1.3 第2课时 用“角边角”判定两个三角形全等-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

8.(1)∠BAC=∠DAE=90°，∴.∠BAC+∠CAD= ∠DAE+∠CAD.∴.∠BAD=∠CAE.在△BAD和 (AB=AC, △CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE AD-AE. (SAS).(2)BD=CE且BD⊥CE.由(1)，知△BAD≌ △CAE,∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE.:AB=AC, ∠BAC=90°，∴.易得∠ABC=∠ACB=45°.∴.∠ABD+ ∠DBC=45°.∴.∠ACE+∠DBC=45°.∴.∠DBC+ ∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°.'.∠BDC= 90°.∴.BD⊥CE. 9.(1):BE,CF是△ABC的高，∴.∠AEB=90°， ∠AFC=90°.∴.∠ABP+∠BAE=90°，∠QCA+ ∠BAE=90°.∴.∠ABP=∠QCA.在△ABP和△QCA (BP=CA, 中，∠ABP=∠QCA,.△ABP≌△QCA(SAS). AB=QC, (2)AP⊥AQ.△ABP≌△QCA,∴.∠BAP=∠Q. :易得∠Q+∠BAQ=90°，.∠BAP+∠BAQ=90°，即 ∠PAQ=90°.∴.AP LAQ. 方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常见的题型，解决这类问 题的一般方法是证明这两条直线的夹角为90°或者这个 夹角所在的三角形的另外两个角的和是90°， 10.(1).·AD⊥BC,∴.∠BDE=∠ADC=90°.在△BDE DE=DC, 和△ADC中，∠BDE=∠ADC,∴.△BDE≌△ADC BD-AD. (SAS).∴.BE=AC.(2)AC=MC且AC⊥MC.:'F为 BC的中点，∴.BF=CF.在△BFE和△CFM中， BF=CF, ∠BFE=∠CFM,∴.△BFE≌△CFM(SAS.∴.∠FBE= EF-MF. ∠FCM,BE=CM.:'△BDE≌△ADC,∴.∠DBE= ∠DAC,BE=AC.∴.∠DAC=∠FCM,AC=MC. ∠DAC+∠ACD=90°，∴.∠FCM+∠ACD=90°，即 ∠ACM=90°..∴.AC⊥MC. 第2课时用“角边角”判定两个三角形全等 1.C BF=CE,..BF+FC=CE+FC..BC=EF. ACDF,∴.∠ACB=∠DFE.∴.添加∠B=∠E,能用 “ASA”证明△ABC≌△DEF 2.B由题意，知在△ABE和△ACD中，AB=AC,∠A 为公共角.若添加∠B=∠C,利用“ASA”即可证明 △ABE≌△ACD,故选项A不符合题意.若添BE=CD, 不能证明△ABE≌△ACD,故选项B符合题意.若添CE BD,由AB=AC易得AE=AD,利用“SAS”即可证明 △ABE2△ACD,故选项C不符合题意.若添AE=AD, 利用“SAS”即可证明△ABE≌△ACD,故选项D不符合 题意。 3.3ABCF,.∠ADE=∠F.E为DF的中点， ∠AED=∠CEF, ∴.DE=FE.在△AED和△CEF中，DE=FE, ∠ADE=∠F, .△AED≌△CEF(ASA)..AD=CF=7..BD= AB-AD=10-7=3. 4.0.8AC∥DE,∴.∠ACD=∠D,∠ACB=∠E. :∠ACD=∠B,∴.∠B=∠D.在△ACB和△CED中， ∠B=∠D, BC=DE,.△ACB≌△CED(ASA).∴.AC= ∠ACB=∠E. CE=0.8 cm. 5.:AB∥DF,∴.∠B=∠CPD,∠A=∠FDE ∠E=∠CPD,∴.∠E=∠B.在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E, AB=DE,∴.△ABC≌△DEF(ASA). ∠A=∠FDE, 6.B,'∠1=∠ABE+∠BAE,∠1=∠BAC, ∴.∠BAC=∠ABE+∠BAE.:'∠BAC=∠BAE+ ∠CAF,∴.∠ABE=∠CAF.∠1=∠2，∴.∠1- ∠ABE=∠2-∠CAF,即∠BAE=∠ACF.在△ABE和 ∠BAE=∠ACF, △CAF中，3AB=CA, .∴.△ABE≌△CAF ∠ABE=∠CAF, (ASA)..S△ABE=S△CAP..S△CAF十S△DE=S△AE十 S△mB=S△Am·:CD=2BD,△ABC的面积为21， m-Sr=7.△CAF与△BDE的面积 为7. 7.D∠COA=∠DOB,∠ACB=∠ADB=90°， ∴.∠CAO=∠DBO.在△AOC和△BOD中， ∠COA=∠DOB, OA=OB, ∴.△AOC≌△BOD(ASA).∴.AC= ∠CAO=∠DBO, BD,OC=OD.OA=OB,∴.易得AD=BC.故①②正 AD-BC. 确.在△ACD和△BDC中，∠CAD=∠DBC,∴.△ACD≌ AC=BD, 5 △BDC(SAS).∴.∠CDA=∠DCB.故③正确.在△ABC (AC-BD, 和△BAD中，∠ACB=∠BDA,∴.△ABC≌△BAD BC=AD, (SAS).∴.∠CBA=∠DAB.∠COD=∠AOB, ∠CDA=∠DCB,∴.易得∠CDA=∠DAB.∴.CD∥AB. 故④正确.综上所述，正确的有4个 8.4:CD LAB,.∠CDB=90°.∴.∠B+∠BCD= 90°.：∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，.∠ACD= ∠B.:EF⊥AC,∴.∠FEC=90°.∴∠FEC=∠ACB. :BC=3cm,CE=3cm,∴.BC=CE.在△ACB和△FEC ∠B=∠ECF, 中，了BC=CE, .∴.△ACB≌△FEC(ASA). ∠ACB=∠FEC, ∴.AC=FE.EF=7cm,∴.AC=7cm.AE=AC- CE,∴.AE=7-3=4(cm). 9.(1):CE⊥AB,AD⊥BC,∴.∠BEC=∠AEC= ∠ADB=∠ADC=9O°.，∠DHE=∠AEC+∠EAH= ∠ADC+∠BCE,.∠EAH=∠BCE.在△BEC和 [∠BEC=∠HEA, △HEA中，CE=AE, ∴.△BEC≌△HEA ∠BCE=∠HAE, (ASA).(2):△BEC≌△HEA,∴.BE=HE=7. CH=3,..AE=CE=CH+HE=3+7=10. 10.(1):∠CED=∠AEB,∴.∠CED+∠AED= ∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED.在△AEC和 ∠A=∠B, △BED中，AE=BE, ∴.△AEC≌△BED ∠AEC=∠BED, (ASA).(2)△AEC≌△BED,.∠C=∠EDB, CE=DE.∴.易得∠C=∠EDC.∴.∠EDB=∠EDC. .DE平分∠BDC. 11.3∠BCD=∠BAD,∠BFC=∠DFA,∴.∠B= ∠D.∠BCD=∠ACE,∴.易得∠BCA=∠DCE.在 ∠B=∠D, △ABC和△EDC中，BC=DC, .∴.△ABC≌ ∠BCA=∠DCE, △EDC(ASA)..AB=ED=3. 12.(1)AB=AF+BD.·BE⊥CD,∴.∠FEC=90°. .∠F+∠FCE=90°.∠BAC=90°，∴.∠FAB=90°. ∴.∠F+∠FBA=90°.∴.∠FBA=∠FCE.在△AFB和 ∠FAB=∠DAC=90°， △ADC中，AB=AC, ∴.△AFB≌△ADC ∠FBA=∠DCA, D (ASA)..∴.AF=AD.∴.AB=AD+BD=AF+BD (2)问题(1)中的结论不成立.如图①，当点D在AB的延 长线上时，同(1)，可得AF=AD,.AB=AD-BD= AF一BD.如图②，当点D在AB的反向延长线上时，同 (1),可得AF=AD,∴.AB=BD-AD=BD-AF B DE ① ② (第12题) 易错警示 没有画出符合题意的图形 解决这类探究题时，要了解条件中“动点”的真正含 义，需要画出符合题意的图形，不要受问题原有图形的 影响直接加以解答.因此，解题时我们要认真审题，在原 有思路的基础上让图形中的动，点真正动起来，寻求正确 的结论 第3课时用“角角边”判定两个三角形全等 1.CAC⊥BE,.∠ACB=∠ECF=90°.在△ABC 「∠A=∠E， 和△EFC中，∠ACB=∠ECF,∴.△ABC≌△EFC AB=EF, (AAS)..'AC=EC,BC=FC.BE=26,CF=9, ∴.AC=BE-BC=26-9=17. 2.4.AB∥DE,AC∥DF,∴.∠B=∠E,∠ACB= ∠B=∠E, ∠DFE.在△ABC和△DEF中，了∠ACB=∠DFE, AB-DE. ∴.△ABC≌△DEF(AAS)..BC=EF.∴.BC-FC= EF-FC,BF=CE=5 m..'FC=BE-BF-CE=4 m. 3.2在△ABC中，AD是边BC上的高，BE是边AC 上的高，∴.∠ADC=∠BDF=∠AEB=90°.∴.∠DAC+ ∠C=90°，∠C+∠DBF=90°.∴.∠DAC=∠DBF.在 ∠ADC=∠BDF, △ADC和△BDF中，∠DAC=∠DBF,∴.△ADC≌ AC=BF, ABDF(AAS)..'CD=FD,AD=BD..CD=3,BD= 5,.∴.FD=3,AD=5.∴.AF=AD-FD=5-3=2. 4.:'BC∥AD,∴.∠DAC=∠C.∠CED=∠BAD, ∠CED=∠D+∠DAC,∠BAD=∠DAC+∠BAC, 6拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第2课时用“角边角”判定两个三角形全等 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC和△DEF中，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=CE,AC∥DF.若添加一个条 件，能用“ASA”证明△ABC≌△DEF,则这个条件可以是 () A.AB-DE B.BF=CF C.∠B=∠E D.∠ACB=∠DFE (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于点O.已知AB=AC,现添加以下条件仍 不能判定△ABE≌△ACD的是 () A∠B=∠C B.BE=CD C.CE=BD D.AE=AD 3.如图，ABCF,E为DF的中点.若AB=10,CF=7,则BD的长为 4.如图，点B,C,E在同一条直线上，AC∥DE,BC=DE,∠ACD=∠B.若AC=0.8cm,则CE= cm. 5.如图，点E,C,D,A在同一条直线上，ABDF,ED=AB,∠E=∠CPD,求证：△ABC≌△DEF. XP EC DA (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD上， ∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为21，则△CAF与△BDE的面积之和为 () A.6 B.7 C.8 D.9 B D B (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，∠ADB=∠ACB=90°，AD与BC相交于点O,且OA=OB.有下列结论：①AD=BC; ②AC=BD;③∠CDA=∠DCB;④CD∥AB.其中，正确的有 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm,过点C作AB的垂线，垂足为D,点E在AC上，且 CE=3cm,过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.若EF=7cm,则AE的长为 cm. 10 第1章三角形 9.如图，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H,AE=CE (1)求证：△BEC≌△HEA. (2)若BE=7,CH=3,求线段AE的长. (第9题》 10.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上，∠CED=∠AEB,AE交BD于点F.求证： (1)△AEC≌△BED, (2)DE平分∠BDC. B (第10题) 门三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.如图，点A在DE上，点F在AB上，且BC=DC,ED=3,∠BCD=∠ACE=∠BAD,则AB 的长为 D (第11题) 12.易错题如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是直线AB上的一个动点（不与点A,B 重合)，BE⊥CD,交直线CD于点E,交直线AC于点F. (1)若点D在边AB上，试判断线段BD,AB和AF之间的数量关系，并证明你的结论， (2)若点D在AB的延长线或反向延长线上，则问题(1)中的结论是否成立？若不成立，请直接 写出正确的结论 (第12题) ●“答案与解析”见D5 11