专题4 指数函数与对数函数（讲义）-2027版四川省（高职单招）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版四川省（高职单招）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年四川省高职单招《数学二轮讲练测》 专题4 指数函数与对数函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 指数幂与指数函数 有理数指数幂比较大小 2026-9 单选 5 指数函数的应用 2025-6 单选 5 指数函数单调性比较大小 2024-6 单选 5 对数与对数函数 对数函数的性质 2026-12 填空 4 对数函数求参数 2025-5 单选 5 对数的运算 2024-11 填空 4 对数函数的图像和性质 2023-10 单选 5 对数函数单调性比大小 2022-8 单选 4 命题轨迹透视： 指数函数与对数函数连续五年在四川省高等职业教育单独考试中均有考查，为每年必考题目，由指数函数和对数函数两部分组成。指数函数主要考查指数函数的概念与单调性的运用。对数函数主要考查对数的概念与运算性质、对数函数性质运用，还会考查对数、指数的方程和不等式。 【考点1：指数函数】 1.（2026·四川高职单招·真题T09）已知，则a，b，c的大小关系为（     ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用幂函数的单调性比较与的大小，再借助中间值1比较、与的大小，最终确定三者的大小关系. 【详解】幂函数在区间上为单调递增函数. 由于，因此，即. 因为，所以可得. 故选：C. 2.（2024·四川高职单招·真题T06）已知，，，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为增函数， 且，，， 其中， 所以， 即. 故选：D. （一）指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ a　(注意aⁿ必须使有意义)． ②()n＝ a　(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 1．已知函数和都是指数函数，则（   ） A．不确定 B．0 C．1 D．2 2．化简（）的结果是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（　　） A． B． C． D．无法确定 4．函数 的图像经过点（　　） A． B． C． D． 5．比较，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 7．比较与的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 8．比较大小： 与 的关系是（    ） A． B． C．相等 D．无法比较 9．已知某放射性物质的半衰期为10年，则经过30年后，原有质量还剩（    ） A． B． C． D． 10．定义表示取中较小的数，设函数，，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知，则的大小关系是______．（用小于号连接） 12．函数的图像恒过定点________． 【答案】 1．C 【分析】根据指数函数的定义确定参数、的取值，即可计算的值. 【详解】因为函数是指数函数，故， 又因为函数也是指数函数， 由指数运算法则变形得， 因它是指数函数，故系数，解得， 因此. 故选：C. 2．A 【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算法则求解. 【详解】 . 故选：A. 3．B 【分析】根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】指数函数，底数，所以函数在上递减， 由，则， 故选：. 4．A 【分析】将各选项中的点的坐标代入函数解析式验证即可. 【详解】选项A：将代入函数中，可得，所以点在函数的图像上； 选项B：将代入函数中，可得，所以点不在函数的图像上； 选项C：将代入函数中，可得，所以点不在函数的图像上； 选项D：将代入函数中，可得，所以点不在函数的图像上， 故选：A. 5．A 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】因为函数在上单调递增，且， 所以. 故选：A. 6．A 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】选项A：，符合指数函数的一般形式，其中底数且，所以它是指数函数； 选项B：，自变量在底数位置，这是二次函数，不是指数函数； 选项C：，这是一次函数，不是指数函数； 选项D：，这是一次函数，不是指数函数. 故选：A. 7．A 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】因为指数函数在上单调递增，且，所以， 故选：A. 8．A 【分析】根据指数函数的单调性判断即可； 【详解】因为底数，函数在R上为减函数， 由得. 故选：A 9．C 【分析】根据题意列出式子即可得解. 【详解】半衰期为10年，经过30年即个半衰期， 剩余质量为原来的， 故选：. 10．C 【分析】先确定与的大小关系，从而得到的表达式，再分别分析各段函数的单调性，进而求出最大值即可. 【详解】函数与函数的函数图象如图所示，    记函数与函数的交点为点与点， 当时，函数，函数在上为单调递增函数， 当时，函数，函数在上为单调递增函数， 故在处，的最大值为. 故选：C. 11． 【分析】利用幂函数的单调性判断即可. 由， 因为幂函数在单调递增， 且，所以， 故答案为：. 12． 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】在函数中，令，即， 可得， 故函数的图像恒过定点. 故答案为：. 【考点2：对数函数】 1.（2026·四川高职单招·真题T12）若函数在区间上的值域为，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的单调递增性质，求出值域端点对应的自变量取值，即可计算的值. 【详解】函数的底数为，因此是定义域上的单调递增函数， 已知在区间上的值域为， 令，即，得，因此； 令，即，得，因此， 故. 故答案为：1. 2.（2025·四川高职单招·真题T05）已知函数，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将代入函数解析式列方程求解即可. 【详解】已知函数， 由得，， 即，解得， 故选：D. 3.（2024·四川高职单招·真题T11）若，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据列方程求解即可. 【详解】由可知，， 所以，得. 故答案为：0. 4.（2023·四川高职单招·真题T10）设均为大于0且不等于1的常数，对数函数与在同一直角坐标系中的大致图象如下，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数图象判断其为增函数，确定底数大于1，再利用特殊值法，在图中比较同一个函数值对应的自变量的大小，即可得出答案. 【详解】根据对数函数图象可知对数函数与均为增函数，则底数大于1，排除A、C， 令，得，对应点如下图， 令，得，对应点如下图， 由图可知，. 故选：B 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　； ②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)； ③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　； ②loga＝ logaM－logaN　； ③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域 解log2(x−1)2=2得x=3漏解 未考虑真数(x−1)2>0（x≠1） 先写定义域再求解 底数分类错误 解a2x>ax+1未讨论a>1 或0<a<1 混淆单调性方向 见底数必分类讨论 换底公式应用不当 化简log23⋅log34误为log212 未用公式 logab⋅logbc=logac 弄清对数运算法则与换底公式条件 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．若，且，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 6．已知，则（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 7．若，则满足（　　） A． B． C． D． 8．函数在上是（　　） A．增函数 B．不变函数 C．常数函数 D．减函数 9．在同一平面直角坐标系中，关于函数与且说法正确的是（　） A．两个图像都经过点 B．两个图像关于直线对称 C．当时，单调递减，单调递增 D．两个函数定义域相同 10．已知函数 （且），若 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 11．已知且，若. (1)求的值； (2)求的值； (3)判断函数的单调性. 12．已知函数 且 . (1)求 的值； (2)判断函数单调性； (3)比较与的大小. 【答案】 1．D 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性，及指数幂求值，即可判断求解. 【详解】因为对数函数在区间上单调递增， 所以，即， 因为， 所以. 故选：D. 2．A 【分析】根据题意，结合指数函数，对数函数的单调性，及正弦函数的值域，即可求解. 【详解】因为， 又，即， 因为，所以， 所以. 故选：A. 3．B 【分析】根据题意将化为对数的形式，利用对数函数的性质与换底公式即可得解. 【详解】因为，则， ，， ， 因为函数，底数，所以均在为增函数， 则，， ， 又因为， 因为，所以，，即， 所以，即，故， 综上所述，， 故选：. 4．D 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】若使对数函数有意义， 需令， 所以函数的定义域为， 故选：D 5．B 【分析】根据函数中对数和分式的限制条件，列出不等式求解. 【详解】函数有意义，需满足：且，解得：且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6．A 【分析】先求出的值，再将其代入函数中求出. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A. 7．A 【分析】根据对数函数的单调性来求解不等式即可. 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以由可得. 故选：A. 8．D 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】在函数中，底数， 因为， 所以函数在上是减函数. 故选：D. 9．B 【分析】根据指数函数与对数函数的性质逐一分析选项即可. 【详解】A：过定点，不过，错误； B：函数与且互为反函数，所以函数图像关于直线对称，正确； C：时，，均为单调递增函数，错误； D：定义域为定义域为，定义域不同，错误. 故选：B. 10．A 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】因为且， ， 又因为， 即， 当时，对数函数在上是单调递增的， 此时，不成立； 当时，对数函数在上是单调递减的， 此时，，成立. 综上所述，若 ，则的取值范围是， 故选：A 11．(1)2 (2) (3)单调递增 【分析】（1）根据指数式和对数式互化求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，则有， 已知且，故； （2）由（1）知，， 则； （3）由（1）知，，底数， 因为函数的定义域为， 所以函数在上单调递增. 12．(1) (2)递减 (3) 【分析】（1）根据题意列式为即可求解. （2）根据对数函数的性质即可求解. （3）根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数 且 ， 即，则， 所以，解得. 由 得底数；底数在0与1之间，函数递减. （2）由（1）可知，所以函数在定义域范围内为减函数. （3）因为函数在定义域范围内为减函数， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $