第三章代数式（期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

第三章 代数式　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 代数式 1.1 代数式的定义 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。单独的一个数或字母也是代数式。 示例：，，，，， 都是代数式；单独的数 、字母 也是代数式。 注意：这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方（开方将在以后学习）；代数式中不含等号、不等号。 1.2 代数式中乘号的写法 在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将数放在字母前，乘号写作”·“或省略不写。 示例： 可以写成 或 。 1.3 相同字母相乘写成幂 相同字母相乘，可以写成幂的形式。 示例： 写成 。 1.4 列代数式 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式。 示例：”， 两数的和与差的积”列式为 。 注意：在本套书中，如无特别说明，， 两数的差， 与 的差，都指”“。 2. 正比例关系与反比例关系 2.1 正比例关系 机器人能识别的范围与所用时间的比值总是一定的（等于 ），因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系。 示例：对于工程问题，当工作效率保持不变时，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系。 2.2 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。如果用字母 和 表示两个相关联的量，用 表示它们的积（ 是一个确定的值，且 ），反比例关系可以用 来表示。 示例：造雪总量 一定时，每天造雪量与造雪天数的乘积一定，它们成反比例关系。 3. 代数式的值 3.1 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。当字母取不同的数值时，代数式的值一般也不同。 示例：当 时，；当 时，。 3.2 用公式进行计算 有些同类事物中的数量关系常常可以用公式来描述。例如，在行程问题中，用 表示路程， 表示速度， 表示时间，就可以得到路程公式 ，它表示了路程、速度、时间这三个量之间的关系。 示例：已知 ，，则 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 奇数与偶数的表示 设 表示任意一个整数，则偶数可表示为 ，奇数可表示为 （或 ）。 1.2 多位数的表示 一个三位数，个位数字为 、十位数字为 、百位数字为 ，则这个三位数可表示为 。 1.3 单循环比赛的总场次 支球队进行单循环比赛（每两队之间都比赛一场），总场次为 。如 支球队赛 场， 支球队赛 场， 支球队赛 场。 1.4 连续整数、连续奇（偶）数的表示 连续整数可设 ，，；连续奇数或连续偶数可设 ，，。 1.5 增减率问题的一般表示 基量为 ，增加 后为 ，减少 后为 。如原价 元打九折为 元。 1.6 两个量成比例关系的判定 两个相关联的量，若它们的比值一定，则成正比例关系（可用 表示）；若它们的乘积一定，则成反比例关系（可用 表示）。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 列代数式的一般步骤 先弄清问题中的数量及其关系，再抓关键词确定运算、按运算顺序列式，最后检验所列式子是否符合题意。如” 与 的和的平方”先算”和”再平方，得 ，不能写成 。 2.2 说出代数式的意义 从运算顺序入手，先算的部分先叙述，再整体叙述。如 的意义是” 与 的和的 倍”， 的意义是” 的 倍与 的和”。 2.3 求代数式的值的规范格式 分三步：“当……时”（写条件）→ 代入（负数、分数加括号）→ 按运算顺序计算。如当 ， 时，。 2.4 判断正比例或反比例关系的方法 写出两个量的比值或乘积，看是否一定：比值一定成正比例，乘积一定成反比例。如路程一定时，速度与时间成反比例；工作效率一定时，工作量与时间成正比例。 3. 化简与运算小技巧 技巧 要点 示例 代入负数加括号 字母取负值时整体代入并加括号， 而 时 ，而 分数形式的符号 中 为负时，整个分式为负 ， 时 除法写成分数 含字母的式子中”除以”通常写成分数，分数线兼作括号 除以 写 ； 除以 写 打折与降价速算 打 折即乘 ，降价 元即减 原价 元九折为 ；标价 降价 元为 规律题的”第 项” 先看相邻两项的差或倍数，再用 表示一般规律 数列 ，，，，，……第 个数为 4. 常见考试模型 4.1 行程问题 公式：路程 速度 时间，即 ；由它得时间 ，速度 。 限定：速度、时间均为正数。 示例：全长 、速度 ，用时 ；提速到 后用时 ，早到 。 4.2 工程问题 公式：工作量 工作效率 工作时间；工作效率一定时工作量与时间成正比例，工作量一定时工作效率与时间成反比例。 限定：工作效率、工作时间均为正数。 示例：铺设长 的管道， 天完成，平均每天铺设 。 4.3 面积与体积问题 公式：正方形面积 ，长方形面积 ，三角形面积 ，梯形面积 ，圆面积 ；正方体体积 ，长方体体积 。 限定：各边长、半径为（正）数，结果带单位。 示例：长 、宽 的长方形面积为 ；边长为 的正方形面积为 。 4.4 销售（打折、利息）问题 公式：打 折后的售价 原价 ；现售价 标价 降价额；利息 本金 年利率 存期。 限定：售价、存期为正，折扣在 到 之间。 示例：进价 元，按 倍标价又降价 元，售价为 元；本金 元存 年、年利率 ，利息为 元。 4.5 规律探究问题 公式：数列看相邻两项的差或倍数；图形看每增一个图形所需数量增加多少。 限定： 为正整数。 示例：用火柴棍拼一排三角形， 个三角形用 根，每多 个多 根，拼 个三角形需 根。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：把”等式”当成代数式 典例：下列式子中，是代数式的有（　）个：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。 错解： 个，即①②③④⑤都是代数式。 正解： 个。代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，不含等号、不等号，故①③⑤是代数式；②是等式、④是不等式，都不是代数式。 原因：概念理解错误。学生把”含有字母的式子”与”代数式”混为一谈，忽略了代数式的本质是”用运算符号连接”，而”＝““＞”等是关系符号、不是运算符号。判断代数式只需看式子是否只含数、字母和运算符号。 易错点 2：列代数式时漏掉括号 典例：用代数式表示” 与 的和的平方”。 错解：。 正解：。 与 的和是一个整体，再平方须加括号。 原因：审题遗漏、运算顺序错误。“ 与 的和的平方”是”先求和、再平方”，平方作用在整个”和”上；学生把平方分别作用到 、 上。凡”和、差”参与乘、除、乘方等后续运算，都要先加括号。 易错点 3：求值时代入负数不加括号 典例：当 时，求代数式 的值。 错解：。 正解：。 原因：符号处理失误。 表示 ， 时应整体代入 ；写成 变成了” 的平方的相反数”。代入负数、分数都要加括号，防止负号提前或丢失。 易错点 4：正比例关系与反比例关系混淆 典例：三角形的面积一定，它的一条边的长与这条边上的高成什么比例关系？ 错解：成正比例关系。 正解：成反比例关系。三角形面积 底 高，面积一定时，底与高的乘积（等于面积的 倍）一定，所以成反比例关系。 原因：概念混淆。学生只记得”一个量变化、另一个量也变化”就判成正比例，没抓住判定依据：比值一定成正比例、乘积一定成反比例。判断时先写出两个量的比值或乘积，看哪个一定。 易错点 5：误判” 与 的差”的顺序 典例：用代数式表示” 与 的差”。 错解：。 正解：。在本套书中，如无特别说明，“ 与 的差”都指”“，即 是被减数、 是减数。 原因：审题疏忽、未掌握约定。学生未分清被减数与减数的先后顺序；只有题目明确写” 与 的差”时才写作 。列”差”“除以”等有序运算时，要看清是谁减谁、谁除以谁。 学科网（北京）股份有限公司 $