第四章整式的加减（期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

第四章 整式的加减　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 整式 1.1 单项式 单项式的定义 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式。 示例：，，， 都是数或字母的积，都是单项式。 单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，， 都是单项式。 单项式的系数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 示例：单项式 ，，， 的系数分别是 ，，，。 注意：单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面；系数是 或 时， 通常省略不写。 示例：如 的系数是 ， 的系数是 。 单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。如果一个单项式的次数是 ，那么称这个单项式是 次单项式。 示例：在单项式 中，字母 的指数是 ， 的次数就是 ，它是一次单项式；在单项式 中，字母 与 的指数的和是 ， 的次数就是 ，它是三次单项式。 注意：对于一个非零的数，规定它的次数为 。 示例： 是一个数，它的次数是 。 1.2 多项式 多项式的定义 像这样，几个单项式的和叫作多项式。 示例：，，， 都是多项式。 多项式的项与常数项 多项式中的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 示例：多项式 的项是 与 ，其中 是常数项。 注意：多项式中的每一项都包含它前面的正负号。 多项式的次数 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 示例：多项式 有 项，次数最高的项是一次项 ，这个多项式的次数是 ；多项式 有 项，次数最高的项是二次项 ，这个多项式的次数是 。 1.3 整式 单项式与多项式统称整式。 示例：单项式 ， 与多项式 ， 等都是整式。 2. 整式的加法与减法 2.1 同类项 像 与 ， 与 ， 与 这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项。几个常数项也是同类项。 示例： 与 是同类项， 与 是同类项， 与 是同类项； 与 是同类项。 2.2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 示例：。 合并同类项的法则 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变。 示例：；。 2.3 去括号 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 示例：。 注意： 与 可以看作 与 分别乘 ，于是 ，。 2.4 整式的加减运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 示例：。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 单项式系数、次数的判定要点 单项式的系数是其中的数字因数（ 是数不是字母，算系数但不增次数）；单项式的次数只把所有字母的指数相加，与系数无关。 1.2 同类项”两相同、两无关” 判断同类项只须所含字母相同，并且相同字母的指数也相同；与系数大小无关，与字母排列顺序无关；几个常数项也是同类项。 1.3 整体思想看同类项 把相同的整式（如 、）看成一个整体时，含相同整体的项也是同类项，可直接合并。如 中 与 、 与 分别合并为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 合并同类项的步骤：一找、二移、三并 先找准同类项并作标记，再用交换律、结合律把同类项移到一起，最后把同类项的系数相加、字母连同指数不变。如 。 2.2 去括号的步骤：看括号前的符号 括号前是”“号，去掉括号和它前面的”“号，括号内各项都不变号；括号前是”“号，去掉括号和它前面的”“号，括号内各项都变号。如 。 2.3 整式加减的规范步骤 去括号 → 合并同类项 → 结果按某个字母降幂或升幂排列。如 。 2.4 化简求值的规范步骤 先把整式化简（去括号、合并同类项），再把字母的值代入求值，往往比直接代入简便。如 先化简为 ，再代 得 。 3. 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 去括号口诀 括号前是正号不变号、负号全变号；数乘括号用分配律逐项相乘 ； 合并同类项口诀 系数相加，字母连同指数不变 ，不是 的处理 是数，算系数时照算、定次数时不计 的系数是 ，次数是 整体换元 相同整式看成一个整体，设 代换，化简后再还原 设 ，则 降幂 / 升幂排列 按某字母指数从大到小（或从小到大）排列，结果更规范 是按 降幂排列 添括号防错 多项式作为一个整体参与运算时先加括号 比 与 的和的 倍少 ： 4. 常见考试模型 4.1 规律探究模型（图形 / 数字规律） 公式：先观察前几项，找出相邻项间固定的变化量，用含 的整式表示第 个图形或第 个数。 限定：所得结论须代入前几项验证正确。 示例：如每条”边”上有 个点（含顶点）的三角形点阵，点总数 ，当 时 。 4.2 整体代入求值模型 公式：把题目反复出现的相同整式（如 、）看成一个整体，求出其值后整体代入目标式求值，避免逐个求字母。 限定：目标式须先变形为只含该整体（或该整体的和、差、倍数）的形式。 示例：如已知 ，则 。 4.3 “化简结果与某字母取值无关”（定值 / 无关问题） 公式：先把含该字母的项全部合并，令合并后该项的系数为 ，即可求出使结果与该字母无关的参数。 限定：必须先完全化简，再看该项系数是否为 。 示例：如 化简得 ，与 无关。 4.4 “不含某项”问题 公式：合并同类项后，令某一次项（如 项）的系数为 ，解出参数。 限定：合并后确实出现该项、且该项系数含参数。 示例：如 不含 项，则 ，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把 π 当成字母计入次数 典例：单项式 的次数是（　　）。 错解：、、 三个字母的指数分别为 、、，次数 。 正解： 是圆周率，是一个数而不是字母，次数只算字母 、 的指数和 ，所以次数是 。 原因：概念理解错误。学生把 当成了字母，误以为它也参与指数的累加。单项式的次数只由字母的指数决定，数字因数（含 ）一律不计入次数；算系数时 则照常作为数字因数计算。 易错点 2：判断同类项只看字母种类、忽略相同字母的指数 典例：判断 与 是否为同类项。 错解：两个式子都含有字母 和 ，所以它们是同类项。 正解： 中 的指数是 、 的指数是 ； 中 的指数是 、 的指数是 ，相同字母的指数不相同，所以它们不是同类项。 原因：概念理解不完整。同类项要求”所含字母相同”且”相同字母的指数也相同”两个条件同时成立，学生只记住了”字母种类相同”这一半，忽略了指数必须一一对应相等；同时要注意，同类项与系数大小、字母排列顺序无关。 易错点 3：去括号时括号前是负号，漏掉变号 典例：化简 。 错解：。 正解：括号前是”“号，去掉括号时括号内每一项都要变号：。 原因：符号处理失误。学生只把括号内的第一项 变了号，后面的 、 没有随之变号。去括号的关键是看括号前的符号：“”号时括号内每一项都变号，不能只变第一项。 易错点 4：合并同类项时把指数也相加 典例：计算 。 错解：。 正解：合并同类项时系数相加、字母连同它的指数不变：。 原因：法则记忆错误。学生把”系数相加”误记成了”系数相加、指数也相加”。合并同类项的实质是把同类项的系数相加，字母部分（含指数）完全不变；字母指数只有在同底数幂相乘时才相加。 易错点 5：列式时多项式整体忘加括号 典例：用整式表示”比 与 的和的 倍少 的数”。 错解：。 正解： 与 的和是 ，其 倍是 ，再少 得 。 原因：审题遗漏。学生把” 与 的和的 倍”错误理解成” 的 倍加 “。当”和、差”等整体作为被乘、被减对象时，必须先用括号把这个整体括起来，否则数量关系就变了。 易错点 6：求值时直接代入、不先化简，导致符号出错 典例：求 在 时的值。 错解：直接代入，且把 误算成 ：。 正解：先合并同类项：，再代 ：。 原因：方法意识缺失。学生没有养成”先化简、后代入”的习惯，直接把 代入原式，项数多、符号多，稍一疏忽就出错。整式加减求值应先去括号、合并同类项把式子化到最简，再代入计算，既快又不易错。 学科网（北京）股份有限公司 $