第三章函数的概念与性质（期中知识清单）高一数学上学期人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 函数的概念 1.1 函数的概念 一般地，设 ， 是非空的实数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 其中， 叫做自变量； 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。 示例：函数 的定义域为 ，值域为 。 注意：值域是集合 的子集，不一定等于 。 1.2 函数的三要素 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。 示例：函数 与 定义域、对应关系都相同，是同一个函数。 1.3 函数相等 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。 示例： 与 对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数。 1.4 区间 设 ， 是两个实数，而且 ，我们规定： 名称 定义 区间表示 闭区间 满足不等式 的实数 的集合 开区间 满足不等式 的实数 的集合 半开半闭区间 满足不等式 或 的实数 的集合 ， 这里的实数 与 都叫做相应区间的端点。 示例：，。 满足 ，，， 的实数 的集合，可以分别用区间表示为 ，，，。 示例：。 2. 函数的表示法 2.1 函数的三种表示法 表示法 内容 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 示例： 是解析法，也可用表格列出各 对应的 ，或用图象表示。 2.2 分段函数 有些函数在它的定义域中，对于自变量 的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数。 示例： 可以表示为：当 时 ，当 时 ，是分段函数。 3. 单调性与最大（小）值 3.1 增函数与减函数 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ： 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增。特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减。特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 示例： 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增。 3.2 单调区间 如果函数 在区间 上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间 叫做 的单调区间。 示例： 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 。 3.3 最大值与最小值 一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： （1），都有 ； （2），使得 。 那么，我们称 是函数 的最大值。 一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足： （1），都有 ； （2），使得 。 那么，我们称 是函数 的最小值。 示例： 在 上有最小值 （当 时取到），无最大值。 4. 奇偶性 4.1 偶函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做偶函数。 示例： 是偶函数，因为 ，其图象关于 轴对称。 4.2 奇函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且 ，那么函数 就叫做奇函数。 示例： 是奇函数，因为 ，其图象关于原点对称。 5. 幂函数 5.1 幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。 对于幂函数，我们只研究 时的图象与性质。 示例：，，，（即 ），（即 ）都是幂函数。 5.2 五个常见幂函数的图象与性质 在同一坐标系中画出函数 ，，， 和 的图象，可得到它们的性质： 图1：五个幂函数的图象 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 奇函数 在 上单调递增 偶函数 在 递减，在 递增 奇函数 在 上单调递增 非奇非偶 在 上单调递增 奇函数 在 和 上单调递减 共同性质：（1）函数 ，，， 和 的图象都通过点 ；（2）函数 ，， 是奇函数，函数 是偶函数；（3）在区间 上，函数 ，，， 单调递增，函数 单调递减；（4）在第一象限内，函数 的图象向上与 轴无限接近，向右与 轴无限接近。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 单调性的等价形式 设 ，则函数 在区间 上单调递增等价于 （即 ）；单调递减等价于 。 1.2 奇偶性的定义域特征 函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称（ 都有 ）；定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。 1.3 奇函数在原点的函数值 若 是奇函数，且 在定义域内，则 。 1.4 偶函数的取值特征 若 是偶函数，则 ，自变量加绝对值不影响函数值。 1.5 奇偶函数四则运算 在公共定义域上：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。 1.6 二次函数的单调区间 二次函数 以 为界： 时在 单调递减、在 单调递增； 时相反。 1.7 幂函数过定点 所有幂函数 的图象都经过点 ；当 时还经过点 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断两个函数是否为同一个函数 先比较定义域是否相同，再看对应关系是否完全一致（即对定义域内任意 ，函数值是否相同），两者都相同才是同一个函数。如 与 是同一个函数。 2.2 求函数的定义域 只给出解析式时，定义域是使解析式有意义的自变量的集合，常见限制：分式分母 、偶次根式被开方数 、零次幂底数 、实际问题须符合实际意义。如 的定义域须同时满足 且 ，即 。 2.3 用定义证明函数单调性（五步） 取值（任取 且 ）→ 作差（）→ 变形（通分、因式分解、配方等）→ 定号（判断差的符号）→ 结论。如证明 是增函数：。 2.4 判断函数的奇偶性 先判断定义域是否关于原点对称，再判断 与 的关系： 是偶函数， 是奇函数。如 ：定义域为 ，，是偶函数。 2.5 求函数的最大（小）值 图象法（观察图象最高、最低点）、单调性法（在单调区间端点取最值）、配方法（二次函数配方求顶点）。如 ，最小值为 。 2.6 分段函数的处理 分段函数在定义域的不同范围用不同解析式，求值、作图、解不等式都要先判断自变量落在哪一段，再代入对应解析式。如 ，，求 用 的解析式，得 。 3. 判断 / 求值 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 抽象函数赋值法 令 、 或令 等代入已知关系求特殊值 ，令 得 奇偶函数求另一半解析式 已知 的解析式，求 时用 （奇）或 （偶） 为奇函数， 时 ，则 时 利用单调性比较大小 先判单调性，再把自变量放进同一单调区间比较 在 上递增，比较 与 ：，故 幂函数图象分布 时图象过 、，第一象限递增； 时过 ，第一象限递减 与 在第一象限的走向 4. 常见考试模型 4.1 分段函数模型 公式：出租车计价、阶梯水价、个税等按自变量的取值范围分段列解析式，总费用 是自变量 的分段函数，逐段列出即可。 限定：每段的解析式只在对应区间内成立，求值先判断 落在哪一段。 示例：如个税分段税率，、 等。 4.2 二次函数最值模型 公式：二次函数 配方为 ，顶点 。 限定：若自变量有范围限制，最值要结合范围讨论，顶点不在范围内时最值在端点处取得。 示例：如周长一定的矩形，设长为 ，则面积 ，配方求最大面积。 【使用提醒】自变量取值范围受实际意义限制（如边长、长度须为正），先写出范围再求最值。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断函数是否相等时，只看解析式而忽略定义域 典例：判断函数 与 是否为同一个函数。 错解：因为 ，所以 与 是同一个函数。 正解： 的定义域是 ， 的定义域是 （由 有意义得 ）。两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数。 原因：概念理解错误。两个函数相等的条件包含”定义域相同”和”对应关系完全一致”两个缺一不可的条件。学生看到解析式化简后相同，就忽略了定义域，误以为解析式相同就是同一个函数。判断函数是否相等，必须先比较定义域，再看对应关系。 易错点 2：求定义域时忽略隐含条件 典例：求函数 的定义域。 错解：由 得 ，所以定义域为 。 正解：函数有意义须同时满足 有意义且分式 有意义，即 且 ，解得 且 。所以定义域为 。 原因：条件遗漏。求解析式给出的函数定义域时，要同时考虑所有使式子有意义的限制：偶次根式要求被开方数 ，分式要求分母 。学生只记住了根式的条件，漏掉了分母 这一隐含条件。 易错点 3：判断奇偶性前不检查定义域是否关于原点对称 典例：判断函数 ， 的奇偶性。 错解：，所以 是偶函数。 正解：函数 的定义域是 ，不关于原点对称（例如 属于定义域，但 不属于定义域）。定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数，所以 既不是奇函数也不是偶函数。 原因：忽略隐含前提。函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称，即 都有 。学生拿到函数就先算 ，用 直接下结论，跳过了定义域的检验。 易错点 4：奇函数 的使用条件不清 典例：已知函数 是奇函数，求 的值。 错解：因为 是奇函数，所以 。 正解：函数 的定义域是 ， 不在定义域内， 无意义，谈不上取值。奇函数 成立的前提是 在定义域内。 原因：条件遗漏。奇函数 是一个结论，但它要求自变量 在定义域内（由 得 ，即 ，这一步需要 有意义）。学生把结论当成了无条件成立的公式，忽略了定义域这一前提。 易错点 5：单调区间用“∪”连接，或把整个定义域当成一个单调区间 典例：写出函数 的单调递减区间。 错解： 在 上单调递减。 正解： 在 上单调递减，在 上单调递减，所以它的单调递减区间是 和 。不能写成 ，因为取 与 ，有 但 ，不符合单调递减的定义。 原因：概念理解错误。单调性是针对某个区间而言的，“∪”把两个区间并成一个集合后不再是一个区间，且不满足“ 都有 ”。多个单调区间之间要用“和”或逗号隔开，不能用“∪”。 易错点 6：混淆幂函数与指数函数 典例：判断函数 是否为幂函数。 错解： 是幂函数。 正解：幂函数是形如 （ 是自变量， 是常数）的函数，自变量在底数位置、指数为常数；而 中自变量 在指数位置、底数是常数 ，是指数函数，不是幂函数。 原因：概念混淆。幂函数 与指数函数 形式相似、位置恰好相反：幂函数自变量在底数、指数函数自变量在指数。学生初学幂函数，容易与指数函数混淆，关键是抓住“幂函数是底数为自变量、指数为常数”这一特征。 学科网（北京）股份有限公司 $