专题7 解三角形（讲义）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 专题7 解三角形 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 解三角形 正弦定理边角互化、余弦定理求边 / 角、三角形面积计算 2026-26 简答 8 正弦定理判定直角三角形、勾股定理求边长 2025-23 简答 8 余弦定理求边长，等面积法求三角形边上的高 2024-25 简答 8 正弦定理多解取舍、大边对大角、三角形面积 2022-26 简答 8 命题轨迹透视： 解三角形为江西三校生对口升学高频核心考点，大多以解答题形式出现，分值 8 分，偶尔出现填空小题。主要围绕正弦定理、余弦定理、面积公式命题；高频考向为边角互化、正弦定理多解判断、利用等面积法求三角形边上的高。 1.（2026·江西·真题26）已知在 的三边分别为，且， （1）求 ； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及已知得， 即得，即，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即得， 即为，解得 ，所以， 因此. 2．（2025·江西·真题T23）在△中，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正弦定理易得，即可判断三角形是直角三角形，根据勾股定理即可求得b的值，结合三角形面积公式，继而求解. 【详解】因为在△中， ， 由正弦定理得， 所以△是直角三角形， 又，， 所以， 所以. 故答案为：. 3．（2024·江西·真题T25）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，C=60°. （1）求； （2）求AB边上的高. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)； (2)由余弦定理有：c2=a2+b2-2abcosC=32+22-2×3×2×=7，所以c=， 设AB边上的高为h，所以，故AB边上的高h=. 4.（2022·江西·真题T26）在中，角所对的边分别为，若. （1）求的大小；（2）若，，求的面积. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）在△ABC中，因为 = =2b，所以sinB=，因为0<B<π，所以B=或； （2）因为a=2，b=1，所以A>B，所以B=， 因为 = = =2b，即 =2，所以sinA=1， 因为0<A<π，所以A=，C=， 所以S△ABC=absinC=×2×1×=. 知识点 1 正弦定理 在△ABC 中，角 A,B,C 对边 a,b,c R：△ABC 外接圆半径 1、边角互化：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；sinA:sinB:sinC=a:b:c 2、内角关系：A+B+C=π，sin (A+B)=sinC，cos (A+B)=-cosC 3、大边对大角：a>b ⇔ A>B；正弦求角存在两解可能性，用大边对大角取舍。 知识点 2 余弦定理 1、变形求角：，其余同理。 2、适用场景：已知两边夹角、已知三边求角。 知识点 3 三角形面积公式 B 求边上的高（真题高频） 求 AB 边上高 h：，等面积法。 二轮速记解题套路（对应真题） 1、边角混合条件统一全部化为角； 2、已知两边一角求第三边，优先余弦定理； ，三角形内角有两解，用大边对大角排除多余解； 4、求三角形某条边上的高，优先使用等面积转换。 1. 使用正弦定理，由 sinA=1/2 这类条件求角，不要直接写唯一答案，三角形内角可能有两解，必须用大边对大角进行取舍。 2. 边角互化时等式各项要同步变换，不能只转换部分项；cos (A+B) 容易遗漏负号。 3. 余弦定理公式中为减号，切勿把 - 2bc cosA 错写为 + 2bc cosA；求出角要限定在三角形内角范围 (0,π)。 4. 面积公式中 1/2 ab sinC，角C 一定是 a,b 的夹角，不要随意套用；计算面积不要漏掉系数 1/2。 5. 求边上的高，优先等面积法，避免强行拆解直角三角形带来计算错误。 一、是非选择题 1．（25-26高三下·江西·三模）的角，，所对边分别为，，，若，则是钝角…………………（A B） 2．（25-26高三上·江西赣州·期末）在中，，则………（A B） 3．（2025高三·江西·专题练习）在中，若，则…………………（A B） 4．（2025高三·江西·专题练习）在中，，，，则…………………（A B） 5．（2025高三·江西·专题练习）在中，，，，则的形状是钝角三角形…………………（A B） 6．（25-26高二下·江西·期中）在中，，，，则………（A B） 二、单选题 7．（2025高三·江西·专题练习）在中，其内角的对边分别为，已知，，，则边长（    ） A． B． C． D． 8．（2025高三·江西·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025高三·江西·专题练习）记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·江西·专题练习）在中，，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·江西·专题练习）已知正方体中，分别为，的中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三·江西·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（ ） A． B． C．1 D．2 三、填空题 13．（24-25高二下·江西赣州·阶段检测）在中，，求的面积____________. 14．（2025高三·江西·专题练习）在中，若，则的长为___________. 15．（24-25高二下·江西·期中）在中，已知，，，则________. 16．（2025高三·江西·专题练习）在中，已知，，，则__________. 17．（2025高三·江西·专题练习）在中，，，的外接圆半径为，则边c的长__________. 18．（2025高三·江西·专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，且，则的面积为__________． 四、解答题 19．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 20．（25-26高二下·江西·期中）在中，、、所对的边分别为、、，若.求： (1)求的大小； (2)若，，求的面积. 21．（25-26高三下·江西·二模）在中，角，，所对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 22．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，角的对边分别是，且． (1)若，试判断△ABC的形状； (2)若，求的面积. 23．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，已知，，． (1)求角A； (2)求的面积． 24．（25-26高三·江西·模拟预测）在中，内角对应的边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的值 参考答案： 1．A 【分析】根据余弦定理，结合已知条件判断的正负，进而判断对错. 【详解】根据余弦定理， 在中，， 若， 在中，已知， 则， 又因为，则， 即为钝角. 故答案为：A 2．B 【分析】使用余弦定理来计算的长度. 【详解】在中，，，， 根据余弦定理有： ， 可得，而不是，所以该命题错误. 故答案为：B. 3．A 【分析】根据余弦定理易得答案. 【详解】由余弦定理可得， 即，因为，解得. 故答案为：A. 4．A 【分析】根据余弦定理易得答案. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得，即， 解得或（舍）， 故答案为：A. 5．A 【分析】根据余弦定理易得答案. 【详解】在中，由余弦定理以及，，， 可知：，故为钝角，因此是钝角三角形. 故答案为：A. 6．B 【分析】根据同角三角函数的关系以及三角形面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故答案为：B. 7．C 【分析】根据正弦定理易得答案. 【详解】因为在中，，， 所以， 由正弦定理得. 故选：C. 8．B 【分析】根据余弦定理易得答案. 【详解】由余弦定理得， 又， 则， 解得，又，所以. 故选：B. 9．B 【分析】根据正弦定理和两角和与差的正弦公式易得答案. 【详解】由，则， 由正弦定理得， 所以， 化简得， 即，解得， 所以，即. 故选：B. 10．D 【分析】根据正弦定理易得答案. 【详解】因为，，，， 由正弦定理得， 所以，即. 故选：D. 11．C 【分析】首先找出异面直线所成角为，再由余弦定理求值即可. 【详解】如图所示，取的中点，连接，， 因为为正方体， 所以，则（或其补角）为直线与所成角， 设，则，， 因为平面，平面，， 且 所以， 同理，平面，平面， 所以，， 由余弦定理得， 即直线与所成角的余弦值为， 故选：C． 12．C 【分析】根据余弦定理和三角形的面积公式求解. 【详解】因为，结合余弦定理， 所以，所以， 所以的面积为， 故选：C. 13． 【分析】利用三角形面积公式即可得解. 【详解】因为在中，， 所以的面积为. 故答案为：. 14． 【分析】利用余弦定理，即可求解. 【详解】由余弦定理， 即，解得. 故答案为：． 15．6 【分析】利用正弦定理即可得解. 【详解】因为在中，已知，，， 所以由，得. 故答案为：6. 16．或 【分析】根据正弦定理求值即可. 【详解】已知，，， 由正弦定理可得，， 因为，则，故或， 故答案为：或． 17． 【分析】利用三角形的面积公式结合已知条件列式求出，根据正弦定理即可求解. 【详解】因为在中，，，解得， 又因为的外接圆半径为， 由正弦定理得，解得：. 故答案为：. 18． 【分析】根据同角三角函数的关系式及三角形面积公式计算易得答案. 【详解】在中，，且， 所以， 故的面积为， 故答案为：. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合诱导公式，三角形的性质即可求解. （2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理，可得， 则， 因为，，即，所以. （2）因为， 由余弦定理可得， 解得，所以的面积为. 20．(1)或. (2). 【分析】（）根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. （）根据三角形的性质确定，利用正弦定理求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）在中，因为，又，则， 所以，因为， 所以或. （2）因为，，则，所以，即， 因为，即，则， 因为，所以，， 所以. 21．(1) (2) 【分析】（）解法一：利用同角三角函数基本关系式求出，应用正弦定理求出值，代入余弦定理求出值，结合三角形的性质即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，应用诱导公式求出，代入正弦定理即可得解. （）解法一：根据诱导公式及两角和的余弦公式即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，根据余弦函数及三角形的性质得到即可得解. 【详解】（1）解法一：在中，角，，所对边分别为，，， . 由正弦定理得，即，解得. 根据余弦定理知， 即，整理得. 解得或，由于，所以，即， 表明，是的最大边，因此. 解法二：在中，角，，所对边分别为，，， . 则， 由正弦定理得，则. （2）解法一： . 解法二： ， 由于，所以，即， 表明，因此. 22．(1)直角三角形 (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）根据余弦定理结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，则，又因为， 所以，解得. 因为，所以，故 为直角三角形. （2）因为，，则 . 解得，所以的面积 23．(1)或 (2)或 【分析】（1）根据正弦定理求出角，再根据三角形内角和求出角， （2）根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】（1）由得：， 因为为三角形内角，则， 又因为，所以，从而， 所以或，而， 当时，， 当时，， 所以或． （2）当时，， 当时，， 所以的面积为或． 24．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及角的范围进行求解即可. （2）根据（1）问的结果以及余弦定理求解即可. 【详解】（1）在中，设三角形外接圆的半径为，由正弦定理得， 因为，代入化简得. 因为，所以，所以. 又因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数据解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $