12.5 全等三角形的判定（第4课时）课件 2026-2027学年北京版数学八年级上册

第12章 三角形 12.5 全等三角形的判定 （第4课时）角角边与辅助线 八年级上册　数学（北京版） 学习目标 学习目标 理解 理解角角边判定的推导与应用。 运用 综合使用四种全等判定，尝试添加对角线等辅助线。 复习引入 问题引入 观察 两角相等能否推出第三角也相等？ 思考 给定一组等角的对边，怎样转成角边角的条件？ 随堂探究 探究　由ASA推出新判定 ∠A=∠A′、∠B=∠B′、BC=B′C′，证明△ABC≌△A′B′C′。 答：两三角形全等。 解 内角和得∠C=∠C′。 ∠B=∠B′、BC=B′C′、∠C=∠C′，由ASA全等。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 知识讲授 角角边 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。简记为：角角边或AAS。 时，可判。 已知边分别是其中一组等角的对边，与ASA中的夹边区分。 例题讲解 例 4 已知：如图，∠C=∠D=90°，AB平分∠CAD。求证：AC=AD。 答：AC=AD。 解 ∠CAB=∠DAB，∠C=∠D，AB=AB。 由AAS得△CAB≌△DAB，再得AC=AD。 方法：核对对应条件，用AAS证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 随堂探究 变式　性质扩展 在例4条件下，还能得到BC与BD什么关系？ 答：BC=BD。 解 从同一对全等三角形取另一组对应边。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 随堂探究 探究　开放补条件 ∠ACB=∠DBC，再增加什么条件可判△ABC≌△DCB？ 答：可加∠ABC=∠DCB，或∠A=∠D。 解 公共边BC=CB；前者用ASA，后者用AAS。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 例题讲解 例 5 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC。求证：（1）AB=CD；（2）∠B=∠D。 答：AB=CD，∠B=∠D。 解 连接AC，平行线得∠BAC=∠DCA、∠BCA=∠DAC。 AC=CA，由ASA得△BAC≌△DCA，故对应边角相等。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 随堂探究 变式　对角线的另一种选择 在例5中改连BD，能否证明相同结论？ 答：能。 解 用两组内错角与公共BD，由ASA证△ABD≌△CDB。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 课堂练习 练习1 已知：在△ABC中，D为BC的中点，BE⊥AD，交AD的延长线于E，CF⊥AD于F。求证：BE=CF。 答：BE=CF。 解 ∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF，BD=CD。 由AAS得△BDE≌△CDF，因此BE=CF。 方法：核对对应条件，用AAS证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 课堂练习 练习2 已知：在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于D。求证：AD⊥BC。 答：AD⊥BC。 解 AB=AC、AD公共、∠BAD=∠CAD，由SAS得全等。 ∠ADB=∠ADC且互补，故都为90°。 方法：核对对应条件，用SAS证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 知识讲授 四种判定的选择 含三边 三组边相等优先考虑SSS；两边及夹角则考虑SAS。 含两角 看已知边的位置，夹边用ASA，等角对边用AAS。 知识讲授 辅助线的作用 构造三角形 四边形中的对角线可以把目标放入两个三角形中。 保留题设 辅助线只增加可用关系，不能任意假设平行、垂直或中点。 课堂总结 角角边与辅助线 AAS 两角及等角对边 综合判定 检查条件位置 辅助线 连接对角线构造全等 性质应用 求边、求角、证垂直 特别提醒：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练1　AAS条件识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=∠D、∠B=∠E、BC=EF，可判全等吗？ （2） ∠A=∠D、∠C=∠F、AB=DE，可判全等吗？ 解第（1）题 可以，AAS。 BC、EF分别是等角A、D的对边。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练1　AAS条件识别 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=∠D、∠B=∠E、BC=EF，可判全等吗？ （2） ∠A=∠D、∠C=∠F、AB=DE，可判全等吗？ 解第（2）题 可以，AAS。 AB、DE是等角C、F的对边。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练2　ASA或AAS 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=∠D、∠B=∠E、AB=DE，用什么判定？ （2） 同样两组等角，给AC=DF，用什么判定？ 解第（1）题 ASA。 相等边是两角夹边。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练2　ASA或AAS 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=∠D、∠B=∠E、AB=DE，用什么判定？ （2） 同样两组等角，给AC=DF，用什么判定？ 解第（2）题 AAS。 AC、DF是等角B、E的对边。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练3　第三角转化 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=47°、∠B=63°，∠C是多少？ （2） 另一个三角形∠D=47°、∠F=70°，求∠E。 解第（1）题 70°。 内角和为180°。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练3　第三角转化 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠A=47°、∠B=63°，∠C是多少？ （2） 另一个三角形∠D=47°、∠F=70°，求∠E。 解第（2）题 63°。 第三角相等可完成ASA。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练4　公共斜边模型 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个直角三角形共用AB为斜边，另有一个锐角相等，能否判全等？ （2） 若只共用斜边而没有其他条件，一定全等吗？ 解第（1）题 能，AAS。 直角相等、锐角相等、它们之一的对边AB公共。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练4　公共斜边模型 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两个直角三角形共用AB为斜边，另有一个锐角相等，能否判全等？ （2） 若只共用斜边而没有其他条件，一定全等吗？ 解第（2）题 不一定。 缺少另一组边或角条件。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练5　补充角 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠C=∠F=90°，AB=DE，用AAS还可补什么？ （2） ∠A=∠D，BC=EF，用AAS可补什么？ 解第（1）题 ∠A=∠D或∠B=∠E。 再有一组锐角相等即可。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练5　补充角 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠C=∠F=90°，AB=DE，用AAS还可补什么？ （2） ∠A=∠D，BC=EF，用AAS可补什么？ 解第（2）题 ∠B=∠E或∠C=∠F。 保证第二组对应角相等。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练6　全等的数值 完成下列问题，并说明理由。 （1） 全等后对应边为2x+4和16，求x。 （2） 全等后对应角为3x°和81°，求x。 解第（1）题 6。 2x+4=16。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练6　全等的数值 完成下列问题，并说明理由。 （1） 全等后对应边为2x+4和16，求x。 （2） 全等后对应角为3x°和81°，求x。 解第（2）题 27。 3x=81。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练7　中点给条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） D为BC中点，可得BD与CD什么关系？ （2） 如果BC=18，BD是多少？ 解第（1）题 BD=CD。 中点定义。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练7　中点给条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） D为BC中点，可得BD与CD什么关系？ （2） 如果BC=18，BD是多少？ 解第（2）题 9。 平分总长。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练8　垂直给条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） BE⊥AD，E在AD上，∠BED是多少？ （2） CF⊥AD，F在AD上，∠CFD是多少？ 解第（1）题 90°。 垂直定义。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练8　垂直给条件 完成下列问题，并说明理由。 （1） BE⊥AD，E在AD上，∠BED是多少？ （2） CF⊥AD，F在AD上，∠CFD是多少？ 解第（2）题 90°。 两个直角必相等。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练9　由等角到垂直 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠ADB=∠ADC且B、D、C依次共线，两角多少度？ （2） 仅∠ADB=∠ADC，若B、D、C不共线，能否断定AD⊥BC？ 解第（1）题 各90°。 相等且和180°。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练9　由等角到垂直 完成下列问题，并说明理由。 （1） ∠ADB=∠ADC且B、D、C依次共线，两角多少度？ （2） 仅∠ADB=∠ADC，若B、D、C不共线，能否断定AD⊥BC？ 解第（2）题 不能。 缺少邻补关系。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练10　辅助线辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 四边形ABCD中，连接AC会得到哪两个三角形？ （2） 连接BD会得到哪两个三角形？ 解第（1）题 △ABC与△CDA。 共用对角线AC。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练10　辅助线辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 四边形ABCD中，连接AC会得到哪两个三角形？ （2） 连接BD会得到哪两个三角形？ 解第（2）题 △ABD与△CDB。 共用对角线BD。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练11　判定依据 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两边及夹角相等用什么判定？ （2） 三边分别相等用什么判定？ 解第（1）题 SAS。 夹角必须在两已知边之间。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练11　判定依据 完成下列问题，并说明理由。 （1） 两边及夹角相等用什么判定？ （2） 三边分别相等用什么判定？ 解第（2）题 SSS。 三组对应边齐全。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练12　循环论证辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 为证AB=CD，能先把AB=CD作为全等条件吗？ （2） 连AC后可直接写AC=CA吗？ 解第（1）题 不能。 待证结论不能当已知使用。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练12　循环论证辨析 完成下列问题，并说明理由。 （1） 为证AB=CD，能先把AB=CD作为全等条件吗？ （2） 连AC后可直接写AC=CA吗？ 解第（2）题 可以。 公共边是已知成立的等量。 方法：按边角位置选择ASA或AAS。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练13　证明角平分线 ∠ABC=∠ACB，AD⊥BC于D。用AAS证明AD平分∠BAC。 答：AD平分∠BAC。 解 直角相等、底角相等、AD公共，由AAS证△ABD≌△ACD，得顶角两部分相等。 方法：核对对应条件，用AAS证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练14　等距线段证明 D为BC中点，过D的直线与B、C所作垂线垂足分别为E、F。E、F在D两侧。证明BE=CF。 答：BE=CF。 解 直角相等、对顶角相等、BD=CD，由AAS证两三角形全等。 方法：核对对应条件，用AAS证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练15　应用：测两岸距离 设计两个三角形对应角分别为30°、90°，对应30°角的对边都长20 m。两三角形全等吗？若一条对应边实测40 m，另一条多长？ 答：全等，另一条40 m。 解 两角和一组等角对边相等，AAS；再用对应边相等。 方法：核对对应条件，用AAS证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 针对训练 训练16　应用：折叠支架 折叠架形成四边形ABCD，两组对边分别平行。已量AB=1.8 m，∠B=65°，求CD及∠D。 答：CD=1.8 m，∠D=65°。 解 连对角线，用ASA证两三角形全等，再取对应边角。 方法：核对对应条件，用ASA证明全等。 注意：所用相等边必须与等角正确对应。 方法总结 角角边与辅助线 按条件选择判定 （1）看边角组数与位置 （2）补出公共条件或等角 从目标寻找全等 （1）把目标放进两个三角形 （2）按对应关系组织证明 $