第二章有理数的运算（期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

第二章 有理数的运算　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 有理数的加法与减法 1.1 有理数加法法则 有理数加法法则： 1. 同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和。 1. 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差。互为相反数的两个数相加得 。 1. 一个数与 相加，仍得这个数。 示例：（同号相加）；（异号相加）；（与 相加）。 注意：两个有理数相加，和仍是一个有理数。 示例：。 1.2 加法交换律与结合律 在有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。 加法交换律：。 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 加法结合律：。 示例：。 1.3 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数。 有理数减法法则：。 示例：；。 注意：引入负数后，在有理数范围内，较小的数减去较大的数也能进行运算。 示例：。 1.4 加减混合运算 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。例如 。为书写简单，可以省略算式中的括号和加号，如把 写成 。 示例：。 2. 有理数的乘法与除法 2.1 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。任何数与 相乘，都得 。 有理数乘法法则也可以表示如下：设 ， 为正有理数， 为任意有理数，则 示例：；。 2.2 倒数 乘积是 的两个数互为倒数。 示例： 与 互为倒数，因为 。 2.3 乘法交换律、结合律与分配律 一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。 乘法交换律：。 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 乘法结合律：。 一般地，在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 分配律：。 示例：。 2.4 多个有理数相乘的符号法则 几个不为 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为 ，那么积为 。 示例： 中负的乘数有 个（奇数），积为负。 2.5 有理数除法法则 除以一个不等于 的数，等于乘这个数的倒数。 有理数除法法则：。 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 除以任何一个不等于 的数，都得 。 示例：；。 2.6 有理数与分数形式 一般地，根据有理数的除法，形如 （， 是整数，）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为 的分数）。这样，有理数就是形如 （， 是整数，）的数。 示例： 是有理数；整数 可写成 ，也是有理数。 3. 有理数的乘方 3.1 乘方的意义 一般地， 个相同的乘数 相乘，记作 ，读作” 的 次方”。 求 个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在 中， 叫作底数， 叫作指数，当 看作 的 次方的结果时，也可读作” 的 次幂”。 一个数可以看作这个数本身的 次方。 示例：，读作” 的平方”； 记作 。 3.2 幂的符号规律 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数， 的任何正整数次幂都是 。 示例：；。 注意： 与 不相等：，而 。 示例：。 3.3 有理数混合运算的顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 1. 同级运算，从左到右进行； 1. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 示例：。 3.4 科学记数法 把一个大于 的数表示成 的形式（其中 大于或等于 ，且小于 ， 是正整数），使用的是科学记数法。 示例：；。 注意：用科学记数法表示一个 位整数（）， 的指数是 。 示例：（ 位数，指数为 ）。 3.5 近似数 能确切地反映实际数量的数是准确数；只是接近实际数量、与实际数量还有差别的数是近似数。近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 示例：会议实际人数 是准确数；“约五百人”是精确到百位的近似数。 注意：按四舍五入法取近似数时，（精确到 ）与 （精确到 ）的精确度不同，不能把 末尾的 去掉。 示例：（精确到 ）。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相反数与倒数的基本关系 互为相反数的两个数之和为 ：；互为倒数的两个数（均不为 ）之积为 ：。利用这两个关系可快速求值。 1.2 一个数加正数、加负数的变化规律 任何一个数加上一个正数，和大于原数；加上一个负数，和小于原数；加上 ，和不变。 1.3 作差比较大小 对于任意两个有理数 ，：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 。 1.4 非零有理数的偶次幂 任何非零有理数的偶次幂都是正数。 的任何次幂都是 ； 的奇次幂是 ，偶次幂是 。 1.5 数轴上两点间的距离 数轴上点 （表示数 ）与点 （表示数 ）之间的距离为 。如表示 与 的两点距离为 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 有理数加法”先定符号，再定绝对值” 先根据”同号、异号、与 相加”判断和的符号，再求绝对值的和或差。如 ：同号取负号，。 2.2 有理数减法”转化为加法” 减去一个数等于加它的相反数，把减法统一成加法再算。如 。 2.3 加减混合运算三步法 先把减法统一为加法，再省略加号，最后用交换律、结合律把同号或凑整的数先相加。如 。 2.4 有理数混合运算顺序口诀 先乘方，后乘除，再加减；同级从左往右；有括号先算括号。计算前先整体扫一眼运算顺序，避免顺序错误。 2.5 简便运算常用技巧 技巧 要点 示例 凑整结合 把能凑成整数、整十、整百的数先相加 相反数相消 和为 的相反数对先结合 同分母结合 分数相加减时同分母先结合 先算 分配律逆向 逆向提公因式 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 负数比较大小 两个负数比较，绝对值大的反而小 ，因为 正负混合比较 正数大于 大于负数 多个数相乘先定符号 先数负号个数定积的符号，再乘绝对值 有 个负号，积为负， 乘除统一为乘 除法化为乘倒数，再定符号 4. 常见考试模型 4.1 温差（温度变化）模型 公式：温差 最高气温 最低气温；气温变化量 末温度 初温度（上升记正、下降记负）。 限定：结果的符号表示升温或降温，注意单位一致。 示例：如某天 到 ，温差 。 4.2 盈亏、收支模型 公式：记盈余（收入）为正、亏损（支出）为负，总盈亏 各笔正负数之和。 限定：结果为正表示盈余，为负表示亏损。 示例：如某店一周盈亏记作 、、、、、、 元，相加得 元，即盈利 元。 4.3 正负数表示相反意义的量 公式：规定一种意义的量为正，则与之相反意义的量为负（如向北为正、向南为负，上升为正、下降为负，进球为正、失球为负）。 限定：必须先规定正方向，正负号才有意义；求总位移（总结果）直接求各数的代数和，求总路程（总耗油）则取各数绝对值之和。 示例：如沿南北公路巡视，记向北为正，行车记录 、、、、、、、 相加得 ，即最终在出发地南侧 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：减法转化为加法时，减数的符号没有改变 典例：计算 。 错解：。 正解：减去一个数等于加这个数的相反数，。 原因：符号处理失误。学生把”减负数”误当成”加负数”，机械地保留了减号后面的负号，没有把 整体变成它的相反数 。根源是只记住了”减法变加法”这个形式，漏掉了”加相反数”的关键一步。纠正要点：减法转化为加法时，把减号和减数的符号合并为一个符号后再相加。 易错点 2： 与 底数混淆 典例：计算 。 错解：。 正解： 表示 的相反数，；而 。 原因：概念理解错误。学生没有分清底数是谁： 的底数是 （负号不在底数内）， 的底数是 。根源是对”底数、指数”的定义理解不到位，看到负号就默认它是底数的一部分。纠正要点：先看指数管到谁——括号内的整体才是底数，括号外的负号表示对整体取相反数。 易错点 3：异号两数相加，符号与绝对值处理错误 典例：计算 。 错解：。 正解：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：。 原因：概念理解错误。学生把”异号相加”误按”同号相加”处理，既取负号又把绝对值相加，混淆了加法法则的两条规则。根源是符号判断和绝对值运算两步没有分开：异号相加是”取较大绝对值的符号、用绝对值相减”，不是”绝对值相加”。纠正要点：先比较绝对值大小定符号，再决定绝对值的和还是差。 易错点 4：乘除同级运算没有从左到右进行 典例：计算 。 错解：。 正解：同级运算从左到右依次进行，。 原因：运算顺序错误。学生习惯先算后面的乘法，误以为”先乘后除”，跳过了”同级运算从左到右”的规则。根源是对混合运算顺序记忆不完整，只记得”先乘除后加减”，忘了乘除同级时要从左往右。纠正要点：乘除混合运算按从左到右的顺序逐步计算，或先把除法统一为乘法再一次性定符号。 易错点 5：科学记数法中 的范围错误 典例：用科学记数法表示 。 错解：。 正解：科学记数法要求 ，所以 。 原因：概念理解错误。学生只注意到”写成 的形式”，却忽略了 必须满足 这一限定，把 写成了 。根源是对科学记数法的定义条件记不全。纠正要点：先确定整数位数，把 的小数点放在最高位数字后面，指数等于整数位数减 。 易错点 6：近似数的精确度混淆 典例：按括号内的要求，用四舍五入法对 取近似数（精确到 ）与（精确到百分位）。 错解：精确到 得 ；精确到百分位也得 。 正解：精确到 得 ；精确到百分位（即精确到 ）得 。 原因：条件遗漏。学生把”精确到百分位”误认为与”精确到十分位”相同，还随意去掉了末尾的 ，忽略了 与 精确度不同。根源是不理解精确度的意义： 表示精确到 ，末尾的 属于有效表示，不能省略。纠正要点：看清精确位，保留到该位，末尾的 不能随意去掉。 学科网（北京）股份有限公司 $