专题01 数的整除5考点8重难题型（期中复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 数的整除 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 整除与除尽 考点二 因数与倍数 考点三 能被2、3、5整除的数与奇数偶数 考点四 素数、合数与分解素因数 考点五 公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数 05 重难题型突破 题型一 整除的判断 题型二 分解素因数 题型三 求最大公因数与最小公倍数 题型四 能被2、3、5整除的综合 题型五 由最大公因数与最小公倍数逆推原数 题型六 最小公倍数的实际应用 题型七 最大公因数的实际应用 题型八 最小公倍数与最大公因数综合应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点 期中卷考情 主要考查形式 复习目标与易错点 整除与除尽 （高频） 填空、选择、判断为主 能区分整除与除尽；厘清“被整除”“能整除”的顺序 因数与倍数 基础考查 填空、选择 因数与倍数相互依存，不单独表述 能被2、3、5整除的数 基础考查 填空、选择 牢记整除特征；能被3整除看各位数字之和 素数、合数与互素 （高频） 填空、选择为主 易错：最小素数2、最小合数4；因数与公有素因数区别；互素未必是素数 分解素因数 重点必考 填空定向为主 能准确写出合数的分解素因数形式，每个因数是素数 短除法、最大公因数与最小公倍数 高频 计算题、解答题为主 会用短除法求最大公因数、最小公倍数；能逆推原数 识记 能背出整除定义、整除特征、最小素数、最小合数、互素定义等 理解 能讲清因数与倍数相互依存；1为什么既非素数也非合数；素数合数与奇偶数的区别；公倍数是最小公倍数的倍数 应用 能用短除法或分解素因数求最大公因数、最小公倍数；解决截取、分装、排队、铺砖等实际问题；由最大公因数与最小公倍数逆推原数 考点一 整除与除尽 ① 整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，就说a能被b整除，或者说b能整除a。 ② 整除的条件（简记“三整一零”）：被除数、除数都是整数；商是整数；余数为零。 ③ 除尽：甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数，就说甲数能被乙数除尽。 ④ 关系：整除一定是除尽，除尽不一定是整除。 ⚠️概念辨析 整除 除尽 被除数、除数都是整数 被除数、除数不一定是整数 商是整数 商是整数或有限小数 余数为零 商是整数或有限小数即可 例：12÷4=3（整除） 例：12÷5=2.4（除尽非整除）；4÷0.5=8（除尽非整除） ⚠️记忆口诀 整除看三点：整数除整数，商是整数，余数为零——合起来“三整一零”。 ⚠️易混易错 把“除尽”当“整除”：4÷0.5=8，0.5不是整数，故不是整除。 方向写反：12÷4=3，应说“12能被4整除”或“4能整除12”；不能说“12能整除4”。 商的分数形式不是整除：15÷4，商为，商不是整数，故15不能被4整除。 ⚠️避坑指南 ❌ 余数为零才叫整除：13÷2=6余1，不算整除。 ❌ 被除数、除数必须都是整数：4÷0.5=8是除尽，不是整除。 ❌ 除数不能为0；商是无限小数（如4÷3）既不是整除也不是除尽。 考点二 因数与倍数 ① 如果整数a能被整数b整除，a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数（约数）。因数与倍数相互依存。 ② 一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 ③ 一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 ④ 研究因数与倍数时，一般指正整数（不含0）。 ⚠️概念辨析 因数 倍数 素因数 b是a的因数 a是b的倍数 是某个合数因数中的素数 与倍数相互依存，不单独说 与因数相互依存 相对某个合数而言，不单独说 个数有限 个数无限 一定是该数的因数 ⚠️记忆口诀 因数倍数两相依，谁是谁的要说清；因数有限倍无限，本身最小记心间。 ⚠️易混易错 例：18的因数有1、2、3、6、9、18（共6个）；18的倍数有18、36、54、…（无数个）。 易错：把“18是3的倍数”误写成“18是倍数”，漏掉“谁的”。 ⚠️避坑指南 ❌ 不能单独说“谁是因数、谁是倍数”，必须说“谁是谁的因数/倍数”。 ❌ 1是任何非零自然数的因数；任何非零自然数都是其本身的最小倍数。 ❌ 0不参与因数与倍数的讨论。 考点三 能被2、3、5整除的数与奇数偶数 ① 能被2整除：个位是0、2、4、6、8（个位是偶数的整数）。 ② 能被3整除：各位数字之和能被3整除。 ③ 能被5整除：个位是0或5。 ④ 能同时被2和5整除：个位是0。 ⑤ 能同时被2、3、5整除：个位是0，且各位数字之和能被3整除。 ⑥ 偶数：能被2整除的整数；奇数：不能被2整除的整数。0是偶数。 ⚠️概念辨析 奇数 偶数 素数 合数 不能被2整除 能被2整除 只有1和本身2个因数 至少3个因数 1、3、5、… 0、2、4、6、… 2、3、5、7、… 4、6、8、9、… 分类看能否被2整除 分类看能否被2整除 分类看因数个数 分类看因数个数 ⚠️记忆口诀 2看个位偶，5看个位0或5，3看各位数字之和。 ⚠️易混易错 例：判断321能否被3整除——各位和=3+2+1=6，6能被3整除，故321能被3整除（尽管个位是1）。 易错：以为“个位是3的数都能被3整除”（错，13、23、43等都不能）。 ⚠️避坑指南 ❌ 能被3整除看“各位数字之和”，不是看个位：13个位是3，但13不能被3整除。 ❌ 2是唯一的偶素数；9是最小的奇合数。 ❌ 个位是0的数，既能被2整除，也能被5整除。 考点四 素数、合数与分解素因数 ① 素数（质数）：只有1和它本身两个因数的正整数。最小素数是2，没有最大素数。 ② 合数：除了1和它本身以外还有别的因数的正整数。最小合数是4。 ③ 1既不是素数，也不是合数。正整数分为1、素数、合数三类。 ④ 素因数：某个合数的因数中的素数。 ⑤ 分解素因数：把一个合数写成几个素数相乘的形式，形式唯一。方法：树枝分解法、短除法。 ⚠️概念辨析 素数 合数 因数 素因数 只有1和本身2个因数 至少3个因数 能整除该数的整数 合数因数中的素数 例：2、3、5、7、11 例：4、6、8、9、10 例：30的因数1、2、3、5、6、10、15、30 例：30的素因数2、3、5 1不是素数 1不是合数 — 素因数一定是因数，因数不一定是素因数 ⚠️记忆口诀 素数两个因数，合数至少三个，1是例外两边站；分解素因数，因子全要是素数。 ⚠️易混易错 例：把36分解素因数——36=2×2×3×3（√）；36=4×9（×，4、9非素数）；36=1×36（×，含1）。 易错：把“分解因数”当“分解素因数”，或结果中混入1。 ⚠️避坑指南 ❌ 分解素因数结果中每个因数必须是素数，不能含1：36=4×9不是分解素因数（4、9非素数）。 ❌ 分解素因数形式唯一：36=2×2×3×3。 ❌ 素因数不能单独说（如“2是36的素因数”，不能说“2是素因数”）。 考点五 公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数 ① 公因数：几个整数公有的因数；最大公因数：公因数中最大的一个。 ② 互素：两个整数只有公因数1。例：5和7、8和9互素（互素不要求都是素数）。 ③ 求最大公因数：列举法；分解素因数法（取公有素因数的积）；短除法（除到商互素为止，所有除数相乘）。 ④ 公倍数：几个整数公有的倍数（无数个）；最小公倍数：公倍数中最小的一个。 ⑤ 求最小公倍数：列举法；分解素因数法（公有素因数 + 各自剩余素因数连乘）；短除法（所有除数和最后的商相乘）。 ⑥ 重要关系：两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数。 ⚠️概念辨析 两数关系 最大公因数 最小公倍数 两数互素 1 两数的乘积 两数成倍数关系 较小数 较大数 一般情况 公有素因数的积 公有素因数＋各自剩余素因数连乘 ⚠️记忆口诀 最大公因看公素，最小公倍公私全——公有的、各自剩余的都要乘。 ⚠️易混易错 例：求12和18的最大公因数与最小公倍数（短除法）。 短除：2作除数去除12、18得6、9；再3作除数去除得2、3（互素）。最大公因数=2×3=6；最小公倍数=2×3×2×3=36。 易错：把求最大公因数当成求最小公倍数（漏乘各自剩余的素因数2、3）。 ⚠️避坑指南 ❌ 短除法要除到“商互素”为止；最大公因数只取左侧除数之积，最小公倍数要取“所有除数×最后的商”。 ❌ 分解素因数求最小公倍数时，公有的素因数只算一次，不能重复。 ❌ 记住：两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数（逆推原数常用）。 题型一 整除的判断 典例1 （24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A中，除数为0.5，不是整数，不符合整除的定义； 选项B中，28、7、4均为整数，符合整除的定义； 选项C中，商不是整数，不符合整除的定义； 选项D中，商不是整数，不符合整除的定义； 故选B． 💡破题要诀 看三点——被除数、除数、商都是整数，且余数为零（三整一零）。商写成分数形式时，即非整除。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．9能整除3； B．2.1能整除21； C．1能整除任何正整数； D．如果，那么能被整除． 【答案】C 【详解】解：A、，不满足整除的条件，故选项不符合题意； B、2.1是小数，不满足除数为整数的条件，故选项不符合题意； C、任意正整数除以1的商为该正整数，且1为非零整数，满足整除的条件，故选项符合题意； D、未说明、为整数，例如，时等式成立，但不满足整除的条件，故选项不符合题意． 2．（25-26六年级上·上海·期中）下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：、，商不是整数，该选项不合题意； 、，商是整数，且两数均为整数，该选项符合题意； 、和均不是整数，该选项不合题意； 、和均不是整数，该选项不合题意； 故选：． 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如果M能整除18，那么M一定是（　　） A．18 B．1 C．18的倍数 D．18的因数 【答案】D 【详解】解：M能整除18，那么M是18的因数． 故选：D． 题型二 分解素因数 典例2 （25-26六年级上·上海虹口·期中）分解素因数__________． 【答案】 【详解】分解过程：，， ∵13是素数， ∴． 故答案为：． 💡破题要诀 用短除法从最小的素数2开始试除，除到商是素数为止，再把各除数与最后的商按从小到大写成连乘；每个因数必须是素数，不能含1。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海普陀·期中）下列各对数①12和18、②15和25、③16和17中，互素的是______．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：①12和18，12和18的公因数有1、2、3、6，最大公约数为6，不等于1，故不互素； ②15和25，15和25的公因数有1、5，最大公约数为5，不等于1，故不互素； ③16和17，16的因数有1、2、4、8、16，17的因数有1、17，公因数只有1，最大公约数为1，故互素， 因此，互素的是③． 故答案为：③． 2．（23-24六年级上·上海·期中）用短除法将下列各数分解素因数 (1)40 (2)114 【详解】(1)短除法： (2)短除法： 3．（24-25六年级上·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 【答案】岁、岁、岁 【详解】解：∵， ∴， ∴三个人的年龄分别是岁、岁、岁． 答：这三个小朋友的年龄分别是岁、岁、岁． 题型三 求最大公因数与最小公倍数 典例3 （25-26六年级上·上海青浦·期中）用短除法求和的最大公因数和最小公倍数． 【答案】和的最大公因数是，最小公倍数是 【详解】 解： ∴最大公因数为；最小公倍数为 💡破题要诀 两数成倍数关系——最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；两数互素——最大公因数是1，最小公倍数是乘积；一般情况用短除法。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最大公因数是_______________． 【答案】 【详解】解：由图可知，，， 则正整数的最大公因数是， 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知，，则、的最小公倍数______． 【答案】420 【详解】解：∵，， ∴、的最小公倍数， 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 【答案】15，3150 【详解】解：由题意知， ∴150、210、315的最大公约数为，最小公倍数为． 题型四 能被2、3、5整除的综合 典例4 （25-26六年级上·上海青浦·期中）一个四位数2024至少加上__________可以被2、5整除． 【答案】6 【详解】解：由于2、5互质，它们的公倍数是10的倍数， 要同时被2、5整除，即被10整除， 2024的个位数字是4，要使其成为10的倍数，个位必须为0，故至少加上6，得2030． ，，均能整除， 故答案为：6． 💡破题要诀 能同时被2和5整除→个位是0；能同时被2、3、5整除→个位是0且各位数字之和能被3整除。 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）在由0、1、2组成没有重复数字的三位数中，能同时被2和5整除的数是________． 【答案】和 【详解】解：∵ 能同时被和整除的数，个位数字一定是， 又∵ 三位数的百位不能为， ∴ 百位只能从，中选择，十位为剩余的数字， 当百位选时，得到数， 当百位选时，得到数， 因此符合条件的数是和． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 【答案】580 【详解】解：∵要同时被2和5整除， ∴个位必须为0， ∴百位可选5或8， ∵为得到最小三位数， ∴百位取较小数字5，十位为剩余数字8， 故数为580， 故答案为：580． 3．（25-26六年级上·上海·期中）四位数2025至少加上______可以同时被2、3、5整除（填写一个正整数）． 【答案】15 【详解】解：由于2、3、5互质，它们的公倍数是30的倍数． ，余数为， 所以需要加上 即能被2、3、5整除． 故答案为：． 题型五 由最大公因数与最小公倍数逆推原数 典例5 （25-26六年级上·上海·期中）两数的和是60，最大公因数是12，那么这两个数是_____． 【答案】12和48或24和36 【详解】解：因为两数的和是60，最大公因数是12，且， 所以这两个互质的因数的和是5． 若这两个互质的因数是1和4， 则这两个数分别是，； 若这两个互质的因数是2和3， 则这两个数分别是，； 综上，这两个数是12和48或24和36， 故答案为：12和48或24和36． 💡破题要诀 两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数。设两数为最大公因数d×m、d×n（m、n互素），由d×m×n=最小公倍数求出m、n，再还原两数。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是180，其中一个正整数是36，则另一个正整数是________． 【答案】30 【详解】解：，则30是两个数独有质因数的积， 因为， 所以①，，②，，③，，④，． 所以这两个正整数为6和30或12和90或18和60或30和36， 因为其中一个正整数是36， 所以另一个正整数是30， 故答案为：30． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）已知，，且、的最大公因数是，则______． 【答案】90 【难度】0.65 【详解】解：由，，得和的最大公因数为． 已知最大公因数为，故，解得． 因此． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】4和或8和 【详解】解：，； ∴这两个数都含有因数4，其中一个含有质因数3， ∵两个正整数最大公约数是4， ∴这两个数可以是4和； ∵，， ∴这两个数也可以是8和． 综上所述：这两个数是4和或8和． 题型六 最小公倍数的实际应用 典例6 （25-26六年级上·上海·期中）在长千米的公路的一边等距离种树（两端都种），开始每隔9米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 【答案】76 【详解】解：∵9和12的最小公倍数是36， 又∵第一棵树在0米处，最后一棵树在2700米处， ∴， ， 答：不用改种的树有76棵． 💡破题要诀 把一件事“既能按a分组，又能按b分组”，求至少多少人，就是求a、b的最小公倍数，再处理领队/特殊人数。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 【答案】男生5人，女生3人 【详解】解：6和10的最小公倍数为， 男生人数：（人） 女生人数：（人） 答：每一小组至少需要男生5人、女生3人． 2．（24-25六年级上·上海·期中）为了以最佳生态环境迎接2024年中国国际进口博览会，上海各处的绿化景观提升正在加紧建设中．为了响应这一政策，某小区内一条路两边每隔4米处放一盆绿色盆栽（路的两端都有盆栽），一共放了86盆；后又改成每隔6米放一盆绿色盆栽，请问不需要移动的有几盆？ 【答案】不需要移动的有30盆 【详解】解：（盆）， ， （米）， 4和6的最小公倍数是12， （盆）， （盆）， （盆）， 答：不需要移动的有30盆． 3．（25-26六年级上·上海·期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 【答案】540分钟； 【详解】解：根据题意，每台服务器的周期为： 服务器A：（分钟） 服务器B：（分钟） 服务器C：（分钟） 最小公倍数为（分钟） 540分钟 小时 从凌晨开始，经过小时后是 答：至少经过540分钟3台服务器会再次同时开始数据同步，此时是09时00分． 题型七 最大公因数的实际应用 典例7 （24-25六年级上·上海松江·期中）有一张长方形纸片，长为60厘米，宽为48厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余．裁出的正方形纸片最少是多少张？ 【答案】裁出的正方形纸片最少是20张． 【详解】解：60和48的最大公因数：12， （张）， （张）， （张）， 答：裁出的正方形纸片最少是20张． 💡破题要诀 “剪成同样长且最长的小段”“分装成同样多且最多”等，就是求相关量的最大公因数。 迁移应用 1．（23-24六年级上·上海金山·期中）有两根铁丝，一根长18米，一根长24米．现在要把它们截成同样长的小段，每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 【答案】每段最长可以有6米，一共可以截成7段． 【详解】解： 所以18和24的最大公因数是 （段） （段） （段） 答：每段最长可以有6米，一共可以截成7段． 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）某小区内部道路如图所示，长，长，长，要在这条道路的一侧等距离安装地面照明灯，且要求两端和转弯处都必须安装，那么这条道路最少要安装多少盏地面照明灯？ 【答案】这条道路最少要安装21盏地面照明灯． 【详解】解：∵， ∴最大公因数是． ，， ． 答：这条道路最少要安装21盏地面照明灯． 3．（24-25六年级上·上海·期中）如图是一个长方形人工湖，如果在它的四周及四角栽上风景树，每相邻两棵树之间的距离要相等． (1)在各方案中，相邻两树之间的最大距离是多少？ (2)至少在湖的四周种几棵树？ 【答案】(1)6米 (2)14 【详解】（1）解：， 所以和的最大公因数是，即相邻两棵树之间的距离最大是米； （2） 棵 答：每相邻两棵树之间的距离相等，最少栽棵树． 题型八 最小公倍数与最大公因数综合应用 典例8 暑假期间，小丽、小杰决定定期到敬老院打扫卫生，小丽每4天去一次，小杰每6天去一次，如果8月1日他们俩都在敬老院打扫卫生，那么，他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是几月几日？ 【答案】8月13日 【详解】解：4、6的最小公倍数是12，所以他们应在12天以后，即第13日再相遇． 答：他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是8月13日． 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 【答案】(1)10厘米 (2)60厘米 【详解】（1）解： 20和30的最大公因数是10， 所以正方形边长至多是10厘米． 答：正方形的边长至多为10厘米． （2）解：20和30的最小公倍数是， 所以这个正方形边长至少是60厘米． 答：正方形的边长至少为60厘米． 2．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖， (1)若把它截成边长是整数厘米且面积都相等的小正方形地砖，恰无剩余，至少能截多少块？ (2)如果用这个长方形地砖铺成一个大的正方形地面，那么至少需要这样的长方形地砖多少块？ 【答案】(1)至少要剪84块； (2)正方形地面的边长最少是336厘米． 【详解】（1）解：48和28的最大公约数是4，也就是截成的小正方形的边长是4厘米， 那么长可截的块数：（块）， 宽可截的排数：（排）， 一共截的块数：（块）； 答：至少要剪84块； （2）解：， ， 所以48和28的最小公倍数是， 答：正方形地面的边长最少是336厘米． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 【答案】A 【详解】解：∵，且a， b为正整数， ∴，即a是b的倍数． 故选A． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列哪个选项中的两个正整数是互素的（   ） A．2和88 B．40和55 C．8和15 D．26和65 【答案】C 【详解】解： A、2和88，，故2和88的最大公约数是，不互素； B、40和55，，，故40和55的最大公约数为，不互素； C、8和15，，，公因数只有，故8和15的最大公约数为，互素； D、26和65，，，故26和65的最大公约数为，不互素； 故选：C． 3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】∵整除要求被除数和除数均为整数，且商为整数、余数为零． A．，商不是整数，不能被整除； B．，商不是整数，不能被整除； C．和不是整数，不符合整除定义； D．，商为整数且余数为零，能被整除． 故选D． 4．（25-26六年级上·上海·期中）有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①：存在奇合数（如9、15等），即合数不都是偶数，故①错误； ②：2是素数且是偶数，即素数不都是奇数，故②错误； ③：1是自然数，但既不是素数也不是合数，即自然数不全是素数或合数，故③错误； ④：不存在最大的合数，故④正确； 综上，不正确的语句有3个． 故选：C． 5．（25-26六年级上·上海·期中）写出所有既是15的因数，又是5的倍数的数：___________． 【答案】， 【详解】解：， 的因数有：，，，； 其中是的倍数的数有：，； ∴既是的因数，又是的倍数的数有：，． 6．（25-26六年级上·上海宝山·期中）既能被2整除，又能被3整除的最小正整数是_________． 【答案】6 【详解】解：； 故答案为：6． 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某校有36名男生和48名女生，分组进行活动，要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有___名学生． 【答案】7 【详解】解：依题意，，， 和48的最大公因数为， ， 所以要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有7个学生． 故答案为：7． 8．（25-26六年级上·上海虹口·期中）某公共汽车始发站，1路车每隔5分钟发车一次，2路车每8分钟发车一次，这两路汽车同时发车后，至少再经过__________分钟后同时发车． 【答案】40 【详解】解：因为5和8的最小公倍数为40， 所以这两路汽车同时发车后，至少再经过40分钟后同时发车， 故答案为： 40． 9．（25-26六年级上·上海·期中）M是100以内能整除16的最小正数，N是能被32整除的最大两位数，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：16的正因数有1、2、4、8、16，其中最小正数为1，故； 32的两位数倍数有32、64、96，其中最大为96，故； 因此． 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海·期中），，则A，B两数的公因数是____________． 【答案】1，2，3，6 【详解】解：A的质因数分解为 ，B的质因数分解为 ， 所以公有的质因数为2和3， 因此，A和B的公因数为公有质因数的所有组合，即 （无质因数）、、、． 故答案为1，2，3，6． 11．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）一包糖果不论平均分给9人还是人，都能正好分完，这包糖果最少可能为________________块． 【答案】 【详解】解∶由题意，这包糖果的个数的最小值为9和的最小公倍数． ，， ． 这包糖果至少块． 故答案为∶． 12．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果和的最大公因数是6．且，，那么和的最小公倍数是______． 【答案】90 【详解】解：∵A和B的最大公因数是6，且，， ∴最大公因数为，解得：． ∴， ∴最小公倍数为． 故答案为90． 13．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）按照从小到大的顺序写出60的所有因数，并求出既是3的倍数，又是60的因数的数． 【答案】60 的所有因数是1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；既是 3 的倍数，又是 60 的因数的数是 3、6、12、15、30、60 【详解】解：60 的所有因数是（从小到大写）： 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；既是 3 的倍数，又是 60 的因数的数是 3、6、12、15、30、60 14．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用短除法求98和56的最大公因数和最小公倍数． 【答案】最大公因数是14，最小公倍数是392 【详解】解：列出短除法， ， 所以98和56的最大公约数为，最小公倍数为． 15．（24-25六年级上·上海·期中）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，如果甲数为6，则乙数是多少？ 【答案】乙数是45 【详解】解：∵甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90， ∴甲、乙两个数独有因数的积为， ∵甲数为6， ∴乙数为：， 答：乙数是45． 16．（24-25六年级上·上海崇明·期中）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组．那么至少要选拔多少名学生参加跳舞？ 【答案】13名 【详解】 解：， ， 答：至少要选拔13名学生参加跳舞． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】正整数包括1，而1既不是素数也不是合数，因此正整数并非仅由素数和合数组成，故①说法错误． 差为1的两个正整数是连续自然数，连续自然数的公因数只有1，必然互素，故②说法正确． 因数和倍数的概念仅适用于整数（不包括0），和是小数，不能称为因数或倍数，故③说法错误． 正整数按能否被2整除，可分为奇数和偶数，二者涵盖所有正整数，故④说法正确． 综上，②和④正确，共2个． 故选：B． 2．（25-26六年级上·上海·期中）小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 【答案】D 【详解】解：∵小齿轮齿数，每分钟转3圈， ∴4分钟转圈， 转过齿数：齿． ∵齿轮咬合，转过的齿数相等，且大齿轮需回到初始位置， ∴大齿轮转过的圈数为整数， 设大齿轮齿数为，则， ∴需为的因数． 选项中，（整数）， 而、、均不能整除， 故选：D． 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，已知甲数是 12，则乙数是（    ） A．18 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【详解】解：根据“两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积”可得， 乙数． 故选：A． 4．（25-26六年级上·上海·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为6且互素，则满足条件的所有两位数是___________． 【答案】和 【详解】解：设两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，则，，根据题意得，列举所有可能并逐一筛选： 1．，，对应两位数，和的最大公约数为，互素，符合题意； 2．，，对应两位数，和的最大公约数为，不互素，不符合题意； 3．，，对应两位数，和的最大公约数为，不互素，不符合题意； 4．，，对应两位数，和的最大公约数为，不互素，不符合题意； 5．，，对应两位数，和的最大公约数为，互素，符合条件题意； 6．，，对应两位数，不互素，不符合条件题意； 综上，满足条件的所有两位数为和． 5．（25-26六年级上·上海·期中）用226、192、141分别除以同一个正整数，得到的余数都相同，且余数不为0，这个正整数是________． 【答案】17 【详解】解：，，． 、、的公因数有1和17， 由于余数不为0，故除数为17． 验证得，，，余数相同且不为0． 故答案为17． 6．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 【答案】或 【详解】解：，而， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，此时这两个数和为， 当这两个数为和，不合题意， 综上所述：甲乙两数的和为42或78． 故答案为：42或78． 7．（25-26六年级上·上海·期中）一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“兰生数”，如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“兰生数”．若四位“兰生数”各位数字之和能被3整除，则满足条件的四位“兰生数”最大值为________． 【答案】5880 【详解】解： 第一位数字5被1整除恒成立， 前两位数被2整除，则x为偶数，可取0，2，4，6，8， 前三位数被3整除，则被3整除， 整个数被4整除，则被4整除， ∵四位“兰生数”各位数字之和能被3整除， ∴由被3整除，得z被3整除，故z可取0，3，6，9， ∴当“兰生数”最大时，取， ∴需要被3整除， ∴可取2，5，8， ∴取， ∵z被3整除，且被4整除， ∴仅时，80被4整除， 故满足条件的四位“兰生数”最大值为5880， 故答案为：5880． 8.（植树问题）在一条长480米的大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？需要重新栽上多少棵？需要拔掉多少棵？ 【答案】不需要移栽的树有42棵，需要重新栽上120棵，需要拔掉80棵 【详解】解：的最小公倍数为24， （棵）； （棵）； （棵）； 答：不需要移栽的树有42棵，需要重新栽上120棵，需要拔掉80棵． 9.某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖．其中获得一等奖的人数占参赛人数的，获得二等奖的人数占参赛人数的，获得三等奖的人数占参赛人数的．已知该年级共有学生400人． (1)求这次评选参赛的同学有多少名？ (2)求这次评选获得一等奖的同学有多少名？ 【详解】（1）∵， ∴、、的最小公倍数是， 答：这次评选参赛的同学有名； （2）由（1）可知这次评选参赛的同学有名， ∴评选获得一等奖的同学有名， 答：这次评选获得一等奖的同学有名. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数的整除 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 整除与除尽 考点二 因数与倍数 考点三 能被2、3、5整除的数与奇数偶数 考点四 素数、合数与分解素因数 考点五 公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数 05 重难题型突破 题型一 整除的判断 题型二 分解素因数 题型三 求最大公因数与最小公倍数 题型四 能被2、3、5整除的综合 题型五 由最大公因数与最小公倍数逆推原数 题型六 最小公倍数的实际应用 题型七 最大公因数的实际应用 题型八 最小公倍数与最大公因数综合应用 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 核心考点 期中卷考情 主要考查形式 复习目标与易错点 整除与除尽 （高频） 填空、选择、判断为主 能区分整除与除尽；厘清“被整除”“能整除”的顺序 因数与倍数 基础考查 填空、选择 因数与倍数相互依存，不单独表述 能被2、3、5整除的数 基础考查 填空、选择 牢记整除特征；能被3整除看各位数字之和 素数、合数与互素 （高频） 填空、选择为主 易错：最小素数2、最小合数4；因数与公有素因数区别；互素未必是素数 分解素因数 重点必考 填空定向为主 能准确写出合数的分解素因数形式，每个因数是素数 短除法、最大公因数与最小公倍数 高频 计算题、解答题为主 会用短除法求最大公因数、最小公倍数；能逆推原数 识记 能背出整除定义、整除特征、最小素数、最小合数、互素定义等 理解 能讲清因数与倍数相互依存；1为什么既非素数也非合数；素数合数与奇偶数的区别；公倍数是最小公倍数的倍数 应用 能用短除法或分解素因数求最大公因数、最小公倍数；解决截取、分装、排队、铺砖等实际问题；由最大公因数与最小公倍数逆推原数 考点一 整除与除尽 ① 整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数且没有余数，就说a能被b整除，或者说b能整除a。 ② 整除的条件（简记“三整一零”）：被除数、除数都是＿＿＿＿＿＿＿＿；商是＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿。 ③ 除尽：甲数除以乙数，所得的商是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，就说甲数能被乙数除尽。 ④ 关系：整除一定是除尽，除尽＿＿＿＿＿＿＿＿是整除。 ⚠️概念辨析 整除 除尽 被除数、除数都是整数 被除数、除数不一定是整数 商是整数 商是整数或有限小数 余数为零 商是整数或有限小数即可 例：12÷4=3（整除） 例：12÷5=2.4（除尽非整除）；4÷0.5=8（除尽非整除） ⚠️记忆口诀 整除看三点：整数除整数，商是整数，余数为零——合起来“三整一零”。 ⚠️易混易错 把“除尽”当“整除”：4÷0.5=8，0.5不是整数，故不是整除。 方向写反：12÷4=3，应说“12能被4整除”或“4能整除12”；不能说“12能整除4”。 商的分数形式不是整除：15÷4，商为，商不是整数，故15不能被4整除。 ⚠️避坑指南 ❌ 余数为零才叫整除：13÷2=6余1，不算整除。 ❌ 被除数、除数必须都是整数：4÷0.5=8是除尽，不是整除。 ❌ 除数不能为0；商是无限小数（如4÷3）既不是整除也不是除尽。 考点二 因数与倍数 ① 如果整数a能被整数b整除，a就叫作b的＿＿＿＿＿＿＿＿，b就叫作a的＿＿＿＿＿＿＿＿（约数）。因数与倍数＿＿＿＿＿＿＿＿。 ② 一个数的因数个数＿＿＿＿＿＿＿＿，最小因数是＿＿＿＿＿＿＿＿，最大因数是＿＿＿＿＿＿＿＿。 ③ 一个数的倍数个数＿＿＿＿＿＿＿＿，最小倍数是＿＿＿＿＿＿＿＿，没有最大倍数。 ④ 研究因数与倍数时，一般指＿＿＿＿＿＿＿＿（不含0）。 ⚠️概念辨析 因数 倍数 素因数 b是a的因数 a是b的倍数 是某个合数因数中的素数 与倍数相互依存，不单独说 与因数相互依存 相对某个合数而言，不单独说 个数有限 个数无限 一定是该数的因数 ⚠️记忆口诀 因数倍数两相依，谁是谁的要说清；因数有限倍无限，本身最小记心间。 ⚠️易混易错 例：18的因数有1、2、3、6、9、18（共6个）；18的倍数有18、36、54、…（无数个）。 易错：把“18是3的倍数”误写成“18是倍数”，漏掉“谁的”。 ⚠️避坑指南 ❌ 不能单独说“谁是因数、谁是倍数”，必须说“谁是谁的因数/倍数”。 ❌ 1是任何非零自然数的因数；任何非零自然数都是其本身的最小倍数。 ❌ 0不参与因数与倍数的讨论。 考点三 能被2、3、5整除的数与奇数偶数 ① 能被2整除：个位是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（个位是偶数的整数）。 ② 能被3整除：各位数字之和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ③ 能被5整除：个位是＿＿＿＿＿＿＿＿。 ④ 能同时被2和5整除：个位是＿＿＿＿＿＿＿＿。 ⑤ 能同时被2、3、5整除：个位是0，且各位数字之和能被3整除。 ⑥ 偶数：能被2整除的整数；奇数：不能被2整除的整数。＿＿＿＿＿＿＿＿。 ⚠️概念辨析 奇数 偶数 素数 合数 不能被2整除 能被2整除 只有1和本身2个因数 至少3个因数 1、3、5、… 0、2、4、6、… 2、3、5、7、… 4、6、8、9、… 分类看能否被2整除 分类看能否被2整除 分类看因数个数 分类看因数个数 ⚠️记忆口诀 2看个位偶，5看个位0或5，3看各位数字之和。 ⚠️易混易错 例：判断321能否被3整除——各位和=3+2+1=6，6能被3整除，故321能被3整除（尽管个位是1）。 易错：以为“个位是3的数都能被3整除”（错，13、23、43等都不能）。 ⚠️避坑指南 ❌ 能被3整除看“各位数字之和”，不是看个位：13个位是3，但13不能被3整除。 ❌ 2是唯一的偶素数；9是最小的奇合数。 ❌ 个位是0的数，既能被2整除，也能被5整除。 考点四 素数、合数与分解素因数 ① 素数（质数）：只有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿两个因数的正整数。最小素数是＿＿＿＿＿＿＿＿，没有最大素数。 ② 合数：除了1和它本身以外还有＿＿＿＿＿＿＿＿的正整数。最小合数是＿＿＿＿＿＿＿＿。 ③ ＿＿＿＿＿＿＿＿既不是素数，也不是合数。正整数分为1、素数、合数三类。 ④ 素因数：某个＿＿＿＿＿＿＿＿的因数中的素数。 ⑤ 分解素因数：把一个合数写成＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的形式，形式＿＿＿＿＿＿＿＿。方法：树枝分解法、短除法。 ⚠️概念辨析 素数 合数 因数 素因数 只有1和本身2个因数 至少3个因数 能整除该数的整数 合数因数中的素数 例：2、3、5、7、11 例：4、6、8、9、10 例：30的因数1、2、3、5、6、10、15、30 例：30的素因数2、3、5 1不是素数 1不是合数 — 素因数一定是因数，因数不一定是素因数 ⚠️记忆口诀 素数两个因数，合数至少三个，1是例外两边站；分解素因数，因子全要是素数。 ⚠️易混易错 例：把36分解素因数——36=2×2×3×3（√）；36=4×9（×，4、9非素数）；36=1×36（×，含1）。 易错：把“分解因数”当“分解素因数”，或结果中混入1。 ⚠️避坑指南 ❌ 分解素因数结果中每个因数必须是素数，不能含1：36=4×9不是分解素因数（4、9非素数）。 ❌ 分解素因数形式唯一：36=2×2×3×3。 ❌ 素因数不能单独说（如“2是36的素因数”，不能说“2是素因数”）。 考点五 公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数 ① 公因数：几个整数＿＿＿＿＿＿＿＿的因数；最大公因数：公因数中＿＿＿＿＿＿＿＿的一个。 ② 互素：两个整数只有公因数＿＿＿＿＿＿＿＿。例：5和7、8和9互素（互素不要求都是素数）。 ③ 求最大公因数：列举法；分解素因数法（取＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的积）；短除法（除到商互素为止，所有＿＿＿＿＿＿＿＿相乘）。 ④ 公倍数：几个整数公有的倍数（＿＿＿＿＿＿＿＿）；最小公倍数：公倍数中＿＿＿＿＿＿＿＿的一个。 ⑤ 求最小公倍数：列举法；分解素因数法（公有素因数 + 各自＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿连乘）；短除法（所有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿相乘）。 ⑥ 重要关系：两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数。 ⚠️概念辨析 两数关系 最大公因数 最小公倍数 两数互素 1 两数的乘积 两数成倍数关系 较小数 较大数 一般情况 公有素因数的积 公有素因数＋各自剩余素因数连乘 ⚠️记忆口诀 最大公因看公素，最小公倍公私全——公有的、各自剩余的都要乘。 ⚠️易混易错 例：求12和18的最大公因数与最小公倍数（短除法）。 短除：2作除数去除12、18得6、9；再3作除数去除得2、3（互素）。最大公因数=2×3=6；最小公倍数=2×3×2×3=36。 易错：把求最大公因数当成求最小公倍数（漏乘各自剩余的素因数2、3）。 ⚠️避坑指南 ❌ 短除法要除到“商互素”为止；最大公因数只取左侧除数之积，最小公倍数要取“所有除数×最后的商”。 ❌ 分解素因数求最小公倍数时，公有的素因数只算一次，不能重复。 ❌ 记住：两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数（逆推原数常用）。 题型一 整除的判断 典例1 （24-25六年级上·上海浦东新·期中）下列算式中，属于整除的是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 看三点——被除数、除数、商都是整数，且余数为零（三整一零）。商写成分数形式时，即非整除。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（     ） A．9能整除3； B．2.1能整除21； C．1能整除任何正整数； D．如果，那么能被整除． 2．（25-26六年级上·上海·期中）下列各数中，第一个数能整除第二个数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25六年级上·上海虹口·期中）如果M能整除18，那么M一定是（　　） A．18 B．1 C．18的倍数 D．18的因数 题型二 分解素因数 典例2 （25-26六年级上·上海虹口·期中）分解素因数__________． 💡破题要诀 用短除法从最小的素数2开始试除，除到商是素数为止，再把各除数与最后的商按从小到大写成连乘；每个因数必须是素数，不能含1。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海普陀·期中）下列各对数①12和18、②15和25、③16和17中，互素的是______．（填序号） 2．（23-24六年级上·上海·期中）用短除法将下列各数分解素因数 (1)40 (2)114 3．（24-25六年级上·上海·期中）有三个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，并且他们三个年龄数的乘积是，这三个小朋友的年龄分别是多少？ 题型三 求最大公因数与最小公倍数 典例3 （25-26六年级上·上海青浦·期中）用短除法求和的最大公因数和最小公倍数． 💡破题要诀 两数成倍数关系——最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；两数互素——最大公因数是1，最小公倍数是乘积；一般情况用短除法。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）如图，根据短除法计算，正整数的最大公因数是_______________． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知，，则、的最小公倍数______． 3．（25-26六年级上·上海·期中）求150、210、315的最大公约数和最小公倍数． 题型四 能被2、3、5整除的综合 典例4 （25-26六年级上·上海青浦·期中）一个四位数2024至少加上__________可以被2、5整除． 💡破题要诀 能同时被2和5整除→个位是0；能同时被2、3、5整除→个位是0且各位数字之和能被3整除。 迁移应用 1．（24-25六年级上·上海普陀·期中）在由0、1、2组成没有重复数字的三位数中，能同时被2和5整除的数是________． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用0、5、8组成的三位数同时能被2、5整除，则最小的三位数是______． 3．（25-26六年级上·上海·期中）四位数2025至少加上______可以同时被2、3、5整除（填写一个正整数）． 题型五 由最大公因数与最小公倍数逆推原数 典例5 （25-26六年级上·上海·期中）两数的和是60，最大公因数是12，那么这两个数是_____． 💡破题要诀 两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数。设两数为最大公因数d×m、d×n（m、n互素），由d×m×n=最小公倍数求出m、n，再还原两数。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）如果两个正整数的最大公因数是6，最小公倍数是180，其中一个正整数是36，则另一个正整数是________． 2．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）已知，，且、的最大公因数是，则______． 3．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）两个正整数的最大公因数是4，最小公倍数是，求这两个正整数分别是多少？ 题型六 最小公倍数的实际应用 典例6 （25-26六年级上·上海·期中）在长千米的公路的一边等距离种树（两端都种），开始每隔9米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 💡破题要诀 把一件事“既能按a分组，又能按b分组”，求至少多少人，就是求a、b的最小公倍数，再处理领队/特殊人数。 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海·期中）在参与校外劳动实践时，同学们分配到了拔除杂草任务，男生负责除草，女生负责清运．经过数据统计发现，男生每人一个上午能够拔除6捆杂草，女生每人一个上午能够运走10捆杂草．现进行分组，组内需要男女合作使得拔除的杂草能够正好被全部运走，则每一小组至少需要男生、女生各多少人？ 2．（24-25六年级上·上海·期中）为了以最佳生态环境迎接2024年中国国际进口博览会，上海各处的绿化景观提升正在加紧建设中．为了响应这一政策，某小区内一条路两边每隔4米处放一盆绿色盆栽（路的两端都有盆栽），一共放了86盆；后又改成每隔6米放一盆绿色盆栽，请问不需要移动的有几盆？ 3．（25-26六年级上·上海·期中）近年来我国“授时中心”屡遭网络攻击，中国科学院国家授时中心是“北京时间”的源头产生和保持的国家标准时间与国际协调世界时的偏差数值保持在3纳秒以内． 某云计算中心有3台核心服务器，凌晨时同时完成首次数据同步并开始下一轮周期．各服务器数据同步与休整周期如下： 服务器A：数据同步需24分钟，同步后休整12分钟； 服务器B：数据同步需18分钟，同步后休整9分钟； 服务器C：数据同步需30分钟，同步后休整15分钟． 试问：从凌晨开始，至少经过多少分钟3台服务器会再次同时开始数据同步？此时是几点几分？ 题型七 最大公因数的实际应用 典例7 （24-25六年级上·上海松江·期中）有一张长方形纸片，长为60厘米，宽为48厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余．裁出的正方形纸片最少是多少张？ 💡破题要诀 “剪成同样长且最长的小段”“分装成同样多且最多”等，就是求相关量的最大公因数。 迁移应用 1．（23-24六年级上·上海金山·期中）有两根铁丝，一根长18米，一根长24米．现在要把它们截成同样长的小段，每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？ 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）某小区内部道路如图所示，长，长，长，要在这条道路的一侧等距离安装地面照明灯，且要求两端和转弯处都必须安装，那么这条道路最少要安装多少盏地面照明灯？ 3．（24-25六年级上·上海·期中）如图是一个长方形人工湖，如果在它的四周及四角栽上风景树，每相邻两棵树之间的距离要相等． (1)在各方案中，相邻两树之间的最大距离是多少？ (2)至少在湖的四周种几棵树？ 题型八 最小公倍数与最大公因数综合应用 典例8 暑假期间，小丽、小杰决定定期到敬老院打扫卫生，小丽每4天去一次，小杰每6天去一次，如果8月1日他们俩都在敬老院打扫卫生，那么，他们下一次同时在敬老院打扫卫生的时间是几月几日？ 迁移应用 1．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）有一张长方形纸片，它的长为20厘米，宽为30厘米． (1)如果要把它裁成大小相等的正方形纸片（没有剩余），那么正方形的边长至多为多少厘米？ (2)如果有这样的长方形纸片若干张，把它们拼成一个正方形（没有重叠，无缝隙），那么正方形的边长至少为多少厘米？ 2．（23-24六年级上·上海浦东新·期中）有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖， (1)若把它截成边长是整数厘米且面积都相等的小正方形地砖，恰无剩余，至少能截多少块？ (2)如果用这个长方形地砖铺成一个大的正方形地面，那么至少需要这样的长方形地砖多少块？ 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如果（a，b都是正整数），那么a是b的（    ） A．倍数 B．公倍数 C．因数 D．公因数 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列哪个选项中的两个正整数是互素的（   ） A．2和88 B．40和55 C．8和15 D．26和65 3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）． A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26六年级上·上海·期中）有下列语句：①合数都是偶数；②素数都是奇数；③自然数不是素数就是合数；④不存在最大的合数．其中叙述不正确的语句有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26六年级上·上海·期中）写出所有既是15的因数，又是5的倍数的数：___________． 6．（25-26六年级上·上海宝山·期中）既能被2整除，又能被3整除的最小正整数是_________． 7．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）某校有36名男生和48名女生，分组进行活动，要求每组人数相同，且每组中的男生人数也相同，那么每个组内至少有___名学生． 8．（25-26六年级上·上海虹口·期中）某公共汽车始发站，1路车每隔5分钟发车一次，2路车每8分钟发车一次，这两路汽车同时发车后，至少再经过__________分钟后同时发车． 9．（25-26六年级上·上海·期中）M是100以内能整除16的最小正数，N是能被32整除的最大两位数，则的值为___________． 10．（25-26六年级上·上海·期中），，则A，B两数的公因数是____________． 11．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）一包糖果不论平均分给9人还是人，都能正好分完，这包糖果最少可能为________________块． 12．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果和的最大公因数是6．且，，那么和的最小公倍数是______． 13．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）按照从小到大的顺序写出60的所有因数，并求出既是3的倍数，又是60的因数的数． 14．（25-26六年级上·上海青浦·期中）用短除法求98和56的最大公因数和最小公倍数． 15．（24-25六年级上·上海·期中）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，如果甲数为6，则乙数是多少？ 16． （24-25六年级上·上海崇明·期中）“学生艺术节”快到了，六年级学生排练舞蹈．舞蹈老师要求除了领舞的1人外，其余的人要作队形变换，既要能平均分成4组，又要能平均分成6组．那么至少要选拔多少名学生参加跳舞？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（    ）个 ①正整数是由素数和合数组成的． ②两个正整数的差为1，这两个正整数必然互素． ③，所以是的倍数，0.8是的因数． ④一个正整数，不是奇数就是偶数． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26六年级上·上海·期中）小明发现八音盒中有一对咬合的齿轮，其中大齿轮出现了故障．已知小齿轮的齿数为齿，每分钟转3圈．当八音盒播放完一首4分钟的曲子时，大小齿轮会回到初始位置．因此，小明选购以下哪个齿数的大齿轮来尝试修复最恰当？（    ） A．齿 B．齿 C．齿 D．齿 3．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）甲、乙两数的最大公因数是 6，最小公倍数是 36，已知甲数是 12，则乙数是（    ） A．18 B．12 C．24 D．36 4．（25-26六年级上·上海·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为6且互素，则满足条件的所有两位数是___________． 5．（25-26六年级上·上海·期中）用226、192、141分别除以同一个正整数，得到的余数都相同，且余数不为0，这个正整数是________． 6．（25-26六年级上·上海·期中）已知甲、乙两数均为正整数，它们的最大公因数为6，最小公倍数为72，则甲乙两数的和为______． 7．（25-26六年级上·上海·期中）一个正整数，由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，…，一直到前N位数可以被N整除，则这样的数叫做“兰生数”，如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，则123是一个“兰生数”．若四位“兰生数”各位数字之和能被3整除，则满足条件的四位“兰生数”最大值为________． 8.（植树问题）在一条长480米的大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？需要重新栽上多少棵？需要拔掉多少棵？ 9.某校预初年级开展了古诗文大赛，设有一、二、三等奖．其中获得一等奖的人数占参赛人数的，获得二等奖的人数占参赛人数的，获得三等奖的人数占参赛人数的．已知该年级共有学生400人． (1)求这次评选参赛的同学有多少名？ (2)求这次评选获得一等奖的同学有多少名？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $