立体几何与空间向量专项训练 （新高考）-2027届高三数学一轮复习

2027年高中数学一轮复习热点考点精练 07立体几何与空间向量 热点考点一：线面、面面平行与垂直的判定与性质证明 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 2．如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点.    （1）求证：平面平面； （2）求证：平面 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求三棱锥的体积． 4．如图，四面体中，平面，分别为的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面⊥平面 5．如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.    （1）求证:； （2）求三棱锥的体积； （3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由. 6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，求二面角的正弦值． 热点考点二：二面角计算（空间向量法为主） 一、解答题 1．如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 2．如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． (1)证明：直线平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 3．在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 4．如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． (1)若是的中点，求证：平面平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 5．在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面夹角的余弦值为，求． 6．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 热点考点三：几何体表面积、体积计算（柱、锥、台、球，割补法） 一、单选题 1．已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为1和7，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 3．如图所示，六面体由上、下两个三棱锥组合而成，其中，，，若二面角和二面角的平面角的大小分别为和，上、下两个三棱锥的内切球半径分别为，，六面体的内切球半径为，则（    ）    A．1 B． C． D． 二、多选题 4．已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（     ） A．该圆台的母线长为4 B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为 D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 5．如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（    ） A．P，，，四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角为 6．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 三、填空题 7．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 8．玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________. 9．如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    热点考点四：线面角计算 一、解答题 1．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. (1)求的长； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 4．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 5．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 6．如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 热点考点五：球的外接、内切问题（多面体外接球半径） 一、单选题 1．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 3．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 5．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 6．若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 三、填空题 7．在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 8．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 9．已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高中数学一轮复习热点考点精练 07立体几何与空间向量 热点考点一：线面、面面平行与垂直的判定与性质证明 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，平面，E，F分别是的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先证明，平面即得证； （2）先证明，，平面即得证． 【详解】（1）在中，E，F分别是的中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）在中， ， 所以，所以． 因为平面，平面， 所以． 又因为平面平面． 所以平面． 因为平面，所以 在中，因为，E为的中点， 所以． 又因为平面平面． 所以平面． 【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力. 2．如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，，，，分别是，，的中点.    （1）求证：平面平面； （2）求证：平面 【答案】（1）在△ 中，，分别是，的中点，即， ∵面面，面，面， ∴面 又∵底面是正三角形且，是的中点，即在正方形中有为平行四边形，有， ∵面面，面，面， ∴面，而， ∴面面 （2）在正方形中有，若的交点为，连接、，    即有矩形：，，而，则面， ∴面，而面，即，又， ∴面 【分析】（1）由线面平行的判定有面，面，又结合面面平行的判定可证面面； （2）应用正方形、矩形、直三棱柱的性质，利用线面垂直的判定证明平面即可； 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了应用线面平行、面面平行的判定证平行，线面垂直判定证垂直，属于中档题. 3．如图，在四棱锥中，底面为菱形，,，面面,为等边三角形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若是的中点，求三棱锥的体积． 【答案】（1）详见解析（2） 【分析】（1）由，结合线面垂直的判定即可得证； （2）由是的中点，所以，则将求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，再由条件即可得解. 【详解】(1)证：因为为等边中边的中点， 所以, 又因为在菱形中，， 所以为等边三角形，为的中点， 所以,而, 所以平面. (2)解：由(1)知，面面,所以底面， 因为等边的边长为2，所以, 易知为边长为2的等边三角形， 所以三棱锥的体积为：, 因为是的中点，所以， 所以三棱锥的体积为． 【点睛】本题考查了线面垂直的判定及三棱锥体积的求法，重点考查了空间想象能力及运算能力，属中档题. 4．如图，四面体中，平面，分别为的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面⊥平面 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由中位线定理得，进而根据线面平行判定定理即可证明； （2）由平面得，再结合得平面，进而得平面⊥平面. 【详解】解：（1）在中，由于分别为的中点， ∴ ， ∵ 平面，平面， ∴平面； （2）∵ 平面，平面 ∴， 又∵ ，，平面， ∴平面， ∵ 平面， ∴平面⊥平面. 5．如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.    （1）求证:； （2）求三棱锥的体积； （3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由. 【答案】 （1）连结，∵为的中点，， ∴为等腰直角三角形， 则，同理可得，∴，∴， 又，且， ∴，    又∵，∴，又，∴.    （2）； （3）在上存在中点，使得.理由如下： 取的中点，连结. ∵是的中点， ∴，且，        又因为E为BC的中点，且四边形ABCD为矩形，所以EC//AD，且EC=AD， 所以EC//GH，且EC=GH，所以四边形EGHC是平行四边形，所以EG//CH， 又EG平面PCD，CH平面PCD，所以EG//平面PCD. 【分析】(1)连结，由几何体的空间结构可证得，利用线面垂直的定义可知. (2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形，结合题意转化顶点可得. (3)在上存在中点，使得.取的中点，连结. 易证得四边形EGHC是平行四边形，所以EG//CH，结合线面平行的判断定理可知EG//平面PCD. 【详解】(1)略 (2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形， ∴，而是三棱锥的高， ∴. (3)略 【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理，线面垂直的判断定理，棱锥的体积公式，立体几何中探索问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，点在线段上，，且平面． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是矩形，由矩形对边平行的性质可得：， 又因为平面，平面，所以平面. (2)由平面，平面，因此， 在底面矩形中，，，， ，， 因此，由勾股定理逆定理得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，因此. (3) 【分析】 （1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）先把问题转化为证明平面，只需证明和，利用线面垂直的性质可证明，利用勾股定理逆定理可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，利用二面角的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）以为原点，建立空间直角坐标系，使平行于的方向为轴，方向为轴，方向为轴， 结合可得各点坐标： ，，，, 由（2）知是平面的一个法向量； 设平面的法向量为,，， 令，，即，取得. 设二面角的平面角为，则 , 因此二面角的正弦值为： . 热点考点二：二面角计算（空间向量法为主） 一、解答题 1．如图，在直三棱柱中，是侧棱的中点，，，是底边的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为，，所以，． 在直三棱柱中，有底面侧面， 因为平面，平面平面， 所以平面． 在平面内过点作直线，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，． 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得， 令，则，，则． 又．则，所以． 又平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，验证与该法向量垂直，且不在平面内，从而证明线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量夹角与二面角大小相等或互补的关系，计算其余弦值，再转化为正弦值． 【详解】（1）略． （2）由（1）可知，，． 设是平面的一个法向量， 则，得， 令，则，，则． 由（1）可知，平面的一个法向量是． 所以，． 所以，二面角的正弦值是． 2．如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． (1)证明：直线平面． (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接、、， 则，且，即， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则，， 又平面，平面，所以直线平面. (2) 【分析】取的中点，连接、、，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证得直线平面； （2）分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）在直四棱柱中，底面，且， 如图，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设是平面一个法向量，则，， ，取得为平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，， 取得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，那么， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． (1)求证：平面平面； (2)当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意得：平面，面， 则． 又，，面，面， 故面，面， 故． 又，，面，面， 故面． 又面， 故面面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再由判定定理可得面，从而得，结合，可得面，由面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系，设，由，可得，由三点共线及，可得．再由异面直线与夹角的余弦值为，求得，取，求出两平面与平面的法向量，即可得答案. 【详解】（1）略； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系： 因为圆锥的高为3．母线长为5， 所以底面半径, 由题意，，，，． 设， 则，， 又，即， 即， 又， 设， ， 又， 代入坐标得：， 解得：． 故． 又， ，． 设异面直线与夹角为， 则， 解得． 由对称性，结合， 不妨取， 此时，，． 设面的法向量， 则， 不妨令，则． 同理，设面的法向量， 则． 设平面与平面夹角为， ． 4．如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是线段上动点，且． (1)若是的中点，求证：平面平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：由题意以为坐标原点，分别为轴，过点平行于的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 在正三棱柱中，由，是的中点， 则， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为，所以， 所以平面平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标，求出两个平面法向量，利用向量法证明即可； （2）设点的坐标，利用向量法表示出平面与平面所成夹角公式，求出点的坐标，然后利用向量法求点到面的距离即可. 【详解】（1）略 （2）设，则， 设此时平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面与平面所成夹角为，且 即， 即，解得：或（舍去）， 所以平面的一个法向量为， 又点，则， 所以点到平面的距离：. 5．在正方体中，是棱上的一个动点（不含端点）． (1)求证：平面平面； (2)若平面和平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见下详解 (2) 【分析】（1）先证平面，再证平面，最后证出平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设点坐标，分别求出平面和平面法向量，表示出向量夹角余弦的绝对值，求出点坐标，再根据向量夹角求出的值即可. 【详解】（1）证明：连接，由四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 由正方形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）设正方体的棱长为1，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，则，， 设为平面法向量，则，则， 取，则，所以， 易知平面，即平面，所以为其法向量， 所以，解得或（舍）， 所以点为，则，， 所以. 6．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，进而得出线线垂直； （2）由已知是直角三角形，根据等积法，求出平面ABC上的高，结合空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）∵，为的中点 ∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）分别取、的中点为F、G，连结、， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵、的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵平面和平面夹角的大小为， ∴， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为，. 热点考点三：几何体表面积、体积计算（柱、锥、台、球，割补法） 一、单选题 1．已知正三棱台的高为，上、下底面边长分别为1和7，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，正三棱台的侧面是三个全等的梯形，上下底面分别是边长为1和7的等边三角形. 设棱台高为，梯形高为，上底面边长为，下底面边长为， 上底面内接圆圆心到边的距离为，下底面内接圆圆心到边的距离为. 则，同理， . 所以， 即. 2．有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的几何性质分析球的半径以及圆台的结构特征，结合体积公式运算求解即可. 【详解】如图，为的中点，，    则等边的内切圆O的半径，，， 可知圆台的上、下底面半径分别为，高为， 所以该几何体的体积为. 3．如图所示，六面体由上、下两个三棱锥组合而成，其中，，，若二面角和二面角的平面角的大小分别为和，上、下两个三棱锥的内切球半径分别为，，六面体的内切球半径为，则（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由二面角的平面角可得之间的等量关系，然后由一个字母结合等体积法可表示出内切球半径，据此可得答案. 【详解】设. 如下图在三棱锥中，取中点为，连接，由题设可得， 从而由二面角平面角定义可得.由所设数据，可得. 由余弦定理可得：，得. 在三棱锥中，类似可得：，得. 在三棱锥中，设在底面的投影点为，则为三棱锥的高，又. 则，， 注意到. 对于三棱锥，类似可得， .则， 则.    【点睛】关键点睛：本题涉及二面角定义，几何体的内切球相关计算.本题关键为掌握如下结论，对于存在内切球的几何体，总有，其中表示几何体体积，为几何体表面积，为内切球半径. 二、多选题 4．已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和3，母线与底面所成的角为，则（     ） A．该圆台的母线长为4 B．该圆台的侧面积为 C．该圆台的体积为 D．能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为 【答案】ACD 【分析】根据圆台的结构特征和表面积的有关计算、体积公式和台体与球的内、外接问题，结合选项依次计算即可. 【详解】对于A，设圆台上底面的半径为，下底面的半径为， 由于母线与底面所成的角为，则母线长，故A正确； 对于B，圆台的侧面积为，故B错误； 对于C，由题意有：，圆台的高， 所以该圆台的体积为，故C正确； 对于D，设梯形为圆台的一个轴截面，如图所示： 设圆台上､下底面圆心分别为，点为线段的中点，则，， 由已知，取，则， 连接， 因为，，，所以，， 又，所以， 由余弦定理可得，所以，， 由对称性可得以点为圆心，为半径的圆与梯形内切， 所以以为球心，为半径的球与圆台的两个底面和侧面都相切， 所以能在该圆台中自由转动的最大的球的半径为. 5．如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（    ） A．P，，，四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角为 【答案】BC 【分析】根据异面直线的判定判断A，利用补形法判断B，根据等体积法判断C，作出异面直线所成的角计算判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面，而直线， 点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱，矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为，则，C正确； 对于D，取中点，连接， 由是中点，得，则是异面直线与所成角或其补角，由已知，，，平面，所以平面，故平面，又平面，于是， 而，因此，即，D错误. 6．如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ACD 【分析】选项A，由题意平面，可得为底面上的高，然后计算的面积，利用求解即可.选项B，利用向量夹角公式，再结合在中由余弦定理计算，利用向量的数量积以及线性运算进行转化，最终得到直线与直线所成角的余弦值为；选项C，利用等体积法，求出点到平面的距离，然后利用线面角的定义得到直线与平面所成角的正弦值为；D选项，先求出的外接圆半径，然后构造直角三角形得到，解得外接球半径，再利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为，平面， 所以平面，所以为底面上的高， 选项A，因为由翻折得到，所以. 在中，，边上的高为， 所以，A正确 选项B，在中，， 可得 ，所以直线与直线所成角的余弦值为，B错误. 选项C，由题意得，设点到平面的距离为， 由，可得，解得 所以直线与平面所成角的正弦值为，C正确. 选项D，由选项B知，， 所以，所以的外接圆半径 设三棱锥的外接球半径为， 因为平面，所以，解得. 所以外接球的体积是，D正确. 三、填空题 7．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 【答案】 【分析】取上下底面对应边的中点，构造侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面等腰梯形的高，结合面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心分别为， 取的中点，的中点， 连接. 由正棱台的性质可知， 平面，，， 且四点共面. 过作于点， 则平面，且. 因为，，，所以平面， 又平面， 所以. 同理. 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角， 由题意可知. 因为， 所以，， 又四边形为矩形， 所以. 所以， 在中，， 即侧面等腰梯形的高为. 上底面面积为，下底面面积为， 侧面积为， 所以该棱台的表面积. 8．玉琮是中国古代内圆外方的筒形玉石礼器，主要用于祭祀，其外形可近似为一个正四棱柱，且自上而下有一个圆柱形孔洞贯穿，如图所示.某学生用3D技术打印了5个玉琮模型，它们的高度从小到大成等差数列、其内圆柱形孔洞的体积依次成公比为2的等比数列.若最矮玉琮模型孔洞的底面半径为，最高玉琮模型孔洞的底面半径和高分别为和，则这5个玉琮模型的高度和为___________. 【答案】 【分析】根据条件，利用等比数列的通项公式及圆柱的体积公式可得最矮孔洞的高，再由等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设个玉琮的圆柱形孔洞体积为，高度为，孔洞半径为， （其中，对应最矮，对应最高）， 由题知是公比的等比数列，因此， 因为最高玉琮孔洞半径，高，则， 代入，得，即最矮孔洞体积为， 又， 由圆柱体积公式得，解得， 由题知是等差数列，且， 所以数列前项和，故个玉琮高度和为. 9．如图，在三棱柱中，底面，且，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为_________.    【答案】 【分析】将三棱锥补成直三棱柱，由题设易得三棱锥的外接球的半径为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离为，进而求解即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补成直三棱柱， 分别取的中点，连接，取的中点，连接， 由底面，， 则分别为的外心，，， 由题意知，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，为球心， 则外接球的半径为. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    易知，，， 则. 设平面的一个法向量为， 则，令，得，又， 所以点到平面的距离为， 则平面截三棱锥的外接球的截面圆的半径， 所以截面圆的面积为. 热点考点四：线面角计算 一、解答题 1．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1) 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； (2) 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 2．如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. (1)求的长； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为平面，平面， 所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. （2）所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. （3）由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面， 所以， 因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为， ， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为， 所以. 3．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以 . 又，平面，因此 平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【详解】（1）略 （2） 取中点为，中点为，则 ， . 由（1）知， 平面， 平面，则.又，故. 又 ， 平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､ 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面 的法向量为， 则，即，故可取. 设直线 与平面 所成角为 ， 则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 4．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 5．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】(1)证明：因为平面平面，平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出平面的法向量，求出线面角，建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 6．如图，在三棱台中，平面平面，，，. (1)证明：； (2)当直线与平面所成的角最大时，求三棱台的体积. 【答案】(1)证明：在三棱台中，取的中点，连接， 由，得，由平面平面，平面平面， 平面，得平面，而平面，则， 又，则四边形是菱形，， 而平面，因此平面，又平面， 所以. (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的判定性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法，再结合棱台体积公式计算得解. 【详解】（1）略 （2）取中点，则，由平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设直线与平面所成的角为， ，当且仅当，即时取等号， 所以三棱台的体积 . 热点考点五：球的外接、内切问题（多面体外接球半径） 一、单选题 1．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 2．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得， 所以， 所以该球的体积V的最大值是． 故选：D 3．已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可. 【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合， 正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为， 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：，而为的中点，则， 所以该三棱锥的外接球的体积为. 故选：A 二、多选题 4．如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点，则（   ） A．圆柱的侧面积为 B．三棱锥的体积为 C．圆柱的外接球的表面积为 D．平面 【答案】BCD 【分析】代入圆柱侧面积的公式，判断A，将三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，判断B，首先确定是圆柱外接球的直径，根据勾股定理求半径，再代入球的表面积公式，判断C，构造平行四边形，得到线线平行，再结合线面平行的判断定理，即可判断D. 【详解】对于A，圆柱的侧面积，故A错误； 对于B，由题意得，且 所以，故B正确； 对于C，取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为，故C正确； 对于D，取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面，故D正确． 故选：BCD． ， 5．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则（    ）    A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为 C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为 【答案】ACD 【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项. 【详解】    对A：由题知，各侧面均为边长为的正三角形， 故该正八面体结构的表面积，故A正确； 对B：连接，则，底面， 故该正八面体结构的体积，故B错误； 对C：底面中心到各顶点的距离相等，故为外接球球心，外接球半径， 故该正八面体结构的外接球表面积，故C正确； 对D：该正八面体结构的内切球半径， 故内切球的表面积，故D正确； 故选：ACD． 6．若正四面体的表面积为，则（    ） A．该正四面体的棱长为1 B．该正四面体的高为 C．该正四面体的体积为 D．该正四面体的外接球表面积为 【答案】ACD 【分析】先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积. 【详解】设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确； 作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点， 则有，于是该正四面体的高为，B错误； 由 A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确； 将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球， 其半径为，表面积为，D正确. 三、填空题 7．在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 8．在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图：    在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 9．已知球内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），且该正四棱台的上､下底面棱长之比为，则球与该正四棱台的体积之比为__________. 【答案】 【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱台体积，即可得解. 【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，    设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点，， 不妨设正四棱台上、下底面的棱长为，， 则，，， 故在直角梯形中，过点C作，垂足为E，所以， 在中，，为棱台的高，也是球的直径， 所以半径为，所以球的体积为， 棱台体积为， 所以球与棱台的体积比为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $