专题6 三角函数的图像与性质 （讲义）-2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年江西省（三校生对口升学）《数学二轮讲练测》 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角函数的图象与性质 正弦型函数图像平移 2026T06 判断 3 正弦型函数解析式、最值 2025T24 简答 8 正弦型函数图像平移 2025T07 判断 3 三角函数周期 2025T12 单选 5 求三角函数解析式/周期/函数值 2023T25 简答 8 余弦型函数图像平移 2022T10 判断 3 正弦型函数对称轴 2022T12 单选 5 三角函数奇偶性 2022T24 简答 8 专题6 三角函数的图象与性质 命题轨迹透视： 高频考查正弦型函数 y=Asin (ωx+φ) 图像变换、周期、解析式求解、最值；题型覆盖是非判断题、单选、填空、解答大题；解答题多为 8分，以图像求解析式 + 最值或周期为固定考法。 1.（2026·江西·真题T06）将函数图像向右平移个单位后得到函数的图像… ................................................................................................................................................................…（A B） 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式和图像的平移变换求解即可. 【详解】将函数图像向右平移个单位，即得， 故答案为：B. 2.（2025·江西·真题T25）已知正弦函数（，）的一部分图像如图所示.    (1)求此正弦函数的解析式； (2)求此函数的最小值及取得最小值时的集合. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意，结合正弦函数的最值可求得A的值，结合函数的最小正周期可求得的值，将点代入函数解析式，即可求得的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得最值，及对应x的取值集合. 【详解】（1）由图像可知，，最小正周期， 解得； 所以函数解析式为， 将点代入函数解析式为， 所以，即， 解得， 又，所以， 所以正弦函数解析式为； （2）由（1）知，正弦函数解析式为， 所以当时，函数取得最小值，即， 此时，解得， 即函数最小值为，取得最小值时对应x的取值集合为. 3.（2025·江西·真题T07）将曲线向左平移个单位，所得曲线为……（A B） 【答案】B 【分析】利用三角函数的平移规则即可得解. 【详解】将曲线向左平移个单位， 可以得到曲线的图象， 与题干中的图象不一致，故该说法错误. 故答案为：B. 4.（2025·江西·真题T12）函数的最小正周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合余弦函数的周期性，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：C. 5.（2023·江西·真题T25）已知函数（>0，）的部分图象如图所示. （1）求函数的最小正周期； （2）求的值. 【答案】（1）π；（2）. 【解析】（1）由图象知T=2×()=π； （2）∵T=π，∴ω===2，∴f(x)=sin(2x+φ)， 将(,0)代入，得sin(+φ)=0，∴+φ=2kπ（k∈Z），即φ=+2kπ（k∈Z）， 又∵|φ|<，∴φ=，∴f(x)=sin(2x)，∴f()=sin(2×-)=sin()=. 6.（2022·江西·真题T10）将曲线右移个单位，可得到............…（A B） 【答案】A 【解析】将曲线右移个单位可得. 故答案为：A. 7.（2022·江西·真题T12）函数的对称轴可能是…………………………………（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令2x+ = +kπ,k∈Z，得x=+,k∈Z，当k=0时，对称轴为x=.故选A. 8.（2022·江西·真题T21）函数的最小正周期是 . 【答案】π. 【解析】因为f(x)=sin(π+x)cosx=-sinxcosx=-sin2x，所以T= =π. 9.（2022·江西·真题T24）函数为偶函数的充要条件是____________. 【答案】a=0. 【解析】若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)， 因为f(-x)===，f(x)=， 所以=，解得a=0， 反之，若a=0，则f(x)=，易知f(x)为偶函数， 所以函数f(x)=为偶函数的充要条件为a=0. 知识点 1 图像平移变换 函数左右平移仅对 x 本身做加减，要提取 ω： y=Asin (ωx+φ) 向右平移 m 个单位：y=Asin [ω(x‑m)+φ] y=Asin (ωx+φ) 向左平移 m 个单位：y=Asin [ω(x+m)+φ] 知识点 2 周期计算 1. y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)：T=2π/|ω| 2. y=Atan(ωx+φ)：T=π/|ω| 复杂函数先利用诱导公式、二倍角公式化简，再计算周期。 知识点 3 正弦型函数 y=Asin (ωx+φ) 解析式求解 1. A：由图像最值，A=|y_max| 2. T：由图像零点、极值点横坐标差求周期；ω=2π/T 3. φ：代入图像已知点，结合 |φ|<π/2 约束求出初相。 知识点 4 对称轴、最值 1. 对称轴：ωx+φ=π/2 +kπ (k∈Z)，解出 x； 2. 最大值：ωx+φ=π/2 +2kπ (k∈Z)，y_max=A； 3. 最小值：ωx+φ=‑π/2 +2kπ (k∈Z)，y_min=‑A； 求取最值对应的 x，结果写成集合形式。 知识点 5 三角函数奇偶性 1. y=Asinωx：奇函数；y=Acosωx：偶函数； 2. y=Asin (ωx+φ) 为偶函数，则 φ=π/2 +kπ； 3. y=Acos (ωx+φ) 为奇函数，则 φ=π/2 +kπ。 1. 平移："左加右减"只对 x 本身，必须先把 ω 提出来（y=sin2x 右移 π/6 得 sin(2x-π/3)，不是 sin(2x-π/6)）；先平移后伸缩与先伸缩后平移顺序不同，勿混；左右平移变 x，上下平移变整体。 2. 求解析式：图像有上下平移时 A=(ymax-ymin)/2，不能把 ymax 直接当 A；由相邻最高点横坐标差=T、相邻零点横坐标差=T/2 先定 T，再算 ω=2π/T；代点求 φ 优先用最值点，代零点要分清上升零点（2kπ）与下降零点（π+2kπ）；最后按 |φ|<π/2 筛选并代回检验。 3. 对称轴与最值：对称轴 ωx+φ=π/2+kπ（间隔 π），最大值点 ωx+φ=π/2+2kπ、最小值点 ωx+φ=-π/2+2kπ（间隔 2π），kπ 与 2kπ 勿混；解出的是 x，最后一步要除以 ω，结果写集合 {x|x=…, k∈Z} 并注明 k∈Z；cos 型最值点在 ωx+φ=2kπ（最大）、π+2kπ（最小），勿照搬正弦。 4、图像判断题，同一道题目里面底数 a 必须统一，指数、对数函数同增或者同减。 一、是非选择题 1．（25-26高二下·江西·期中）的周期为................................…（A B） 2．（2025高三·江西·专题练习）为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度................................…（A B） 3．（2025高三·江西·练习）函数的最小正周期和最大值分别是和2...........…（A B） 4．（2025高三·江西·专题练习）函数在上的值域为.......…（A B） 二、单选题 5．（2025高三·江西·专题练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·江西·期末）函数，的图像如图所示，则下列命题正确的个数是（    ）    ①函数的定义域为     ②函数的值域为 ③函数是奇函数     ④函数在上是减函数 A． B． C． D． 7．（25-26高三下·江西·模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·江西·模拟预测）函数的最小正周期及最大值为（   ） A．和1 B．和 C．和2 D．和 9．（25-26高三下·江西·模拟预测）将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高三·江西·专题练习）已知，把的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，得到的函数图象，则（    ） A．图象的对称轴为 B．图象的对称轴为且为奇函数 C．图象的对称轴为且为奇函数 D．图象的对称轴为 11．（2025高三·江西·专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三·江西·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的值分别是（     ）    A． B． C． D． 三、填空题 13．（23-24高三上·江西萍乡·一模）将函数的图像向左平移个单位，横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，图像再向上平移1个单位，得到函数y=f(x)图像，则y=f(x)函数解析式为_______ . 14．（24-25高二下·江西·期中）已知函数（，）的最小值为，最小正周期为，则函数________． 15．（23-24高三下·江西·模拟预测）如图所示是函数的部分图像，则该函数的解析式是____________． 16．（2025高三·江西·专题练习）函数的图象向右平移得到函数的图象，则在上的增区间为___________. 四、解答题 17．（25-26高三下·江西·三模）已知函数的部分图像如图所示．    (1)求与的值； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 18．（24-25高二下·江西抚州·期中）已知函数（其中，）的最小正周期为.求： (1)； (2)； (3)的最大值，并指出当为何值时，函数取得最大值. 19．（24-25高二下·江西·期中）设函数（），． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最大值． 20．（2025高三·江西·专题练习）已知函数． (1)求函数的单调区间及取得最大、最小值时自变量的集合； (2)判断函数的奇偶性． 21．（24-25高三下·江西·二模）已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域。 参考答案： 1．A 【分析】根据三角函数的周期公式求解. 【详解】的周期为. 故答案为：A. 2．B 【分析】根据余弦型函数的图像平移易得答案. 【详解】， 则为得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点向右平移个单位长度， 故答案为：B. 3．B 【分析】根据指数函数的单调性易得答案. 【详解】， 的最小正周期为，最大值为. 故答案为：B. 4．A 【分析】根据正弦型函数的性质易得答案. 【详解】当时，， 当时，即 时，取最大值1， 当，即 时，取最小值大于 ， 故值域为. 故答案为：A. 5．D 【分析】根据三角函数的周期公式及振幅、初相的概念易得答案. 【详解】函数的周期；振幅为；初相为， 故选：D. 6．C 【分析】根据正弦函数及其性质分析求解即可. 【详解】函数，，由图象可知， 函数的定义域为，①错误；函数的值域为， ②正确； 函数的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，③错误；函数在上是减函数， ④正确． 故选：． 7．D 【分析】根据正弦型函数的最小正周期的公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期. 故选：D. 8．C 【分析】利用辅助角公式，将函数转化为正弦型函数，由根据三角函数的性质即可求出其最小正周期和最大值. 【详解】因为 所以，函数最大值为2． 故选：C 9．B 【分析】根据图像的平移变换规律，结合正弦型函数的对称性即可求解. 【详解】将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像， 则， 由得：，即， 当时，对称轴为，所以函数的一条对称轴方程是. 故选：B. 10．A 【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案. 【详解】已知，把的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍， 纵坐标不变，可得， 再向右平移个单位，得到， 令得. 所以图象的对称轴为. 故选：A. 11．B 【分析】根据三角函数的图像以及平移规律求解即可. 【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为； 由函数的图象关于轴对称，所以， 即，因为，所以当时，取到最小值. 故选：B. 12．A 【分析】根据三角函数的图像以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】由图像知，，所以，所以. 即函数的解析式为. 将点代入其解析式可得：，即. 又因为，所以． 故选：A． 13． 【分析】根据正弦型函数图像的性质，逐步变换得到最终函数解析式. 【详解】根据题目所给步骤，第一步将函数的图像向左平移个单位，函数变为， 第二步，横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，函数变为， 第三步，再向上平移1个单位，函数变为. 最终得到函数为. 故答案为: . 14． 【分析】根据正弦函数的最值确定的值，再由周期公式确定的值即可. 【详解】已知函数的最小值为， 且，则， 由最小正周期为，，可得，解得， 所以， 故答案为：. 15． 【分析】根据图像可知最值和周期由此确定的值，再将点代入解析式确定的值即可. 【详解】由图可知，函数的最大值为，最小值为，所以， 因为，所以，即，解得， 则函数解析式为， 又由图可知，点在图像上， 所以，即， 所以，即， 因为，所以， 即函数解析式为， 故答案为：. 16． 【分析】可先将原函数化简，再根据函数图象平移规律得到的表达式，最后根据正弦函数的单调性求出在上的增区间. 【详解】，将其图像向右平移， 则， 由， 解得， 结合，可得， 所以在上的增区间为， 故答案为：. 17．(1)， (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）通过分析图像中的关键点坐标，根据正弦函数的最值和最小正周期，即可求解； （2）根据正弦函数的单调性，在定区间即可求解最大值与最小值. 【详解】（1）由图可知，函数的最高点纵坐标为1， 又因为，则； 观察图像，． （2）根据（1）知， 当时，， 令，则， 函数在单调递增，在单调递减， 当时，函数 ，取得最大值， 当时，函数， 当时，函数， ， 所以函数的最小值为. 即在区间上的最大值为1，最小值为． 18．(1)2 (2) (3)时，函数取得最大值，最大值为2 【分析】（1）利用辅助角公式、特殊角的三角函数值和周期公式化简求解即可； （2）将代入到第（1）问化简后的函数解析式，求解即可； （3）根据正弦型函数的性质分析求解即可. 【详解】（1） ， 又因为的最小正周期为， 所以. （2）由（1）知， 所以 . （3）由正弦型函数的性质可知， 当，即时， 函数取得最大值，此时， 所以最大值为2. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数的和角公式，二倍角公式和辅助角公式，化简式子进而得到最小正周期； （2）首先确定的范围，再确定函数的最大值. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）由可得， 因此当即时，函数取得最大值. 20．(1)答案见解析 (2)奇函数 【分析】（1）利用诱导公式化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质求解； （2）根据函数的奇偶性的定义判断. 【详解】（1）， 令，，即，， 令，，即，， 故函数的单调递增区间为， 单调递减区间为， 令，，即，时，函数取得最大值； 令，，即，时，函数取得最小值， 所以函数取得最大值时自变量的集合是， 函数取得最小值时自变量的集合是. （2）函数的定义域为R，记， ， 故函数为奇函数． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据图形先求,再代入点求，得到函数的解析式. （2）根据（1）的解析式以及正弦函数的值域求解. 【详解】（1）根据图像得，最大值为2，所以. 周期T满足，即周期，解得. 则. 因为，所以. 又因为，所以. 进而函数. （2）当，则当，即时，. 当，即时，. 所以函数在上的值域为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $