重难点21 立体几何中的截面、交线问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点21 立体几何中的截面、交线问题 【全国通用】 【题型1 截面图形的形状判断】 3 【题型2 截面图形的周长或面积问题】 6 【题型3 球的截面问题】 10 【题型4 截面切割几何体的体积、表面积问题】 13 【题型5 交线的长度、轨迹问题】 16 【题型6 截面的最值与范围问题】 20 1、立体几何中的截面、交线问题 立体几何中的“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力。 从近三年的高考情况来看，立体几何中的截面、交线问题主要有两大考查方向，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解；二是利用空间向量的坐标运算求解；复习时要加强这方面的训练。 考点1 立体几何中的截面、交线问题 知识点1 立体几何中的截面问题 1．截面问题的基本知识 (1)截面的相关定义 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. (2)作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面. 2．作截面的具体步骤 (1)找截点：方法一：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式；方法二：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点； (2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线； (3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面. 3．作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 4．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 知识点2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略 1．立体几何截面问题的求解方法 (1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解. (2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解. 2．截面、交线问题的解题策略 (1)作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 【题型1 截面图形的形状判断】 【例1】（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，取的中点，的中点，的中点，证明都在平面内，由此可得结论. 【解答过程】因为多面体 正方体，所以，，， 如图：以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 取的中点，的中点，的中点， 可得，，， 所以，，， 因为，，， 所以点都在平面内， 连接， 所以过点的正方体的截面为六边形， 故选：A. 【变式1-1】（2026·广东深圳·二模）已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【解题思路】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状. 【解答过程】连接， 因为平面，平面， 所以， 又四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 同理可证明， 因为，平面， 故平面， 故平面即为平面， 则截该正方体所得截面的形状为三角形. 故选：A. 【变式1-2】（2026·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解题思路】延长BC，与两条棱相交，再连接交点和点A即可得到结果. 【解答过程】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面.    故选：C. 【变式1-3】（2026·广东中山·模拟预测）若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【解题思路】由题意分析得截面与棱的交点应在相邻的三条棱上，作出可能的图后逐个分析，特殊①恰好经过三个顶点；②恰好经过两个顶点；③与三条棱都交于任意点，设交点到顶点的距离分别为，由勾股定理定理表示出三角形三边，然后利用余弦定理得到三角形内角的范围. 【解答过程】一个平面截正方体要使其截面为三角形，则与棱的交点应在相邻的三条棱上． ①如图1，当三个交点恰好在正方体的顶点处，则为等边三角形； ②如图2，在①基础上将其中一个顶点沿棱平移，则可能产生等腰三角形； ③如图3，一般情形下，设交点到同一个顶点的距离分别为， 利用勾股定理可知截面三角形的三边长分别为，，， 利用余弦定理知其中一个角的余弦值大小为， 所以该角为锐角，同理其余角也为锐角，所以该三角形为锐角三角形， 不可能为直角三角形． 故选：C． 【题型2 截面图形的周长或面积问题】 【例2】（2026·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【解答过程】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B. 【变式2-1】（2026·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【解答过程】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 【变式2-2】（2026·湖南常德·一模）已知正方体的棱长为2，点分别是正方形和的中心，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面周长即可. 【解答过程】正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，且，则， 显然点M在平面与平面的交线上， 设为这条交线上任意一点，则， 而平面，则，即， 令，得点，令，得点， 连，平面与平面必相交， 设为这条交线上任意一点，则， 由，即， 令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点，与直线平行， 过作交于，则， 由得，即， 显然平面与平面都相交，则平面与直线相交， 令交点为，，由得， 连接得截面五边形， 则， 所以截面五边形的周长为. 故选：A. 【变式2-3】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取的中点，由，证得，再由平面，证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积，得到答案. 【解答过程】如图所示， 取的中点，分别连接， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以，， 因为，所以，所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为且平面，所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的面积为. 故选：D. 【题型3 球的截面问题】 【例3】（2026·云南曲靖·模拟预测）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知，得到正方体外接球的半径，进而得到正方体的棱长，再由勾股定理计算出平面截球的截面圆的半径，即可得到截面面积. 【解答过程】    设正方体外接球的半径为，棱长为， 因为正方体外接球的体积为， 所以，则， 由，得， 设球心到平面的距离为，平面截球的截面圆的半径为， 设到平面的距离为, 因为、、分别为棱的中点， 所以是边长为的正三角形, 由,得, 则, 解得,又, 所以到平面的距离为， 则， ， 所以平面截球的截面面积为，. 故选：A. 【变式3-1】（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【解答过程】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． 故选：A. 【变式3-2】（2026·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】方法一,根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值; 方法二, 根据题意可得在的外接圆上，即可的球为四棱锥的外接球，进而求解截面圆的最小值. 【解答过程】方法一：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故球心在正方形的中心，则球的半径为． 过作球的截面，当所得截面圆面积最小时， 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 方法二：因为，所以点在的外接圆上， 所以三棱锥的四个顶点均在球上， 即球为四棱锥的外接球， 故两点在球上，所以最小截面圆为以为直径的圆． 则截面圆圆心为中点（即过作截面垂线，垂足为中点）， 所以截面圆半径为1，所以面积最小值为． 故选：B. 【变式3-3】（2026·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果. 【解答过程】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 【题型4 截面切割几何体的体积、表面积问题】 【例4】（2026·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用锥体体积及柱体体积公式结合图形特征计算求解即可. 【解答过程】设三棱柱的体积为，因为侧棱上各有一动点， 满足，所以四边形与四边形的面积相等， 故四棱锥的体积等于三棱柱的体积的，即， 则几何体的体积等于， 故过的截面将三棱柱分成上，下两个部分的体积之比为或. 故选：A. 【变式4-1】（2026·河北·模拟预测）过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系． 【解答过程】设截面圆半径为r，圆锥的高为h，圆锥的体积为,则圆台下底面圆的半径为2r，圆台的高为h，圆台的体积为， 所以，， 可得. 故选：D. 【变式4-2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间中立方体与平面相交的情况，做出的截面形状，求出所截得的部分体积，作比求出结果. 【解答过程】 如图所示，延长相较于，连接，交于，相同方法，做出， 则五边形为截面， 不妨设正方体棱长为1， 则，所以，在，所以. 同理可得， 可知截得较小部分体积，边长代入得， 较大部分体积为，立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为. 故选：C. 【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意可得，由此可求出，，进而求解. 【解答过程】如图，延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得， 在各棱长均为1的正三棱柱中，， 因为，，，，， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：B. 【题型5 交线的长度、轨迹问题】 【例5】（2026·广东湛江·二模）已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据长度关系分析可知球面与表面没有公共点，且与表面，的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧，即可得结果. 【解答过程】因为正方体的棱长为，则表面上的点到点A的最大距离为， 所以以顶点A为球心，为半径的球的球面与这三个表面没有公共点． 如图，若球面与表面的公共点为P， 因为，则， 由，可得，同理可得，则， 可知P的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆与表面的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧， 同理可得球面与表面的交线也都是圆心角为，半径为2的圆弧， 所以交线总长为． 故选：B. 【变式5-1】（2026·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得、、两两垂直，即以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为，圆心角为的弧，借助弧长公式计算即可得. 【解答过程】取中点，连接、，则有，， 又，、平面，故平面， 又平面，故，又， ，、平面，故平面， 又、平面，故，， 由正三棱锥的性质可得、、两两垂直， 故，即以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为： ，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为. 故选：C.    【变式5-2】（2026·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解题思路】取AB，CD的中点E，F，连结E，F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可. 【解答过程】如图所示， 分别取的中点，连结E，F， 则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O， 所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1， 则由勾股定理可得， 所以在等腰三角形FAB中： ． 故选：A． 【变式5-3】（2026·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【解答过程】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得，则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为． 故选：D．    【题型6 截面的最值与范围问题】 【例6】（2026·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】过作，交于，连接，取的中点，连接，可得平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形，根据边长关系求出梯形的面积即可得到答案. 【解答过程】直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，所以，解得， 过作，交于，连接，取的中点，连接，    设 ， ①当时，平面BDE截直三棱柱所得的截面为正方形，面积为， ②当时，因为，，所以四边形为平行四边形，则，， 因为，分别为，的中点，所以，， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，且， 则，，即平面BDE截直三棱柱所得的截面为梯形 在中，，，，则， 在中，，，，则， 在中，，，，则，则 过作垂足为，过作垂足为，所得平面图形如下：    则，，，， 设，则 所以，，因为， 化简可得：，则， 所以， 因为当，所以，则， 综上，平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的范围为 故选：A. 【变式6-1】（2026·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出三棱锥外接球的半径，取的中点，当垂直截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解. 【解答过程】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 【变式6-2】（2026·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【解答过程】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 在长方体中，，所以， 所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式6-3】（2026·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（    ） A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值 C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是 【答案】D 【解题思路】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断A；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断BC；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断D. 【解答过程】对于A，当平面过或时，截面为三角形. 易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时， 由对称性可知，此时平面与交于点，且， 此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足， 且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误；    对于BC，设，由余弦定理得， ， 由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和， 当三点共线时取得最小值， 由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值， 所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误； 对于D，记与的交点为，由对称性，， 所以，， 因为， 所以，所以， 记， 则， 因为， 所以 ， 由二次函数性质可知，，即， 所以，故D正确； 故选：D. 一、单选题 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 【答案】A 【解题思路】作出正方体的截面图形，求出周长即可. 【解答过程】    如图，取AB的中点G，连接GE，，． 因为E为BC的中点，所以，， 又，， 所以四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以用过点，E，的平面截正方体，所得截面为梯形， 其周长为． 故选：A． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据中截面性质得出圆柱的高和底面半径，然后由圆锥体积减去圆柱体积即得. 【解答过程】如图，过OP的中点作平行于底面的截面，截面圆半径， 是圆锥底面半径，在母线上， 因为为中点，则，， 所以剩余的几何体的体积为. 故选：B. 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出球的半径，再根据直四棱柱的性质，求出圆心到侧面的距离，进而求出截面半径，最后根据弧长公式求解． 【解答过程】球的表面积， ， 设，底面为菱形， 是等边三角形，则菱形面积， 直四棱柱的体积，解得， 取的中点，连接， 是等边三角形， ， 直四棱柱中底面，， 侧面， 侧面，则，即为点到侧面的距离， 球面与平面的交线为圆，设截面半径为，由球的截面的性质可得， 截面圆的圆心为，半径为4，如下图所示， ， 为等边三角形，故， 交线长度，故D正确． 故选：D． 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作的高 连接，利用截面三角形的面积，求出底面棱长以及侧棱长，利用棱柱侧面积公式即可求解. 【解答过程】因为这个三棱柱是正三棱柱，所以是正三角形，且所在直线与所在的平面垂直，则,如图：    作的高CE，连接DE，则平面，而平面，所以， 所以是二面角 的平面角，，，， 用S表示的面积，则，， ， ， 因为点是棱柱所在侧棱的中点，所以侧棱长为， 所以正三棱柱的侧面积为， 故选：C. 5．（2026·海南三亚·一模）有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等边三角形的几何性质分析球的半径以及圆台的结构特征，结合体积公式运算求解即可. 【解答过程】如图，为的中点，，    则等边的内切圆O的半径，，， 可知圆台的上、下底面半径分别为，高为， 所以该几何体的体积为. 故选：B. 6．（2026·广东广州·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，画出图形，设分别为的中点，连接，由题意可知球不与侧面及侧面相交，球与侧面交于点，与侧面交于点，然后分别判断与其余4个面的交线，求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和即可 【解答过程】因为球的半径为6，，所以球不与侧面及侧面相交， 设分别为的中点，连接， 则由题意可得， 所以， 所以球与侧面交于点，与侧面交于点， 在正六边形中，因为，所以， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，所以平面，且， 所以， 所以球与侧面的交线是以为直径的半圆， 同理可得球与侧面的交线是以为直径的半圆， 因为，所以球与上下底面的交线均为个半径为的圆， 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为 故选：D.    7．（2026·山东日照·二模）已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，设，由得出相应的结论，即可得出点构成的平面截正四面体所得的截面图形求出图形的周长即可. 【解答过程】将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设，则 ， 所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为， 故截面周长为. 故选：C. 8．（2026·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解. 【解答过程】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B. 二、多选题 9．（2026·安徽·一模）如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（    ） A．圆台的体积为 B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为 【答案】ABD 【解题思路】求出圆台的高，根据体积公式可得选项A正确；把圆台补成圆锥，根据母线与平面所成的角最大可得选项B正确；利用两条母线所在直线夹角为时截面面积最大可得选项C错误；找出过三点的平面与圆台下底面的交线，结合垂径定理可得选项D正确. 【解答过程】A.∵，∴圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为， ∴圆台的高， ∴圆台的体积，A正确. B.由，，得，由得，. 如图，将圆台补成圆锥，顶点记为，底面圆的圆心记为，连接， ∵为圆弧的中点，∴. ∵平面，平面，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面， 此时母线所在直线与平面所成的角最大，最大为，，B正确. C.由得，，∴， 当两条母线所在直线夹角为时，截面面积最大，最大值为，C错误. D.如图，在梯形中，连接并延长交的延长线于点，连接交底面圆于点，则为截面与底面圆的交线. 由得，，，∴，， 取中点，则， ∴，D正确. 故选：ABD. 10．（2026·辽宁·模拟预测）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ） A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】作出平面截三棱锥所得截面，求其面积，判断A的真假；利用体积法求三棱锥的内切球半径，再求其表面积，判断B的真假；求点的轨迹，求其轨迹的长度，判断C的真假；确定点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆半径的最小值，可得截面面积的最小值，判断 D的真假. 【解答过程】因为平面平面PBC，且平面平面， 过作 交于，则平面， 同理过作，分别交，于点，，过作交于，连接，则为平面截三棱锥所得的截面． 由题意，得 ，且，所以， 所以，故A正确； 因为，，所以. 设三棱锥的内切球的半径为， 由等积法得，解得， 故其表面积为，故B错误； 过作平面的垂线，垂足为，连接，则为的重心， 且，所以 ， 所以点Q的轨迹是以K为圆心，以2为半径的圆在△PBC内的部分（三段弧）， 因为每段弧的圆心角均为，故点Q的轨迹长为，故C正确； 设三棱锥的外接球的半径为，球心为， 所以， 当截面与垂直时，所得的截面圆的面积最小， 因为， 此时截面圆的半径为， 故截面面积为，故D正确． 故选：ACD. 11．（2026·江苏泰州·二模）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（    ） A．勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值大于3 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体四个曲面交线长的和为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 【答案】AD 【解题思路】求出过正四面体相对棱中点的勒洛四面体的弦长判断A；作出截面，利用扇形面积与三角形面积公式求解B；利用弧长公式求出四个曲面交线长判断C；借助正四面体求出勒洛四面体内切球半径判断D. 【解答过程】对于A，分别为正四面体的棱的中点，连接并延长交勒洛四面体的曲面于点， ，则等腰的高， 等腰的高， 由对称性知，，则， 而勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值不小于长，A正确； 对于B，勒洛四面体被平面截得的截面是3个弓形加上， 面积为，B错误； 对于C，由对称性知，勒洛四面体四个曲面的每条交线长相等， 其中交线所在圆的圆心在以中点为圆心，则该圆半径， 由余弦定理得，， 因此勒洛四面体四个曲面交线长的和为，C错误； 对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径即为该四面体内切球半径， 由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，    正外接圆半径，正四面体的高， 令正四面体的外接球半径为，在中，，解得， 取正四面体中心为，连接交平面于点，交曲面于点， 其中即为正四面体外接球半径，点均在以点B为球心的球面上， 则，勒洛四面体内切球半径，D正确.    故选：AD. 三、填空题 12．（2026·重庆·模拟预测）直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为___________. 【答案】 【解题思路】先利用球与正方体相切的条件得出正方体的棱长为2，再通过长方形面积求出截面的边长，最后结合球的半径和球心到截面的距离，算出截面圆的半径，进而得到面积. 【解答过程】因为球与正方体的各个面相切，且直径为2，所以正方体的棱长等于球的直径，即棱长， 如图，设过正方体的一条棱作一平面，分别与交于点, 因为该平面被正方体截得的长方形面积为，所以，即， 所以， 即是的中点，同理也是的中点， 如图建立空间直角坐标系，则， 所以 设平面的法向量为， 则，故可取， 又因为，则球心到平面的距离为， 所以球被截面截得的圆的半径 ， 所以球被截面截得的圆的面积. 故答案为：. 13．（2026·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为____________． 【答案】3 【解题思路】利用平行线作出截面图，再利用四棱锥体积转换成三棱锥体积的2倍，然后进行换顶点和底面求体积，即可求解. 【解答过程】 如图，因为为的中点，为棱的三等分点（靠近点）， 所以取为棱的六等分点（靠近点），则，即四点共面， 所以过三点的截面为平行四边形 则， 又因为，所以 故答案为：3． 14．（2026·河北邯郸·一模）已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为___________. 【答案】 【解题思路】取线段的中点，根据长度关系求出点为三棱锥的外接球球心，再根据的关系求出的最小值即可. 【解答过程】取线段的中点，连接， 因，，， 则由勾股定理可知，，，则， 则点为三棱锥的外接球球心，外接球半径为 因，则由勾股定理可知，， 因为的中点，则， 设球心到过点的三棱锥外接球的截面的距离为，截面圆的半径为， 则， 欲使截面面积最小，即最小，则要求最大， 当垂直截面时，最大，最大值为， 则的最小值为，则截面面积的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·陕西西安·一模）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等体积法结合棱锥的体积公式求解即可； （2）设的中点为，中点为，连接，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可证明，进而得到平面，可得即为过点且与垂直的平面截正方体的截面，进而求解即可. 【解答过程】（1）在正方体中，点是棱上的动点， 则到平面的距离即为, 则.    （2）设的中点为，中点为，连接， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 则，即， 因为，平面， 所以平面， 则即为过点且与垂直的平面截正方体的截面， 由正方体的棱长为2，的中点为，中点为， 可得， 在中，， 则， 所以.      16．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，直角三角形中，，，，分别为边的中点.将△沿向上翻折使二面角的大小为，得到四棱锥，点为上的点，且平面⊥平面. (1)证明：点为的中点； (2)过点作四棱锥的截面，求此截面将该四棱锥分成上下两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）根据折叠前后的几何性质结合线面垂直判定定理可得 平面 ，从而得平面平面 ，存在平面使得平面 且平面 ，从而可得 ，于是可得，进而 平面 ，根据垂直关系可得结论； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量的坐标运算确定的坐标，在 平面内，得直线，直线，联立解得的坐标，该根据四棱锥 的截面性质求解分成上下两部分的体积之比. 【解答过程】（1）证明：在平面图中，因为分别为的中点，所以， 所以翻折后有，又平面 ，所以 平面， 又因为 平面，所以平面平面， 那么存在一直线平面 使得平面且平面， 因为平面平面，所以存在直线平面使得平面且平面， 则，又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 所以 平面， 因为平面，所以， 又因为，所以点为 的中点； （2）延长交于点，连接 交于点，则截面即为 ， 记该截面将四棱锥分成上下两部分的体积分别为， 以为原点，过点垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为平面 平面 ， 所以是二面角的平面角，即， 又因为 ，所以，则， 在平面内，直线即，直线即， 联立解得，而，所以， 则， ， 所以， 所以. 17．（2026·海南·模拟预测）如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)所得截面为直角三角形，如图所示：    【解题思路】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，结合以及线面垂直的判定定理可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （3）在平面内作，交或于点，连接，利用平面，结合，可得出平面，结合线面垂直的性质可得出结论. 【解答过程】（1）证明：因为，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又因为，即， 因为，、平面，所以平面. （2）取的中点，连接，过点在平面内作，垂足为， 因为平面平面平面，且平面平面，平面，， 所以，平面， 因为，即，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为，则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、. 在中，，，所以， 因为，由勾股定理可得， 所以，，，则，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，可得. 由（1）知平面，故平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为 （3）所得截面为直角三角形，如图所示：    作法：在平面内作，交或于点，连接， 因为平面，，则平面， 因为平面，所以，. 18．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) ，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）取的中点G，通过证明平面可求四棱锥的体积. （2）延长和，设交点为Q，连接，根据点均在两个平面内可说明直线为平面与平面的交线； （3）分析得到，建立空间直角坐标系，表示平面PAM和平面的法向量，计算两平面夹角的余弦值，通过分析函数可求出余弦值的最小值. 【解答过程】（1）取的中点G，连接， 因为，所以，，. 因为三角形为等边三角形，所以， 所以，故， 因为平面，，所以平面， 因为底面四边形为梯形，所以四边形的面积为， 所以四棱锥的体积为. （2） 延长和交于点Q，连接， 则平面与平面的交线为直线.理由如下： 因为，所以直线AM和BC必相交，设交点为Q， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以平面与平面的交线为直线. （3）由（1）得，，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面，且平面平面. 在平面中，过点D作，则平面， 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 过P作于点H， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为，则， 令，则，     设平面的法向量为， 因为 则， 令，则， 设平面PAM和平面PBC的夹角为， 则 令，则，所以， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最大值，最大值为， 此时有最小值，最小值为， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 19．（2026·安徽芜湖·二模）在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点. (1)求该正方体被平面所截得的截面面积； (2)求证：平面； (3)点在线段上运动，设平面与平面所成夹角为，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）取的中点为，连接，先证明，可得四边形为截面，进而求解即可； （2）取的中点，连接，先证明，，进而求证即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）取的中点为，连接， 因为分别为棱的中点，所以， 则四边形为截面，且， 则梯形的高为， 所以. （2）证明：取的中点，连接， 因为为的中点，所以，易得， 在正方体中，， 因为平面，所以平面， 又平面，所以. 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. （3）建立以所在直线分别为轴的空间直角坐标系，如图所示， 则，其中， 所以， 设平面DMP的法向量为， 则 令，则， 又∵平面的法向量为， ， ∴当时，取得最大值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点21 立体几何中的截面、交线问题 【全国通用】 【题型1 截面图形的形状判断】 3 【题型2 截面图形的周长或面积问题】 3 【题型3 球的截面问题】 4 【题型4 截面切割几何体的体积、表面积问题】 5 【题型5 交线的长度、轨迹问题】 5 【题型6 截面的最值与范围问题】 6 1、立体几何中的截面、交线问题 立体几何中的“截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力。 从近三年的高考情况来看，立体几何中的截面、交线问题主要有两大考查方向，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇形弧长、面积等相结合求解；二是利用空间向量的坐标运算求解；复习时要加强这方面的训练。 考点1 立体几何中的截面、交线问题 知识点1 立体几何中的截面问题 1．截面问题的基本知识 (1)截面的相关定义 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. (2)作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面. 2．作截面的具体步骤 (1)找截点：方法一：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式；方法二：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点； (2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线； (3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面. 3．作截面的几种方法 (1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程. (2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点. (3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线. 4．球的截面 (1)球的截面形状 ①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； ②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆. (2)球的截面的性质 ①球心和截面圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式：. 图形解释如下： 在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有，即. 知识点2 立体几何中的截面、交线问题的解题策略 1．立体几何截面问题的求解方法 (1)坐标法：所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，进行求解. (2)几何法：从几何视角人手，借助立体几何中的线面平行及面面平行的性质定理，找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这些点，从而得到过三点的完整截面，再进行求解. 2．截面、交线问题的解题策略 (1)作截面应遵循的三个原则： ①在同一平面上的两点可引直线； ②凡是相交的直线都要画出它们的交点； ③凡是相交的平面都要画出它们的交线. (2)作交线的方法有如下两种： ①利用基本事实3作交线； ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线. 【题型1 截面图形的形状判断】 【例1】（2026·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，过点作正方体的截面，则截面的形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【变式1-1】（2026·广东深圳·二模）已知正方体，过点A且以为法向量的平面为，则截该正方体所得截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式1-2】（2026·山东枣庄·二模）如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ）    A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【变式1-3】（2026·广东中山·模拟预测）若一平面与正方体截面的形状是三角形，则该三角形不可能为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【题型2 截面图形的周长或面积问题】 【例2】（2026·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·安徽合肥·三模）已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·湖南常德·一模）已知正方体的棱长为2，点分别是正方形和的中心，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【题型3 球的截面问题】 【例3】（2026·云南曲靖·模拟预测）正方体外接球的体积为，、、分别为棱的中点，则平面截球的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·山东·一模）在正三棱柱中，，为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球的截面，则所得截面圆面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·广东·模拟预测）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型4 截面切割几何体的体积、表面积问题】 【例4】（2026·江西·模拟预测）在斜三棱柱中，分别为侧棱上的点，且，过的截面将三棱柱分成上、下两个部分的体积之比可以为（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】（2026·河北·模拟预测）过圆锥高的中点作平行于底面的截面，则截面分圆锥上部分圆锥与下部分圆台体积比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，过E，F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·浙江·模拟预测）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型5 交线的长度、轨迹问题】 【例5】（2026·广东湛江·二模）已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（   ） A． B． C． D．1 【变式5-3】（2026·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【题型6 截面的最值与范围问题】 【例6】（2026·河南·模拟预测）如图，已知直三棱柱的体积为4，AC⊥BC，，D为的中点，E为线段AC上的动点（含端点），则平面BDE截直三棱柱所得的截面面积的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·云南曲靖·一模）已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·湖南永州·模拟预测）在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·四川宜宾·三模）已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（    ） A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值 C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是 一、单选题 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（    ）    A． B．9 C． D． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过OP的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面从圆锥中挖去一个圆柱，则剩余的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京朝阳·模拟预测）如图所示，经过正三棱柱底面一边，作与底面成角的平面，已知截面三角形的面积为32，且点是棱柱所在侧棱的中点，则棱柱的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 5．（2026·海南三亚·一模）有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，以为球心，为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东日照·二模）已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 8．（2026·江苏·模拟预测）已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·安徽·一模）如图，已知圆台的轴截面为，其中为圆弧的中点，，则（    ） A．圆台的体积为 B．圆台母线所在直线与平面所成角的最大值为 C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为 D．过三点的平面与圆台下底面的交线长为 10．（2026·辽宁·模拟预测）如图，已知正三棱锥的棱长均为6，点为点在底面上的射影，，分别为线段，的中点，过点作平面与平面平行，点为侧面上一动点（含边界），且，则（    ） A．平面截三棱锥所得截面的面积为 B．三棱锥的内切球的表面积为 C．点的轨迹长度为 D．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 11．（2026·江苏泰州·二模）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（    ） A．勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值大于3 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体四个曲面交线长的和为 D．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三、填空题 12．（2026·重庆·模拟预测）直径为2的球与一个正方体的各个面相切，过正方体的一条棱作一平面，该平面被正方体截得的长方形面积为，则球被截面截得的圆的面积为___________. 13．（2026·云南昭通·模拟预测）在棱长为3的正方体中，是棱的中点，为棱的三等分点（靠近点），过三点作正方体的截面，则以为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为____________． 14．（2026·河北邯郸·一模）已知三棱锥中，，为的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则截面面积的最小值为___________. 四、解答题 15．（2026·陕西西安·一模）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点.    (1)求三棱锥的体积； (2)当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积. 16．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图，直角三角形中，，，，分别为边的中点.将△沿向上翻折使二面角的大小为，得到四棱锥，点为上的点，且平面⊥平面. (1)证明：点为的中点； (2)过点作四棱锥的截面，求此截面将该四棱锥分成上下两部分的体积之比. 17．（2026·海南·模拟预测）如图（1），正方形的边长为，是的中点，点在边上且.将沿折起到图（2）中的位置，使得平面平面.    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)如图（2），点在线段上，过点、的平面截四棱锥所得的截面是一个直角三角形，在图中画出这个直角三角形.（请在答题卡指定位置作图，不必说明画法和理由） 18．（2026·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 19．（2026·安徽芜湖·二模）在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点. (1)求该正方体被平面所截得的截面面积； (2)求证：平面； (3)点在线段上运动，设平面与平面所成夹角为，求的最大值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $