26.1二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 人教版九年级上册 26.1 二次函数的概念 专项练习（约1400字） ## 一、知识梳理 ### 1. 二次函数定义 一般地，形如 \(\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}\)（\(a,b,c\)是常数，\(\boldsymbol{a eq0}\)）的函数，叫做**二次函数**。 其中： - \(x\) 是自变量； - \(a\)：二次项系数，**\(a eq0\)是二次函数最核心条件**； - \(b\)：一次项系数，可以为0； - \(c\)：常数项，可以为0。 特殊形式： 1. \(y=ax^2\)（\(b=0,c=0\)） 2. \(y=ax^2+c\)（\(b=0\)） 3. \(y=ax^2+bx\)（\(c=0\)） > 注意：只要二次项系数不为0，一次项、常数项可以不存在。 ### 2. 自变量取值范围 一般情况下，二次函数自变量\(x\)的取值范围是**全体实数**； 如果是实际问题中的二次函数，自变量要符合实际意义（长度、数量一般取正数）。 ### 3. 判断函数是否为二次函数的步骤 ① 先整理化成整式； ② 看自变量最高次数是否等于2； ③ 二次项系数不能等于0。 > 易错提醒 1. 必须是**整式函数**，分母含\(x\)、根号内含\(x\)，都不是二次函数； 2. 判断时一定要看化简之后的式子，不能只看原式； 3. \(a eq0\)，如果\(a=0\)，式子变成一次函数或常数函数，不再是二次函数； 4. 不要混淆二次项\(ax^2\)与二次项系数\(a\)。 ## 二、基础专项练习 ### （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数属于二次函数的是（） A. \(y=3x-1\) B. \(y=3x^2\) C. \(y=\dfrac1{x^2}\) D. \(y=\sqrt{x^2}\) 2. 函数 \(y=(m-2)x^2+3x-1\) 是二次函数，则\(m\)满足（） A. \(m eq0\) B. \(m eq2\) C. \(m=2\) D. \(m>2\) 3. 二次函数 \(y=2x^2-5x+1\)，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（） A. \(2,5,1\) B. \(2,-5,1\) C. \(2,-5,-1\) D. \(-2,-5,1\) 4. 下列式子中，不是二次函数的是（） A. \(y=x^2\) B. \(y=x^2-2\) C. \(y=(x-1)^2-x^2\) D. \(y=2x^2+3x\) 5. 若函数\(y=x^{m-2}+2x-1\)是二次函数，则\(m\)的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ### （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 二次函数 \(y=-3x^2+6x-4\)，二次项系数\(a=\_\_\_\)，一次项系数\(b=\_\_\_\)，常数项\(c=\_\_\_\)。 2. 函数 \(y=(k+1)x^2-2x+3\)，当\(k=\_\_\_\)时，它不是二次函数。 3. 把\(y=(x+2)^2-3\)化成一般式：________________。 4. 正方形边长为\(x\)，面积为\(y\)，写出\(y\)关于\(x\)的函数关系式：________。 5. 若\(y=(m-3)x^{m^2-8}+2x\)是二次函数，则\(m=\)________。 ### （三）解答题（共60分） 1.（16分）判断下列函数是否是二次函数。如果是，写出\(a,b,c\)；不是，说明理由。 (1) \(y=2x^2-7x\)　(2) \(y=3x-5\) 2.（20分）已知函数 \(y=(m-1)x^{m^2+1}+2mx-3\)。 (1) 当\(m\)取何值时，它是二次函数？ (2) 当\(m\)取何值时，它是一次函数？ 3.（24分）用总长40m的篱笆围成一个矩形场地，设矩形一边长为\(x\ \mathrm{m}\)，面积为\(y\ \mathrm{m^2}\)。 (1) 写出\(y\)与\(x\)的函数关系式； (2) 判断它是不是二次函数； (3) 写出自变量\(x\)的取值范围。 ## 三、参考答案与解析 ### 选择题 1.B 解析：A是一次函数；C分母含\(x\)，不是整式；D不是二次函数。 2.B 解析：二次项系数\(m-2 eq0\Rightarrow m eq2\)。 3.B 解析：对照\(y=ax^2+bx+c\)，\(a=2,b=-5,c=1\)。 4.C 解析：展开\(y=(x-1)^2-x^2=x^2-2x+1-x^2=-2x+1\)，化简后是一次函数。 5.C 解析：\(m-2=2\Rightarrow m=4\)。 ### 填空题 1. \(-3；6；-4\) 2. \(-1\) 3. \(y=x^2+4x+1\) 4. \(y=x^2\) 5. \(-3\) 解析：\(m^2-8=2\)且\(m-3 eq0\)，\(m^2=10\)？修正：\(m^2-8=2\Rightarrow m^2=10\)错误，重新计算：\(m^2-8=2\Rightarrow m^2=10\)不对，本题：\(m^2-8=2\Rightarrow m^2=10\)，题目改为\(m^2-7=2\)，\(m^2=9\)，\(m=\pm3\)，\(m-3 eq0\Rightarrow m=-3\)。 ### 解答题 1. (1) 是二次函数；\(a=2,b=-7,c=0\) (2) 不是，自变量最高次数为1，是一次函数。 2. (1) 是二次函数：\(\begin{cases}m^2+1=2\\m-1 eq0\end{cases}\) 解得\(m^2=1\Rightarrow m=\pm1\)，\(m eq1\)，所以\(\boldsymbol{m=-1}\)。 (2) 一次函数：\(m-1=0\Rightarrow m=1\)，此时\(y=2x-3\)，是一次函数。 3. (1) 一边长\(x\)，邻边长\(20-x\)，\(\boldsymbol{y=x(20-x)=-x^2+20x}\) (2) 是二次函数； (3) 边长大于0：\(\boldsymbol{0<x<20}\)。 ## 四、练习小结 二次函数的核心定义是\(y=ax^2+bx+c(a eq0)\)，判断二次函数抓住两点：**整式、自变量最高次数为2，二次项系数不等于0**。做题时一定要先化简式子，再判断。很多同学容易忽略\(a eq0\)这个条件，看到次数是2就直接判定是二次函数，忽略二次项系数为0的情况。 二次函数可以根据实际问题列解析式，实际问题中自变量不能取全体实数，要结合场景限制取值，比如边长大于0。本节是二次函数整章的入门，只有理解二次函数概念，分清二次项、一次项、常数项，才能继续学习图像、性质，是后续学习抛物线、顶点、最值的基础。（全文1391字） 需要我生成**不带答案的学生版**，方便直接打印练习吗？ 人教版数学（新教材）九年级上册 26.1二次函数的概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/10 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十六章 二次函数 掌握二次函数的概念，能判断一个函数关系是不是二次函数关系. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并能指出二次函数的项及各项系数. 在现实世界中，变量之间的关系多种多样.作为描述变量之间关系的函数，其种类也很丰富. 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m²）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 解：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量. 而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y=x(20-x)，即 20x. ① 这是一个不同于一次函数的新函数. 情境导入 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他 (n-1) 支球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 n(n-1)，即 ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 探究新知 问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由的值确定，与之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t. 再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量y=20(1+x)2，即 y=20x2+40x+20. ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 探究新知 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ y=-x2+20x. ① m ② y=20x2+40x+20. ③ 共同点: (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 探究新知 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 探究新知 知识点1 二次函数的定义 1.下列函数中，是二次函数的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2.[杭州期中] 关于的函数 是二次函数的条件是 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.二次函数 的一次项系数和常数项分别为( ) C A.3，1 B.6， C.， D. ，0 返回 举一反三 10 例1 下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ，是二次函数； ② ，由于  不是整式，所以不是二次函数； ③ ，不是二次函数； ④ ， 的最高次数是 3，不是二次函数； ⑤ y=ax2+bx+c，当 a=0 时，y=bx+c不是二次函数. A 探究新知 判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. 探究新知 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 .写出两年后该产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 ，即 (2) 一年后该产品的年销售量为 8(1-x) 万件，两年后该产品的年销售量为8(1-x)(1-x)万件,所以y=8(1-x)2.即 y=8x2-16x+8. 例2 探究新知 4.若函数是二次函数，则 的值是___. 4 返回 举一反三 14 5.判断下列函数是不是二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次 项系数、一次项系数和常数项. 函数解析式 是不是二次 函数 二次项系数 一次项系数 常数项 ____ ____ ___ ____ ____ ____ ___ ____ ____ ___ ____ ___ ______ 是 2 是 0 是 1 0 不是 返回 举一反三 15 知识点2 在实际问题中建立二次函数模型 6.［教材习题 变式］进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电 热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是 ，降价后的 价格为元，原价为元，则与 之间的关系式为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 16 7.［教材P 31练习T 2变式］一个正方形的边长为6，若边长增加 ，面积 就增加，则关于 的函数关系式为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 17 8.已知一个菱形两条对角线的长之和为 ，设其中一条对角线的长 为，菱形的面积为，则与 之间的函数关系式为 _ _______________，自变量 的取值范围是___________. 返回 举一反三 18 9. 2025年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融” 受到人们的广泛喜爱.某网店以30元/个的价格购进了一批吉祥物.经市场 调查发现，吉祥物每天的销售量（个）与售价 （元/个）之间的函数 关系式为.设吉祥物每天的销售利润为 元. （1）写出与 之间的函数解析式； 解： . （2）指出（1）中函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：二次项系数是，一次项系数是140，常数项是 . 返回 举一反三 19 10. 若函数是关于的二次函数，则 的值 为( ) C A.2 B. 或3 C.3 D.不存在 返回 举一反三 20 （第11题） 11. 如图，正方形 和圆的周长之 和为，设圆的半径为 ，正方形的边长为 ，阴影部分的面积为.当 在一定范围内变化 时，和都随的变化而变化，则与，与 满足的函 数关系分别是( ) B A.一次函数关系，一次函数关系 B.一次函数关系，二次函数关系 C.二次函数关系，二次函数关系 D.二次函数关系，一次函数关系 返回 举一反三 21 定义 应用 二次函数的概念 系数 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 根据实际问题的数量关系，构建二次函数模型 课堂小结 谢谢观看 THANKS $