10.1.2 立方根 讲义 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

第10章10.1.2 立方根 【新教材华东师大版】 知识点1 立方根和平方根的不同点和相同点 立方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即=a，那么这个正数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根） 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a,那么这个数x就叫做a的平方根 个数 每一个数a有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意数 相同点 关于0 0的平方根是0，0的立方根是0 知识点2 开立方 1.求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数. 2.开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 知识点3 立方根的性质 （1） 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。如： （2） 一个数的立方的立方根等于它本身。如： （3） 一个数的立方根的立方等于它本身。如： 【题型1 立方根概念的理解与判断】 1．下列说法或算式中，正确的是（     ） A．0.01的平方根是0.1 B． C．0的立方根是0 D．8的立方根是±2 2．下列关于平方根、算术平方根和立方根的说法正确的是（     ） A．任何实数都有且只有1个立方根 B．任意一个实数的算术平方根只有1个，平方根有2个 C．只有正数有算术平方根 D．正数的平方根大于其立方根 3．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 5．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 6．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【题型2 求一个数的立方根】 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．下列结论中，正确的是（     ） A． B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的立方根是 3．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 5．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为______________． 6．计算的结果等于_________． 7．已知，则的值是_______ 【题型3 已知立方根求原数】 1．是的平方根，是的立方根，则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．或5 2．若，则x的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．若，则（   ） A．5 B．7 C． D． 4．立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 5．若的立方根是，则的平方根是________． 6．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 7．若与互为相反数，则t的值为____． 【题型4 利用立方根性质化简求值】 1．若，则和的关系是（     ） A． B．、互为相反数 C． D． 2．实数、在数轴上的位置如图，则化简的结果是（   ）    A． B． C． D．0 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果是（    ） A．2a B．2b C．2a＋2b D．0 4．化简：______． 5．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示：化简：________． 【题型5 估算立方根的大小】 1．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．实数介于和之间（为整数），则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，，，．若n为整数且，则n的值为____________________． 4．已知，且m，n是两个连续的整数，则__________． 5．若整数满足，则的值为__________． 6．下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6 开立方与开平方运算与化简】 1、计算的结果是____． 2、计算：__________． 3、按下面程序计算：输入，则输出的答案是______. 4、计算：____． 【题型7 解含立方根的简单方程】 1．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知，则下列选项中不是方程的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．方程的解是______． 4．求下列各式中x的值： (1) (2) (3) (4) 【题型8 立方根的规律探索题】 1．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 2．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 3．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 4．已知，，，则___________． 5．已知，则的值为________． 6．观察下表规律，利用规律解答，若，则_________． 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 7．已知，，则______；已知，，则______． 8．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 9．著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 10．在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【题型9 立方根的实际生活应用】 1．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 3．如图形状为正方体的魔方，它的体积为，那么它的棱长为_____． 4．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为______． 5．已知球体的体积，若一个球的体积，则它的半径___． 6．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 7．升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 8．某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【题型10 立方根与算术平方根的综合应用】 1．已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 2．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 3．已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 4．已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 5．已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 6．按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 7．如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 8．已知是25的算术平方根，的平方根为，，求的立方根． 9．若实数，满足，请按要求解答下列问题： (1)若，都是整数，请写出两对符合条件的，的值． (2)若，都是分数，请写出一对符合条件的，的值． 10．已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 11．（1）一个正数m的两个平方根分别为和，求这个正数m． （2）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． （3），求的立方根． 第10章10.1.2 立方根答案与详细解析 【题型1 立方根概念的理解与判断】 1．C 【分析】正数的平方根有两个且互为相反数；只表示算术平方根，不等于±4；任何数的立方根都只有一个，正数的立方根是正数，0的立方根是0． 【详解】解：（1）判断选项A.0.01的平方根是±0.1，不只是0.1，故A错误； （2）判断选项B.表示16的算术平方根，∴，故B错误； （3）判断选项C.，∴0的立方根是0，故C正确； （4）判断选项D.8的立方根是2，题干D选项表述为±2，不符合立方根定义，故D错误． 2．A 【分析】结合立方根、平方根、算术平方根的性质验证各选项． 【详解】解：A、任意实数都有且只有1个立方根， 原说法正确，符合题意； B、负数没有算术平方根和平方根；0的算术平方根与平方根都只有1个；正数有2个平方根，1个算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、0的算术平方根是0，即0也有算术平方根，原说法错误，不符合题意； D、正数的平方根有2个，其中负平方根小于其立方根， 原说法错误，不符合题意． 3．D 【分析】注意算术平方根仅取非负值，带分数开方需先化为假分数，立方根符号与被开方数一致． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 4．C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． 5．D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 6．D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 【题型2 求一个数的立方根】 1．C 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【详解】解： ， 的立方根是． 2．B 【详解】解： A、，故A错误； B、∵，∴是的一个平方根，故B正确； C、的平方根是，故C错误； D、，的立方根是，故D错误． 3．B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 4．C 【详解】解：∵， ∴64的平方根为， ∵，， ∴的立方根为． 5． 【分析】根据立方根的定义列方程求出的值，进而可求的值． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 6． 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． 7．2 【详解】解：， ， 把代入得． 【题型3 已知立方根求原数】 1．A 【分析】先计算出的值，再根据平方根和立方根的定义求出和，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平方根， ∴， ∵是的立方根， ∴， 当时，， 当时，， 因此的值为或． 2．D 【详解】解：∵ ∴． 3．A 【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据立方根的性质可得：， 又∵， ∴． 4．B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 5． 【分析】先根据题意可得的值，然后求的平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 6．4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解： ， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 7．1 【分析】根据相反数的定义和立方根的性质，得到两个被开方数之和为，列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 【题型4 利用立方根性质化简求值】 1．B 【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据可得．所以与互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴、互为相反数． 2．B 【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．D 【分析】根据数轴可判断a与b的符号，再结合已知可确定a+b的符号，再根据绝对值的计算、算术平方根的性质：、立方根的性质，即可完成化简． 【详解】由数轴知： ∵|a|＞|b| ∴ =0 故选：D 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的性质，绝对值的含义，实数的加法法则，数轴上实数大小的比较等知识，掌握这些知识是解题的关键． 4． 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 5．b 【分析】本题考查了整式的运算．先根据数轴判断、、的取值范围，再判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项． 【详解】解：由图形得：，且， ∴，， ， 故答案为：． 【题型5 估算立方根的大小】 1．B 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 2．D 【分析】根据立方根的定义估算出在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， ， 即， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查立方根的定义及无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 3．12 【分析】由已知可得，，由立方根定义及不等式性质可得，，结合题中条件可知，，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵n为整数且， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了立方根的定义及估值，准确理解相关概念掌握估值的方法是解题的关键． 4．9 【分析】本题考查无理数的估算、立方根、代数式求值，先根据，，结合立方根定义和已知求得m、n值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，且m，n是两个连续的整数， ∴，， ∴， 故答案为：9． 5． 【分析】根据无理数的估算即可得． 【详解】解：，， ，， 整数满足， ， ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 6．(1)介于1和2之间 (2)介于4和5之间 (3)介于8和9之间 (4)介于和之间 【分析】本题要求判断各数的立方根介于哪两个相邻整数之间．根据立方根随被开方数增大而增大，因此可以通过比较整数的立方确定范围． （1）计算相邻整数的立方，即可判断； （2）计算相邻整数的立方，即可判断； （3）计算相邻整数的立方，即可判断； （4）计算相邻整数的立方，即可判断． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ 即介于1和2之间． （2）∵，，， ∴， ∴， 即介于4和5之间． （3）∵，，， ∴， ∴， 即介于8和9之间． （4）∵，，， ∴， ∴， 即介于和之间． 【题型6 开立方与开平方运算与化简】 1、/0.5 【分析】本题考查实数的运算，涉及算术平方根、立方根，先计算算术平方根和立方根，再根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为：． 2、 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根，算术平方根化简即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 3、 【分析】本题考查了立方根，平方根的运算，根据程序流程图进行运算即可，读懂程序流程图并列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 故答案为：． 4、7 【分析】根据立方根、算术平方根、以及绝对值的运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： = =； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、以及绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 【题型7 解含立方根的简单方程】 1．A 【分析】首先需要找到哪个数的立方等于，计算结果即可． 【详解】解：， ， ． 2．A 【分析】将的值逐个代入判断即可． 【详解】解：A．当时，，符合题意； B．当时，，不符合题意； C．当时，，不符合题意； D．当时，，不符合题意． 3． 【分析】根据立方根的定义求解可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 4．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， . 【题型8 立方根的规律探索题】 1．A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 2．B 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴只需先求的立方根； 第一步，确定位数： ∵ ， ，且 ， ∴，即是两位数； 第二步，确定个位数字： ∵的个位数字是，中只有的立方的个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步，确定十位数字： 划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 3．D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 4． 【分析】根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【详解】解：， . 5．34.56 【详解】解：， ． 6．2.872 【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可． 【详解】解：， ． 7． 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 8．(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 9．(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 10．(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 【题型9 立方根的实际生活应用】 1．A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 2．B 【详解】解：∵溢出的水体积为 ∴该正方体铁块的体积为 ∴该正方体铁块的棱长为 ∵ ∴ ∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． 3． 6 【详解】解：∵正方体的魔方的体积为， ∴它的棱长为． 4．5 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据正方体的体积公式结合立方根定义，求出正方体蓄水池的棱长即可． 【详解】解：∵正方体蓄水池容积为， ∴正方体蓄水池的棱长为． 故答案为：5． 5．6 【分析】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解题的关键； 根据球体的体积代入公式，再根据立方根计算即可得解． 【详解】解：∵球体的体积公式为，球的体积， ∴， ∴ 故答案为：6． 6．长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 7． 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 8． 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 【题型10 立方根与算术平方根的综合应用】 1．(1)， (2) 【分析】（1）利用立方根与算术平方根的含义列方程求解即可； （2）求解，进一步求解即可. 【详解】（1）解：因为的立方根是， 所以， 解得． 因为的算术平方根是4， 所以， 解得． （2）解：由（1）得，． 所以． 所以的平方根为． 2． 【分析】根据平方根和立方根的定义，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：的平方根是， ， ， 的立方根是2， ， ， ， 的算术平方根为． 3． 【分析】先从“平方根是它本身”确定为零，再根据立方根和算术平方根的定义分别列出关于和的方程并求解，最后将的值代入目标代数式，求其平方根． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 4．8 【分析】根据题意得出，确定，再由立方根得出，然后代入计算，求出算术平方根即可． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， 解得，      的立方根为， ， 解得，      ． 的算术平方根为． 5．(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定义，注意一个正数有两个平方根， (1)中由27的立方根得，由的算术平方根与的立方根求和得，再计算，比较三个数的大小； (2)中先计算，再由平方根的定义得． 【详解】（1）解：是27的立方根， ， 的算术平方根为的立方根为， ， ， ， ； （2）解：， 是的平方根， ． 6．(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 7． 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 8． 【分析】先根据算术平方根与平方根定义得到方程组，解出，再回代求，进而得到，结合立方根定义计算． 【详解】解：∵M是25的算术平方根， ∴， ∴， ∵的平方根为， ∴， 即， 方程组的解为， ∴， ∴， ∴的立方根为． 9．(1)，或（答案不唯一） (2)，（答案不唯一） 【分析】本题考查了实数的运算，掌握算术平方根、立方根的意义是解题的关键． （1）根据，都是整数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可； （2）根据，都是分数，利用算术平方根及立方根定义找出符合题意的值即可． 【详解】（1）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 当时，则， ，则， 则符合题意， 故，或（答案不唯一） （2）解：当时，则， ，则， 则符合题意， 故，（答案不唯一） 10． 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求出和的值，估算得到整数的值，代入代数式计算即可． 【详解】解： 的立方根是，的算术平方根是， ，， 计算得：，解得， ，解得， ，即， 的整数部分为，即， 将，，代入得： ， 综上所述，的值为． 11．（1）49；（2）；（3）－1 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可； （2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a、b、c的式子求值，再计算平方根即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，从而得出a的值，再计算两数的和，从而得出立方根． 【详解】解：（1）解：依题意：，解得， ，． （2）解依题意：，， 解得，， ，16的平方根是 （3）解：依题意，得， 代入，得 ，的立方根是－1． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $