七 反比例函数与一次函数结合解不等式（压轴） 迁移应用1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于两点， 这两个点的横坐标分别是和． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集是或． 重难题型突破 题型七 反比例函数与一次函数结合解不等式（压轴） 迁移应用2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为_________ ． 【详解】（1）解：点在上， ， ， 在上， ， ， 反比例函数表达式为， 联立得， 两边同乘得， ， 或， 当时，， ； （2）解： ，， 观察图象可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为或． 或． 重难题型突破 题型七 反比例函数与一次函数结合解不等式（压轴） 迁移应用3．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，反比例函数（k为常数，）与正比例函数（m为常数，）的图象交于，B两点． (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)根据图象请直接写出不等式的取值范围； (3)若x轴上有一点，的面积为4，求点C的坐标． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数的表达式得：， 解得，则反比例函数和正比例函数的表达式分别为：，； （2）解：∵反比例函数（）与正比例函数（）的图象交于点和点B， ∴，根据图象得：不等式的解集为或； （3）解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，F， ∵，，， ∴，， ∵，即：， ∴，∴， ∴C的坐标为或． 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 典例8 （25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 和点， 且与轴和轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； (2)连接，已知为反比例函数图象上一点， 且，求点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ，解得， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得， 解得或， 点的坐标为； （2）解：对于，当时，， 点，点， ．， ， ，， 点的坐标为或． 💡破题要诀 联立求交点；面积用与割补法；解不等式看图象上下。 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 迁移应用1．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，直线与轴和轴分别交于点和点， 与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若在反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：把代入，可得：，，反比例函数的解析式为， （2）解：把代入， 可得：，， 直线的解析式为； 点 ， ，， 设点坐标为∵， ∴， ∴，解得：， 故点D坐标为，． （3）结论：存在，点的坐标为或， 解：点在图象上，点在直线上， 设点，点，点是点的等和点， ，，， ，，经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为，当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 迁移应用2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点， (1)求、的值； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点， ∴把代入得， ∴， 把代入得，解得； 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 迁移应用2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点， (2)若反比例函数图像上有一点，当满足时，则称点为反比例函数的“倍数点”， 过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、，延长交轴于点，连接，当点在直线下方时． ①试判断与的数量关系； （2）解：①由（1）得反比例函数，，∴，∴， ∴， ∵过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、， ∴四边形为矩形， ∴，∴， ∴，∵， ∴，∵轴， ∴， ∴； 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 迁移应用2．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点， (2)若反比例函数图像上有一点，当满足时，则称点为反比例函数的“倍数点”， 过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、，延长交轴于点，连接，当点在直线下方时． ②试求倍数点的坐标． ②∵，∴， ∵，， ∴，， ∴，，过作交于， ∵，∴垂直平分，∴，∴， ∴，∴，， ∴，∵， ∴，解得， ∴（负值舍去），∴点纵坐标为， ∴点横坐标为，∴． 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 迁移应用3．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； 【详解】（1）解：将点代入一次函数，解得， 故． 将代入反比例函数，得， 因此反比例函数为：， 联立一次函数与反比例函数，得 解方程组得，， 故点坐标为. 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 迁移应用3．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点， 连接、， 当与的面积比为时，求的面积； （2）解：如图，直线与y轴交于点H． ∵，，， ∴， ∵，点在第三象限， ∴， 故 ∴直线解析式为：， ∴点坐标为， ∴ 重难题型突破 题型八 反比例函数与一次函数综合（压轴·综合） 迁移应用3．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）解：设点坐标为，∵，， ∴，， ，以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，分三种情况 ①当时，，， 解得：（不合题意舍去）；，，∴点坐标为， 将点向左平移1单位，上平移2单位得到点，∴点坐标为， ②当时，，， 解得：（不合题意舍去）；，∴点坐标为， 将点向右平移1单位，下平移2单位得到点，∴点坐标为， ③当时，，， 整理得：解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 此时不存在满足条件的M， 综上所述：使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，点坐标为或． PART 06 限时分层演练 基础固本练 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）反比例函数中，比例系数是（    ） A． B． C． D． D 2．（25-26九年级上·安徽六安·期中）下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． B 3．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）点在函数的图象上，则的值为（    ） A．3 B． C． D． D 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）已知反比例函数，下列结论错误的是（     ） A．其图象经过点 B．随的增大而减小 C．其图象位于第一、第三象限 D．当时， B 5．（25-26九年级上·安徽池州·期中）已知三点都在反比例函数的图象上，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． C 48 基础固本练 6．（25-26九年级上·河南郑州·期中）蓄电池的电压为定值．研究发现，使用某款蓄电池时，用电器的电流随电阻的变化而变化．它们之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．蓄电池的电压是 B．当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小 C．如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不超过 D．如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小 C 7．（25-26九年级上·江苏南通·期中）点在反比例函数的图像上，则的值是_______． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则___________； 基础固本练 9．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为，设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力忽略不计） (1)求y关于x的函数表达式； (2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【详解】（1）解：由题意，得， 则， ∴y关于x的函数解析式为． （2）解：由（1）得， ∴当时，， 故当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力． 基础固本练 10．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，且点的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得 ， 则点的坐标是． 把代入得 ， 则反比例函数的解析式是； （2）根据题意得， 解得或， 把代入 得， 则点的坐标是． 基础固本练 11．（26-27九年级上·安徽·期中）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函 数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)若直线与反比例函数和一次函数图象分别交于点N和点M，已知，求t的值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数表达式为，把代入，得：， ，，两点在的图象上，，解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 即不等式的解集为或； （3）解：由题意可知，，，， ∵，， 解得，（不合题意），经检验，为方程的解， ． 基础固本练 12．（25-26九年级上·山西运城·期中）在研究电流和电阻的物理实验中，某蓄电池的电压为定值，实验人员记录了使用此蓄电池时，用电器的电流与电阻的关系如下图： (1)求出该函数的表达式； (2)当电流为时，电阻是______Ω；当电阻是时，电流是______A； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻最小是多少？ 【详解】（1）解：由图可知，用电器的电流是电阻的反比例函数，设， 将，代入得：， ∴，∴． （2）解：将代入得：，则，∴，将代入得：； （3）解：将代入，得：，解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， 即当时，． 答：用电器的可变电阻最小是． 综合进阶练 1．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于 两点，轴于点C，连接交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为（     ） A．点A与点B关于原点中心对称 B． C．的周长等于的周长 D． C 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，反比例函数（）的图象过Q，R两点，的延长线交x轴于点V，R为的中点，过点Q，R作x轴的垂线，交x轴于点S，T，交于点U，下列结论， ①，②，③，④．其中正确的是（     ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ C 54 综合进阶练 3．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，D为矩形（边，分别在x，y轴的正半轴上）对角 线上的点，且，经过点D的反比例函数的图象分别与， 相交于点E，F，连接， ，，若的面积是24，则的面积为_________． 4．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 55 综合进阶练 4．（26-27九年级上·湖南·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (2)当时，求x的取值范围； (3)已知点P为第三象限内反比例函数图像上一点，，求点P的坐标． （2）解：联立和得： ， 整理得，解得或，当时，， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图像可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：对于，当时，，解得，当时，， ∴，，∴，， 过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接， ∵，∴，即， 解得，∵点P在第三象限，∴点P的纵坐标为， 将代入得，∴点P的坐标为． 56 综合进阶练 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 （1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为为． 由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面 直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总 长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得： ， 整理得：， 解得：，， 另一个交点坐标为， 为米，为米， 米，米． 故答案为：，5，2； 57 综合进阶练 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． （2）不能，理由：当时，直线为，联立与， 得，即，判别式， 无交点，所以不能围出；通过图象可得：函数与无交点，所以不能围出； 58 综合进阶练 5．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为 的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ （3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线 通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值． （3）当直线与双曲线有唯一交点时，联立得， 即， 判别式， 解得（舍去）， 此时， ∴交点坐标为． 59 综合进阶练 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (1)求； 【详解】（1）解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，；故，． (2)点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； （2）解：设在双曲线上，菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分按照四边形顶点顺序，所以两点距离公式： 令，相减得， 前半部分：， 后半部分：中，令，则， 代回，则，则原方程为， 乘得：，，除以5得： ，， 所以 ， 60 综合进阶练 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (3)点在反比例函数的图象上， 直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限， 点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． (3)解：直线不过定点，理由：设，，且，则 同理可得 则两边同乘： 展开左边第一项得 展开左边第二项（对称的，交换，）得 61 综合进阶练 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． (3)点在反比例函数的图象上， 直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限， 点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 相加合并对称项： 等式右边 左右相等 两边除以： 设 分组：， 即， ，，所以或， 第一种情况，设直线为，与双曲线相交，所以， 整理得，所以，， 由，得所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即，所以，， 、都不是常数，所以不过定点，综上所述：直线不过定点． 62 $