专题01 有理数（知识&考点&公式&16高频&3易错&4重难&6模型，期中知识清单）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 有理数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(16类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 有理数的概念与分类 1.正数和负数：像1，2，0.5，1/3，…这样大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．0既不是正数，也不是负数． 2.有理数的概念：整数和分数统称为有理数．有理数都可以表示成p/q（p、q为整数，且q≠0）的形式． 3.按定义分类：有理数分为整数和分数两类．整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数． 4.按符号分类：有理数分为正有理数、0和负有理数三类．正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数． 5.小数与有理数：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，都是有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数． 知识点02 数轴 1.数轴的三要素：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．三要素为原点、正方向和单位长度． 2.数轴上的点与有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；但数轴上的点并不都表示有理数． 3.用数轴比较大小：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． 特别提醒：画数轴时必须同时具备原点、正方向和单位长度三个要素，缺一不可；正方向通常取向右． 知识点03 相反数与绝对值 1.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．0的相反数是0． 2.相反数的表示：a的相反数是－a；互为相反数的两个数的和为0，即a＋(－a)＝0． 3.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|． 4.绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即|a|＝a（a＞0），|a|＝0（a＝0），|a|＝－a（a＜0）． 5.绝对值的非负性：任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0（填“≥”“＞”“＝”）；互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|． 特别提醒：绝对值表示“距离”，所以|a|≥0；已知|a|＝m（m＞0）时，a＝m或a＝－m，不要漏掉负数． 知识点04 有理数的大小比较 1.大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反 而小． 2.数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． 3.典型结论：最小的正整数是1，最大的负整数是－1，绝对值最小的有理数是0． 知识点05 有理数的加法与减法 1.加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：加法交换律a＋b＝b＋a；加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 3.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)． 4.加减混合运算：先把减法统一转化为加法，再写成省略括号和加号的和的形式，然后按加法法则进行运算． 特别提醒：运用加法运算律时，常把“同号的数”“能凑成整数的数”“互为相反数的数”先结合，使运算简便． 知识点06 有理数的乘法与除法 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0． 2.倒数：乘积为1的两个数互为倒数．0没有倒数；a（a≠0）的倒数是． 3.乘法运算律：乘法交换律ab＝ba；乘法结合律(ab)c＝a(bc)；乘法分配律a(b＋c)＝ab＋ac． 4.除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0． 5.除法转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b＝a×()（b≠0）． 知识点07 有理数的乘方 1.乘方的意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次幂”（或“a的n次方”）． 2.幂的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 3.科学记数法：把一个数表示成a×10ⁿ（其中1≤|a|＜10，n为正整数）的形式，叫做科学记数法． 特别提醒：书写幂时注意区分“底数”与“指数”；如(－2)²与－2²的底数不同，(－2)²＝4，－2²＝－4． 知识点08 有理数的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的（先小括号，再中括号，后大括号）． 2.同级运算：按照从左到右的顺序依次进行． 3.运算律的应用：在混合运算中，可以运用加法、乘法的运算律，把能凑整、能约分的数先结合，使运算简便． 特别提醒：混合运算的结果必须是最简形式（如分数要约分），并注意每一步的符号． 考点01 有理数的概念与分类 考点内容：正数、负数与0的概念；有理数的定义；有理数的两种分类方法． 常见考法： ①判断一个数是不是有理数，或把一组有理数按要求分类； ②区分正数与负数、整数与分数，注意小数（有限小数、无限循环小数）化分数； ③考查“0”的特殊性：0既不是正数也不是负数，0是整数但不是正整数． 易错提醒：π等无限不循环小数不是有理数；0是整数，但既不是正整数也不是负整数． 考点02 数轴、相反数与绝对值 考点内容：数轴的三要素与画法；相反数的意义与求法；绝对值的定义、性质与非负性． 常见考法： ①画数轴并在数轴上表示有理数，利用数轴比较大小； ②求一个数的相反数与绝对值，判断两个数是否互为相反数； ③利用|a|≥0的非负性求值（如|a|＋|b|＝0型）； ④已知|a|＝m（m＞0），求a的值（分类讨论）． 易错提醒：已知|a|＝3时，a＝3或a＝－3，切勿漏掉负值． 考点03 有理数的大小比较 考点内容：有理数大小比较的法则；利用数轴比较大小． 常见考法： ①直接比较两个有理数的大小； ②比较两个负数的大小（先取绝对值，绝对值大的反而小）； ③结合数轴、相反数、绝对值解决大小比较问题． 易错提醒：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，不能凭“数大就大”直接判断． 考点04 有理数的加法与减法 考点内容：有理数加法法则与运算律；减法法则；加减混合运算的化简与计算． 常见考法： ①运用法则进行有理数的加法、减法运算； ②运用运算律进行简便运算（凑整、抵消、结合同号数）； ③把加减混合运算统一成加法，写成省略加号的和的形式并求值． 易错提醒：减法变加法时，“减号变加号，减数变相反数”两步缺一不可． 考点05 有理数的乘法与除法 考点内容：乘法法则与符号确定；倒数；乘法运算律；除法法则． 常见考法： ①多个有理数相乘，先确定积的符号（负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正），再计算绝对值的积； ②求一个数的倒数（含负数、分数），判断0没有倒数； ③运用乘法分配律及其逆用进行简便计算； ④除法转化为乘法后再按乘法法则计算． 易错提醒：0不能作除数；除以一个数等于乘以这个数的倒数；0没有倒数． 考点06 有理数的乘方与混合运算 考点内容：乘方的意义；幂的符号法则；科学记数法；混合运算的运算顺序． 常见考法： ①计算乘方，辨析底数（如(－2)²与－2²、(－2)³与－2³）； ②用科学记数法表示较大的数，或还原a×10ⁿ表示的数； ③按“先乘方、再乘除、后加减、有括号先括号”的顺序进行混合运算． 易错提醒：混合运算不能省略运算顺序；负数的奇次幂为负、偶次幂为正． 1 有理数的概念与大小比较 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 绝对值的性质 |a|＝a（a＞0）；|a|＝0（a＝0）；|a|＝－a（a＜0） 绝对值是非负数，即|a|≥0 2 互为相反数的两个数 a＋(－a)＝0 互为相反数的两个数的和为0 3 两个负数的大小比较 若a、b＜0且|a|＞|b|，则a＜b 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 2 有理数的运算 序号 名称 公式（几何语言） 说明 4 异号两数相加 取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加 5 减法法则 a－b＝a＋(－b) 减去一个数等于加上它的相反数 6 乘法法则 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与0相乘都得0 7 除法法则 a÷b＝a×()（b≠0） 除以一个数等于乘以这个数的倒数 8 幂的符号法则 正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 0的任何正整数次幂都是0 辨析01 0既不是正数，也不是负数 0是正数与负数的分界．在有理数分类时，0既不属于正数，也不属于负数；但0是整数，也是有理数．判断“正整数”“正分数”时不要漏掉或误判0． 辨析02 有理数的两种分类标准不能混淆 按定义分类：有理数分为整数和分数；按符号分类：有理数分为正有理数、0和负有理数．两种分类的标准不同，结果也不同，注意区分． 辨析03 小数不一定是有理数，无限循环小数一定是有理数 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此都是有理数；无限不循环小数（如π，0.1010010001…）不能化成分数，不是有理数． 辨析04 数轴上的点并不都表示有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但反过来，数轴上的点所表示的数不一定是有理数（如表示π的点）．“数轴上的点与有理数一一对应”的说法是错误的． 辨析05 相反数是成对出现的，0的相反数是0 “只有符号不同”的两个数互为相反数，如2与－2；0的相反数是0，不能认为0没有相反数．互为相反数的两个数的和为0，这是检验两个数是否互为相反数的依据． 辨析06 绝对值是距离，具有非负性 绝对值表示数轴上点与原点的距离，所以|a|≥0恒成立．由|a|＝m（m＞0）得a＝±m，有两个值；由|a|＝0得a＝0；不存在绝对值为负数的情形． 辨析07 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比较两个负数的大小时，先取它们的绝对值，再比较绝对值的大小：绝对值大的反而小．如|－5|＞|－3|，所以－5＜－3． 辨析08 减法变加法，“变号”要两步同时完成 a－b＝a＋(－b)包含两个变化：减号变加号，减数变它的相反数．只变符号不变减号、或只变减号不变符号，都会导致错误． 辨析09 0没有倒数，除以0没有意义 0与任何数相乘都得0，找不到一个数与0相乘等于1，所以0没有倒数．在除法运算中，0不能作除数；0除以任何一个不等于0的数，都得0． 辨析10 乘方要看清底数，(－a)ⁿ与－aⁿ不同 (－a)ⁿ的底数是－a，表示n个－a相乘；－aⁿ的底数是a，表示aⁿ的相反数．如(－2)²＝4，－2²＝－4；(－2)³＝－8，－2³＝－8（奇次幂时两者数值相同，但意义不同）． 【题型一】 正负数的概念 【例1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，12，，0，，中，负数的个数 有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴负数的个数3个， 故选：C． 【变式1-1】（25-26七年级上·北京·期中）下列各数中：，2.3，，0，，，，其中正数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了正数的概念，及绝对值、相反数的化简，先将题目中的相反数、绝对值化简，再判断正数的个数．注意：0既不是正数，也不是负数． 【详解】解：，， ∴，2.3，，0，，，中，正数有2.3和，共2个， 故选：C． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）在3、、、0、、中，正数有 ，负数有 ，其中 既不是正数，也不是负数． 【答案】 3，，1.2 ， 0 【分析】根据正负数的意义，大于的数是正数，小于的数是负数，既不是正数也不是负数，据此对给出的数进行分类判断． 【详解】解：在、、、、、中，根据正负数的定义，可得正数是，，，负数是，，其中既不是正数，也不是负数． 【题型二】用正负数表示具有相反意义的量 【例2】7．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【答案】B 【详解】解：∵收入万元记作万元，即收入记为正， ∴支出记为负， ∴万元表示支出万元. 【变式2-1】（25-26六年级上·上海金山·期末）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际意义，明确相反关系是解题关键． 收入记为正数，则支出记为负数，直接根据数值和对应符号即可得出答案． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元应记作负数，即元． 故选：． 【变式2-2】（25-26六年级上·上海·期中）微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 【答案】 【详解】解：由题意，规定收款元记作元，即收款用正数表示， ∴ 与收款意义相反的付款应用负数表示， ∴ 付款元记作元． 【变式2-3】（26-27七年级上·上海·开学考试）一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，( )表示水位上升厘米；厘米表示( )． 【答案】 厘米 水位下降厘米 【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，如果规定其中一个为正，那么相反的量就用负数表示． 【详解】解：由题意可知，一个水库，如果水位下降厘米记作厘米， 那么，厘米表示水位上升厘米； 厘米表示水位下降厘米． 【题型三】 运用正负数表示误差范围 【例3】某种药品的说明书上标明药品保存的温度是10±2℃，则该药品适宜保存的温度范围是（   ） A．8℃~10℃ B．10℃~12℃ C．8℃~12℃ D．9℃~11℃ 【答案】C 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，理解标注中±的实际含义即可计算得到温度范围． 【详解】解：∵保存温度标注为10±2℃，说明适宜温度在10℃基础上浮动，不超过2℃ ∴最低温度为10−2=8℃，最高温度为10+2=12℃， 因此该药品适宜保存的温度范围是8℃~12℃． 【变式3-1】某种疫苗保存温度为18±3℃，最合适的温度范围是（    ） A．15℃～18℃ B．18℃～21℃ C．15℃～21℃ D．12℃～24℃ 【答案】C 【分析】根据标注18±3℃计算温度的最低值和最高值，即可得到合适温度范围． 【详解】解：∵18±3℃表示保存温度的最低值为18−3=15℃， 最高值为：18+3=21℃， ∴最合适的温度范围是15℃～21℃． 【变式3-2】（25-26六年级上·上海嘉定·期末）某商品包装袋上标注净含量：500±3克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克∽503克 B．497克∽500克 C．500克∽503克 D．497克或503克 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数加法和减法的应用，根据“500±3克”表示净含量以500克为基准，允许有±3克的误差，因此范围是从500减3克到500加3克． 【详解】解：∵净含量标注为500±3克， ∴ 最小值为500−3=497克，最大值为500+3=503克， ∴净含量范围是497克∽503克． 故选A． 【题型四】 有理数及其分类 【例4】（25-26七年级上·北京东城·阶段检测）下列各数不是有理数的是(     ) A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】能写为分数形式的数是有理数，包括整数和分数，注意无限不循环小数不是有理数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是有限小数，是有理数； B、0是整数，是有理数； C、是分数，是有理数； D、是无限不循环小数，不是有理数． 【变式4-1】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需准确理解有理数的定义和数轴表示方法； 选项A符合有理数的定义；选项B错误，因为绝对值大小与原数大小可能不一致；选项C错误，因为数轴上任意两点间有无数个有理数；选项D错误，因为所有有理数都可以用数轴上的点表示 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 【变式4-2】下列7个数：，，，，，（每两个1之间依次多一个4），3.14，其中有理数有_____个 【答案】5 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数包括整数和分数解答即可. 【详解】解：是有理数，一共有5个. 故答案为：5. 【变式4-3】把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，，﹣0.58，0，，0.618，，3.14． 整数集合：{　 　…}； 分数集合：{　 　…}； 负有理数集合：{　 　…}； 非正整数集合：{　 　…}． 【答案】﹣3，4，﹣2，0；，﹣0.58， ，0.618，，3.14；﹣3，﹣2，，﹣0.58，；﹣3，﹣2，0 【分析】按照有理数的分类填写：有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数即可． 【详解】解： 整数集合：{﹣3，4，﹣2，0…}； 分数集合：{，﹣0.58， ，0.618，，3.14…}； 负有理数集合：{﹣3，﹣2，，﹣0.58，…}； 非正整数集合：{﹣3，﹣2，0…}． 故答案为：﹣3，4，﹣2，0；﹣0.58， ，0.618，，3.14；﹣3，﹣2，，﹣0.58，；﹣3，﹣2，0． 【点睛】此题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解答本题的关键，注意0是整数，但不是正数． 【题型五】 数轴及其画法 【例5】（25-26六年级上·四川成都·期末）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数轴要规定原点、正方向，单位长度要一致，由此求解． 【详解】解：A．所画数轴单位长度不一致，不合题意； B．所画数轴没有原点，不合题意； C．所画数轴规范，符合题意； D．所画数轴没有正方向，不合题意． 【变式5-1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法错误的是（    ） A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 【答案】D 【分析】此题考查了绝对值的性质，相反数的定义，数轴的定义．根据相反数的定义，绝对值的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，故本选项正确，不符合题意； B、一个有理数的绝对值是正数或零，一定不是负数，故本选项正确，不符合题意； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，故本选项正确，不符合题意； D、一个负数的相反数正数，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 【答案】 ，， 【分析】观察数轴，确定单位长度被平均分成的份数，从而得出每个小格代表的分数值，再根据各点相对于整数点的位置读出数值． 【详解】解：由数轴可知，相邻两个整数（如0和1、1和2之间）被平均分成了份，所以每一份表示， 点在原点右侧第个刻度处，所以点表示的数为， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为 ， 点在右侧第个刻度处，所以点表示的数为． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 【答案】 数轴上表示为： 【分析】本题考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数轴知识和相反数的定义．利用数轴知识，相反数的定义解答． 【详解】解：∵A点表示的数为，B点表示的数为2的相反数，C点表示的数为， ∴A是数，B是数，C点表示的数为，进而可在数轴上表示． 【题型六】 数轴上两点间的距离 【例6】（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 【变式6-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：点表示的数为， ∵两点间的距离是， 从开始往左数个单位长度即为点表示的数， ∴点表示的数是． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海·期中）（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 【答案】（1），； （2）如图，点即为所求； （3）或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键． （1）根据所给数轴即可得到答案； （2）根据题意将点击在数轴上表示出来即可和； （3）根据数轴上点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：（1）由数轴可知， 点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，； （2）的相反数是 （3）点与点之间的距离是， ，， 点表示的数是或， 故答案为：或． 【题型七】 利用数轴解决实际问题 【例7】如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 【答案】C． 【分析】由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，则A、B表示相反意义的量． 【详解】解：由题给数轴可知，A、B分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，A表示向东走了8m，则点B表示向西走了8m， 故选：C． 【变式7-1】若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 【变式7-2】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【题型八】相反数 【例8】已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可直接求解. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 【变式8-1】的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值和相反数，先计算绝对值，再求相反数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的相反数是， ∴的相反数是． 故选A． 【变式8-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】化简各选项中的数后，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”判断即可． 【详解】解：选项A中，，两个数相等，不满足相反数定义，A不符合要求； 选项B中，和绝对值不相等，不满足相反数定义，B不符合要求； 选项C中，，和只有符号不同，满足相反数的定义，C符合要求； 选项D中，和符号相同，不满足相反数定义，D不符合要求． 【变式83】如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与相反数，掌握数轴的性质以及相反数的定义是解题关键．根据点A和点B表示的数互为相反数，确定原点的位置，即可得出点C表示的数． 【详解】解：点A和点B表示的数互为相反数， 的中点为原点， 表示如下： 点C表示的数是， 故答案为：． 【题型九】 绝对值 【例9】（24-25六年级上·上海·期末）的绝对值是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简，掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质化简即可求解． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A ． 【变式9-1】一个数的绝对值等于，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据“一个数的绝对值等于”，得出答案即可． 【详解】解：∵一个数的绝对值等于， ∴这个数是， 故选：C． 【变式9-2】如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值．根据数轴确定该数的绝对值在3到4之间即可判断． 【详解】解：由题意得，遮住的数在到之间， ∴遮住的数的绝对值在3到4之间， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 【题型十】 有理数的大小比较 【例10】如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，，1的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，首先由数轴上点A的位置，可以确定a是负数，且a的绝对值大于1，所以是正数，且绝对值大于1； 【详解】解：由数轴可知∶， ∴， ∴， 故选：A． 【变式10-1】在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 【变式10-2】操作与实践： (1)把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． (2)按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ (3)观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ 【答案】(1) 在数轴上表示各数，如图所示． (2) (3)，，，0，1，2，3，4 【分析】本题考查数轴与有理数，正确的在数轴上表示出各数，是解题的关键： （1）确定原点，正方向和单位长度，画出数轴，进行把各数在数轴上进行表示即可； （2）根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可； （3）数形结合，求出大于并且小于5的整数即可。 【详解】（1），， （2）按从小到大的顺序用“”连接起来为： ； （3）由数轴得，大于并且小于5的整数有8个：，，，0，1，2，3，4． 【题型十一】利用绝对值解决实际问题 【例11】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数的含义，绝对值的意义．根据正负数的意义，绝对值的意义进行判断即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴最接近标准质量的足球是． 故选：D． 【变式11-1】如下表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为赛球，则应选（   ） 1号 2号 3号 4号 A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】C 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，比较四个数的绝对值的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的排球为3号； 故选C． 【变式11-2】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 【答案】(1)张兵、蔡伟； (2)蔡伟；李明； (3)， 6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． 【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的； （2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差； （3）按绝对值由大到小排即可． 【详解】（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差， 张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的． （2）蔡伟做的为毫米，李明做的为， 蔡伟做的质量最好，李明的最差． （3）略． 【题型十二】 有理数的加减法 【例12】（25-26六年级上·上海青浦·期中）如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，两个有理数的和为负数，说明它们的总和小于零，如果两个数都是非负数（即正数或零），则它们的和必然大于或等于零，与和为负数矛盾，因此，至少有一个数是负数，由此即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：设两个有理数为和，且， 如果且，则，与矛盾， 故和不能同时为非负数， ∴那么这两个数至少有一个是负数， 故选：C． 【变式12-1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，数轴上点A表示的数是，将点A向右移动个单位长度后得到的点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，明确数轴上右边的数总比左边的数大的性质，熟练掌握数轴上“左减右加”的平移规律是解题关键． 根据数轴从左到右表示的数越来越大，利用数轴上“左减右加”的平移规律即可求解． 【详解】解：点A表示的数是，将点A向右移动个单位长度后得到的点为：； 故选：C 【变式12-2】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 【答案】 或 【分析】本题考查了异分母分数的加减法计算，分类讨论是解答本题的关键． 分点B在点A的左侧和右侧两种情况求解即可． 【详解】解：点A表示数为，点B与点A的距离为． 当点B在点A右侧时，点B表示的数为； 当点B在点A左侧时，点B表示的数为． 故答案为或． 【变式12-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型十三】 有理数的乘除法 【例13】（25-26六年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，根据题意判断命题的真假是解题的关键，通过逐一分析每个选项的条件和结论，判断其是否恒成立，即可得到答案. 【详解】解：选项A：∵如果两个数的和为0，则它们互为相反数，但当其中一个数为0时，商不存在，∴A错误； 选项B：∵如果两个数的差为0，则它们相等，但当数为0时，商不存在，∴B错误； 选项C：∵如果两个数的积为，则它们互为负倒数，但和不一定为0，例如2和，和为，∴C错误； 选项D：∵如果两个数的商为，则设一个数为，另一个数为， ∴， ∴D正确， 故选：D. 【变式13-1】已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，，． 故选：B． 【变式13-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解： ， 的倒数是. 【题型十四】 有理数的简便运算 【例14】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式14-1】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算及乘法分配律，正确掌握有理数乘法运算法则是关键． （1）先将化为，再利用乘法分配律计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【变式14-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型十五】 有理数的乘方 【例15】（25-26六年级上·上海嘉定·期末）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握运算法则；通过计算每对数的数值，比较是否相等即可． 【详解】解：、，，，故本选项不符合题意； 、，，，故本选项符合题意； 、，，，故本选项不符合题意； 、，，，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式15-1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和绝对值，根据偶次方的非负性和绝对值的非负性进行求解即可． 【详解】解：A、，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：B． 【变式15-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【变式15-3】若，则_________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十六】 有理数的乘方的实际应用 【例16】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取， 第四天截取木棍总长度的． 故选：B． 【变式16-1】一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题主要考查了乘方的意义．根据乘方的意义和题意可知：第2次后剩下的绳子的长度为米，那么依此类推得到第六次后剩下的绳子的长度为米． 【详解】解：∵， ∴第2次后剩下的绳子的长度为米； 依此类推第六次后剩下的绳子的长度为米． 故选：C． 【变式16-2】（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 【题型一】忽视0的特殊性而致错 【例1】在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的认识，比0小的数为负数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴负数的个数为4个， 故选：C． 易错警示 0既不是正数也不是负数，也不是正整数、正分数；在有理数分类与判断“整数”的题目中，不要漏掉0或把0当作正数． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的分类，熟悉掌握有理数的概念是解题的关键．根据非负数的定义逐一判断即可． 【详解】解：在，，0，，，，，7中， 非负数有，0，，，7共5个， 故选：B． 【变式1-2】（25-26六年级上·上海·单元复习）下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键．根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：不是负数的数是正数或0，则①错误； ，它是负数，，它是正数，则②错误； 一个正数前面加上“”号就是负数，则③正确； 正数都大于0，则④正确； 当为负数时，为正数，则⑤错误； 综上，正确的个数为2个， 故选：B． 【题型二】混淆乘方的底数而致错 【例2】下列各组数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查相反数、绝对值及有理数的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值及有理数的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A.，故本选项不符合题意； B.，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.，故本选项符合题意． 故选：D． 易错警示 (－2)²与－2²的底数不同：前者底数是－2，结果是4；后者底数是2，结果是－4．要先辨认底数，再确定符号． 【变式2-1】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【变式2-2小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 按照有理数混合运算的计算方法，逐一计算，进一步比较得出答案即可． 【详解】解：①，原题计算错误； ②，原题计算错误； ③，原题计算正确； ④，原题计算错误， 综上所述，正确的是③，有1道， 故选：A． 【题型三】混合运算顺序错误而致错 【例3】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 【答案】(1)二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除 (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序及有理数除法的运算法则即可解答； （2）先计算括号内的有理数乘法，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】（1）解：第一处是第二步错误，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步错误，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，异号得负，并把绝对值相除； （2）解： ． 易错警示 必须按“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序运算，同级运算从左到右，不能先算加减后算乘除． 【变式3-1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)佳佳，昊昊 (2)答案见解析 【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可，注意负数的乘方； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：，计算，除法没有分配律， 佳佳计算错误， 昊昊应先计算乘除，最后算加减，不能先计算， 昊昊计算错误， 计算错误的学生有：佳佳，昊昊； （2） ． 【变式3-2】（25-26六年级上·上海松江·期中）老师请同学们计算：，小明、小华和小海三位同学分别用不同的方法对这个问题进行了解答： 小明：原式： 小华：原式 小海：原式的倒数 ．所以，原式． (1)请观察上述三位同学的解法，其中解法错误的是______同学． (2)请你选择恰当的方法计算：． 【答案】(1)小明； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）小明的解法中，再去括号时，错误使用除法分配律； （2）仿照小海的解法求解即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，小明的解法错误，错误原因是不能利用除法分配律去“”后面的括号； （2）解：原式的倒数 ， ∴原式． 【题型一】有理数的混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)980 【分析】本题主要考查有理数运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内除法，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）原式将除法转换为乘法再运用乘法分配律进行计算即可； （3）原式先计算括号内的，再计算乘法和除法，最后进行加减运算即可； （4）原式运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-1】计算 (1) (2) 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数的运算法则是“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的按括号指明的运算顺序进行计算”﹒ （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可求解； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可求解﹒ 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1-2】计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2)0 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从左到右； （2）根据有理数混合运算法则进行计算：先乘方，再乘除，最后算加减；有括号先算括号里，同级运算从左到右． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 【例2】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数．求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，代数式求值，解题的关键是熟练掌握相反数和倒数的定义． 根据相反数和倒数的性质，a与b互为相反数则，c与d互为倒数则，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∴． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别画出点、、所表示的数．点表示的数为的倒数；点表示的数为的相反数；点表示的数为绝对值等于的正数； 【答案】 如图所示， 【分析】本题考查了数轴和相反数，倒数，绝对值的意义，根据题意得出点表示的数为，点表示的数为；点表示的数为，在数轴上表示出，即可求解． 【详解】解：点表示的数为的倒数；点表示的数为的相反数；点表示的数为绝对值等于的正数. ∴点表示的数为，点表示的数为；点表示的数为 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知、互为相反数且，、互为倒数，，求的值． 【答案】0或 【分析】根据题意得：，，，，，分类讨论：当时和当时，将其值代入代数式即可求解． 【详解】解：∵、互为相反数且，、互为倒数，， ∴，，，， 当时， 代入得：； 当时， 代入得：． ∴的值为0或． 【点睛】本题考查了代数式求值、相反数、倒数及绝对值，熟练掌握相反数的意义、倒数的意义及去绝对值是解题的关键． 【题型三】有理数的材料阅读问题 【例3】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下面是小明求解计算题的过程． 解：     ①     ②     ③     ④     ⑤ 他的解法是否正确？如果不正确，他从第______步开始错了，并从这一步开始加以改正． 【答案】① 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则． 根据有理数的加减混合运算法则进行判断和计算即可． 【详解】解：他的解法是不正确的，从第①步开始出现错误，正确的解答过程为： ． 故答案为：①． 【变式3-1】黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式3-2】明明同学计算时，他是这样做的： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果； (2)仿照明明的解法，请你计算：． 【答案】(1)明明的解法从第三步开始出现错误，正确的结果是； (2) 【分析】（1）先把有理数的减法转化为加法，然后再利用加法交换律和结合律进行计算即可解答； （2）仿照明明的解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：明明的解法从第三步开始出现错误， 改正： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减运算法则，把减法运算化为加法运算是解题的关键． 【题型四】有理数运算的实际应用问题 【例4】（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【答案】(1)米；米 (2)米 (3)累计跑步米 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． 【详解】（1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． 【变式4-1】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡． (2)一共便宜了元． 【分析】（1）用加油卡的原价乘以折扣即可得到答案； （2）求出用加油卡所加的油量，进而求出不用卡加这些油需要的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：他实际花了元购买了这张加油卡． （2）解：（升）， （元）， （元）， 答：一共便宜了元． 【变式4-2】（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）六年级探究小组调查发现，某A型纯电汽车一次充满电可以续航350千米，而一次充满电约需45千瓦·时． (1)已知户外充电桩充电每千瓦·时平均需要1.6元，则一次充满电需要多少钱？ (2)某B型汽油车平均每行驶10千米花费的汽油费是5.8元，则行驶350千米需要花费汽油费多少钱？ (3)在（2）的条件下，如果王老师一年上下班需要行驶7000千米，那么A型纯电汽车的充电费用（按户外充电桩充电计算）比B型汽油车的汽油费节省多少钱？ 【答案】(1) 一次充满电需要元； (2) 行驶350千米需要花费汽油费元； (3) 节省了元． 【分析】本题考查有理数乘法和有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）用每千瓦·时平均所需要的费用乘以即可求解； （2）用千米乘以每千米所需要的汽油费用即可求解； （3）分别求出两种车型行驶千米的费用，再作差即可解答． 【详解】（1）解：（元） 答：一次充满电需要元； （2）解： （元） 答：行驶350千米需要花费汽油费元； （3）解： （元） 答：节省了元． 【变式4-3】“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 【答案】(1)3.2 (2)3，3.6 (3)19.4万人 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减运算的应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据正负数的意义列式计算即可得解； （2）分别求出这7天的游客人数，然后解答即可； （3）将这七天游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月2日的游客人数是：（万人）． 故答案为：． （2）解：1日游客数为：（万人）， 2日游客数为：（万人）， 3日游客数为：（万人）， 4日游客数为：（万人）， 5日游客数为：（万人）， 6日游客数为：（万人）， 7日游客数为：（万人）， 所以，游客人数最多的是3日，游客数为万人． 故答案为：． （3）解：七天游客总数：（万人）． 答：这七天总共有万人游客去麦积山风景区． 【题型一】有理数的规律探究问题 【例1】下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【答案】A． 【分析】根据所给数列，发现后一个数总是前一个数的2倍，据此可解决问题． 【详解】解：由题知，因为1＝20，2＝21，4＝22，8＝23，16＝24，…， 所以第n个数可表示为：2n﹣1（n为正整数）． 当n＝2024时， 2n﹣1＝22023， 即第2024个数是22023． 故选：A． 【变式1-1】a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈 利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈 利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【答案】C． 【分析】分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案， 【详解】解：根据题意有， a1＝3， ， ， ， ， ……， 该数列每4个数为1周期循环， 2023÷4＝505⋯3， a2023＝a3． 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 【变式1-2】一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…， ，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 【答案】D． 【分析】先算出前几个的值，找到规律，再求解． 【详解】解：∵a1＝﹣1， ∴， ， ，…， ∴这列数按照：﹣1，，2，依次循环出现， ∵， ∵2024÷3＝674……2， ∴a2023＝﹣1，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 【题型二】有理数的乘除法的规律探究题 【例2】我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解； （2）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解； （3）每项提出，然后根据规律，裂项相减即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式2-1】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母； （2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果； （3）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）∵ … ∴ 故答案为：； （2）①原式（）×（）×…×（）×（） ； ②由题意得，2016×（1）×（1）×…×（1）＝2016 ＝1． 【变式2-2】阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）与（1）一样得到1，然后进行合并； （3）把原式变形为（2）中的形式得到[（1）+（）+（）+…+（）]，然后利用（2）中的方法计算． 【详解】解：（1）通过观察可得：； （2））①⋯ ＝1••• ＝1 ． ②根据规律可得：原式＝1． 故答案为：1． （3）原式[（1）+（）+（）+…+（）]（1）． 【题型三】 含乘方的规律探究题 【例3】观察下面三行数： ，4，，，，，…；① 0，6，，，，，…；② ，2，，8，，32，…．③ (1)第①行数的第n个数是什么？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2)第①行中每个数字加2，可得第②行的对应位置的数字；第①行中每个数字除以2，可得第③行的对应位置的数字 (3) 【分析】（1）由题意可推导一般性规律为：第n个数为； （2）由题意知，第①行中每个数字加2，可得第②行的对应位置的数字；第①行中每个数字除以2，可得第③行的对应位置的数字； （3）由题意得，第①行的第8个数字为，则第②行的第8个数字为，第③行第8个数字为，然后求和计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，，，，，…， ∴可推导一般性规律为：第n个数为； （2）解：由题意知，①和②中，，，，，，…， ∴第①行中每个数字加2，可得第②行的对应位置的数字； ①和③中，，，，，，…， ∴第①行中每个数字除以2，可得第③行的对应位置的数字； （3）解：由题意知，第①行的第8个数字为，则第②行的第8个数字为，第③行第8个数字为， ∴三个数的和为， ∴三个数的和为． 【点睛】本题考查了数字的规律探究，含乘方的有理数的运算，有理数的加法、除法运算．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 【变式3-1】我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为，那么有： ； ； ； ； … 观察上面的规律，完成下面各题： (1)写出，的表达式； (2)探索写出的表达式； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2) (3)41075 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，数字规律，掌握理解已知规律，将所求式子正确转化为有理数的乘方运算式子是解题关键． （1）根据材料提示得到规律即可求解； （2）结合（1）中的规律，归纳总结即可； （3）根据题意，将变形为，结合（2）中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵； ； ； ； ∴； ； （2）解：由（1）得； （3）解： ． 【变式3-2】）找规律： (1)计算： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)根据上面的计算结果猜想： ①的值为________； ②（n为正整数）的值为________； (3)根据（2）中的结论，试求的值． 【答案】(1)①1，②1，③1，④1 (2)①1，②1 (3)64 【分析】本题考查了数字的变化规律，由简单到复杂，逐步递推，是解题的关键． （1）①②③④直接计算可得结果； （2）①②由进行推理，可得结果； （3）根据（2）中的推理结果可进行求解． 【详解】（1）解：①1，②1，③1，④1； （2）解：① 故答案为：1； ② 故答案为：1； （3）解： ． 【题型四】有理数的程序图问题 【例4】根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 【变式4-1】根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是程序框图的循环执行，理解流程图的逻辑、重复代入计算是解题的关键．根据流程图的规则，当计算结果不大于时，需要将该结果作为新的输入值再次代入计算，直到结果大于时输出该结果． 【详解】解：根据流程图，当时，， 此时，， ． 故选：． 【变式4-2】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 【题型五】有理数的新定义运算问题 【例5】我们定义一种新运算：对任意两个有理数，有． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，正确理解新定义列出算式是解题的关键 （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列式计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解： 【变式5-1】（25-26六年级上·上海崇明·期末）定义一种新运算：； (1)求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，解一元一次方程，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义，列出算式进行计算即可； （2）根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意 ； （2）解：由题意，得 整理，得 解得． 【变式5-2】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，读懂题意并正确应用新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算，仿照示例计算，即可判断； （2）根据新定义运算计算即可得到结果； （3）根据题意，把式子转化的形式，进行相加减，即可得到结果． 【详解】（1）解：①，， ，， ， 和是一对“隔一数对”， ② ； ，， ， 和是一对“隔一数对”， ③，， ，， ， 和不是一对“隔一数对”， 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解：两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ． 【题型六】绝对值的几何意义的应用 【例6】（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【答案】(1) (2) (3)7； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用： （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示x的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可． 【详解】（1）解：由题意得A，B两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴数轴上表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴数轴上表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为；． （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，的最小值为， ∴符合题意的整数x有，它们的和为， 故答案为：7；。 【变式6-2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离 (2)或 (3) (4)16；7 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）由题意直接求解即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义得到方程求解即可得到答案； （3）分，，，和这几种情况，去绝对值，可推出取得最小值时x的取值范围，进而可得答案； （4）同（3）可得，当时，有最小值，最小值为，进而可推出当时，和能同时取得最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， ∴或； 故答案为：或； （3）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； ∴当时，， ∴此时整数所有可取的值之和为； （4）解：同（3）可知，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16；7． 技巧 一句话要点 判断有理数——“分数形式判别法” 整数和分数都是有理数；有限小数、无限循环小数可化成分数，也是有理数． 绝对值化简——“先定号，再去绝对值” 先判断绝对值内式子的正负，再按|a|的三种情况去掉绝对值符号． 已知绝对值求原数——“对称取两解” |a|＝m（m＞0）时，a＝±m，不要漏掉负数． 大小比较——“正＞0＞负，负比绝对值” 正数大于0，0大于负数；两个负数比绝对值，绝对值大的反而小． 有理数加法——“同号相加，异号相减取大号” 同号取相同符号、绝对值相加；异号取绝对值大的符号、大绝对值减小绝对值． 有理数减法——“减号变加号，减数变相反数” 把减法统一成加法，再按加法法则计算． 有理数乘法——“先定符号，再算绝对值” 负因数个数为奇数积为负、为偶数积为正；绝对值相乘． 有理数除法——“除以一个数等于乘其倒数” 除数变倒数、除号变乘号；除数不能为0． 乘方运算——“看准底数，奇负偶正” 分清底数是负数还是负号在幂外；负数的奇次幂为负、偶次幂为正． 混合运算——“先乘方再乘除后加减” 有括号先算括号内，同级运算从左到右；能用运算律简便运算的要先凑整． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(16类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 有理数的概念与分类 1.正数和负数：像1，2，0.5，1/3，…这样大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．0既不是正数，也不是负数． 2.有理数的概念： 统称为有理数．有理数都可以表示成p/q（p、q为整数，且q≠0）的形式． 3.按定义分类：有理数分为整数和分数两类．整数包括正整数、 和负整数；分数包括正分数和 ． 4.按符号分类：有理数分为正有理数、 和负有理数三类．正有理数包括正整数和 ，负有理数包括负整数和 ． 5.小数与有理数：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，都是有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数． 知识点02 数轴 1.数轴的三要素：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．三要素为 、 和 ． 2.数轴上的点与有理数：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；但数轴上的点并不都表示有理数． 3.用数轴比较大小：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数 ． 知识点03 相反数与绝对值 1.相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数．0的相反数是 ． 2.相反数的表示：a的相反数是－a；互为相反数的两个数的和为0，即a＋(－a)＝0． 3.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作 ． 4.绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即|a|＝a（a＞0），|a|＝0（a＝0），|a|＝－a（a＜0）． 5.绝对值的非负性：任何数的绝对值都是非负数，即|a| 0（填“≥”“＞”“＝”）；互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|＝|－a|． 知识点04 有理数的大小比较 1.大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反 而 ． 2.数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． 3.典型结论：最小的正整数是1，最大的负整数是－1，绝对值最小的有理数是0． 知识点05 有理数的加法与减法 1.加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：加法交换律a＋b＝b＋a；加法结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 3.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 ，即a－b＝a＋(－b)． 4.加减混合运算：先把减法统一转化为加法，再写成省略括号和加号的和的形式，然后按加法法则进行运算． 知识点06 有理数的乘法与除法 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得 ． 2.倒数：乘积为1的两个数互为倒数．0没有倒数；a（a≠0）的倒数是 ． 3.乘法运算律：乘法交换律ab＝b a；乘法结合律(ab)c＝a(b c)；乘法分配律a(b＋c)＝ab＋ac． 4.除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0． 5.除法转化为乘法：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的 ，即a÷b＝a×()（b≠0）． 知识点07 有理数的乘方 1.乘方的意义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在aⁿ中，a叫做 ，n叫做 ，aⁿ读作“a的n次幂”（或“a的n次方”）． 2.幂的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 3.科学记数法：把一个数表示成a×10ⁿ（其中1≤|a|＜10，n为正整数）的形式，叫做科学记数法． 知识点08 有理数的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的（先小括号，再中括号，后大括号）． 2.同级运算：按照从左到右的顺序依次进行． 3.运算律的应用：在混合运算中，可以运用加法、乘法的运算律，把能凑整、能约分的数先结合，使运算简便． 考点01 有理数的概念与分类 考点内容：正数、负数与0的概念；有理数的定义；有理数的两种分类方法． ①判断一个数是不是有理数，或把一组有理数按要求分类； ②区分正数与负数、整数与分数，注意小数（有限小数、无限循环小数）化分数； ③考查“0”的特殊性：0既不是正数也不是负数，0是整数但不是正整数． 易错提醒：π等无限不循环小数不是有理数；0是整数，但既不是正整数也不是负整数． 考点02 数轴、相反数与绝对值 考点内容：数轴的三要素与画法；相反数的意义与求法；绝对值的定义、性质与非负性． ①画数轴并在数轴上表示有理数，利用数轴比较大小； ②求一个数的相反数与绝对值，判断两个数是否互为相反数； ③利用|a|≥0的非负性求值（如|a|＋|b|＝0型）； ④已知|a|＝m（m＞0），求a的值（分类讨论）． 易错提醒：已知|a|＝3时，a＝3或a＝－3，切勿漏掉负值． 考点03 有理数的大小比较 考点内容：有理数大小比较的法则；利用数轴比较大小． ①直接比较两个有理数的大小； ②比较两个负数的大小（先取绝对值，绝对值大的反而小）； ③结合数轴、相反数、绝对值解决大小比较问题． 易错提醒：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，不能凭“数大就大”直接判断． 考点04 有理数的加法与减法 考点内容：有理数加法法则与运算律；减法法则；加减混合运算的化简与计算． ①运用法则进行有理数的加法、减法运算； ②运用运算律进行简便运算（凑整、抵消、结合同号数）； ③把加减混合运算统一成加法，写成省略加号的和的形式并求值． 易错提醒：减法变加法时，“减号变加号，减数变相反数”两步缺一不可． 考点05 有理数的乘法与除法 考点内容：乘法法则与符号确定；倒数；乘法运算律；除法法则． ①多个有理数相乘，先确定积的符号（负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正），再计算绝对值的积； ②求一个数的倒数（含负数、分数），判断0没有倒数； ③运用乘法分配律及其逆用进行简便计算； ④除法转化为乘法后再按乘法法则计算． 易错提醒：0不能作除数；除以一个数等于乘以这个数的倒数；0没有倒数． 考点06 有理数的乘方与混合运算 考点内容：乘方的意义；幂的符号法则；科学记数法；混合运算的运算顺序． ①计算乘方，辨析底数（如(－2)²与－2²、(－2)³与－2³）； ②用科学记数法表示较大的数，或还原a×10ⁿ表示的数； ③按“先乘方、再乘除、后加减、有括号先括号”的顺序进行混合运算． 易错提醒：混合运算不能省略运算顺序；负数的奇次幂为负、偶次幂为正． 1 有理数的概念与大小比较 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 绝对值的性质 |a|＝a（a＞0）；|a|＝0（a＝0）；|a|＝－a（a＜0） 绝对值是非负数，即|a|≥0 2 互为相反数的两个数 a＋(－a)＝0 互为相反数的两个数的和为0 3 两个负数的大小比较 若a、b＜0且|a|＞|b|，则a＜b 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 2 有理数的运算 序号 名称 公式（几何语言） 说明 4 异号两数相加 取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 同号两数相加：取相同符号，绝对值相加 5 减法法则 a－b＝a＋(－b) 减去一个数等于加上它的相反数 6 乘法法则 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与0相乘都得0 7 除法法则 a÷b＝a×()（b≠0） 除以一个数等于乘以这个数的倒数 8 幂的符号法则 正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正 0的任何正整数次幂都是0 辨析01 0既不是正数，也不是负数 0是正数与负数的分界．在有理数分类时，0既不属于正数，也不属于负数；但0是整数，也是有理数．判断“正整数”“正分数”时不要漏掉或误判0． 辨析02 有理数的两种分类标准不能混淆 按定义分类：有理数分为整数和分数；按符号分类：有理数分为正有理数、0和负有理数．两种分类的标准不同，结果也不同，注意区分． 辨析03 小数不一定是有理数，无限循环小数一定是有理数 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此都是有理数；无限不循环小数（如π，0.1010010001…）不能化成分数，不是有理数． 辨析04 数轴上的点并不都表示有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，但反过来，数轴上的点所表示的数不一定是有理数（如表示π的点）．“数轴上的点与有理数一一对应”的说法是错误的． 辨析05 相反数是成对出现的，0的相反数是0 “只有符号不同”的两个数互为相反数，如2与－2；0的相反数是0，不能认为0没有相反数．互为相反数的两个数的和为0，这是检验两个数是否互为相反数的依据． 辨析06 绝对值是距离，具有非负性 绝对值表示数轴上点与原点的距离，所以|a|≥0恒成立．由|a|＝m（m＞0）得a＝±m，有两个值；由|a|＝0得a＝0；不存在绝对值为负数的情形． 辨析07 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比较两个负数的大小时，先取它们的绝对值，再比较绝对值的大小：绝对值大的反而小．如|－5|＞|－3|，所以－5＜－3． 辨析08 减法变加法，“变号”要两步同时完成 a－b＝a＋(－b)包含两个变化：减号变加号，减数变它的相反数．只变符号不变减号、或只变减号不变符号，都会导致错误． 辨析09 0没有倒数，除以0没有意义 0与任何数相乘都得0，找不到一个数与0相乘等于1，所以0没有倒数．在除法运算中，0不能作除数；0除以任何一个不等于0的数，都得0． 辨析10 乘方要看清底数，(－a)ⁿ与－aⁿ不同 (－a)ⁿ的底数是－a，表示n个－a相乘；－aⁿ的底数是a，表示aⁿ的相反数．如(－2)²＝4，－2²＝－4；(－2)³＝－8，－2³＝－8（奇次幂时两者数值相同，但意义不同）． 【题型一】 正负数的概念 【例1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，12，，0，，中，负数的个数 有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（25-26七年级上·北京·期中）下列各数中：，2.3，，0，，，，其中正数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）在3、、、0、、中，正数有 ，负数有 ，其中 既不是正数，也不是负数． 【题型二】用正负数表示具有相反意义的量 【例2】7．（24-25六年级上·上海普陀·期中）如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【变式2-1】（25-26六年级上·上海金山·期末）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果将“收入元记作元”，那么“支出元”应记作（ ） A．元 B．元 C． D． 【变式2-2】（25-26六年级上·上海·期中）微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50元，记作元，那么付款元，可记作___________元． 【变式2-3】（26-27七年级上·上海·开学考试）一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，( )表示水位上升厘米；厘米表示( )． 【题型三】 运用正负数表示误差范围 【例3】某种药品的说明书上标明药品保存的温度是10±2℃，则该药品适宜保存的温度范围是（   ） A．8℃~10℃ B．10℃~12℃ C．8℃~12℃ D．9℃~11℃ 【变式3-1】某种疫苗保存温度为18±3℃，最合适的温度范围是（    ） A．15℃～18℃ B．18℃～21℃ C．15℃～21℃ D．12℃～24℃ 【变式3-2】（25-26六年级上·上海嘉定·期末）某商品包装袋上标注净含量：500±3克，下列选项中表示净含量范围正确的是（    ） A．497克∽503克 B．497克∽500克 C．500克∽503克 D．497克或503克 【题型四】 有理数及其分类 【例4】（25-26七年级上·北京东城·阶段检测）下列各数不是有理数的是(     ) A． B．0 C． D． 【变式4-1】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【变式4-2】下列7个数：，，，，，（每两个1之间依次多一个4），3.14，其中有理数有_____个 【变式4-3】把下列各数填在相应的集合内：﹣3，4，﹣2，，﹣0.58，0，，0.618，，3.14． 整数集合：{　 　…}； 分数集合：{　 　…}； 负有理数集合：{　 　…}； 非正整数集合：{　 　…}． 【题型五】 数轴及其画法 【例5】（25-26六年级上·四川成都·期末）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24六年级下·上海黄浦·期中）下列说法错误的是（    ） A．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 B．一个有理数的绝对值一定不是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值一定相等 D．一个数的相反数一定是负数 【变式5-2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）写出数轴上A，B，C各点所表示的分数． 点A表示的数为_____________；点B表示的数为_____________； 点C表示的数为_____________． 【变式5-2】（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 【题型六】 数轴上两点间的距离 【例6】（24-25六年级上·上海闵行·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【变式6-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若数轴上两点之间的距离是6，则点B表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式6-2】（24-25六年级上·上海·期中）（1）如图，在数轴上点表示的数是_____，点表示的数是_____； （2）请在数轴上用点表示数的相反数； （3）如果该数轴上点与点之间的距离是，那么点表示的数是______． 【题型七】 利用数轴解决实际问题 【例7】如图，数轴上点A表示向东走了8m，则点B表示（　　） A．向东走8m B．向南走8m C．向西走8m D．向北走8m 【变式7-1】若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【变式7-2】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【题型八】相反数 【例8】已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【变式8-1】的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列各组数中互为相反数的是（    ） A． 和 B．和 C．和 D．和 【变式83】如图，若点A和点B表示的数互为相反数，则点C表示的数是____． 【题型九】 绝对值 【例9】（24-25六年级上·上海·期末）的绝对值是（    ） A．2025 B． C． D． 【变式9-1】一个数的绝对值等于，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ） A． B． C． D． 【题型十】 有理数的大小比较 【例10】如图，若A是有理数a在数轴上对应的点，则关于a，，1的大小关系表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【变式10-2】操作与实践： (1)把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． (2)按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ (3)观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ 【题型十一】利用绝对值解决实际问题 【例11】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）足球生产厂家检测一批足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．以下被检测的四个足球中，最接近标准质量的足球是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如下表，检测四个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，某教练想从这四个排球中挑一个最接近标准的排球作为赛球，则应选（   ） 1号 2号 3号 4号 A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【变式11-2】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 【题型十二】 有理数的加减法 【例12】（25-26六年级上·上海青浦·期中）如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【变式12-1】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，数轴上点A表示的数是，将点A向右移动个单位长度后得到的点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）已知点A和点B在同一数轴上，点A表示数，点B距离点A为个单位长度，则点B表示的数是 ______． 【变式12-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型十三】 有理数的乘除法 【例13】（25-26六年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 【变式13-1】已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式13-2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C． D． 【题型十四】 有理数的简便运算 【例14】计算： (1)； (2)． 【变式14-1】用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【变式14-2】计算： (1)； (2)． 【题型十五】 有理数的乘方 【例15】（25-26六年级上·上海嘉定·期末）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式15-1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列各式中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【变式15-3】若，则_________． 【题型十六】 有理数的乘方的实际应用 【例16】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式16-2】（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【题型一】忽视0的特殊性而致错 【例1】在数，，，，，，，中，负数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错警示 0既不是正数也不是负数，也不是正整数、正分数；在有理数分类与判断“整数”的题目中，不要漏掉0或把0当作正数． 【变式1-1】（23-24六年级下·上海·期末）在，，0，，，，，7中，非负数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1-2】（25-26六年级上·上海·单元复习）下列说法正确的有（　　） ①不是负数的数一定是正数； ②带“”号的数是正数，带“”号的数是负数； ③任意一个正数，前面加上“”号就是负数； ④大于0的数是正数； ⑤一定是负数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】混淆乘方的底数而致错 【例2】下列各组数中，数值相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 易错警示 (－2)²与－2²的底数不同：前者底数是－2，结果是4；后者底数是2，结果是－4．要先辨认底数，再确定符号． 【变式2-1】的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【变式2-2小李同学做了以下几道计算题，其中做对的题的数量为（    ） ①； ②； ③； ④． A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【题型三】混合运算顺序错误而致错 【例3】阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第 步，错误原因是 ； 第二处是第 步，正确步骤的依据是 ； (2)请写出正确的结果 ． 易错警示 必须按“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序运算，同级运算从左到右，不能先算加减后算乘除． 【变式3-1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 【变式3-2】（25-26六年级上·上海松江·期中）老师请同学们计算：，小明、小华和小海三位同学分别用不同的方法对这个问题进行了解答： 小明：原式： 小华：原式 小海：原式的倒数 ．所以，原式． (1)请观察上述三位同学的解法，其中解法错误的是______同学． (2)请你选择恰当的方法计算：． 【题型一】有理数的混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】计算 (1) (2) 【变式1-2】计算： (1)； (2) 【题型二】乘方与相反数、倒数、绝对值的综合 【例2】（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）已知互为相反数，互为倒数．求代数式的值． 【变式2-1】（25-26六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别画出点、、所表示的数．点表示的数为的倒数；点表示的数为的相反数；点表示的数为绝对值等于的正数； 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知、互为相反数且，、互为倒数，，求的值． 【题型三】有理数的材料阅读问题 【例3】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）下面是小明求解计算题的过程． 解：     ①     ②     ③     ④     ⑤ 他的解法是否正确？如果不正确，他从第______步开始错了，并从这一步开始加以改正． 【变式3-1】黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【变式3-2】明明同学计算时，他是这样做的： 原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)明明的解法从第几步开始出现错误，改正后并计算出正确的结果； (2)仿照明明的解法，请你计算：． 【题型四】有理数运算的实际应用问题 【例4】（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【变式4-1】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【变式4-2】（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）六年级探究小组调查发现，某A型纯电汽车一次充满电可以续航350千米，而一次充满电约需45千瓦·时． (1)已知户外充电桩充电每千瓦·时平均需要1.6元，则一次充满电需要多少钱？ (2)某B型汽油车平均每行驶10千米花费的汽油费是5.8元，则行驶350千米需要花费汽油费多少钱？ (3)在（2）的条件下，如果王老师一年上下班需要行驶7000千米，那么A型纯电汽车的充电费用（按户外充电桩充电计算）比B型汽油车的汽油费节省多少钱？ 【变式4-3】“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 【题型一】有理数的规律探究问题 【例1】下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，第2024个数应是（　　） A．22023 B．22024 C．22023﹣1 D．22024﹣1 【变式1-1】a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈 利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈 利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2023＝（　　） A．3 B．﹣2 C． D． 【变式1-2】一列数a1，a2，a3，…an，其中a1＝﹣1，，，…， ，则a1+a2+a3+⋯+a2024的值是（　　） A．﹣1 B． C．1010 D． 【题型二】有理数的乘除法的规律探究题 【例2】我们知道：；；；…，反过来，可得：；；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： (1)___________； (2)计算：； (3)计算：． 【变式2-1】观察下列各式： … （1）猜想　 　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①（1）×（1）×（1）×…×（1）×（1）×（1） ②将2016减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【变式2-2】阅读与思考： 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为1，，，，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： （1）+（）+（）+（）＝11． 任务： （1）猜想并写出：　　 ；（n为正整数） （2）①应用上面的方法计算：⋯． ②直接写出下列式子的计算结果：⋯　 　． （3）类比应用上面的方法探究并计算：⋯． 【题型三】 含乘方的规律探究题 【例3】观察下面三行数： ，4，，，，，…；① 0，6，，，，，…；② ，2，，8，，32，…．③ (1)第①行数的第n个数是什么？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 【变式3-1】我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为，那么有： ； ； ； ； … 观察上面的规律，完成下面各题： (1)写出，的表达式； (2)探索写出的表达式； (3)求的值． 【变式3-2】）找规律： (1)计算： ①________； ②________； ③________； ④________； (2)根据上面的计算结果猜想： ①的值为________； ②（n为正整数）的值为________； (3)根据（2）中的结论，试求的值． 【题型四】有理数的程序图问题 【例4】根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【变式4-1】根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【题型五】有理数的新定义运算问题 【例5】我们定义一种新运算：对任意两个有理数，有． (1)求的值； (2)求的值． 【变式5-1】（25-26六年级上·上海崇明·期末）定义一种新运算：； (1)求的值； (2)如果，求的值． 【变式5-2】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）． ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：． 【题型六】绝对值的几何意义的应用 【例6】（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【变式6-1】（24-25六年级上·上海普陀·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如果点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)如图，已知点A在数轴上表示的数为，数轴上任意一点B表示的数为x，那么A，B两点的距离可以表示为______； (2)已知点B表示的数为整数x，那么当x为______时，与的值相等； (3)表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你直接写出的最小值，并求出此时所有符合条件的整数x的和． 【变式6-2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 技巧 一句话要点 判断有理数——“分数形式判别法” 整数和分数都是有理数；有限小数、无限循环小数可化成分数，也是有理数． 绝对值化简——“先定号，再去绝对值” 先判断绝对值内式子的正负，再按|a|的三种情况去掉绝对值符号． 已知绝对值求原数——“对称取两解” |a|＝m（m＞0）时，a＝±m，不要漏掉负数． 大小比较——“正＞0＞负，负比绝对值” 正数大于0，0大于负数；两个负数比绝对值，绝对值大的反而小． 有理数加法——“同号相加，异号相减取大号” 同号取相同符号、绝对值相加；异号取绝对值大的符号、大绝对值减小绝对值． 有理数减法——“减号变加号，减数变相反数” 把减法统一成加法，再按加法法则计算． 有理数乘法——“先定符号，再算绝对值” 负因数个数为奇数积为负、为偶数积为正；绝对值相乘． 有理数除法——“除以一个数等于乘其倒数” 除数变倒数、除号变乘号；除数不能为0． 乘方运算——“看准底数，奇负偶正” 分清底数是负数还是负号在幂外；负数的奇次幂为负、偶次幂为正． 混合运算——“先乘方再乘除后加减” 有括号先算括号内，同级运算从左到右；能用运算律简便运算的要先凑整． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $