专题02 实数（知识&考点&公式&13高频&8易错&6重难&4模型，期中知识清单）八年级数学上学期新教材北师大版

专题02 实数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(6类) 公式清单(14类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(13类) 易错题型清单(8类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 无理数与实数的概念 1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。无理数不能化成分数形式。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，如 、、 等；②含 的数，如 、 等；③有规律但不循环的无限小数，如 （相邻两个 1 之间 0 的个数依次加 1）。 2.实数的概念：有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。有理数包括整数和分数，可化为有限小数或无限循环小数；无理数则是无限不循环小数。 3.实数的分类：按定义分，实数分为有理数和无理数；按正负分，实数分为正实数、0、负实数。注意：0 既不是正数也不是负数，0 属于有理数。 4.实数与数轴：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 5.易错提醒：带根号的数不一定是无理数，如 是有理数；无限小数不一定是无理数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 知识点02 平方根、算术平方根与立方根 1.算术平方根的概念：若 （）且 ，则 是 的算术平方根，记作 。0 的算术平方根是 0。 2.算术平方根的性质：具有双重非负性——被开方数 ，且 。核心公式：（），。 3.平方根的概念：若 （），则 是 的平方根，记作 。核心性质：①正数有两个互为相反数的平方根；②0 的平方根是 0；③负数没有平方根（不能开平方）。 4.算术平方根与平方根的区别：算术平方根只有一个，是正数或 0；平方根有两个，互为相反数（0 的平方根只有一个）。审题时务必注意区分，例如 （算术平方根），而 16 的平方根是 。 5.立方根的概念与性质：若 ，则 是 的立方根，记作 。性质：任意实数都有唯一立方根；正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0。公式：（负号可直接移出）。 知识点03 实数范围内的相关概念与非负数 1.相反数、倒数与绝对值：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内完全相同。实数 的相反数为 ，非零实数 的倒数为 ，绝对值 在 时等于 ，在 时等于 。 2.实数的非负性：在实数范围内，正数和零统称为非负数。已学过的非负数有三种形式：①任何实数的绝对值是非负数，即 ；②任何实数的平方是非负数，即 ；③任何非负数的算术平方根是非负数，即 （）。 3.非负数的重要性质：①非负数有最小值零；②有限个非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0。例如，若 ，则 且 。 4.实数的运算律：有理数的运算法则及运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 知识点04 二次根式及其运算 1.二次根式的概念：形如 （）的式子叫做二次根式。二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即 。二次根式具有双重非负性： 且 。 2.最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。例如， 可化简为 ， 可化简为 。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式时，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变。 4.二次根式的乘除运算： 乘法法则：（，）； 除法法则：（，）。 运算时系数与根式分开运算，最后结果应化为最简二次根式。 5.二次根式的加减运算：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。加减运算的实质类似于整式运算中的合并同类项。 6.核心易错点：二次根式有意义的条件——被开方数非负（），这是考试中高频出现的考点。 考点01无理数与实数的概念及分类 考点内容：无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称实数。实数按定义可分为有理数和无理数；按大小可分为正实数、0、负实数。 常见考法： ①判断给定的数是无理数还是有理数（常考无理数的四种形式：开方开不尽的数，如 ；含有 的数，如 ；特定结构的无限不循环小数，如 ；三角函数值等）； ②对实数进行准确分类，填入相应的集合中（正数集合、负数集合、有理数集合、无理数集合等）； ③辨别易混淆的数，如 （有理数）、（有理数）、（有理数）等。。 易错提醒：带根号的数不一定是无理数（如 是有理数）；无理数不一定是带根号的数（如 ）。分数一定是有理数。分类时要注意“0”既不是正数也不是负数，防止遗漏。 考点02 平方根、算术平方根与立方根 考点内容：算术平方根：非负数 的正的平方根，记作 ；平方根：如果一个数的平方等于 ，这个数叫 的平方根，记作 ；立方根：如果一个数的立方等于 ，这个数叫 的立方根，记作 。 常见考法： ①求一个数的平方根、算术平方根或立方根； ②已知一个数的平方根（或立方根），求原数； ③利用平方根的性质解方程（如 ，求 的值）； ④化简求值，如计算 、 等。 易错提醒：负数没有平方根，但负数有立方根；正数的算术平方根只有一个（非负），平方根有两个（互为相反数），0的平方根和算术平方根都是0。注意区分“√16 的平方根”（即 ±2）和“16的平方根”（即 ±4）这类文字陷阱。 考点03 实数的性质与数轴 考点内容：实数与数轴上的点是一一对应的。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一致。数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值。 常见考法： ①求实数的相反数、倒数和绝对值（特别是含有无理数的绝对值化简，如 ）； ②利用数轴比较实数的大小，或者根据数轴上点的位置化简代数式（如化简 等）； ③数形结合，在数轴上表示无理数（如利用勾股定理在数轴上画出表示 的点）； ④利用数轴求两点间的距离。 易错提醒：去绝对值符号时，必须首先判断绝对值内部代数式的正负性，再进行化简。在数轴上比较大小，右侧的点表示的数总比左侧的点表示的数大（正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小）。 考点04 二次根式及其运算 考点内容：形如 的式子叫做二次根式。最简二次根式需满足：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 常见考法： ①求二次根式中字母的取值范围（被开方数大于等于0，若在分母上则大于0）； ②二次根式的乘除法运算（，）； ③二次根式的加减运算：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； ④二次根式的混合运算（结合乘法公式，如平方差公式、完全平方公式进行计算，以及分母有理化）； ⑤化简求值：先化简，再代入求值。 易错提醒：二次根式运算的最后结果必须化成最简二次根式；合并同类二次根式时，只合并根号外的因数，根号内的数不变（类似合并同类项）；注意 ，防止出现 这样的错误。计算时要注意运算顺序和符号。 考点05 实数的估算与大小比较 考点内容：利用算术平方根的意义，通过“夹逼法”估算一个无理数的大小，即找到它的整数部分和小数部分。 常见考法： ①估算无理数在哪两个连续整数之间（如估算 在3和4之间）； ②求无理数的整数部分和小数部分（如 的整数部分是2，小数部分是 ）； ③比较两个实数的大小（常用方法：数轴法、平方法、作差法、倒数法、估算法等）； ④结合数轴或实际生活背景，确定无理数的取值范围。 易错提醒：估算时要注意找准与被开方数相邻的两个完全平方数。求小数部分时，务必用原数减去其整数部分，切勿直接写估算的近似小数。比较两个负数的大小时，绝对值大的反而小。 考点05 实数非负性的综合应用 考点内容：常见的非负数有三种形式：、、。几个非负数的和为0，则这几个非负数必须同时为0。 常见考法： ①已知 ，求 和 的值； ②结合方程或方程组，利用非负性求解未知数的值； ③已知 ，求 的值或求代数式的值。 易错提醒：看到“几个非负数的和为0”的条件，必须立刻联想到“每一个非负数都等于0”，列出方程组求解。注意 本身隐含了 的条件，结合非负性求解时不要遗漏。 序号 名称 公式（代数语言） 说明 1 算术平方根 （） 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。双重非负性： 且 。 2 平方根 （） 如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根。 3 平方根的性质 （） 重点区分： 等于 的绝对值。当 时，；当 时，。 4 立方根 （为任意实数） 如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 5 立方根的性质 立方根具有唯一性，且被开方数的取值范围是全体实数，这是与平方根最大的区别。 6 实数的分类 实数 有理数和无理数统称为实数。无理数是指无限不循环小数（如 ， 等）。 7 二次根式的乘法 （） 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。此公式也可逆用：。 8 二次根式的除法 （） 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。注意分母 必须大于0。 9 最简二次根式 满足以下两个条件：① 被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 计算结果必须化成最简二次根式。例如： 需化为 ； 需化为 。 10 同类二次根式与加减法 化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式。二次根式的加减法法则：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 11 分母有理化 将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。核心方法是分子分母同乘分母的有理化因式。 12 实数的相反数与绝对值 实数 的相反数是 。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 13 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 14 实数的大小比较与估算 夹逼法： 估算无理数的大小时（如 ），找出被开方数相邻的两个完全平方数（4和9），从而确定其整数部分（2），再逐步逼近小数部分。 辨析01 无理数是无限不循环小数，不能仅凭表面形式判断 无理数是无限不循环小数，主要包括开方开不尽的数（如、）、含有的数（如、）以及特定结构的无限不循环小数。不要将所有带根号的数都视为无理数，如、是有理数；也不要将分数或有限小数（如、）误认为无理数。判断一个数是否为无理数，必须先化简或计算，看其最终结果是否为无限不循环小数。 辨析02 平方根与算术平方根的概念不同，符号表示各异 正数有两个互为相反数的平方根，记作 ；而算术平方根只有一个，且为非负数，记作 。不要将两者混淆；特别注意 表示16的算术平方根，其值为4，而16的平方根为 。因此， 的平方根是 ，而不是 。在文字语言与符号语言的转化中，切勿漏掉正数的负平方根。 辨析03立方根的性质与平方根不同，负数也可以开立方 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。与平方根不同，负数没有平方根，但任何实数都有唯一的立方根。不要认为负数不能开方；在计算中，注意公式 的应用，如 。立方根的双重非负性限制（被开方数非负、结果非负）是不存在的，其被开方数和结果的符号始终保持一致。 辨析04 实数与数轴上的点一一对应，绝对值的化简需分类讨论 实数和数轴上的点是一一对应的，这体现了数形结合的思想。在求实数的相反数、绝对值、倒数时，其运算法则与有理数完全一致。注意带有字母或根号的绝对值化简，必须判断绝对值内部代数式的正负性。不要盲目去绝对值符号，例如化简 时，因为 ，所以结果应为 ；若已知 ，则 。不要漏掉分类讨论的情况。 辨析05 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，分母不为零 在二次根式 中， 必须满足 。如果二次根式出现在分母中（如 ），则不仅要求 ，还要求 ，即 。不要忽略隐含条件；在求字母取值范围时，需综合考虑所有限制条件（如同时存在分式和二次根式时，既要满足被开方数非负，又要满足分母不为零）。这是中考考查的基础高频点，绝不能掉以轻心。 辨析06 最简二次根式与同类二次根式的判断，必须先化简再合并 最简二次根式必须同时满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。不要将未化简的二次根式（如 、）直接视为最简二次根式。同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式。判断同类二次根式前，必须先将各项化为最简二次根式。合并同类二次根式时，只把系数相加减，根号部分（被开方数）保持不变，如 。 辨析07 二次根式的乘除法与加减法法则不同，切勿混淆运算逻辑 二次根式的乘法法则为 （），除法法则为 （）。注意加减法与乘除法完全不同，加减法必须先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。不要犯 或 的混淆错误（前者是错的，后者是对的）。在进行分母有理化时，常利用平方差公式（如分子分母同乘 ），注意运算结果的符号和化简彻底。 辨析08 估算无理数的大小与实数比较大小，需掌握基本方法 估算无理数的大小常采用“夹逼法”，例如估算 时，因为 ，所以 。不要直接给出一个近似值作为最终答案，除非题目明确要求保留几位小数。比较实数大小时，同号的两个数可以利用平方法（如比较 和 ，平方后变为18和12，所以 ），也可以利用数轴法（右边的数总比左边的大）或作差法。不要死记硬背结论，要掌握转化的数学思想。 【题型一】实数的分类 【例1】把下列各数填在相应的大括号里：，，0，，1.5，，． 整数集合：{___________…}； 正数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非负有理数集合：{___________…}． 【答案】；；； 【分析】根据实数的概念分类即可． 【详解】解：， 整数集合：； 正数集合：； 分数集合：； 非负有理数集合：． 【变式1-1】把下列各数相应的序号填入对应的括号内：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ ①正有理数集合：{_________…}； ②负整数集合：{_________…}； ③正分数集合：{_________…}； ④非负整数集合：{_________…}． 【答案】 ⑤⑥⑦⑨；①③；⑤⑥⑨；②⑦ 【分析】先化简所有给出的数，再根据数的分类定义将序号填入对应集合． 【详解】解：先化简各数：，， 其余数无需化简，根据数的分类定义整理得： 正有理数是大于0的有理数，是无理数，因此正有理数有：⑤⑥⑦⑨ ； 负整数是小于0的整数，因此负整数有：①③ ； 正分数是大于0的分数，有限小数和无限循环小数都属于分数，因此正分数有：⑤⑥⑨ ； 非负整数包含0和正整数，因此非负整数有：②⑦ ． 【变式1-2】把下列各数分别填入相应的集合中（只填入对应序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个之间的逐次加）；⑨；⑩ (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)有理数集合：； (4)无理数集合： 【答案】(1)整数集合： (2)分数集合： (3)有理数集合： (4)无理数集合： 【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数． 【详解】（1）解：，，所以属于整数集合的有：0；；． （2）略 （3）略 （4）略 【题型二】实数的性质 【例2】的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【详解】解：， ∴的相反数是． 【变式2-1】下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式2-2】的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 【题型三】三实数与数轴 【例3】如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴； 由作图方法可得， ∵点B表示的数为2，且点A在点B的左侧， ∴． 【变式3-1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【答案】/ 【分析】通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， ∴． 【变式3-2】如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【答案】/ 【分析】由勾股定理可得的长，再根据作图得出的长，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 【题型四】实数的大小比较 【例4】比较大小：________． 【答案】 【详解】∵，， ∴． 【变式4-1】．比较大小：______． 【答案】 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 【变式4-2】比较大小：_____(填，， 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【题型五】求一个数的算术平方根 【例5】4的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根是非负数的正的平方根求解即可． 【详解】解：∵． ∴4的算术平方根是． 【变式5-1】下列关于的叙述，错误的是（     ） A．是12的算术平方根 B．是实数 C．在数轴上可以找到表示的点 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义可判断A，根据实数的定义可判断B，根据数轴与实数的对应关系可判断C，根据有理数与无理数的定义可判断D． 【详解】解：A、是12的算术平方根，原说法正确，不符合题意； B、是实数，原说法正确，不符合题意； C、在数轴上可以找到表示的点，原说法正确，不符合题意； D、是开方开不尽的数，是无理数，原说法错误，符合题意． 【变式5-2】25的算术平方根是________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 【题型六】算术平方根的实际应用 【例6】某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【答案】(1)6 (2) 不能．理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为，由题意，得， 解得（边长为正，负值舍去）， ∴长方形纸片的长为，宽为 ∵， ∴小丽不能裁出符合上述要求的长方形纸片 【分析】（1）根据小正方形的面积求出大正方形的面积，再求出大正方形的边长即可； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积列出方程，求出长方形纸片的长为，宽为，再与大正方形的边长进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：大正方形的面积为， 则大正方形的边长为； （2）略． 【变式6-1】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长： (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2) 不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确． 理由：∵长方形纸片的长、宽之比为且面积为， ∴设长为，则宽为， ∴， ∵， ∴， ∴长为， ∴不能用这块纸片剪出符合要求的纸片．小明的说法不正确． 【分析】本题考查平方根的实际应用，熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，算术平方根定义，是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，则宽为，由题意得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形边长； 故大正方形纸片的边长为； （2）略 【变式6-2】如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【答案】(1) (2)解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长为， ， ∴王芳的想法不可行． (3)解：∵一共有5个边长为1的小正方形，组成的大正方形的面积为5， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，根据，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为a，则：， 因为边长为正数，所以． （2）略 （3）略 【题型七】平方根概念理解 【例7】下列说法：①任何数都有立方根；②一个正数的两个平方根之和为0；③平方根等于它本身的数是0和1；④无限小数一定是无理数．其中错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①任何数都有立方根，说法正确． ②∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴它们的和为0，说法正确． ③∵1的平方根是， ∴平方根等于它本身的数只有0，原说法错误． ④∵无限循环小数是无限小数，且属于有理数， ∴无限小数不一定是无理数，原说法错误． 错误的说法共有2个． 【变式7-1】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值为_________． 【答案】 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出关于的一元一次方程求解即可. 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得. 【变式7-2】已知正数的两个平方根是和，求、的值． 【答案】， 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求𝑎的值，再根据平方根的定义计算𝑏的值． 【详解】解：根据题意，正数的两个平方根是和， ∴，解得， ∵7是正数𝑏的平方根 ∴． 【题型八】求一个数的平方根 【例8】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的平方根是． 【变式8-1】若 (1)求x与y的值； (2)求的平方根 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据非负数的性质可得，即可求解； （2）把（1）中x，y的值代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 【变式8-2】计算 (1)已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． (2)已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为； （2）解：根据数轴可知， ∴， ∴ ． 【题型九】利用平方（立方）根解方程 【例9】求下列各式中的x (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， . 【变式9-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 两边同时除以得， 或， 解得，． （2）解： 两边开立方得， 即， 解得． 【变式9-2】求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1)或． (2)． 【详解】（1）解：， ， 当时， ， ； 当时， ， ； （2）解：， ， ， ． 【题型十】立方根的实际应用 【例10】王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【答案】 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 【变式10-1】把棱长分别为和的两个正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，求这个大正方体铁块的棱长．（先用一个式子表示，再用计算器计算，精确到） 【答案】大正方体铁块的棱长为，精确到约为 【分析】根据正方体的体积公式，先求得熔化后大正方体铁块的体积，再利用立方根的定义可求得这个大正方体铁块的棱长． 【详解】解：根据题意，熔化后大正方体铁块的体积为， ∴这个大正方体铁块的棱长为， 精确到约为． 【变式10-2】如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2； （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：． 【题型十一】二次根式的识别 【例11】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的被开方数为非负数的性质判断各选项 【详解】解：A、当时为负，不符合二次根式定义； B、当时为负，不符合二次根式定义； C、∵ 对任意实数，，∴ ，符合二次根式定义； D、当时为负，不符合二次根式定义 【变式11-1】下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式．需满足根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，当时，，无意义，不是二次根式，∴A错误； ∵选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，∴B错误； ∵选项C中，被开方数，满足二次根式定义，∴C正确； ∵选项D中，当时，无意义，不是二次根式，∴D错误． 【变式11-2】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，对各式子逐个判断． 【详解】解：，被开方数，满足，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，被开方数，不满足定义，不是二次根式； ，由得，被开方数满足非负要求，是二次根式； ，根据平方的非负性，可得，被开方数满足非负要求，是二次根式； 综上所述，二次根式的个数是3个． 【题型十二】求二次根式的值 【例12】伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】将已知的h和g代入公式得到t的表达式，再利用估算算术平方根的方法确定t的范围即可 【详解】解：∵ ，， 代入公式 得： ， 又∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间 【变式12-1】当时，二次根式的值为________． 【答案】 【分析】将的值代入二次根式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式12-2】当时，的值是_________． 【答案】 【详解】当时，． 【题型十三】二次根式的乘除混合运算 【例13】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： . 【变式13-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简各二次根式，再按从左到右的顺序计算即可； （2）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）先展开乘法，化简绝对值，再合并同类二次根式即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式展开，化简后合并即可． 【详解】（1）解: ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式13-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型一】忽略夹逼估值法而致错 【例1】若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 易错警示 对于无理数的大小估算，要找准被开方数相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质进行夹逼，切勿直接四舍五入或凭感觉估计。 【变式1-1】若为正整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的取值范围，结合条件即可求出的值． 【详解】解：， ， 不等式两边同进减去2，得， 为正整数，且满足， ． 【变式1-2】在与之间的整数是__________． 【答案】7 【详解】解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 【题型二】忽略勾股定理构造无理数而致错 【例2】如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：正方形的顶点中到点距离最远的是点，易得， 点到点的距离为， 顶点与数轴上表示1的点重合， ∴当点在数轴原点的右侧时，点到原点的距离为，正方形的边与数轴的交点所表示的数最大为， 故选C． 易错警示 对于勾股定理与无理数的结合，要利用“构造直角三角形”的方法（如1和1构造√2）在数轴上准确描点，注意线段长度与数轴正负方向的对应。 【变式2-1】如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，进而得到，即可得到点所表示数，最后求出点所表示数的相反数即可得到答案． 【详解】解：由图可知，， ，则点所表示数为， 数轴上点所表示数的相反数是． 【变式2-2】如图，为数轴原点，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于；在上取点，使；以原点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴相交于点，则点表示的实数是__________． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理得出，进而得到，根据点所在的位置，进而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在数轴负半轴， ∴点表示的实数是． 【题型三】忽略被开方数范围与算术平方根非负性而致错 【例3】估算的值（     ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即 易错警示 对于估计算术平方根的取值范围，要先确定被开方数在哪两个连续正整数的平方之间，再结合算术平方根的非负性确定其大致范围，注意边界值的取舍。 【变式3-1】如图，数轴上有，，，四个点，则（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】观察数轴确定各点的大致取值范围，结合无理数估算进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点表示，点在与之间，点在与之间且靠近，点在与之间， ， 点不可能是，故A 错误； ， ， 点不可能是，故B 错误 ， ，且靠近， 点可能是，故C正确， 靠近，与点位置不符，故D 错误． 【变式3-2】若为正整数，且满足，则________． 【答案】 【分析】通过比较相邻正整数的平方大小，估算无理数的取值范围，结合不等式条件确定正整数的值． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， ∵ 为正整数，且满足， ∴ ． 【题型四】忽略无理数整数与小数部分的表示而致错 【例4】已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 易错警示 对于无理数整数部分的计算，要先估算出其整数部分a，则小数部分表示为原数-a；切记小数部分是一个正的真分数或无理数，不可直接截取数字。 【变式4-1】已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的算术平方根为 【分析】（1）根据平方根、立方根定义列等式求、，估算的取值范围得整数部分； （2）先表示的小数部分，代入式子计算后求其算术平方根． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∵，即， ∴的整数部分． （2）解：∵是的小数部分， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 【变式4-2】阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 【题型五】忽略算术平方根规律通项归纳而致错 【例5】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 【答案】(1)规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 (2)①；② 【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：规律：被开方数小数点向右(左)每移动两位，它的算术平方根小数点向右(左)移动一位 （2）根据（1）中的发现的规律， 易错警示 对于算术平方根的规律探索，要从特殊到一般，找准被开方数的分子分母与序号n的对应关系，注意化简时结果的非负性. 【变式5-1】在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 【答案】 【分析】先计算给出的前三个式子，归纳得到运算规律，再利用规律求解结果. 【详解】解：， ， ， 观察可得规律：. ∴. ， . 【变式5-2】在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 【题型六】忽略二次根式化简而致错 【例6】若最简二次根式与可以合并，则______________． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解． 【详解】解：先化简， 得． ∵最简二次根式与可以合并， ∴二者为同类二次根式，最简形式下被开方数相等． 即． 解得． 易错警示 判断同类二次根式前，必须先将各二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，切勿直接看原式被开方数. 【变式6-1】若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【答案】 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 【变式6-2】若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：∵，且最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型七】忽略分母有理化因式及符号而致错 【例7】在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)__________． (2)化简． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分母有理化，分子分母同时乘，利用平方差化简分母即可算出结果； （2）每一项分别分母有理化，会出现大量互为相反数的项，中间项两两全部抵消，保留首尾两项即可得到结果； （3）先对分母有理化，变形得到，两边同时平方得到，多次整体代入多项式求值即可． 【详解】（1）解：， 分子分母同时乘，， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 易错警示 对于分母有理化，要找准有理化因式（如√a+√b的有理化因式是√a-√b），分子分母同乘时切勿漏乘，并注意最终结果要化为最简. 【变式7-1】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ． ，． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________________； (2)化简． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对分式进行分母有理化，分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差运算求解； （2）将每一项分别分母有理化，利用相邻项抵消的规律简化求和； （3）先将分母有理化，再对所求代数式配方，整体代入计算求值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 原式 ； （3）解： ， ， ， 即， ， ． 【变式7-2】观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值：________； (4)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) (4) 【分析】（1）观察题干推导出第个等式； （2）每个等式的分母都是连续的正奇数，用含的代数式表示即可； （3）利用（2）中的规律求和即可； （4）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形求出代数式的值． 【详解】（1）解：观察题干可知，第个等式为； （2）解：观察可得，每个等式的分母都是连续的正奇数， ∴第个等式为（为正整数）； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型八】忽略已知条件隐含范围与化简而致错 【例8】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 易错警示 对于已知条件式化简求值，要先化简再代入，化简过程中必须挖掘隐含条件（如分母不为0、二次根式被开方数非负），绝对值的化简要注意符号. 【变式8-1】已知，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，判断的取值范围，再化简，最后代入、的值即可． 【详解】解：∵， ∴，或，， ∵， ∴，， ∵ ， 将，代入， 原式． 【变式8-2】已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 【题型一】算术平方根和立方根的综合应用 【例1】已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 【变式1-1】已知4是的算术平方根，的立方根为． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到，，求出和的值即可； （2）把和的值代入代数式求出代数式的值，根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵4是的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 64的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根，解题关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义． 【变式1-2】（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 【题型二】程序设计与实数运算 【例2-1】如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故①正确； ②∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故②错误； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是①③． 【变式2-1】如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法： ①当输出值y为时，输入值x为5或25； ②当输入值为64时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个． 【答案】B 【分析】根据运算规则以及无理数的定义即可求解． 【详解】解：①当输出值y为时，x=5或x=25或625等，故①说法错误； ②输入值x为64时，＝8，=，即y=，故②说法错误； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误； ④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确． 其中错误的是①②③，共3个． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义、算术平方根以及二次根式的性质与化简，注意：初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【变式2-2】如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 【题型三】复合二次根式的化简 【例3】阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 【变式3-1】化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3-2】阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 【题型四】已知条件式，化简求值 【例4】定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 【变式4-1】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 【变式4-2】【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________． 【答案】(1) (2)      证明：        ， ∴猜想成立； (3)2027 【分析】（1）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可； （2）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可得到猜想，然后，再进行证明即可； （3）根据阅读材料发现的规律，通过分母有理化先化简，得到的值，再将的值代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：，             ；     （2）略 （3）解：根据阅读材料规律，得 ， ∴． 【题型五】新定义下的实数运算 【例5】老师设计了“”的加密游戏，“”有自己的运算法则，老师让同学们根据下面给出的算式，完成下面的问题． ，， ，， ，． 法则探究 (1)归纳“”的运算法则：当非零两数进行“”运算时，两数同号，结果为______（填“正”或“负”），两数异号，结果为______（填“正”或“负”），并把________________，特别地，与任意非零数进行“”运算时，结果为________________； 法则应用 (2)计算：； 数轴上的距离 (3)我们知道，的几何意义是：在数轴上，表示数的点与原点的距离．嘉淇发现，对于任意的非零有理数，，，则的几何意义是：在数轴上，____________________________________． 【答案】(1)正；负；它们的绝对值相加；非零数的相反数 (2) (3)表示数的点与表示数的点到原点的距离之和 【详解】（1）解：观察可知，当非零两数进行“”运算时，两数同号，结果为正； 两数异号，结果为负，并把它们的绝对值相加； 与任意非零数进行“”运算时，结果为非零数的相反数； （2）解： ； （3）解：的几何意义是：表示数的点与表示数的点到原点的距离之和． 【变式5-1】观察下列两个等式：，，给出定义如下：若对于数对，使等式成立，则称数对是“4相关数对”，如：，所以数对是“4相关数对”． （1）数对，中是“4相关数对”的是________． （2）在数对和都是“4相关数对”的条件下，一名同学得到下面两个结论： 结论一：和互为相反数； 结论二：和互为倒数． 请你判断，结论________正确． 【答案】 一 【分析】（1）根据定义，计算解答即可． （2）根据定义，计算得到结论，判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，，满足了， 故数对是“4相关数对”； 得，，，不满足， 故数对不是“4相关数对”； （2）解：根据题意，得数对和都是“4相关数对”， 故，， 故， 解得， 故和互为相反数， 故结论一是正确的． 【变式5-2】定义新运算“”，即对任意有理数，满足规律，这种运算为“开心”运算，例如：． 探究一：两个数“开心”运算： (1)计算：①___________；___________； ②___________；___________； (2)我们知道：加法交换律和结合律在有理数范围内仍然成立，根据以上计算，___________律在“开心”运算中同样成立； 探究二：三个数“开心”运算： (3)计算：与的值（要求写出计算过程）； (4)根据（3）的计算，判断加法结合律在“开心”运算中___________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)①；②, (2)交换 (3)21,5 (4)不成立 【分析】（1）根据“开心”运算法则计算即可； （2）由（1）可知，加法交换律在“开心”运算中同样成立； （3）先计算括号内、，再计算与即可； （4）根据（3）作答即可． 【详解】（1）解：① ； ； ② ； ； （2）解：由（1）可知， ， ， 故交换律在“开心”运算中同样成立； （3）解：， ∴ ； ， ∴ ； （4）解：，， ∴可知加法结合律在“开心”运算中不成立． 【题型六】与实数运算相关的规律题 【例6】观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 【变式6-1】学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 【变式6-2】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 【题型一】海伦-秦九韶公式模型 【模型解读】 【结论1】（海伦公式）若三角形的三边长分别为 ，半周长为 （即 ），则该三角形的面积 为： 证明：如图（1），在 中，三边 。过点 作 于点 。 设 ，则 。 根据勾股定理，在 和 中，有： ， 。 ， 展开得： ， 化简得：，即 。 。 ， 。 利用平方差公式进行因式分解： 。 ， ， ， ， 。 代入上式得： 。 。 【结论2】（秦九韶“三斜求积术”）如图（1），若三角形三边长分别为 ，则其面积 也可表示为： 证明： 由【结论1】的证明过程可知， （注：此处字母 互换不影响公式本质）， 将根号外的 放入根号内，并提取公因式，可得： 。 【例1】海伦-秦九韶公式是利用三角形的三条边的长直接求三角形面积的公式，其具体内容如下：如果一个三角形的三边长分别为，记，则这个三角形的面积．如图，在中，． (1)求的面积； (2)设边上的高为边上的高为边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接将三角形的三边代入题干中的公式计算，再根据根式的性质进行计算即可； （2）通过三角形面积公式以及第一问求出来的结果进行计算，可分别得出三角形三边的高，最后求和即可得出最终结果． 【详解】（1）解：根据题意，得， ， 的面积为． （2）解：∵边上的高为， ，即， ． 同理可得：， ． 【变式1-1】【再读教材】我们八年级下册数学课本第17页介绍了“海伦-秦九韶公式”；如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知如图在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入公式计算即可； （2）用底乘高除以2的面积公式与用海伦秦九韶公式计算而得的结果相等，利用（1）中所求的面积，分别求出三角形三条边上的高，再求和即可． 【详解】（1）三角形三边长分别为4、5、7， ， ； （2）， ， 解得，，． ． 【变式1-2】我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解； （2）代入公式求解； （3）先根据题中的公式求出面积，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； （2）解：根据题意可得，，， ； （3）解：， ， ， ． 【题型二】二次根式与勾股定理最值模型 【模型解读】 【结论 1】：如图，直线 两侧分别有两点 。点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，两垂足之间的距离为 。在直线 上找一点 ，使得 的值最小。 结论： 直接连接 交直线 于点 ，此时 取得最小值。 证明： 两点之间线段最短， 当点 三点共线时， 最小，最小值为线段 的长度。 连接 与直线 的交点即为使得距离和最小的点 。 【结论 2】在【结论1】的模型下，代数式 的最小值为 。 证明： 过点 作直线 的平行线，过点 作该平行线的垂线，垂足为 。 根据勾股定理： 。 的最小值为 。 【例2】如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村庄A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值，并求出最小值． 【答案】(1)如图，点即为所作： (2)当时，的值最小，最小值为． 【分析】（1）直接根据两点之间线段最短，连接，交于点即可； （2）如图所示，过点作，交延长线于点，连接交于，根据平行线间间距相等得到，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图所示，过点作，交延长线于点，连接交于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴由（1）的结论可知的最小值为， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴， ∴的最小值为， 设，则， ∵， ∴， 解得， 答：当时，的值最小，最小值为． 【变式2-1】如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 【变式2-2】综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别转化为两个直角三角形的斜边，再根据两点之间线段最短，当三点共线时，两条线段的和取最小值，通过勾股定理计算出最小值； （2）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值； （3）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值． 【详解】（1）解：根据题意可知，、、三点共线时，的值最小，即为可取到的最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （2）解：如图，构造和，使，，， 过点作，交的延长线于点， 设，， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （3）解：如图，构造和，使，，，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． 【题型三】高斯记号 【结论 1】（定义与拆分）设 为任意实数，用符号 表示不超过 的最大整数（即 的整数部分）。令 ，称为 的小数部分。 结论： ，且满足 ，其中 。 证明： 是不超过 的最大整数， 。 将不等式两边同时减去 ，得 。 令 ，则有 ，且 。 【结论 2】（整数平移性质）若 为整数，则 。 证明： 设 ，其中 。 为整数， 。 是整数，且 ， 根据定义，不超过 的最大整数即为 。 。 【例3】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)6 (2)或或（答案不唯一，符合题意即可） (3) (4)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （4）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 【变式3-1】对于实数，我们规定：用符号【】表示不大于的最大整数，称【】为的根整数，例如：【】，【】． （1）计算【】=______，【】=______； （2）若【】=1，则满足题意的的所有整数值为______； （3）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求【】的值． 【答案】（1）2，6；（2）1，2，3；（3）-2 【分析】（1）先估算【】和【】的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的正整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义得到结果． 【详解】解：（1）∵22=4，62=36，72=49， ∴6＜＜7， ∴【】=2，【】=6， 故答案为：2，6； （2）∵12=1，22=4，且【】=1，x为整数， ∴x可以取1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）∵点A表示1，点B表示，点是BC的中点， ∴点C表示的数为x=， ∴ = = = ∵， ∴， ∴【】=-2，即【】=-2． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了二次根式的加减运算． 【变式3-2】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为叫a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：_______，________． （2）若，写出满足题意的x的整数值______________． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．对100连续求根整数，______次之后结果为1． 【答案】（1）4，5；（2）1，2，3；（3）3 【分析】（1）先计算和估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知1≤x＜4，可得满足题意的x的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1． 【详解】解：（1）∵42=16， 52=25，62=36， ∴5＜＜6， ∴[]=[4]=4，[]=5， 故答案为：4，5； （2）∵12=1，22=4，且[]＝1， ∴1≤x＜4 ∵x为整数 ∴x=1，2，3， 故答案为：1，2，3； （3）第一次：[]=10， 第二次：[]=3， 第三次：[]=1， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的算术平方根的计算能力． 【题型四】 基本不等式最值模型 【结论 1】（基本不等式）若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立。 （注：常用变形为 ，或 ） 证明： 任何实数的平方都是非负数， （此处需初二下学期“二次根式”知识基础）。 展开得：， 移项得：。 当且仅当 ，即 时，等号成立。 【例4】按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】(1)①；②C；③ (2)①，；② 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，，， ∴， 当时，， ， ∴ ， ∴ ， ③当时，，， ∴当，满足条件时，； （2）解：①， ，， 结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ，最大值为； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，结合（1）中结论可得，， 当时，最大，最大值为， 此时，， 周长的最大值为：． 【变式4-1】阅读理解关作答： 若，定义为的算术平均值，为的几何平均值，关于它们有著名的均值不等式．请你采用下面的方法来探究这一问题： (1)已知为线段上的一点，于点，且，连接， 尺规作图：作的边上的中线； 判断并证明的形状，再利用中作出的图形证明． (2)应用该不等式解决问题：已知矩形周长为，求其面积的最大值． 【答案】(1) 即为所求； 是直角三角形，理由： ∵， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，即， 当与重合时，， ∴； (2)面积的最大值为． 【分析】（）如图，分别以，为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，，连接交于点，连接即可； 利用勾股定理及逆定理即可求解； （）根据的结论即可； 此题考查了尺规作图，勾股定理及逆定理，直角三角形的中线性质，熟练掌握以上以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）略 略 （2）解：设矩形的长为，宽为， ∵周长为， ∴， 由（）得， 则，即， ∴面积的最大值为． 【变式4-2】【初步感知】我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为（是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由可得：，可得：，并且当时，． 【学以致用】 (1)请证明：（，）； (2)将（，）称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最小值．例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有，得，当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． ①已知，则函数取到最小值，最小值为 ； ②直接写出函数（，）的最小值 ．（请用含的代数式表示）． (3)【拓展提高】逆用基本不等式（，），我们也可以求一些函数的最大值． ①试求函数（）的最大值． ②某校计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图，已知墙的长度足够长），另外三边用长为的篱笆围成．设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，矩形面积为，请写出与的函数关系式，并求出该劳动实践基地面积的最大值． 【答案】(1)证明：∵，，； ∴， ∴， ∴； (2)①；② (3)①；②；最大值为 【分析】（1）仿照题例即可求证； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）①逆用①的结论，即可求解； ②根据题意得出，根据（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ 即函数取到最小值，最小值为 ②∵， ∴ （3）解：①∵ ∴ ∴ 即函数的最大值为 ②依题意， ∵ ∴ ∴ 答：该花圃面积的最大值为． 技巧 一句话要点 判断无理数——“无限不循环”辨析法 抓住“无限”和“不循环”两个特征；含 的、开不尽方的（如 ）、特定规律排列的无限小数是无理数；注意 、 等是分数或整数，不是无理数。 区分平方根与算术平方根——“符号与个数”对比法 算术平方根只有一个且非负（记作 ）；平方根有两个且互为相反数（记作 ）；0的平方根和算术平方根均为0。 求平方根/立方根——“定义逆运算”法 正数有两个平方根，负数没有平方根；任何数都有唯一的立方根，且立方根的符号与原数一致。 估算无理数的大小——“夹逼逼近”法 找被开方数相邻的两个完全平方数（或立方数），确定其整数部分，再通过试算逐步逼近，确定小数部分。 实数与数轴——“数形结合”对应法 实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总比左边的数大，常用来直观比较无理数的大小。 实数的相反数、倒数与绝对值——“符号化简”法 相反数直接添负号；绝对值要先判断原数的正负（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数）；注意0没有倒数。 解形如 或 的方程——“开方降次”法 利用平方根或立方根的定义直接开方。特别注意 时，方程有两个解，即 ，切勿漏解。 实数的混合运算——“先化简后计算”法 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号；去绝对值符号时，务必先判断绝对值内式子的正负。 非负数的性质——“零加零等于零”法 若几个非负数（算术平方根、绝对值、偶次幂）之和为0，则每一个非负数必须同时为0。常用来求未知数的值。 比较实数大小——“多种工具”灵活选 同分母比分子、同分子比分母；根式比较常用平方法；一般实数可用数轴法或作差法。 实数分类——“按定义不重不漏”法 实数分为有理数和无理数；有理数分为整数和分数。注意小数归类（有限小数和无限循环小数属于有理数）。 二次根式的化简与合并——“同类二次根式”法 化为最简二次根式（被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数）；只有被开方数相同的二次根式（同类二次根式）才能进行加减合并。 使用建议（新课标导向）： 重概念：无理数和平方根的概念是本章的基石，选择题常考辨析，务必理清。 重运算：实数的混合运算是必考题型，关键在于符号的处理和绝对值化简。 重思想：数形结合（数轴）和分类讨论（平方根的正负）是本章的核心数学思想。 防易错：注意 的双重非负性（，），以及 解题时的漏解问题。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(6类) 公式清单(14类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(13类) 易错题型清单(8类) 重难题型清单(6类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 无理数与实数的概念 1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做__________。无理数不能化成分数形式。常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，如 、、 等；②含 的数，如 、 等；③有规律但不循环的无限小数，如 （相邻两个 1 之间 0 的个数依次加 1）。 2.实数的概念：有理数和无理数统称为__________，即实数可分为有理数和无理数。有理数包括__________和__________，可化为有限小数或无限循环小数；无理数则是__________。 3.实数的分类：按定义分，实数分为有理数和无理数；按正负分，实数分为正实数、0、负实数。注意：0 既不是__________也不是__________，0 属于__________。 4.实数与数轴：实数与__________上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 5.易错提醒：带根号的数不一定是无理数，如 是有理数；无限小数不一定是无理数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。 知识点02 平方根、算术平方根与立方根 1.算术平方根的概念：若 （）且 ，则 是 的__________，记作 。0 的算术平方根是 0。 2.算术平方根的性质：具有__________——被开方数 ，且 。核心公式：（），。 3.平方根的概念：若 （），则 是 的__________，记作 。核心性质：①正数有两个__________的平方根；②0 的平方根是 __________；③__________没有平方根（不能开平方）。 4.算术平方根与平方根的区别：算术平方根只有一个，是__________或 __________；平方根有两个，互为__________（0 的平方根只有一个）。审题时务必注意区分，例如 （算术平方根），而 16 的平方根是 。 5.立方根的概念与性质：若 ，则 是 的__________，记作 。性质：任意__________都有唯一立方根；正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根是 0。公式：（负号可直接移出）。 知识点03 实数范围内的相关概念与非负数 1.相反数、倒数与绝对值：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内__________。实数 的相反数为 ，非零实数 的倒数为 ，绝对值 在 时等于 ，在 时等于 。 2.实数的非负性：在实数范围内，正数和零统称为__________。已学过的非负数有三种形式：①任何实数的绝对值是非负数，即 ；②任何实数的平方是非负数，即 ；③任何非负数的算术平方根是非负数，即 （）。 3.非负数的重要性质：①非负数有最小值零；②有限个非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0。例如，若 ，则 且 。 4.实数的运算律：有理数的运算法则及运算律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律等）对实数仍然适用。 知识点04 二次根式及其运算 1.二次根式的概念：形如 （）的式子叫做__________。二次根式有意义的条件是__________为非负数，即 。二次根式具有双重非负性： 且 。 2.最简二次根式的条件：被开方数__________；被开方数中不含能开得尽方的__________或__________。例如， 可化简为 ， 可化简为 。 3.同类二次根式：几个二次根式化成__________，如果__________，这几个二次根式叫做同类二次根式。合并同类二次根式时，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变。 4.二次根式的乘除运算： 乘法法则：（，）； 除法法则：（，）。 运算时系数与根式分开运算，最后结果应化为__________。 5.二次根式的加减运算：先化为__________，再合__________。加减运算的实质类似于整式运算中的合并同类项。 6.核心易错点：二次根式有意义的条件——__________（），这是考试中高频出现的考点。 考点01无理数与实数的概念及分类 考点内容：无限不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称实数。实数按定义可分为有理数和无理数；按大小可分为正实数、0、负实数。 ①判断给定的数是无理数还是有理数（常考无理数的四种形式：开方开不尽的数，如 ；含有 的数，如 ；特定结构的无限不循环小数，如 ；三角函数值等）； ②对实数进行准确分类，填入相应的集合中（正数集合、负数集合、有理数集合、无理数集合等）； ③辨别易混淆的数，如 （有理数）、（有理数）、（有理数）等。。 易错提醒：带根号的数不一定是无理数（如 是有理数）；无理数不一定是带根号的数（如 ）。分数一定是有理数。分类时要注意“0”既不是正数也不是负数，防止遗漏。 考点02 平方根、算术平方根与立方根 考点内容：算术平方根：非负数 的正的平方根，记作 ；平方根：如果一个数的平方等于 ，这个数叫 的平方根，记作 ；立方根：如果一个数的立方等于 ，这个数叫 的立方根，记作 。 ①求一个数的平方根、算术平方根或立方根； ②已知一个数的平方根（或立方根），求原数； ③利用平方根的性质解方程（如 ，求 的值）； ④化简求值，如计算 、 等。 易错提醒：负数没有平方根，但负数有立方根；正数的算术平方根只有一个（非负），平方根有两个（互为相反数），0的平方根和算术平方根都是0。注意区分“√16 的平方根”（即 ±2）和“16的平方根”（即 ±4）这类文字陷阱。 考点03 实数的性质与数轴 考点内容：实数与数轴上的点是一一对应的。在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一致。数轴上两点间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值。 ①求实数的相反数、倒数和绝对值（特别是含有无理数的绝对值化简，如 ）； ②利用数轴比较实数的大小，或者根据数轴上点的位置化简代数式（如化简 等）； ③数形结合，在数轴上表示无理数（如利用勾股定理在数轴上画出表示 的点）； ④利用数轴求两点间的距离。 易错提醒：去绝对值符号时，必须首先判断绝对值内部代数式的正负性，再进行化简。在数轴上比较大小，右侧的点表示的数总比左侧的点表示的数大（正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小）。 考点04 二次根式及其运算 考点内容：形如 的式子叫做二次根式。最简二次根式需满足：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 ①求二次根式中字母的取值范围（被开方数大于等于0，若在分母上则大于0）； ②二次根式的乘除法运算（，）； ③二次根式的加减运算：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； ④二次根式的混合运算（结合乘法公式，如平方差公式、完全平方公式进行计算，以及分母有理化）； ⑤化简求值：先化简，再代入求值。 易错提醒：二次根式运算的最后结果必须化成最简二次根式；合并同类二次根式时，只合并根号外的因数，根号内的数不变（类似合并同类项）；注意 ，防止出现 这样的错误。计算时要注意运算顺序和符号。 考点05 实数的估算与大小比较 考点内容：利用算术平方根的意义，通过“夹逼法”估算一个无理数的大小，即找到它的整数部分和小数部分。 ①估算无理数在哪两个连续整数之间（如估算 在3和4之间）； ②求无理数的整数部分和小数部分（如 的整数部分是2，小数部分是 ）； ③比较两个实数的大小（常用方法：数轴法、平方法、作差法、倒数法、估算法等）； ④结合数轴或实际生活背景，确定无理数的取值范围。 易错提醒：估算时要注意找准与被开方数相邻的两个完全平方数。求小数部分时，务必用原数减去其整数部分，切勿直接写估算的近似小数。比较两个负数的大小时，绝对值大的反而小。 考点05 实数非负性的综合应用 考点内容：常见的非负数有三种形式：、、。几个非负数的和为0，则这几个非负数必须同时为0。 ①已知 ，求 和 的值； ②结合方程或方程组，利用非负性求解未知数的值； ③已知 ，求 的值或求代数式的值。 易错提醒：看到“几个非负数的和为0”的条件，必须立刻联想到“每一个非负数都等于0”，列出方程组求解。注意 本身隐含了 的条件，结合非负性求解时不要遗漏。 序号 名称 公式（代数语言） 说明 1 算术平方根 （） 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。双重非负性： 且 。 2 平方根 （） 如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根。正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根。 3 平方根的性质 （） 重点区分： 等于 的绝对值。当 时，；当 时，。 4 立方根 （为任意实数） 如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 5 立方根的性质 立方根具有唯一性，且被开方数的取值范围是全体实数，这是与平方根最大的区别。 6 实数的分类 实数 有理数和无理数统称为实数。无理数是指无限不循环小数（如 ， 等）。 7 二次根式的乘法 （） 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。此公式也可逆用：。 8 二次根式的除法 （） 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。注意分母 必须大于0。 9 最简二次根式 满足以下两个条件：① 被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数或因式。 计算结果必须化成最简二次根式。例如： 需化为 ； 需化为 。 10 同类二次根式与加减法 化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式。二次根式的加减法法则：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 11 分母有理化 将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。核心方法是分子分母同乘分母的有理化因式。 12 实数的相反数与绝对值 实数 的相反数是 。一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 13 实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 14 实数的大小比较与估算 夹逼法： 估算无理数的大小时（如 ），找出被开方数相邻的两个完全平方数（4和9），从而确定其整数部分（2），再逐步逼近小数部分。 辨析01 无理数是无限不循环小数，不能仅凭表面形式判断 无理数是无限不循环小数，主要包括开方开不尽的数（如、）、含有的数（如、）以及特定结构的无限不循环小数。不要将所有带根号的数都视为无理数，如、是有理数；也不要将分数或有限小数（如、）误认为无理数。判断一个数是否为无理数，必须先化简或计算，看其最终结果是否为无限不循环小数。 辨析02 平方根与算术平方根的概念不同，符号表示各异 正数有两个互为相反数的平方根，记作 ；而算术平方根只有一个，且为非负数，记作 。不要将两者混淆；特别注意 表示16的算术平方根，其值为4，而16的平方根为 。因此， 的平方根是 ，而不是 。在文字语言与符号语言的转化中，切勿漏掉正数的负平方根。 辨析03立方根的性质与平方根不同，负数也可以开立方 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。与平方根不同，负数没有平方根，但任何实数都有唯一的立方根。不要认为负数不能开方；在计算中，注意公式 的应用，如 。立方根的双重非负性限制（被开方数非负、结果非负）是不存在的，其被开方数和结果的符号始终保持一致。 辨析04 实数与数轴上的点一一对应，绝对值的化简需分类讨论 实数和数轴上的点是一一对应的，这体现了数形结合的思想。在求实数的相反数、绝对值、倒数时，其运算法则与有理数完全一致。注意带有字母或根号的绝对值化简，必须判断绝对值内部代数式的正负性。不要盲目去绝对值符号，例如化简 时，因为 ，所以结果应为 ；若已知 ，则 。不要漏掉分类讨论的情况。 辨析05 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，分母不为零 在二次根式 中， 必须满足 。如果二次根式出现在分母中（如 ），则不仅要求 ，还要求 ，即 。不要忽略隐含条件；在求字母取值范围时，需综合考虑所有限制条件（如同时存在分式和二次根式时，既要满足被开方数非负，又要满足分母不为零）。这是中考考查的基础高频点，绝不能掉以轻心。 辨析06 最简二次根式与同类二次根式的判断，必须先化简再合并 最简二次根式必须同时满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。不要将未化简的二次根式（如 、）直接视为最简二次根式。同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式。判断同类二次根式前，必须先将各项化为最简二次根式。合并同类二次根式时，只把系数相加减，根号部分（被开方数）保持不变，如 。 辨析07 二次根式的乘除法与加减法法则不同，切勿混淆运算逻辑 二次根式的乘法法则为 （），除法法则为 （）。注意加减法与乘除法完全不同，加减法必须先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。不要犯 或 的混淆错误（前者是错的，后者是对的）。在进行分母有理化时，常利用平方差公式（如分子分母同乘 ），注意运算结果的符号和化简彻底。 辨析08 估算无理数的大小与实数比较大小，需掌握基本方法 估算无理数的大小常采用“夹逼法”，例如估算 时，因为 ，所以 。不要直接给出一个近似值作为最终答案，除非题目明确要求保留几位小数。比较实数大小时，同号的两个数可以利用平方法（如比较 和 ，平方后变为18和12，所以 ），也可以利用数轴法（右边的数总比左边的大）或作差法。不要死记硬背结论，要掌握转化的数学思想。 【题型一】实数的分类 【例1】把下列各数填在相应的大括号里：，，0，，1.5，，． 整数集合：{___________…}； 正数集合：{___________…}； 分数集合：{___________…}； 非负有理数集合：{___________…}． 【变式1-1】把下列各数相应的序号填入对应的括号内：①，②0，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ ①正有理数集合：{_________…}； ②负整数集合：{_________…}； ③正分数集合：{_________…}； ④非负整数集合：{_________…}． 【变式1-2】把下列各数分别填入相应的集合中（只填入对应序号）： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个之间的逐次加）；⑨；⑩ (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)有理数集合：； (4)无理数集合： 【题型二】实数的性质 【例2】的相反数是（     ） A． B． C．2023 D． 【变式2-1】下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式2-2】的绝对值是_________；的相反数是_________． 【题型三】三实数与数轴 【例3】如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交数轴于点A．点O为原点，点A所表示的数为a，则a的值是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为______． 【变式3-2】如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【题型四】实数的大小比较 【例4】比较大小：________． 【变式4-1】．比较大小：______． 【变式4-2】比较大小：_____(填，， 【题型五】求一个数的算术平方根 【例5】4的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列关于的叙述，错误的是（     ） A．是12的算术平方根 B．是实数 C．在数轴上可以找到表示的点 D．是有理数 【变式5-2】25的算术平方根是________． 【题型六】算术平方根的实际应用 【例6】某手工社团开展“环保硬纸片改造”活动，社团成员小丽拿到两块小正方形硬纸片，准备拼成一个大正方形后，再裁出长方形书签．如图，已知两个小正方形的面积均为，将它们拼成一个大正方形，小丽计划沿着大正方形边的方向，裁出一个长宽比为，面积为 的长方形书签． (1)大正方形的边长是 ； (2)请判断小丽能否裁出符合上述要求的长方形纸片，并说明理由． 【变式6-1】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长： (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为，她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【变式6-2】如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【题型七】平方根概念理解 【例7】下列说法：①任何数都有立方根；②一个正数的两个平方根之和为0；③平方根等于它本身的数是0和1；④无限小数一定是无理数．其中错误的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】若一个正数的两个平方根分别是和，则的值为_________． 【变式7-2】已知正数的两个平方根是和，求、的值． 【题型八】求一个数的平方根 【例8】的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】若 (1)求x与y的值； (2)求的平方根 【变式8-2】计算 (1)已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． (2)已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【题型九】利用平方（立方）根解方程 【例9】求下列各式中的x (1) (2) 【变式9-1】解方程： (1) (2) 【变式9-2】求下列各式中的x： (1)； (2)． 【题型十】立方根的实际应用 【例10】王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【变式10-1】把棱长分别为和的两个正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，求这个大正方体铁块的棱长．（先用一个式子表示，再用计算器计算，精确到） 【变式10-2】如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 【题型十一】二次根式的识别 【例11】下列式子中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】下列根式中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】下列式子，，，中，二次根式的个数是________个． 【题型十二】求二次根式的值 【例12】伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，物理学把这一运动称为“自由落体运动”，物体在做自由落体运动时，下落时间（s）和下落高度（m）之间满足关系式，其中（不考虑空气阻力），当物体从高处做自由落体运动时，下落的时间介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式12-1】当时，二次根式的值为________． 【变式12-2】当时，的值是_________． 【题型十三】二次根式的乘除混合运算 【例13】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式13-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式13-2】计算： (1) (2) (3) (4) 【题型一】忽略夹逼估值法而致错 【例1】若为正整数，且满足，的值是_____． 易错警示 对于无理数的大小估算，要找准被开方数相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质进行夹逼，切勿直接四舍五入或凭感觉估计。 【变式1-1】若为正整数，且满足，则的值为______． 【变式1-2】在与之间的整数是__________． 【题型二】忽略勾股定理构造无理数而致错 【例2】如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 易错警示 对于勾股定理与无理数的结合，要利用“构造直角三角形”的方法（如1和1构造√2）在数轴上准确描点，注意线段长度与数轴正负方向的对应。 【变式2-1】如图，已知，那么数轴上点所表示数的相反数是___________． 【变式2-2】如图，为数轴原点，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于；在上取点，使；以原点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴负半轴相交于点，则点表示的实数是__________． 【题型三】忽略被开方数范围与算术平方根非负性而致错 【例3】估算的值（     ） A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间 易错警示 对于估计算术平方根的取值范围，要先确定被开方数在哪两个连续正整数的平方之间，再结合算术平方根的非负性确定其大致范围，注意边界值的取舍。 【变式3-1】如图，数轴上有，，，四个点，则（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【变式3-2】若为正整数，且满足，则________． 【题型四】忽略无理数整数与小数部分的表示而致错 【例4】已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 易错警示 对于无理数整数部分的计算，要先估算出其整数部分a，则小数部分表示为原数-a；切记小数部分是一个正的真分数或无理数，不可直接截取数字。 【变式4-1】已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)请求出、、的值： (2)若是的小数部分．求的算术平方根． 【变式4-2】阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【题型五】忽略算术平方根规律通项归纳而致错 【例5】求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ，有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得．还有些数可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： x 16 ．．． 4 40 400 ．．． (1)你能发现什么规律？(请将规律用文字表达出来) (2)运用你发现的规律，探究下列问题： 已知 求下列各数的算术平方根： 易错警示 对于算术平方根的规律探索，要从特殊到一般，找准被开方数的分子分母与序号n的对应关系，注意化简时结果的非负性. 【变式5-1】在草稿纸上计算：①；②；③，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值_________；_________． 【变式5-2】在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【题型六】忽略二次根式化简而致错 【例6】若最简二次根式与可以合并，则______________． 易错警示 判断同类二次根式前，必须先将各二次根式化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，切勿直接看原式被开方数. 【变式6-1】若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【变式6-2】若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为__________． 【题型七】忽略分母有理化因式及符号而致错 【例7】在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)__________． (2)化简． (3)若，求的值． 易错警示 对于分母有理化，要找准有理化因式（如√a+√b的有理化因式是√a-√b），分子分母同乘时切勿漏乘，并注意最终结果要化为最简. 【变式7-1】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ． ，． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)________________； (2)化简． (3)已知，求的值． 【变式7-2】观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值：________； (4)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【题型八】忽略已知条件隐含范围与化简而致错 【例8】已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 易错警示 对于已知条件式化简求值，要先化简再代入，化简过程中必须挖掘隐含条件（如分母不为0、二次根式被开方数非负），绝对值的化简要注意符号. 【变式8-1】已知，，求的值． 【变式8-2】已知，求的值． 【题型一】算术平方根和立方根的综合应用 【例1】已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【变式1-1】已知4是的算术平方根，的立方根为． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【变式1-2】（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【题型二】程序设计与实数运算 【例2-1】如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输入值为时，输出值为 ②当输出值为时，输入值为或 ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值． ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【变式2-1】如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法： ①当输出值y为时，输入值x为5或25； ②当输入值为64时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个． 【变式2-2】如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 【题型三】复合二次根式的化简 【例3】阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1)化简：． (2)化简：． (3)计算：． 【变式3-1】化简 (1)； (2)； (3)． 【变式3-2】阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【题型四】已知条件式，化简求值 【例4】定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【变式4-1】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【变式4-2】【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________． 【题型五】新定义下的实数运算 【例5】老师设计了“”的加密游戏，“”有自己的运算法则，老师让同学们根据下面给出的算式，完成下面的问题． ，， ，， ，． 法则探究 (1)归纳“”的运算法则：当非零两数进行“”运算时，两数同号，结果为______（填“正”或“负”），两数异号，结果为______（填“正”或“负”），并把________________，特别地，与任意非零数进行“”运算时，结果为________________； 法则应用 (2)计算：； 数轴上的距离 (3)我们知道，的几何意义是：在数轴上，表示数的点与原点的距离．嘉淇发现，对于任意的非零有理数，，，则的几何意义是：在数轴上，____________________________________． 【变式5-1】观察下列两个等式：，，给出定义如下：若对于数对，使等式成立，则称数对是“4相关数对”，如：，所以数对是“4相关数对”． （1）数对，中是“4相关数对”的是________． （2）在数对和都是“4相关数对”的条件下，一名同学得到下面两个结论： 结论一：和互为相反数； 结论二：和互为倒数． 请你判断，结论________正确． 【变式5-2】定义新运算“”，即对任意有理数，满足规律，这种运算为“开心”运算，例如：． 探究一：两个数“开心”运算： (1)计算：①___________；___________； ②___________；___________； (2)我们知道：加法交换律和结合律在有理数范围内仍然成立，根据以上计算，___________律在“开心”运算中同样成立； 探究二：三个数“开心”运算： (3)计算：与的值（要求写出计算过程）； (4)根据（3）的计算，判断加法结合律在“开心”运算中___________（填“成立”或“不成立”）． 【题型六】与实数运算相关的规律题 【例6】观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【变式6-1】学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 【变式6-2】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【题型一】海伦-秦九韶公式模型 【模型解读】 【结论1】（海伦公式）若三角形的三边长分别为 ，半周长为 （即 ），则该三角形的面积 为： 证明：如图（1），在 中，三边 。过点 作 于点 。 设 ，则 。 根据勾股定理，在 和 中，有： ， 。 ， 展开得： ， 化简得：，即 。 。 ， 。 利用平方差公式进行因式分解： 。 ， ， ， ， 。 代入上式得： 。 。 【结论2】（秦九韶“三斜求积术”）如图（1），若三角形三边长分别为 ，则其面积 也可表示为： 证明： 由【结论1】的证明过程可知， （注：此处字母 互换不影响公式本质）， 将根号外的 放入根号内，并提取公因式，可得： 。 【例1】海伦-秦九韶公式是利用三角形的三条边的长直接求三角形面积的公式，其具体内容如下：如果一个三角形的三边长分别为，记，则这个三角形的面积．如图，在中，． (1)求的面积； (2)设边上的高为边上的高为边上的高为，求的值． 【变式1-1】【再读教材】我们八年级下册数学课本第17页介绍了“海伦-秦九韶公式”；如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】已知如图在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【变式1-2】我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【题型二】二次根式与勾股定理最值模型 【模型解读】 【结论 1】：如图，直线 两侧分别有两点 。点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，两垂足之间的距离为 。在直线 上找一点 ，使得 的值最小。 结论： 直接连接 交直线 于点 ，此时 取得最小值。 证明： 两点之间线段最短， 当点 三点共线时， 最小，最小值为线段 的长度。 连接 与直线 的交点即为使得距离和最小的点 。 【结论 2】在【结论1】的模型下，代数式 的最小值为 。 证明： 过点 作直线 的平行线，过点 作该平行线的垂线，垂足为 。 根据勾股定理： 。 的最小值为 。 【例2】如图，一条河流的段长为，在B点的正北方处有一村庄A，在D点的正南方处有一村庄E，计划在上建一座桥C，使得桥C到A村和E村的距离和最小．请根据以上信息，回答下列问题： (1)将桥C建在何处时，可以使得桥C到A村和E村的距离和最小？请在图中画出此时C点的位置； (2)小明发现：设，则，则，根据（1）中的结论可以求的最小值，并求出最小值． 【变式2-1】如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【变式2-2】综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 【题型三】高斯记号 【结论 1】（定义与拆分）设 为任意实数，用符号 表示不超过 的最大整数（即 的整数部分）。令 ，称为 的小数部分。 结论： ，且满足 ，其中 。 证明： 是不超过 的最大整数， 。 将不等式两边同时减去 ，得 。 令 ，则有 ，且 。 【结论 2】（整数平移性质）若 为整数，则 。 证明： 设 ，其中 。 为整数， 。 是整数，且 ， 根据定义，不超过 的最大整数即为 。 。 【例3】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【变式3-1】对于实数，我们规定：用符号【】表示不大于的最大整数，称【】为的根整数，例如：【】，【】． （1）计算【】=______，【】=______； （2）若【】=1，则满足题意的的所有整数值为______； （3）如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求【】的值． 【变式3-2】对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为叫a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：_______，________． （2）若，写出满足题意的x的整数值______________． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．对100连续求根整数，______次之后结果为1． 【题型四】 基本不等式最值模型 【结论 1】（基本不等式）若 ，则 ，当且仅当 时，等号成立。 （注：常用变形为 ，或 ） 证明： 任何实数的平方都是非负数， （此处需初二下学期“二次根式”知识基础）。 展开得：， 移项得：。 当且仅当 ，即 时，等号成立。 【例4】按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【变式4-1】阅读理解关作答： 若，定义为的算术平均值，为的几何平均值，关于它们有著名的均值不等式．请你采用下面的方法来探究这一问题： (1)已知为线段上的一点，于点，且，连接， 尺规作图：作的边上的中线； 判断并证明的形状，再利用中作出的图形证明． (2)应用该不等式解决问题：已知矩形周长为，求其面积的最大值． 【变式4-2】【初步感知】我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为（是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由可得：，可得：，并且当时，． 【学以致用】 (1)请证明：（，）； (2)将（，）称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最小值．例：已知，求函数的最小值． 解：令，，则有，得，当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为． ①已知，则函数取到最小值，最小值为 ； ②直接写出函数（，）的最小值 ．（请用含的代数式表示）． (3)【拓展提高】逆用基本不等式（，），我们也可以求一些函数的最大值． ①试求函数（）的最大值． ②某校计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图，已知墙的长度足够长），另外三边用长为的篱笆围成．设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，矩形面积为，请写出与的函数关系式，并求出该劳动实践基地面积的最大值． 技巧 一句话要点 判断无理数——“无限不循环”辨析法 抓住“无限”和“不循环”两个特征；含 的、开不尽方的（如 ）、特定规律排列的无限小数是无理数；注意 、 等是分数或整数，不是无理数。 区分平方根与算术平方根——“符号与个数”对比法 算术平方根只有一个且非负（记作 ）；平方根有两个且互为相反数（记作 ）；0的平方根和算术平方根均为0。 求平方根/立方根——“定义逆运算”法 正数有两个平方根，负数没有平方根；任何数都有唯一的立方根，且立方根的符号与原数一致。 估算无理数的大小——“夹逼逼近”法 找被开方数相邻的两个完全平方数（或立方数），确定其整数部分，再通过试算逐步逼近，确定小数部分。 实数与数轴——“数形结合”对应法 实数与数轴上的点一一对应；数轴上右边的数总比左边的数大，常用来直观比较无理数的大小。 实数的相反数、倒数与绝对值——“符号化简”法 相反数直接添负号；绝对值要先判断原数的正负（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数）；注意0没有倒数。 解形如 或 的方程——“开方降次”法 利用平方根或立方根的定义直接开方。特别注意 时，方程有两个解，即 ，切勿漏解。 实数的混合运算——“先化简后计算”法 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号；去绝对值符号时，务必先判断绝对值内式子的正负。 非负数的性质——“零加零等于零”法 若几个非负数（算术平方根、绝对值、偶次幂）之和为0，则每一个非负数必须同时为0。常用来求未知数的值。 比较实数大小——“多种工具”灵活选 同分母比分子、同分子比分母；根式比较常用平方法；一般实数可用数轴法或作差法。 实数分类——“按定义不重不漏”法 实数分为有理数和无理数；有理数分为整数和分数。注意小数归类（有限小数和无限循环小数属于有理数）。 二次根式的化简与合并——“同类二次根式”法 化为最简二次根式（被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数）；只有被开方数相同的二次根式（同类二次根式）才能进行加减合并。 使用建议（新课标导向）： 重概念：无理数和平方根的概念是本章的基石，选择题常考辨析，务必理清。 重运算：实数的混合运算是必考题型，关键在于符号的处理和绝对值化简。 重思想：数形结合（数轴）和分类讨论（平方根的正负）是本章的核心数学思想。 防易错：注意 的双重非负性（，），以及 解题时的漏解问题。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $