专题5 三角函数（讲义）-2027版四川省（高职单招）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版四川省（高职单招）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年四川省高职单招《数学二轮讲练测》 专题5 三角函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角函数 任意角的三角函数 2026-5 单选 5 和角公式 2025-13 填空 4 任意角的三角函数 2024-7 单选 5 三角函数最小正周期 2023-5 单选 5 二倍角公式 2022-4 单选 5 三角函数的图像和性质 2022-6 单选 5 解三角形 解三角形 2024-13 填空 4 解三角形余弦定理 2023-11 填空 4 解三角形 2022-6 单选 5 命题轨迹透视： 三角函数连续五年在四川省高等职业教育单独考试中均有考查，为每年必考题目，由三角函数的图像性质、三角计算和解三角形等三部分组成。三角函数的图像性质主要考角的概念推广、三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式及正余弦函数的图像和性质。三角计算主要考查和角倍角公式与正弦型函数性质。解三角形主要考查正弦定理、余弦定理与三角形面积公式等。 【考点1：三角函数】 1.（2026·四川高职单招·真题T05）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（     ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据任意角的三角函数的定义，先求解终边上点到原点的距离，再代入公式计算即可. 【详解】由题意得，角的终边经过点， 则， 可得：. 故选：B. 2.（2025·四川高职单招·真题T13）已知，，且都是第二象限角，则___. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式，同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】因为，，且都是第二象限角， 所以，， 则. 故答案为：. 3.（2024·四川高职单招·真题T07） 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据终边上的坐标求出r，然后计算出的值. 【详解】因为终边经过点，所以， 则. 故选：C. 4.（2022·四川高职单招·真题T04）若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系结合正弦的二倍角公式即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：D. 5.（2023·四川高职单招·真题T05） 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式及最小正周期公式即可得解. 【详解】. 所以最小正周期为. 故选:. 6.（2022·四川高职单招·真题T07）函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质结合特殊点即可得解. 【详解】设，则，排除AC； 又，且，排除D. 故选：B. （一）角的概念 1. 象限角 如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 3弧度与角度的换算 （1）1°＝ rad　；②1rad＝ °　. (2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π 4.弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式 在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式 ． （二）三角函数定义 1.任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． 2. 三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3.特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 （三）同角关系式与诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1　. (2)商数关系： 2.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α （四）三角函数的图象与性质 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝ －＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小 正周期 2π　 2π 2. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 1．任意角α满足 ，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，且，都是第二象限角，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图像向左平移个单位，同时把其纵坐标扩大为原来的4倍，则所得图像的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期和振幅分别是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则的值是（   ） A． B．或 C． D． 6．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 7．已知是第二象限角，，则（    ）． A． B． C． D． 8．（　　） A． B． C． D． 9．若，且为锐角，则（　　） A． B． C． D． 10．若，则（　　） A． B． C． D． 二、证明题 11．在等式两边有意义的条件下，证明：． 12． 求证: 【答案】 1．C 【分析】由特殊角的三角函数值及任意角即可得解. 【详解】因为， 则α在第三象限，故. 故选：C. 2．C 【分析】根据同角三角函数的基本关系和两角和差的正弦公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为，，且，都是第二象限角， 所以， 所以. 故选：C. 3．B 【分析】根据三角函数图像的变换规则求解即可. 【详解】由三角函数图像的变换规则可知， 函数的图像向左平移个单位可得：， 同时把其纵坐标扩大为原来的4倍可得：. 故选：B. 4．A 【分析】先由二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由周期公式和振幅公式计算即可. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为，振幅为. 故选：A. 5．D 【分析】利用三角函数定义式，结合两角和的正切公式可得解． 【详解】． 因为，， 即，且， 所以，所以. 故选：D． 6．B 【分析】由特殊角的三角函数值及必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】当时，满足，则， 在中，，则，必有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 7．D 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】因为是第二象限角，且. 所以. 故选：D. 8．A 【分析】根据正弦和角公式结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】根据正弦的和角公式可知， ， 故选：A 9．C 【分析】根据已知的与的比值关系，结合三角函数平方关系求出和的值，再利用二倍角公式计算. 【详解】由，可得， 因为，所以，即， 因为为锐角，所以，则，从而， 所以. 故选：C. 10．C 【分析】根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：C. 11．证明见解析 【分析】根据二倍角公式，同角三角函数的商数关系化简即可. 【详解】左边 右边， 即原式成立. 12．证明见解析 【分析】根据同角三角函数的关系进行化简证明即可. 【详解】证明： 等式成立. 【考点2：解三角形】 1.（2024·四川高职单招·真题T13）内角的对边分别为，已知，，那么__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理进行转化求解即可. 【详解】的内角的对边分别为， 已知，，所以. 由正弦定理得， 所以，得. 故答案为：. 2.（2023·四川高职单招·真题T11）的内角的对边分别为．已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】由题意得，分别为的边， 由余弦定理可得，. 故答案为：. 3.（2022·四川高职单招·真题T06） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得，再由正弦定理求得，由角的范围即可得解. 【详解】因为，所以, 又，所以由正弦定理得，即，所以， 因为，所以. 故选：A. 4.（2021·四川高职单招·真题T10）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由得.则. 在中，由余弦定理得，. 则，解得. 因为，所以. 故选：C. （一）三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (S2α)． (C2α)． (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. （二）解三角形 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ， b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π. 2．在三角形中，大边对大角，大角对大边． 3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 4．sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C 5．∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 1．在中，，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．已知在中，，，，则（    ） A． B． C． D．或 3．在三角形中，，则为（　　）. A． B． C． D． 4．在三角形中两边长分别为5、7，两边的夹角为，则第三边平方为（　　） A．29 B．39 C．49 D．74 5．在中，边，，，则角为（　　） A． B． C． D． 6．在中，若，则角是（　　） A．锐角 B．钝角 C．直角 D．零角 7．判断三角形形状时，若最大边平方大于其余两边平方和，则该三角形为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 8．矩形中，，两条共面对角线交于，则（　　） A．3 B．4 C．10 D．5 9．在中，若，则为（　　） A． B． C． D． 10．若一个斜坡截面可看成直角三角形，已知斜边长为，且与水平边夹角，竖直高度为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 11．在中，角、、的对边分别为、、且满足. (1)求角的大小； (2)若，，试判断的形状，并说明理由. 12．在中，角，，的对边分别为，，.若的面积，，，求边的长度. 【答案】 1．A 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在中，，则，进而是三角形中最大角. 根据余弦定理，，所以C为锐角. 所以该三角形是锐角三角形. 故选：A． 2．D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】已知在中，，，， 由正弦定理可得;, 又因为，所以或. 故选：D. 3．A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在三角形中，， 则，解得. 故选：A. 4．B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意，设， 则第三边的平方为. 故选：B. 5．C 【分析】根据勾股定理求解. 【详解】已知，，， 因为，即， 所以为直角三角形且， 故选：C. 6．B 【分析】根据三角形中角的余弦值推出角的范围即可. 【详解】在中，若，则，即角是钝角. 故选：B. 7．C 【分析】根据题意，结合余弦定理，即可求解. 【详解】由余弦定理可知，当最大边平方大于其余两边平方和，最大角的余弦值为负， 故最大角为钝角，即该三角形是钝角三角形. 故选：C. 8．D 【分析】利用矩形的性质直接计算即可. 【详解】对角线长，对角线交点平分对角线， 则. 故选： 9．B 【分析】利用正弦定理变形即可求出. 【详解】， . 故选： 10．B 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】设直角三角形中斜边为，水平边为，竖直边为， 则由斜边与水平边夹角可得：，且斜边所对角， 则由正弦定理可得：，即，解得. 故竖直高度为. 故选：B. 11．(1) (2)为等边三角形 【分析】（1）余弦定理结合已知条件即可求解; （2）结合三角形面积公式以及余弦定理，即可求解. 【详解】（1）由及余弦定理， 得， 整理得， 因为,所以. （2）为等边三角形； 理由如下： 因为， 因为，，， 所以， 由得，， 所以为等边三角形. 12． 【分析】根据三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【详解】因为的面积， 所以，解得，. 由余弦定理得，. 解得. 故所求边的长度为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $