专题1 集合与充要条件（讲义）-2027版江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 江苏省（职教高考）《数学二轮讲练测》 专题1 集合与充要条件 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 集合的运算 并集 2026-1 单选 4 集合的定义 2025-1 单选 4 元素与集合的关系 2024-1 单选 4 集合的表示方法和性质 2023-1 单选 4 交集 2022-1 单选 4 充要条件 必要不充分条件 2026-4 单选 4 必要不充分条件 2025-4 单选 4 必要不充分条件 2022-4 单选 4 命题轨迹透视： 集合与充要条件连续五年在江苏省考试中考查2题，为每年必考题目。集合主要考查集合的运算（交并补），出现在第1题，考查4分。充要条件与不等式结合考查，仅考查选择题，并且每年的题序不固定，考查1道选择题，分值4分。 【考点1：集合】 1.（2024江苏省职教高考数学真题）设集合，则下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合之间的关系，结合常用数集的定义即可得解. 【详解】对于AB，因为元素与集合之间不能比较大小，故AB错误； 对于CD，因，且，所以，故C错误，D正确. 故选：D. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）下列对象不能组成集合的是（ ） A. 乖巧听话的孩子 B. 中国古代四大发明 C. 小于30的正整数 D. 26个小写英文字母 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的特征，即可求解. 【详解】集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 对于A：“乖巧听话”没有明确的、客观的界定标准，不满足元素的确定性，所以不能组成集合，所以符合题意； 对于B：“中国古代四大发明”(造纸术、印刷术、火药、指南针)是明确的、确定的，可以组成集合，所以 B不符合题意； 对于C：“小于30的正整数”，这些数是明确可确定的，能组成集合，所以C不符合题意； 对于D：“26个小写英文字母”是确定的，也能组成集合，所以D不符合题意. 故选：A. 3.（2026江苏省职教高考数学真题）已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，可知4是集合的元素，由此求解即可. 【详解】∵集合，，且， ∴，解得. 故选：B. 4．（2026高三·江苏·专题练习）已知，则中所有元素的和为（ ） 【答案】A 【详解】， 所以， 故中所有元素的和为5. 5．（2026高三·江苏·专题练习）已知集合，则中的元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的运算求，可得中元素的个数. 不等式，解得， 所以，又， 可得，即中元素的个数为3. 故选：C （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集    　A⊆B　　或    B⊇A　　  真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 1．下列各项中不能构成集合的是（    ） A．方程的实数解 B．所有的圆 C．著名的战斗英雄 D．中国具有教师资格证的所有人 2．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．用描述法表示下图所示阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是（    ） A． B． C． D． 4．用符号“”或“”填空： （1）若集合，则_________，_________； （2）若为所有欧洲国家组成的集合，则中国_________，法国_________，美国_________． 5．下列集合中，结果是空集的是（    ） A． B．或 C． D．且 6.集合的真子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 7.已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 8.下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．集合的真子集的个数是（   ） A．15个 B．16个 C．7个 D．8个 10．，且，则有（    ） A． B． C． D． 11．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 13.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．某班参加数学竞赛的学生有15人，参加物理竞赛的学生有18人，既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生有8人，既没有参加数学竞赛又没有参加物理竞赛的学生有25人，则这个班的学生人数是（    ） A．45 B．48 C．50 D．58 答案 1.【答案】C 【详解】选项A：方程的实数解为，，元素确定，故A能构成集合； 选项B：所有的圆对象明确，可以构成集合； 选项C：“著名” 没有明确统一的判定标准，无法确定谁属于这个群体，不满足确定性，不能构成集合； 选项D：中国具有教师资格证的所有人，有没有证书是客观可判定的，元素确定，可以构成集合． 2.【答案】D 【分析】先确定集合A的具体元素，再结合元素与集合、集合与集合的关系符号逐一判断选项. 【详解】首先，自然数集包含，因此集合； 选项A：不是自然数，不属于，故A错误； 选项B：是集合之间的包含关系符号，是元素，不能用集合间的关系符号描述，故B错误； 选项C：是元素与集合的从属关系符号，是集合，为集合， 二者为集合与集合的关系，不能用连接，故C错误； 选项D：因为，集合的所有元素都属于，根据子集的定义，可得，故D正确. 3.【答案】B 【详解】由图可得阴影部分中的取值范围是，的取值范围是，所以阴影部分的点（包括边界上的点）的坐标的集合是. 4.【答案】 【分析】（1）求出集合，利用元素和集合的关系求解； （2）利用元素和集合的关系求解. 【详解】（1）， 因为是集合的元素，所以；不是集合的元素，所以； （2）集合的元素为所有欧洲国家， 中国属于亚洲国家，不属于欧洲国家范畴，因此中国； 法国属于欧洲国家，是集合的元素，因此法国； 美国属于北美洲国家，不属于欧洲国家范畴，因此美国. 5.【答案】D 【分析】根据集合的表示及空集的概念判断各选项. 【详解】集合，不是空集，故A项错误； 集合或，可知元素0在此集合中，不是空集，故B项错误； 集合，可知元素在此集合中，不是空集，故C项错误； 因为不存在既满足又满足的实数，故集合且是空集，故D项正确． 故选：D． 6.【答案】C 【详解】由且得或3或9或27， 因此， 故其真子集的个数为． 7.【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 8.【答案】A 【详解】对选项A，集合的元素仅为0，是集合，不是的元素，因为是任意集合的子集，所以，故选项A错误； 对选项B，0是集合的元素，故，所以选项B正确； 对选项C，集合的元素为有序数对，故(1,2)∈{(1,2)} ，所以选项C正确； 对选项D，由空集的性质，空集是任意集合的子集，故，所以选项D正确. 9.【答案】C 【分析】根据真子集的概念可得结果. 【详解】集合的真子集有：，共7个. 故选：C 10.【答案】C 【分析】由集合相等可得为方程的两根，再由韦达定理求解的值即可. 【详解】因为，且， 所以为方程的两根， 由韦达定理得，，解得. 故选：C. 11.【答案】B 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以. 12.【答案】A 【详解】由集合，， 得. 13.【答案】B 【详解】全集， 又因为， 所以. 14.【答案】C 【详解】由题意作如下所示的图： 由图可知，这个班的学生人数是25+(15-8)+(18-8)+8=50. 【考点2：充要条件】 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知数列，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合递增数列的定义即可得解. 【详解】递增数列的定义是对任意，都有， 因此若是递增数列，必有，必要性成立； 但仅无法保证所有后项均大于前项（如数列），充分性不成立； 所以“”是“是递增数列”的必要而不充分条件， 故选：. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充要条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，比如，不能推出． 当成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 3.（2022江苏省职教高考数学真题）已知是实数，则“”是“”的（ ） A.充要条件 B. 充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先解绝对值不等式，再根据充分条件、必要条件的定义（若能推出，则是的充 分条件；若能推出，则是的必要条件）判断关系。 【详解】解不等式：x+1>3或x+1< -3 \\ x> 2或x<-4 若“”成立，即或，不能推出“”（比如满足， 但不满足）； 若“”成立，一定能推出“”（因为是的解集的一部分）。 因此，“”是“”的必要而不充分条件。 故选：C 4．（2026高三·江苏·专题练习）“”是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 充分性：若，根据不等式基本性质可得，充分性成立； 必要性：若，根据不等式基本性质可得，必要性成立； 因此“”是的充要条件， 故选：C. 5．（2026高三·江苏·专题练习）设，则“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 由且可得； 若，可取，则且不成立. 所以且是的充分不必要条件. 故选：A 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 1．“为正三角形”是“为等腰三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题 X：“快递员将包裹送达收件人指定地址”，命题Y：“收件人成功收到包裹”.则命题X 是命题Y 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．下列各组条件中，前者是后者的充要条件的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 10．“”的一个充要条件是（　　） A． B． C．且 D．或 11.已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12.设，，其中为实数，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案： 1.【答案】A 【详解】因为正三角形一定是等腰三角形， 所以“为正三角形”可以推出“为等腰三角形”， 又因为等腰三角形不一定是正三角形， 所以“为等腰三角形”推不出“为正三角形”， 因此“为正三角形”是“为等腰三角形”的充分不必要条件． 2.【答案】C 【详解】由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 3.【答案】A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 4.【答案】A 【分析】根据可得，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5.【答案】B 【详解】取，显然满足，但，所以由不能推出， 若，则且，所以可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 6.【答案】D 【详解】，解得，即为集合， 则选项C是充要条件，故C错误； 与和均无交集，故A，B错误； 集合是的真子集， 则成立，一定满足，但成立，不一定满足， 故D是的一个必要不充分条件，故D正确． 7.【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件分析即可. 【详解】充分性：快递员将包裹送达指定地址（X 成立）， 收件人可能因为包裹丢失等无法成功收到包裹，故充分性不成立， 必要性：收件人收到包裹（Y 成立）， 可能是到快递点自提，并非快递员送达指定地址（X 不一定成立），必要性不成立， 因此 X 是 Y 的既不充分也不必要条件， 故选：D. 8.【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则， 所以当时，方程不成立，充分性不成立， 由方程，可得，解得或， 所以当方程成立时，的值为或，不是，必要性不成立， 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 9.【答案】A 【分析】根据充要条件的定义判断. 【详解】选项A，，所以是的充要条件； 选项B，若，则，充分性成立， 若，可得，解得或，所以由不能推出，必要性不成立， 因此，不是的充要条件， 选项C，若，则，充分性成立； 若，则，所以由不能推出，必要性不成立， 所以，不是的充要条件， 选项D，若，那么一定满足，充分性成立； 若，则可能等于，不一定满足，必要性不成立， 因此，不是的充要条件. 故选：A. 10.【答案】D 【分析】根据充要条件的定义求解. 【详解】∵或， ∴“”的一个充要条件是“或”， 故选：D. 11.【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系，分别判断充分性和必要性是否成立，由此求解即可. 【详解】 若，根据同角三角函数的基本关系， 可得， 不一定得到，故充分性不成立. 若，同理可得： ， 不一定得到，故必要性不成立. 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 12.【答案】D 【分析】根据充分条件与必要条件的定义求解. 【详解】时，若，则，故不能推出， 时，可能，也不能推出． 则是的既不充分也不必要条件， 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $