第四章投影与视图（期中知识清单）九年级数学上学期新教材北师大版

第四章 投影与视图　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 投影 1.1 投影的概念 物体在光的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 示例：太阳光照射在玻璃窗框、长椅等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子，这就是投影现象。 1.2 中心投影 手电筒、路灯和台灯的光可以看成是从一个点发出的，这样的光所形成的投影称为中心投影。 示例：皮影、手影都是灯光照射形成的影子，属于中心投影。 注意：中心投影的光是从一个点发出的，物体影子的长短、方向会随物体与光源的相对位置变化而变化。 1.3 平行投影 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 示例：太阳光照射物体在地面上留下的影子，就是平行投影。 1.4 正投影 平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。 示例：太阳光线竖直向下照射水平地面上的物体，物体在地面上的投影就是正投影。 注意：正投影是平行投影的一种特殊情形，即平行光线垂直于投影面。 2. 视图 2.1 视图的概念 用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图。 示例：从正面对物体作正投影，得到的图形就是物体的一个视图。 2.2 三种视图 在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物体的三个视图，这样大体上就把一个物体的形状特征用平面图形表示出来了。通常我们把从正面得到的视图叫作主视图，从左面得到的视图叫作左视图，从上面得到的视图叫作俯视图。 示例：从正面看长方体得到主视图，从左面看得到左视图，从上面看得到俯视图，三个视图都是长方形。 2.3 三种视图的画法 在三种视图中，主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。因此在画三种视图时，对应部分的长度要相等，而且通常把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面。 示例：画长方体的三种视图时，主视图与俯视图的”长”对应相等，主视图与左视图的”高”对应相等，俯视图与左视图的”宽”对应相等。 2.4 正棱柱 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。 示例：底面为正三角形的直棱柱（正三棱柱）、底面为正方形的直棱柱都是正棱柱。 2.5 画视图时轮廓线的画法 在画视图时，看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线。 示例：画一个底部有被遮挡棱的几何体的主视图时，被遮挡的那条棱要画成虚线。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 平行投影下物高与影长成正比 太阳光线是平行光线，因此在太阳光（平行投影）下，同一时刻、同一地点，竖直物体的高度与其影长成正比例，即 （ 表示高度， 表示影长）。灯光（中心投影）下一般不满足这一比例关系。 【使用提醒】比例关系须同时满足”同一时刻、同一地点、物体竖直放置”三个条件，缺一不可。 1.2 中心投影下影子长短与距离的关系 同一光源下，同一高度的物体，离光源（在地面上的正投影）越远，影子越长；物体到光源的水平距离相同时，物体越高，影子越长。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 画三视图的方法 先确定主视图（从正面观察），再把俯视图画在主视图的正下方、与主视图”长对正”，把左视图画在主视图的正右方、与主视图”高平齐”、与俯视图”宽相等”。可概括为”长对正、高平齐、宽相等”。 示例：画一个圆柱的三种视图：主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆。 2.2 由三视图还原几何体的方法 先由俯视图确定底面形状，再由主视图确定高和正面形状，最后用左视图验证侧面形状，三图结合想象出几何体，必要时画草图。 2.3 确定中心投影光源位置的方法 过每根木杆（物体）的顶端与其影子顶端各作一条直线，两条直线的交点就是点光源（如路灯灯泡）所在的位置。 3. 识图与记忆小技巧 技巧 要点 示例 三视图口诀 “长对正、高平齐、宽相等”：主视图与俯视图”长对正”，主视图与左视图”高平齐”，俯视图与左视图”宽相等” 画三视图时按口诀对齐各视图的对应边 轮廓线速记 看得见的轮廓线画实线，看不见的画虚线 空心圆柱主视图中被挡住的圆画虚线 常见几何体三视图 球：三视图都是圆；正方体：三视图都是正方形；圆柱：主、左视图是长方形，俯视图是圆；圆锥：主、左视图是等腰三角形，俯视图是圆 三视图全为圆的几何体是球 投影类型判断 同一时刻各物体影子方向一致且互相平行，是平行投影（太阳光）；影子方向各不相同，是中心投影（灯光） 两棵树影子方向不同，必是灯光下形成 4. 常见考试模型 4.1 利用影子测高模型 公式：同一时刻、同一地点，，即 （ 表示高度， 表示影长）。 限定：须”同一时刻、同一地点”，物体竖直放置，影长 。 示例：如竹竿高 、影长 ，同一时刻树影长 ，则树高 。 4.2 由三视图求几何体表面积、体积模型 公式：先由三视图还原几何体，确定底面形状与高，再套用相应柱体、锥体、球体的表面积、体积公式（如圆柱 ， 为底面半径、 为高）。 限定：还原时要看清虚线（看不见的轮廓线），避免漏掉隐藏部分或把几何体认错。 示例：如主、左视图都是长方形、俯视图是圆，则几何体为圆柱，量出半径 与高 后代入 计算体积。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：俯视图、左视图的摆放位置错误 典例：画一个长方体的三种视图，并说明三种视图在图纸上的正确摆放位置。 错解：把主视图放在中间，俯视图画在主视图的上方，左视图画在主视图的左方。 正解：通常把俯视图画在主视图的正下方，把左视图画在主视图的正右方，且各视图对应部分的长度要相等。 原因：对三种视图的摆放规则记忆不牢，或受日常”从上到下、从左到右”的阅读习惯影响而想当然。三视图的摆放是人为规定——俯视图在主视图下面、左视图在主视图右面，目的是便于”长对正、高平齐、宽相等”的对齐，不能随意摆放。 易错点 2：看不见部分的轮廓线误画成实线 典例：画一个几何体的主视图时，有一条从正面看不见的棱（被其他部分遮挡），这条棱应画成什么线？ 错解：把看得见和看不见的轮廓线都画成实线。 正解：看得见部分的轮廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线。 原因：忽略了”看得见画实线、看不见画虚线”的作图规则。学生画图时往往只关注轮廓线的形状，忘了区分线的虚实；被遮挡的轮廓线若画成实线，会让人误以为它是可见的，导致视图表达的信息错误。 易错点 3：主视图与左视图的对应关系记成”长对正”，把”长、宽、高”搞混 典例：三种视图中，主视图与左视图之间对应相等的是哪一组尺寸？主视图与俯视图之间呢？ 错解：主视图与左视图”长对正”，主视图与俯视图”高平齐”。 正解：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽；因此主视图与俯视图”长对正”，主视图与左视图”高平齐”，俯视图与左视图”宽相等”。 原因：对三种视图各自反映的尺寸记忆混乱，把”长”“高”张冠李戴。根源是没有真正理解三个视图分别从哪个方向观察、反映哪两个维度；只机械背口诀而不懂其含义，一遇到”谁和谁对应”就出错。 易错点 4：由不完整的视图臆断几何体，忽略多种可能 典例：一个几何体的主视图和左视图都是长方形，能否断定它一定是长方体？说明理由。 错解：主视图、左视图都是长方形，所以它一定是长方体。 正解：不能。主视图、左视图都是长方形的几何体还可能是圆柱（俯视图为圆）、三棱柱等，必须结合俯视图（或其他视图）才能确定其形状。 原因：把”必要”当成了”充分”。两个视图相同只能说明几何体在两个方向上的投影是长方形，不足以唯一确定几何体；学生习惯凭两个熟悉的视图就下结论，忽略了一个几何体常需三个视图（有时甚至三个视图也不唯一）才能完整刻画。 易错点 5：把中心投影（灯光）与平行投影（太阳光）判断混淆 典例：同一时刻，两根竖直木杆的影子方向不同、彼此不平行，这影子是在太阳光下形成的，还是在灯光下形成的？ 错解：太阳光下形成的。 正解：太阳光线是平行光线，平行投影下同一时刻各物体影子的方向一致（互相平行）；两根木杆影子方向不同，说明光线从同一点发出，应是在灯光（中心投影）下形成的。 原因：对中心投影与平行投影的本质区别理解不透。太阳光可以看成平行光线，所以影子方向一致；灯光是从一个点发出的，不同位置的物体影子方向各不相同。学生只记住”有影子就是投影”，忽略了光源不同导致的光线特征不同。 易错点 6：用物高与影长成比例时，漏了”同一时刻”的前提 典例：小明上午 10 时测得竹竿高 、影长 ；下午 3 时他又测得旗杆影长为 ，能否用 求旗杆高度 ？ 错解：，解得 。 正解：不能。物高与影长成比例的前提是”同一时刻”，不同时刻太阳高度角不同，影长与物高之比随之改变。应改为在下午 3 时重新测竹竿的影长 ，再用 计算。 原因：忽略隐含条件”同一时刻”。学生只看到”测高可以用比例”，就把任意两个时刻的数据拿来列比例；实际上太阳（光源）位置随时间变化，同一物体的影长也在变，比例式只能在同时刻的数据之间成立。 学科网（北京）股份有限公司 $