第十五章 轴对称 重难点检测卷 -2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：轴对称全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）下列四种剪纸图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据对称轴的定义解题即可． 【详解】解：如图，对称轴一共有5条． 3．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标规律. 利用规律求出和的值. 再代入计算即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标互为相反数，纵坐标相等， 又点与点关于轴对称， ，， ． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【分析】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 7．（25-26八年级上·天津·阶段检测）如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．证明为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：依题意得 ，，米． ， ． ， 为等边三角形． 米． 故选：A． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，某智能机械加工工位为机架，，机架底边为直线型物料输送轨道，两腰上分别固定有物料暂存点D、成品检测点E．现需要在输送轨道上设置一个中转点位P，机器人从D出发，经P转运物料至E．要使得机器人行走路程最短，则下列示意图中，点P的位置符合要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质求解即可 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，交于点P，连接， ∴， 根据两点之间线段最短，可得最短． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在直角坐标系中，点，点，在x轴上找一点P，使最小．则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，先做A关于x轴的对称点，再链接，由图象求交点坐标即可． 【详解】解：点A关于x轴的对称点为， 连接，交x轴于点P， 由图象得：点P的坐标为， 故选：B． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图①，已知，点为内一定点，点、分别是、上的动点．如图②，分别作点关于、的对称点、，连接，交于点，交于点，连结、，所得的的周长最小，此时的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图②：由题意可得，由轴对称的性质结合等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得，利用三角形内角和定理易得，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点关于、的对称点、， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，解得：． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）若，则，它的逆命题是_________________________． 【答案】若，则 【分析】交换原命题的条件和结论即可得到逆命题． 【详解】解：原命题的条件为，结论为．，交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 12．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）点和点关于y轴对称，则________． 【答案】6 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，以及平行于轴的直线上两点间距离的计算，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出，的值，得到，两点坐标，再计算的长度即可． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，纵坐标相同，平行于轴， ． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）在数学实践课上，老师带领同学们通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点均与上的点重合，翻折后与交于点，折痕分别为．已知，的长为，则的周长为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，利用折叠的性质和等边三角形的判定，说明是等边三角形，进而解决问题． 【详解】解：由折叠的性质知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为， 故答案为：18． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是 ________ ． 【答案】/度 【分析】根据尺规作图的步骤可知，再根据等腰三角形的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余解答． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知直线是的垂直平分线，即， ∴． ∵， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，①分别以点和为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交边于点，连接．②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．，，则的度数_________． 【答案】 【分析】根据尺规作图的痕迹，可得垂直平分，平分，进而得到，，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线． ． ． 由作图可知，平分． ， ． 点在上， ． ． 在中，． ． ． ． 17．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作轴交的延长线于点，如图所示，则，证明，得，根据对称性及，求得，得，再证，得，根据线段和差得，从而即可得解． 【详解】解：过点作轴交的延长线于点，如图所示： ∴， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点与点关于轴对称， ，， ∴， ， 又是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，平行线的性质，中点定义，等角的补角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 18．（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 【答案】 【分析】连接，，，根据正六边形的性质可得，则为等边三角形，再根据切线的性质得，于是可得，利用正六边形的边长等于它的半径可得正六边形的边长，同理可得正六边形的边长，依此规律计算即可； 【详解】解：如图，连接，，， 六边形是正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形边长为， 同理可得：正六边形的边长为， 正六边形的边长为， 正六边形的边长． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 【答案】轴对称图形是（1）（2）（3）（5）；（1）中两组对应点为与；（2）中两组对应点为与；（3）中两组对应点为与；（5）中两组对应点为与. 【详解】解：轴对称图形是（1）（2）（3）（5）； 如图， （1）中两组对应点为与； （2）中两组对应点为与； （3）中两组对应点为与； （5）中两组对应点为与. 20．（25-26八年级上·山东德州·期中）过直线上一点作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： 在直线上点的两旁分别截取线段，，使； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； 过点，作直线，则直线即为所求作的垂线． 【答案】 【分析】根据题干作图步骤，先在直线上点的两旁分别截取线段，，使，然后作出线段的垂直平分线，即直线即为所求作的垂线． 【详解】略 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) 如图所示，点的坐标为； (2) 如图所示，点的坐标为． 【分析】（1）首先，找到各顶点的坐标，再根据轴对称的性质，关于x轴对称的图形的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，可找到的各顶点坐标，最后，作图，进而写出点的坐标； （2）首先，找到各顶点的坐标，再根据轴对称的性质，关于y轴对称的图形的点的坐标特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”，可找到的各顶点坐标，最后，作图，进而写出点的坐标． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 22．（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 【答案】①；②；③1；④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质）；⑤等角对等边；⑥ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 依据“”判定和全等得，再根据等角对等边得，然后根据即可得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴1（④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质））． ∴（⑤等角对等边）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）全等三角形的对应角相等；（5）等角对等边；（6）． 23．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1) 如图点，即为所求； (2) 如图，点即为所求． 【分析】本题考查了轴对称的性质，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质． （1）根据题意作关于的对称点，连接交于点，连接，则即为所求 （2）根据题意连接，作的垂直平分线，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 24．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图1，在等边中，点D，E分别在边，的延长线上，且，连接，．求证：线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． 证明：延长交于点F． ∵是等边三角形， ，． ，， （依据）． … (1)证明过程中的“依据”是______； (2)补全省略的证明过程； (3)如图2，点C在线段上，请在图2中作线段，使得，且与形成的夹角为，（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)等角的补角相等； (2) 解：， ， ． 是的外角， ． 是的外角， ． ，， ， 即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． (3) 解：答案不唯一，例如： 作法一：以为圆心长为半径画弧，交延长线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，即为，线段即为所求； 作法二：同法可得下图． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）结合证明过程可得：利用等角的补角相等即可得依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【详解】（1）解：． ，， （等角的补角相等）； 故答案为：等角的补角相等； （2）略 （3）略 25．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， ， ∴，， ∴是等边三角形， ； (2)①证明：如图2所示，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②，证明如下： 如图2所示，过点作于， ， ， 为等边三角形， ∴， ； ∵， ； ∵， ∴， 又∵， ， ， ， ∴； (3)结论①成立；结论②不成立，新的数量关系为 【分析】（1）证明是等边三角形，即可证明； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，得到，则可证明；再证明，即可证明；②过点作于，先证明；再证明，得到，据此可得结论； （3）过点作交延长线于点，证明是等边三角形，得到，证明，得到，求出，证明，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点作交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴，； ， ， 是等边三角形， ， ， ，即； 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ∴，即． 26．（25-26七年级下·山东青岛·期末）【生活实际】 小明在科学课上制作了一个简易万花筒．他将两面长方形平面镜的一条长边重合，组成了一个夹角可以变化的字形镜面．当他在镜子前放置一个小物体时，可以看到物体和它在镜子中的像共同组成的对称图案． 【数学模型】 为了研究这个现象，我们把镜子抽象成直线，把物体和它的像抽象成点．如下图所示，射线和射线表示两面镜子，它们的夹角．点代表放在镜前的小物体．点是点关于镜面的对称点（即物体在镜中的像），点是点关于镜面的对称点． 【模型应用】 请你运用所学的轴对称知识，探究以下问 (1)连接，，________（用含的代数式表示）； (2)在（1）的基础上，连接，请判断是什么特殊三角形？________． 【拓展延伸】 如图所示，当张角大小是的因数时，观察到的物体数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． (3)当________时，镜子中的像和物体共同围成一个六边形；此时，若点在________位置上时，该六边形是一个正六边形． 【答案】(1)2m (2)等腰三角形 (3)60；平分线 【分析】（1）利用轴对称性质得到两组相等角，拆分，通过等量代换推导出与的关系式； （2）依据轴对称对应线段相等，等量代换得出，依据等腰三角形定义判定三角形形状； （3）根据成像总个数规律列式求出，结合正六边形边长相等的特征确定点的位置． 【详解】（1）解：连接、、， ∵与关于直线对称， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （3）解：由图可得当时，实物与像的个数一共有个； 当时，实物与像的个数一共有个； 当时，实物与像的个数一共有个； ∴当时，实物与像的个数一共有个； ∵实物与像一共个， ∴， ∴， 如图，设交于点，交于点， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴点在的平分线上。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共26题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：轴对称全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）下列四种剪纸图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．10 3．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则（    ）． A． B．13 C．3 D． 4．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 7．（25-26八年级上·天津·阶段检测）如图，工人在某施工现场作业，有一个长为米的梯子（图中CM）斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子（图中）的倾斜角为，那么的长是（   ）米． A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，某智能机械加工工位为机架，，机架底边为直线型物料输送轨道，两腰上分别固定有物料暂存点D、成品检测点E．现需要在输送轨道上设置一个中转点位P，机器人从D出发，经P转运物料至E．要使得机器人行走路程最短，则下列示意图中，点P的位置符合要求的是（     ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在直角坐标系中，点，点，在x轴上找一点P，使最小．则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图①，已知，点为内一定点，点、分别是、上的动点．如图②，分别作点关于、的对称点、，连接，交于点，交于点，连结、，所得的的周长最小，此时的度数是（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）若，则，它的逆命题是_________________________． 12．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）点和点关于y轴对称，则________． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 14．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）在数学实践课上，老师带领同学们通过折纸计算数学问题：将直角三角形纸片按照如图所示方式折叠，使点均与上的点重合，翻折后与交于点，折痕分别为．已知，的长为，则的周长为______． 15．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是 ________ ． 16．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，①分别以点和为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和，作直线交边于点，连接．②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．，，则的度数_________． 17．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，设．且，点与点关于轴对称，点为的中点，连接，过点作，且，连接交于点，则的值为______． 18．（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 三、解答题（8小题，共64分） 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）在下列图形中，找出轴对称图形，并找出它的两组对应点． 20．（25-26八年级上·山东德州·期中）过直线上一点作已知直线的垂线，按下面的作图步骤画图： 在直线上点的两旁分别截取线段，，使； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点； 过点，作直线，则直线即为所求作的垂线． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)作出关于x轴对称的图形，并直接写出点的坐标； (2)作出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标． 22．（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 23．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 24．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图1，在等边中，点D，E分别在边，的延长线上，且，连接，．求证：线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． 证明：延长交于点F． ∵是等边三角形， ，． ，， （依据）． … (1)证明过程中的“依据”是______； (2)补全省略的证明过程； (3)如图2，点C在线段上，请在图2中作线段，使得，且与形成的夹角为，（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 25．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是等边边上的点． (1)如图1，过点作，且交于点，求证：； (2)如图2，连接，过点作，与的邻补角的平分线交于点，过作于点． ①求证：； ②猜想写出，，之间的数量关系式，并加以证明； (3)如图3，（2）中其它条件不变，若点在延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）． 26．（25-26七年级下·山东青岛·期末）【生活实际】 小明在科学课上制作了一个简易万花筒．他将两面长方形平面镜的一条长边重合，组成了一个夹角可以变化的字形镜面．当他在镜子前放置一个小物体时，可以看到物体和它在镜子中的像共同组成的对称图案． 【数学模型】 为了研究这个现象，我们把镜子抽象成直线，把物体和它的像抽象成点．如下图所示，射线和射线表示两面镜子，它们的夹角．点代表放在镜前的小物体．点是点关于镜面的对称点（即物体在镜中的像），点是点关于镜面的对称点． 【模型应用】 请你运用所学的轴对称知识，探究以下问 (1)连接，，________（用含的代数式表示）； (2)在（1）的基础上，连接，请判断是什么特殊三角形？________． 【拓展延伸】 如图所示，当张角大小是的因数时，观察到的物体数量（包含实物与像，重合的像看作一个像）是有规律的． (3)当________时，镜子中的像和物体共同围成一个六边形；此时，若点在________位置上时，该六边形是一个正六边形． 学科网（北京）股份有限公司 $