专题3 函数（讲义）-2027版四川省（高职单招）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版四川省（高职单招）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年四川省高职单招《数学二轮讲练测》 专题3 函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 函数的概念 求具体函数的函数值 2026-2 单选 5 函数的定义域 2025-2 单选 5 函数的定义域 2024-3 单选 5 函数的定义域 2023-3 单选 5 函数的定义域 2022-2 单选 5 函数的图像和性质 函数的应用 2026-8 单选 5 函数的奇偶性 2025-9 单选 5 函数的奇偶性 2023-7 单选 5 根据二次函数值域求参数 2023-13 填空 4 函数的基本性质（1、函数的奇偶性；2、函数的单调性） 2022-15 解答题 13 命题轨迹透视： 函数连续五年在四川省高等职业教育单独考试中均有考查，为每年必考题目，由函数的概念和函数的性质两部分组成。函数的概念主要考查函数的定义域或具体函数的函数值，一般1道选择题，分值5分。函数的性质主要考查函数的单调性与奇偶性证明及运用，还会考查分段函数、一次函数、二次函数和复合函数的图像和性质。 【考点1：函数的概念】 1.（2026·四川高职单招·真题T02）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入函数解析式中进行计算即可. 【详解】由题意，. 故选：D. 2.（2025·四川高职单招·真题T02）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根底数为非负，且分母不为零，即可解得. 【详解】要使函数有意义，则， 即，所以函数的定义域为. 故选：B 3.（2024·四川高职单招·真题T03）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不等于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 4.（2023·四川高职单招·真题T03）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根底数必须大于等于零进行计算. 【详解】中 得到 故定义域为， 故选：D. 5.（2022·四川高职单招·真题T02） 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出令函数有意义的取值范围即可. 【详解】由题意可知， 则函数定义域为， 故选：D （一）函数的概念及其表示 1.函数的定义域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域　；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域　. (2)如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系　完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法　、图象法和列表法． （二）分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集　. （三）函数的定义域 函数y＝f(x)的定义域 1．求定义域的步骤 (1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)； (3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母 不等于0　. (3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0　. (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R　. (5)函数f(x)＝x0的定义域为 {x|x≠0}　. (6)指数函数的定义域为 R　. (7)对数函数的定义域为 (0，＋∞)　. （四）基本初等函数的值域 1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R　. 2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 　；当a<0时，值域为 　. 3．y＝(k≠0)的值域是 {y|y≠0}　. 4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是 (0，＋∞)　. 5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是 R　. 易错场景 典型错误 避坑指南 定义域问题 多部分组成的解析式最后定义域求交集 牢记要求 分段函数漏分段点 求值时未验证左右区间 分段点必须独立验证 图象误判 含绝对值函数画图时错误 画图时先化简成分段函数 1．已知函数为奇函数，且当时，，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D． 2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 3．已知分段函数，则（   ） A． B． C．5 D．6 4．函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．0 6．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 7．函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 9．若，则（   ） A．7 B．5 C．1 D．3 10．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 11．设，则  （    ） A． B． C． D． 12．已知函数 ，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】 1．D 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】函数为奇函数，且当时，， 则， 故选：. 2．D 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】令，因为函数的定义域是，即， 所以，即，故函数的定义域是； 令，则函数的定义域是，即， 所以，即，故函数的定义域是． 故选：D. 3．D 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知分段函数， 因为，所以， 故选：D. 4．B 【分析】根据对数式和分式有意义的条件即可得解. 【详解】要使函数有意义， 必须成立，即， 故定义域为. 故选：B. 5．A 【分析】根据题意结合分段函数解析式即可得解. 【详解】函数， ，， 故选：A. 6．A 【分析】根据函数解析式，结合一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】因为函数， 所以，解得. 所以函数的定义域为. 故选：A. 7．A 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零求解即可. 【详解】函数中，，解得， ∴自变量x的取值范围是. 故选：A. 8．A 【分析】根据一次函数的值域即可解答. 【详解】已知函数为一次函数，定义域为， 其值域为. 故选：A. 9．A 【分析】将代入函数解析式中求值即可. 【详解】已知， 则， 故选：A. 10．D 【分析】根据二次根式，分式的意义即可求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得且. 所以函数的定义域是. 故选：D. 11．B 【分析】将替换成代入解析式中化简即可. 【详解】已知，则. 故选：B. 12．A 【分析】根据函数解析式即可得解. 【详解】函数 ，则， 故选：. 【考点2：函数的图像和性质】 1.（2026·四川高职单招·真题T08）某广告公司要为客户设计一块周长为8米的矩形广告牌，则广告牌的最大面积为（     ）. A. 2平方米 B. 4平方米 C. 6平方米 D. 8平方米 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件建立面积的函数关系式，再根据二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】设矩形广告牌的长为米， 因为矩形周长为米，所以宽为米， 由且，得， 广告牌面积， 所以当时，有最大值，最大值为（平方米）. 故选：B. 2.（2025·四川高职单招·真题T09） 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为当时，， 则， 因为函数为奇函数， 所以， 故选：A 3.（2023·四川高职单招·真题T07）下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的定义即可得解. 【详解】选项,,所以不是偶函数. 选项,,所以不是偶函数. 选项,,所以是偶函数. 选项,,所以不是偶函数. 故选:. 4.（2023·四川高职单招·真题T13）如果函数的值域为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用配方法求出函数的值域，结合条件列出的方程即可得解. 【详解】因，所以，当且仅当时取等号， 故函数的值域为， 又函数的值域为， 所以，即，又，所以. 故答案为：2. 5.（2022·四川高职单招·真题T15）已知为实数，是定义在R上的偶函数，且 （1）求实数的值 （2）设函数在区间内为增函数，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义，结合，代入即可求解. （2）结合二次函数的单调性即可求解 【小问1详解】 因为是定义在R上的偶函数，，且， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以，对称轴为， 又因为函数在区间内为增函数， 所以， 故k的取值范围为. （一）函数的单调性 1. 单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． （二）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 （四）函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 易错类型 典型案例 错因分析 纠错方案 忽略定义域对称 判断 奇偶性 未验证定义域对称 奇偶性判定第一步必查定义域对称性 单调区间端点错误 写成增区间 定义域中不包括0 严格按开闭区间规范书写 1．下列函数中是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上单调递减的为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数既是奇函数又是单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数，在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递减，则实数满足的条件是（    ） A． B． C． D． 9．判断函数在区间上的单调性，并证明之． 10．判断函数的奇偶性并证明． 11．已知函数． (1)求函数的表达式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由． 12．已知函数 是定义在上的奇函数，且. (1)求的值; (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)求在上的最值. 【答案】 1．C 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向上，在上单调递减，不符合题意； 对于B，函数定义域为，且，是奇函数，不符合题意； 对于C，函数对称轴为，是偶函数，且抛物线开口向下，在上单调递增，符合题意； 对于D，函数对称轴为，是非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 2．D 【分析】分析各选项函数的定义域及单调区间，即可判别. 【详解】选项A中，在定义域内单调递增，故错误. 选项B中，，函数在内单调递减，在内单调递增，故错误. 选项C中，，函数在定义域内单调递增，，故在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增，故错误. 选项D中，定义域为，函数在上单调递减，故正确. 故选：D. 3．C 【分析】根据利用函数的奇偶性的定义及常见函数的单调性判断即可． 【详解】定义域为，，因此不是奇函数，故A错误； 定义域为，不关于原点对称，因此不是奇函数，故B错误； 定义域为，，因此是奇函数； 又中的系数，因此在上是增函数，故C正确； ，因此当时，，是减函数，故D错误， 故选：C. 4．D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断即可. 【详解】A：指数函数是非奇非偶函数，故A错误； B：函数的定义域为， 所以，不是偶函数，故B错误； C：函数的定义域为， 所以，是非奇非偶函数，故C错误； D：二次函数的对称轴为， 所以函数关于y轴对称，在其定义域内为偶函数， 又函数图象开口向下，所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：D. 5．B 【分析】由常见的基本初等函数的单调性，奇偶性判断即可. 【详解】选项，为偶函数，不符合题意. 选项，为非奇非偶函数，不符合题意. 选项，为奇函数，在区间，上均为减函数，不符合题意. 选项，为奇函数，在定义域内为增函数，符合题意. 故选： 6．B 【分析】根据偶函数和在区间内单调递增判断结果. 【详解】A:是奇函数,故A错误; B:是偶函数和在区间内单调递增,故B正确; C:是非奇非偶函数,故C错误; D:是偶函数但区间内不是单调递增,故D错误. 故选:B. 7．B 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数的单调性判断. 【详解】在中，一次项的系数为正，故该函数在上为增函数，故A错误； 在中，不妨设， 而 ，故在上是减函数，故B正确； 在中，由二次函数的单调性可知，函数在上是增函数，故C错误； 由指数函数的单调性可知，在上为增函数，故D错误. 故选：B 8．A 【分析】由二次函数的图像可知，函数的减区间是，由题可得，解不等式可得结果. 【详解】由于函数的对称轴是，且开口向上， 所以函数的减区间是， 由题知. 故选：A 9．减函数，证明见解析 【分析】基本简单函数可利用函数的图像来判断在给定区间上的增减性，然定利用定义来证明． 【详解】证明：函数在区间上为减函数， 理由如下：在区间上任取两数：； 并使，此时 因为，所以， 所以，即 因此，函数在区间上为减函数． 10．奇函数，证明见解析 【分析】根据函数奇偶性的定义，先写出的定义域，再证明即可. 【详解】函数是奇函数.        证明： 函数的定义域为，关于原点对称， 对任意均有， 且， 所以函数是奇函数. 11．(1) (2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）根据函数的奇偶性定义判断即可. 【详解】（1）， 用替换，得，即. 由得， 所以. （2）由（1）知，定义域为． ，所以. 因为，所以， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数． 12．(1) (2)证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据奇函数的性质与代入解析式中求解方程即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）根据函数的单调性即可确定最值. 【详解】（1）已知函数 是定义在上的奇函数， 则，且， 则，解得， 此时，经检验是定义在上的奇函数. （2）由（1）可知，， 任取，且， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，故， 因此，即， 所以函数在上单调递增. （3）因为函数在上单调递增， 所以当时，， 当时，， 所以函数在上的最小值为，最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $