广东湛江市第二十一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

湛江市第二十一中学2026-2027学年第一学期高三9月月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.己知集合A={x∈Zlx≤3)，B={2,3,4},则AUB中的元素个数是() A.7 B.8 C.9 D.10 2.已知复数z满足并=1-1（其中i为虚数单位），则z-2=（） A.2 B.5 C.2W2 D.√10 3.从小到大排列的一组数据：80,90,96，x,110,120,若这组数据的第50百分位数与平均数相同，则x的 值为() A.98 B.104 C.106 D.108 4.设f)是定义在R上且周期为2的奇函数，当2<x≤3时，f)=log2(x-2),则f(-月=() A.-1 B.1 C.2 D.3 5.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c,若C=骨c2-ab,则sinA-sinB=() A.± B.t座 6 C. D. 6.双曲线E若-三=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F?,点P是以F,F2为直径的圆与双曲线E的 一个交点，若PF1+PF2l=IF1F2,则双曲线E的离心率为() A.器 B. 4 C. D.9 7.若a,b是方程(nx)2+lnx5-1=0的两个根，则1ogab+logba=（) A.23 B.27 C.-27 D.-23 8.设函数f(x)=x+ex,g(x)=x+lnx,若存在x1,x2,使得f(x1)=g(x2),则x1-x2的最小值为() A.日 B.1 C.2 D.e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.数列{an}是等比数列，公比q≠±1，其前n项和为Sn,则() A.当q>1时，{an}为递增数列 B.若S5=3,S10=9,则S15=21 C.若S5,S15,S1o成等差数列，则a5,a15,a1o成等差数列 D.若an+1,a3m+1,a2+1成等差数列，则Sm,S3n,S2n成等差数列 D C 10.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点， 直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是() A B A.直线BC1与直线CD1所成角为60° M B.A1C1平面C1BD D C.M、O、C1三点共线 B D.直线A1C1与平面ABCD1所成角为9 11.已知点A(3,0),B(0,3),点P在圆C:(x-3)2+y-4)2=4上运动，则() A.直线AB与圆C相离 B.△PAB的面积的最小值为6-2V2 C.IPA的最大值为6 D.当∠PBA最小时，PB=V6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在(2x-)°的展开式中x项的系数为 (用数字作答) 13.在△ABC中，AB=BC=6,LB=,D是BC边的中点，E是CA边上的点，且CE=2EA,则向量AD 与向量B正的夹角的余弦值为 14.函数f(x)=x3+Qx+b在区间[1，+∞)上存在零点，则a2+b2的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知数列{am}的首项a1=3,前n项和为Sn,且满足Sn+3=an+1十n. (1)求证：数列{an-1}为等比数列： (2)若bm=nan,求数列{bn}的前n项和Tn 2 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA1平面ABCD,点E是 棱PB的中点. (1)求证：AB1CE; (2)若点B到平面PCD的距离为，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 17.某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从A,B,C三类问题中各抽取一个问题回答，A,B,C 类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.己知甲同学能正确回答A,B,C类问题的概 率依次为冷，行乙同学能正确回答4B,C类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确 回答问题的概率与顺序无关. (1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率： (2)记X为甲同学的总得分，求X的分布列及期望： (3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 3 18.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点，过点(4,0)的直线交C于A,B两点. (I)证明：点O在以AB为直径的圆上： (2)若FA·FB=-31,求△FAB的面积. 19.已知f(x)=ax-nx. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)在(0，e2]有两个零点，求a的取值范围； (3)若2simx-XCOSX-x≥f()在x∈(0，习上恒成立，求a的取值范围. 4 《2026年高三9月数学测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B B D C B BCD ABC 题号 11 答案 ACD 1．B【详解】因为， 所以，共8个元素. 2．D【详解】由，则，即， 则，故，故. 3．B【详解】由，可知这组数据的第 50 百分位数为， 而平均数为， 依题意，，解得.故选：B. 4．B【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以， 又，所以， 所以，所以. 5．B【详解】由余弦定理可得， 所以，所以，故， 由正弦定理可得，可得， 故.故选：B. 6．D【详解】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径的圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率.故选：D 7．C【详解】可化为， 因为，是方程的两个根， 所以是方程的两根， 则， 则.故选：C 8．B【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 9．BCD【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列， 则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即， 所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以， 即，所以， 即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 10．ABC【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 11．ACD【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 12．80【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为.故答案为：80 13．【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系， ，，，， ，， 所以. 14．/0.5【详解】设为在上的零点，则，即点在直线上， 又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为， 因此，即的最小值即为在上能成立， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，则，， 所以的最小值为. 15．(1)由，① 当时，，由 ，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为 ，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 16．(1)证明如下： 取的中点，连接， 因为点是棱的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为，所以， 由底面为菱形，且，可得为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）取的中点，连接，因为是的中点，可得， 因为，所以， 又因为平面，且平面，所以， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设，可得， 所以， 设平面的法向量为，可得， 令，可得，所以， 因为点到平面的距离为，可得， 则，解得，所以，所以，且. 又因为平面与轴所在直线垂直，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，可得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 17．【详解】（1）设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确， . （2）可能的取值有, 所以的分布列为： 0 2 3 5 7 8 10 （3）记为乙同学的总得分，可能的取值有， 则,，， ，， ， 设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分， 法一：因为， 则. 法二：， ， 18．(1)证明：设直线的方程为，， 联立，即，则，，， 因为，则，又， 所以，所以，即， 所以点在以为直径的圆上； （2）由题可得，，则， 所以，又， 所以， 由（1）知，，所以，解得， 由弦长公式可得， 又点到直线：的距离， 所以. 19．【详解】（1）∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． （2）由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． （3）由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $