专题02反比例（知识&考点&公式&6高频&4易错&3重难，期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪科版

专题02 反比例函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(10类) 公式清单(5类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 反比例函数的定义 一般地，形如_____________的函数叫做反比例函数。其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数。 三种等价形式：________、____、_____ 自变量x的取值范围：____ 知识点02 反比例函数的图象 反比例函数的图象是____，有____ 当____时，图象分布在第____象限 当____时，图象分布在第____象限 知识点03 反比例函数的性质 增减性：当____时，在每个象限内，y随x的增大而____ 当____时，在每个象限内，y随x的增大而____ 注意：必须强调____，不能跨象限比较 对称性：关于____中心对称；关于直线____和____轴对称 知识点04 k的几何意义 过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积=____ 过双曲线上任意一点P作x轴（或y轴）的垂线，连接OP，所得三角形的面积=________ 知识点05 反比例函数与一次函数综合 求交点：联立________和____，消去y得关于x的方程 两图象有两个交点时，这两个交点关于____对称 考点01反比例函数的定义与识别 考点内容：反比例函数的一般形式为（k为常数，k≠0）；三种等价表达形式：、y=kx⁻¹、xy=k（k≠0）；自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，函数值y≠0。 常见考法： 给出含参函数解析式，已知是反比例函数，求参数值（易错点：忽略k≠0和指数为-1的条件）； 判断实际问题中的变量关系是否为反比例函数（如行程问题、工程问题、压强问题、电学问题等）； 根据表格数据判断变量间是否为反比例函数关系（检验xy是否为定值）。 考点02反比例函数的图象与性质 考点内容：反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成；当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大。图象无限接近坐标轴但不与坐标轴相交（以x轴和y轴为渐近线）。 常见考法： 给出图象，判断k的符号及大小关系； 不计算具体值，利用对称性和增减性比较函数值的大小； 根据图象判断k>0或k<0时图象的变化趋势； 判断点是否在反比例函数图象上（将点坐标代入验证xy=k）。 考点3待定系数法求反比例函数解析式 考点内容：反比例函数y=ᵏ⁄ₓ中只有一个待定系数k，因此只需知道图象上一个点的坐标即可求出k值。将点的坐标(x₀,y₀)代入，解得k=x₀·y₀。 常见考法： 已知图象经过一个点，求解析式； 已知图象经过两个点，求解析式并验证第三个点是否在图象上； 结合一次函数，利用交点坐标求反比例函数和一次函数的解析式； 已知面积条件，利用k的几何意义反求解析式。 考点4反比例函数比例系数k的几何意义 考点内容：过双曲线（k为常数，k≠0）上任意一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线段PA、PB，所得矩形PAOB的面积S=|x|·|y|=|xy|=|k|。以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形面积为。 常见考法： 已知矩形面积求|k|，再根据图象所在象限确定k的符号； 已知三角形面积求k值（注意S=½|k|）； 比较不同反比例函数图象上对应图形的面积大小； 已知面积求反比例函数解析式（易错点：忘记根据象限确定k的正负）。 考点5反比例函数与一次函数的综合应用 考点内容：反比例函数与正比例函数y=mx的图象交点关于原点中心对称；反比例函数与一次函数y=ax+b的交点通过联立方程组求解。利用图象比较函数值大小时，观察交点左右两侧图象的上下位置关系。 常见考法： 已知一个交点坐标，利用中心对称性直接写出另一个交点坐标（若(a,b)是交点，则(-a,-b)也是交点）； 联立方程组求两个函数的交点坐标； 根据图象写出反比例函数值大于（或小于）一次函数值时x的取值范围； 求两个函数图象与坐标轴围成的三角形或四边形面积。 考点6反比例函数的实际应用 考点内容：将实际问题中的反比例关系建模为，用待定系数法确定解析式，结合自变量的实际意义确定取值范围，进而解决最值、范围等问题。常见模型包括：行程问题（速度×时间=路程）、工程问题（效率×时间=工作量）、压强问题（压强=压力/受力面积）、电学问题（电流=电压/电阻）、光学问题（焦距与成像）等。 常见考法： 根据实际问题列出反比例函数解析式，并求特定值； 结合一次函数，求两个变量的交点（如两车相遇问题）； 求实际问题中的自变量取值范围（注意物理量的非负性限制）； 判断实际问题的图象大致形状（注意定义域限制，图象可能只是双曲线的一部分）。 考点7反比例函数图象的对称性 考点内容：反比例函数的图象既是中心对称图形（对称中心为坐标原点），也是轴对称图形，对称轴为两条直线：y=x和y=-x。若点(a,b)在图象上，则(-a,-b)、(b,a)、(-b,-a)也都在图象上。 常见考法： 已知图象上一点的坐标，利用对称性直接写出其他对称点的坐标； 利用中心对称性求反比例函数与正比例函数交点的另一个交点； 判断某个点是否在反比例函数图象上（利用对称性快速验证）； 结合轴对称性质，求最短路径问题。 考点8反比例函数中的面积问题 考点内容：坐标系中与反比例函数相关的面积问题，核心是将点的坐标转化为线段长度，利用k的几何意义（矩形面积=|k|，三角形面积）求解。常用方法包括：分割法（将不规则图形分割为规则图形）、补形法（用大图形减小图形）、利用平行线构造等面积图形。 常见考法： 求反比例函数图象上一点与坐标轴围成的三角形/矩形面积； 求反比例函数与一次函数图象围成的多边形面积（分割为三角形求解）； 已知面积反求k值（注意象限决定符号）； 比较两个反比例函数图象上对应图形的面积比。 考点9反比例函数与几何的综合问题 考点内容：反比例函数与矩形、三角形、平行四边形、梯形等几何图形的结合，利用函数解析式与几何性质的互推求解。常见题型包括：在反比例函数图象上找点构成特殊几何图形、求几何图形的面积/周长最值等。 常见考法： 反比例函数图象上的点与坐标轴上的点构成矩形/三角形，求面积或边长； 平行四边形的顶点在反比例函数图象上，利用中点坐标公式求解； 动点在反比例函数图象上运动，求构成几何图形面积的最大值或定值； 反比例函数与等腰三角形、直角三角形的存在性问题。 考点10反比例函数与方程、不等式的综合 考点内容：反比例函数与一元二次方程、不等式的联系。利用图象判断方程根的情况；利用图象解不等式（找图象在x轴上方/下方的部分对应的x范围）；反比例函数与一次函数联立后，利用判别式判断交点个数。 常见考法： 联立反比例函数与一次函数，消元后利用判别式Δ判断交点个数； 根据图象直接写出不等式的解集； 已知交点个数求参数范围； 求反比例函数图象被直线截得的线段长度（涉及韦达定理）。 名称 公式 说明 定义式 （） 也可写成或 图象 双曲线，两支 k>0在一三象限，k<0在二四象限 增减性 k>0：y随x增大而减小 k<0：y随x增大而增大 矩形面积 过双曲线上一点作两轴垂线 三角形面积 过双曲线上一点作一轴垂线连原点 辨析01反比例函数与正比例函数图象的交点问题 反比例函数与正比例函数y=mx的图象交点关于原点中心对称，这是解题的重要突破口。 若(a,b)是两函数图象的一个交点，则另一个交点必为(-a,-b)，无需重新联立方程求解。 联立方程组：x得即mx²=k，当k与m同号时有两个实数解（两个交点），异号时无实数解（无交点），k=0或m=0时不构成交叉。 易错点： 忽略k与m的符号关系，直接求解导致漏解或多解； 未利用对称性，重复联立求解浪费考试时间； 将“交点关于原点对称”错误理解为“交点关于坐标轴对称”。 辨析02利用反比例函数性质比较函数值大小 利用反比例函数的增减性比较函数值大小时，必须首先判断点是否在同一个象限内。 当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大。 关键：增减性是“在每个象限内”成立的，不能跨象限直接比较！ 正确方法： 先判断各点所在的象限； 在同一象限内的点，直接套用增减性比较； 不在同一象限的点，画出草图直观判断，或代入具体数值计算。 易错点： 跨象限直接套用增减性（如x₁<0<x₂时，不能直接说y₁y₂，需要看k的符号）； 表述性质时遗漏“在每个象限内”这一限定条件（反比例函数的增减性不能笼统地说“y随x增大而减小”）； 忽略x=0不在定义域内，将x的取值范围写错。 辨析03反比例函数k的几何意义与面积计算 反比例函数y=ᵏ⁄ₓ中，k的几何意义是解题的关键，但容易因忽略绝对值和象限符号而出错。 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积S[矩形]=|x|·|y|=|xy|=|k|。 以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形面积S[]=½|x|·|y|=½|k|。 关键：面积等于|k|或½|k|，求k值时必须根据图象所在象限确定k的正负号。 图象在第一、三象限时，k>0； 图象在第二、四象限时，k<0。 易错点： 由面积求k时，忘记加绝对值，直接令k=S[矩形]或k=2S[矩形]，导致符号错误； 混淆矩形面积|k|与三角形面积½|k|，漏乘½或误乘2； 题目中给出的是部分图象（如仅x>0的部分），仍按完整双曲线处理，忽略定义域限制； 多个反比例函数叠加时，混淆不同k值对应的面积。 辨析04反比例函数与一次函数的综合比较 反比例函数与一次函数的综合问题中，比较函数值大小和求面积是最常见的两类题型。 比较函数值大小： 先求出两个函数图象的交点坐标；根据交点的横坐标将x轴分段；在每一段内，观察哪个图象在上方，对应的函数值就大； 注意：反比例函数在x=0处无定义，分段时必须以x=0和交点横坐标为分界点。 求围成图形的面积： 联立方程组求交点坐标；将围成的多边形分割为以坐标轴为边的三角形再计算。 易错点： 比较函数值大小时，遗漏x=0这个分界点，导致解集不完整； 求面积时未正确分割图形，直接套用公式导致计算错误； 联立方程组消元后，忘记验证解是否满足原方程（特别是分式方程可能产生增根）； 将反比例函数与一次函数的交点个数判断错误（应联立后看判别式，而非仅凭肉眼观察）。 【题型一】比较反比例函数的函数值（自变量的值） 【例1】（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若点A，B，C在反比例函数的图象上，则，，的大小关系______．（用“”连接） 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 【题型二】由反比例函数的增减性求参数范围 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 【变式1-1】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 【变式1-3】（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【题型三】由面积求比例系数 【例1】如图，过的图象上一点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，求k的值． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【题型四】由比例系数求面积 【例1】如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点 作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【题型五】实际问题与反比例函数的综合 【例1】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 【变式1-2】气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ ①这些气体的体积增大时，密度变小；②． V …… 1 2 3 4 5 6 7 …… …… 7 1 …… 【变式1-3】综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 【题型六】反比例函数与简单几何图形的综合 【例1】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上，若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为______； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【题型一】反比例函数的概念辨析 【例1】关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【变式1-1】溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（     ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 【变式1-2】已知函数 （为常数）． (1)若该函数是反比例函数，则________； (2)若该函数是正比例函数，则________． 【变式1-3】写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． (1)火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 【题型二】反比例函数与二次函数图象的综合判断 【例1】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B．C． D． 【变式1-1】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【变式1-2】已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A．B．C． D． 【题型三】用反比例函数图象的对称性求解 【例1】【变式1-1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式1-1】（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【变式1-3】（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【题型四】反比例函数与一次函数的综合判断 【例1】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【变式1-3】若对于一次函数，y的值随x的值的增大而减小，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是下列哪个？ 【题型一】反比例函数与几何的综合问题 【例1】如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 【变式1-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【变式1-3】如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二】反比例背景下的规律探究问题 【例1】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【变式1-1】如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【变式1-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 【题型三】一次函数与反比例函数的综合问题 【例1】【变式1-1】如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 【变式1-1】如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 技巧 要点 求解析式 反比例函数只需一个点即可确定k值 k的几何意义 矩形面积=|k|，三角形面积= 比较大小 同象限用增减性，不同象限直接看正负 交点对称 反比例函数与一次函数的两个交点关于原点对称 数形结合 画图象辅助分析，特别注意渐近线（坐标轴） 试卷第46页（共47页） 股份有限公1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(10类) 公式清单(5类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(6类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 答题技巧清单 知识点01 反比例函数的定义 一般地，形如（）的函数叫做反比例函数。其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数。 三种等价形式：、、 自变量x的取值范围： 知识点02 反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，有两支 当时，图象分布在第一、三象限 当时，图象分布在第二、四象限 知识点03 反比例函数的性质 增减性：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小 当时，在每个象限内，y随x的增大而增大 注意：必须强调在每个象限内，不能跨象限比较 对称性：关于原点中心对称；关于直线和轴对称 知识点04 k的几何意义 过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积=，过双曲线上任意一点P作x轴（或y轴）的垂线，连接OP，所得三角形的面积= 知识点05 反比例函数与一次函数综合 求交点：联立和，消去y得关于x的方程 两图象有两个交点时，这两个交点关于原点对称 考点01反比例函数的定义与识别 考点内容：反比例函数的一般形式为（k为常数，k≠0）；三种等价表达形式：、y=kx⁻¹、xy=k（k≠0）；自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，函数值y≠0。 常见考法： 给出含参函数解析式，已知是反比例函数，求参数值（易错点：忽略k≠0和指数为-1的条件）； 判断实际问题中的变量关系是否为反比例函数（如行程问题、工程问题、压强问题、电学问题等）； 根据表格数据判断变量间是否为反比例函数关系（检验xy是否为定值）。 考点02反比例函数的图象与性质 考点内容：反比例函数的图象是双曲线，由两支曲线组成；当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大。图象无限接近坐标轴但不与坐标轴相交（以x轴和y轴为渐近线）。 常见考法： 给出图象，判断k的符号及大小关系； 不计算具体值，利用对称性和增减性比较函数值的大小； 根据图象判断k>0或k<0时图象的变化趋势； 判断点是否在反比例函数图象上（将点坐标代入验证xy=k）。 考点3待定系数法求反比例函数解析式 考点内容：反比例函数y=ᵏ⁄ₓ中只有一个待定系数k，因此只需知道图象上一个点的坐标即可求出k值。将点的坐标(x₀,y₀)代入，解得k=x₀·y₀。 常见考法： 已知图象经过一个点，求解析式； 已知图象经过两个点，求解析式并验证第三个点是否在图象上； 结合一次函数，利用交点坐标求反比例函数和一次函数的解析式； 已知面积条件，利用k的几何意义反求解析式。 考点4反比例函数比例系数k的几何意义 考点内容：过双曲线（k为常数，k≠0）上任意一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线段PA、PB，所得矩形PAOB的面积S=|x|·|y|=|xy|=|k|。以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形面积为。 常见考法： 已知矩形面积求|k|，再根据图象所在象限确定k的符号； 已知三角形面积求k值（注意S=½|k|）； 比较不同反比例函数图象上对应图形的面积大小； 已知面积求反比例函数解析式（易错点：忘记根据象限确定k的正负）。 考点5反比例函数与一次函数的综合应用 考点内容：反比例函数与正比例函数y=mx的图象交点关于原点中心对称；反比例函数与一次函数y=ax+b的交点通过联立方程组求解。利用图象比较函数值大小时，观察交点左右两侧图象的上下位置关系。 常见考法： 已知一个交点坐标，利用中心对称性直接写出另一个交点坐标（若(a,b)是交点，则(-a,-b)也是交点）； 联立方程组求两个函数的交点坐标； 根据图象写出反比例函数值大于（或小于）一次函数值时x的取值范围； 求两个函数图象与坐标轴围成的三角形或四边形面积。 考点6反比例函数的实际应用 考点内容：将实际问题中的反比例关系建模为，用待定系数法确定解析式，结合自变量的实际意义确定取值范围，进而解决最值、范围等问题。常见模型包括：行程问题（速度×时间=路程）、工程问题（效率×时间=工作量）、压强问题（压强=压力/受力面积）、电学问题（电流=电压/电阻）、光学问题（焦距与成像）等。 常见考法： 根据实际问题列出反比例函数解析式，并求特定值； 结合一次函数，求两个变量的交点（如两车相遇问题）； 求实际问题中的自变量取值范围（注意物理量的非负性限制）； 判断实际问题的图象大致形状（注意定义域限制，图象可能只是双曲线的一部分）。 考点7反比例函数图象的对称性 考点内容：反比例函数的图象既是中心对称图形（对称中心为坐标原点），也是轴对称图形，对称轴为两条直线：y=x和y=-x。若点(a,b)在图象上，则(-a,-b)、(b,a)、(-b,-a)也都在图象上。 常见考法： 已知图象上一点的坐标，利用对称性直接写出其他对称点的坐标； 利用中心对称性求反比例函数与正比例函数交点的另一个交点； 判断某个点是否在反比例函数图象上（利用对称性快速验证）； 结合轴对称性质，求最短路径问题。 考点8反比例函数中的面积问题 考点内容：坐标系中与反比例函数相关的面积问题，核心是将点的坐标转化为线段长度，利用k的几何意义（矩形面积=|k|，三角形面积）求解。常用方法包括：分割法（将不规则图形分割为规则图形）、补形法（用大图形减小图形）、利用平行线构造等面积图形。 常见考法： 求反比例函数图象上一点与坐标轴围成的三角形/矩形面积； 求反比例函数与一次函数图象围成的多边形面积（分割为三角形求解）； 已知面积反求k值（注意象限决定符号）； 比较两个反比例函数图象上对应图形的面积比。 考点9反比例函数与几何的综合问题 考点内容：反比例函数与矩形、三角形、平行四边形、梯形等几何图形的结合，利用函数解析式与几何性质的互推求解。常见题型包括：在反比例函数图象上找点构成特殊几何图形、求几何图形的面积/周长最值等。 常见考法： 反比例函数图象上的点与坐标轴上的点构成矩形/三角形，求面积或边长； 平行四边形的顶点在反比例函数图象上，利用中点坐标公式求解； 动点在反比例函数图象上运动，求构成几何图形面积的最大值或定值； 反比例函数与等腰三角形、直角三角形的存在性问题。 考点10反比例函数与方程、不等式的综合 考点内容：反比例函数与一元二次方程、不等式的联系。利用图象判断方程根的情况；利用图象解不等式（找图象在x轴上方/下方的部分对应的x范围）；反比例函数与一次函数联立后，利用判别式判断交点个数。 常见考法： 联立反比例函数与一次函数，消元后利用判别式Δ判断交点个数； 根据图象直接写出不等式的解集； 已知交点个数求参数范围； 求反比例函数图象被直线截得的线段长度（涉及韦达定理）。 名称 公式 说明 定义式 （） 也可写成或 图象 双曲线，两支 k>0在一三象限，k<0在二四象限 增减性 k>0：y随x增大而减小 k<0：y随x增大而增大 矩形面积 过双曲线上一点作两轴垂线 三角形面积 过双曲线上一点作一轴垂线连原点 辨析01反比例函数与正比例函数图象的交点问题 反比例函数与正比例函数y=mx的图象交点关于原点中心对称，这是解题的重要突破口。 若(a,b)是两函数图象的一个交点，则另一个交点必为(-a,-b)，无需重新联立方程求解。 联立方程组：x得即mx²=k，当k与m同号时有两个实数解（两个交点），异号时无实数解（无交点），k=0或m=0时不构成交叉。 易错点： 忽略k与m的符号关系，直接求解导致漏解或多解； 未利用对称性，重复联立求解浪费考试时间； 将“交点关于原点对称”错误理解为“交点关于坐标轴对称”。 辨析02利用反比例函数性质比较函数值大小 利用反比例函数的增减性比较函数值大小时，必须首先判断点是否在同一个象限内。 当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大。 关键：增减性是“在每个象限内”成立的，不能跨象限直接比较！ 正确方法： 先判断各点所在的象限； 在同一象限内的点，直接套用增减性比较； 不在同一象限的点，画出草图直观判断，或代入具体数值计算。 易错点： 跨象限直接套用增减性（如x₁<0<x₂时，不能直接说y₁y₂，需要看k的符号）； 表述性质时遗漏“在每个象限内”这一限定条件（反比例函数的增减性不能笼统地说“y随x增大而减小”）； 忽略x=0不在定义域内，将x的取值范围写错。 辨析03反比例函数k的几何意义与面积计算 反比例函数y=ᵏ⁄ₓ中，k的几何意义是解题的关键，但容易因忽略绝对值和象限符号而出错。 过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积S[矩形]=|x|·|y|=|xy|=|k|。 以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形面积S[]=½|x|·|y|=½|k|。 关键：面积等于|k|或½|k|，求k值时必须根据图象所在象限确定k的正负号。 图象在第一、三象限时，k>0； 图象在第二、四象限时，k<0。 易错点： 由面积求k时，忘记加绝对值，直接令k=S[矩形]或k=2S[矩形]，导致符号错误； 混淆矩形面积|k|与三角形面积½|k|，漏乘½或误乘2； 题目中给出的是部分图象（如仅x>0的部分），仍按完整双曲线处理，忽略定义域限制； 多个反比例函数叠加时，混淆不同k值对应的面积。 辨析04反比例函数与一次函数的综合比较 反比例函数与一次函数的综合问题中，比较函数值大小和求面积是最常见的两类题型。 比较函数值大小： 先求出两个函数图象的交点坐标；根据交点的横坐标将x轴分段；在每一段内，观察哪个图象在上方，对应的函数值就大； 注意：反比例函数在x=0处无定义，分段时必须以x=0和交点横坐标为分界点。 求围成图形的面积： 联立方程组求交点坐标；将围成的多边形分割为以坐标轴为边的三角形再计算。 易错点： 比较函数值大小时，遗漏x=0这个分界点，导致解集不完整； 求面积时未正确分割图形，直接套用公式导致计算错误； 联立方程组消元后，忘记验证解是否满足原方程（特别是分式方程可能产生增根）； 将反比例函数与一次函数的交点个数判断错误（应联立后看判别式，而非仅凭肉眼观察）。 【题型一】比较反比例函数的函数值（自变量的值） 【例1】（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴， ∴的最大整数值为． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知点都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，需分点在第一、三象限两种情况讨论． 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． 将代入，得 ． 当点在第一象限时，，此时，满足； 当点在第三象限时，， ∵ ，且第三象限内随增大而减小， ∴ ． 综上，的取值范围是或． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若点A，B，C在反比例函数的图象上，则，，的大小关系______．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， 点，，在反比例函数的图象上，且， ． 【变式1-3】（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则______（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质．先判断反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数的增减性比较和的大小． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点和的横坐标都为正，两点都在第一象限，且， ∴． 【题型二】由反比例函数的增减性求参数范围 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2． (1)当时，求反比例函数的函数值； (2)当时，求反比例函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过交点纵坐标结合正比例函数解析式求出交点坐标，代入反比例函数得到的值，再计算指定自变量对应的函数值； （2）结合反比例函数的增减性求取值范围即可． 【详解】（1）解： 与的一个交点纵坐标为2， 将代入，得， 交点坐标为， 将代入，得 解得， 反比例函数解析式为， 当时，； （2）解：， 反比例函数在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，；当时，． ． 【变式1-1】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）反比例函数 的图象在某象限内，y随x的增大而增大．若点在该反比例函数的图象上，则n的值可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的性质得出，求出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象在某象限内随的增大而增大， ∴， ∵点在该反比例函数的图象上， ∴，即， ∴， ∴， ∴n的值可能是． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点，在反比例函数的图象上，当时，，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，当时，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴， 解得 即m的取值范围为． 【变式1-3】（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 【题型三】由面积求比例系数 【例1】如图，过的图象上一点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，求k的值． 【答案】 【分析】设，求出，，可知，即，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵反比例函数的图像在第一象限， ∴， 在中， 令得， 令得， ，， ， ． ，， ， 经检验，符合题意． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结，若的面积为18，则的值为__________． 【答案】 【分析】设，根据矩形性质和证明是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，得到；设，用表示出和的长，根据的面积公式建立关于的方程求解 ． 【详解】设． ∵四边形是矩形， ∴，轴． ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ∴． ∵轴 ， ∴， ∵点在同一直线上， ∴． 在中，， ∴， ∴． 设，其中， ∵点在反比例函数图象上 ， ∴． ∵在轴负半轴上，轴， ∴，，， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点、均在函数的图象上，轴于点，轴于点，连接，，若点，，则点的坐标为________，当，则_______ ． 【答案】 【分析】先根据求出的值，即可确定点的坐标，进而求出的值，再由求出的长，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型四】由比例系数求面积 【例1】如图，，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点，且． (1)比较，，的大小． (2)过A，B，C三点分别作两坐标轴的垂线，D，E，F和H，N，P为垂足，矩形，，的面积，，之间有怎样的数量关系？为什么？ 【答案】(1) (2) 理由：∵，，为反比例函数的图象在第一象限的分支上的三点， ∴， ∵矩形，，的面积，，， ∴，，， ∴. 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数中， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∵， ∴． （2）略 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，过点 作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设点，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，， ∴且， ∴， ∴， ∵点在第一象限，点在第二象限， ∴ ∴， 同理， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∴ ． 【变式1-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 【题型五】实际问题与反比例函数的综合 【例1】（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】 【分析】根据可知与成反比例，即为定值，设时功率为，则时功率为，列方程求出即可求解． 【详解】解：根据题意，，即． 设当时，电功率为，则当时，电功率为， 电源电压不变， ， 解得， ， 关于的函数关系式为， 当时，． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：cm）的反比例函数，当时，． (1)关于的函数表达式为_________． (2)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少？ 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离至少是． 【分析】（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）由建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）解：时， ， ， ∴， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 【变式1-2】气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 【答案】(1) (2) (3) (4) ①这些气体的体积增大时，密度变小；②． 【分析】（1）根据题意，结合密度公式可得函数表达式为； （2）把代入函数表达式求解即可； （3）把代入函数表达式求解即可； （4）根据列表，描点，连线即可画出函数图像；①根据函数图像即可解答；②根据图像以及反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，即函数表达式为． （2）解：当时，． 答：当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为． （3）解：当时，，解得：． 答：要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为的储气罐． （4）解：函数的图像是反比例函数在第一象限的一支， 列表： V …… 1 2 3 4 5 6 7 …… …… 7 1 …… 描点，连线如下： ①∵在第一象限，V增大，ρ减小， ∴这些气体的体积增大时，密度变小； ②∵容积不超过2m3，即， 当时，，且V越小，ρ越大， ∴，即把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度的范围为． 【变式1-3】综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 【答案】(1) (2)该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天 【分析】（1）把数值代入求出即可得出表达式； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天． 【题型六】反比例函数与简单几何图形的综合 【例1】（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 【变式1-1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，已知四边形是矩形，点在反比例函数的图象上，延长线交轴于点，，．则_________． 【答案】 【分析】根据及矩形性质确定点的横坐标，利用反比例函数解析式表示出点的坐标；结合和表示出点的坐标；最后利用点在反比例函数图象上建立关于的方程求解． 【详解】解： 四边形是矩形，， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ，且点在点下方， 点的纵坐标为， 四边形是矩形，，且轴， 点的横坐标为，纵坐标与点相同，为， 点的坐标为， 点也在反比例函数的图象上， ， 解得． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上，若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 【答案】 【分析】根据点坐标求出，进而求出反比例函数解析式为，根据，求出，，进而得出，即可求出的长． 【详解】解：∵点，，，均在双曲线的一支上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，， ∴点、的横坐标分别为、， ∴当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点的坐标为． (1)的值为______； (2)若将菱形沿轴正方向平移个单位．在平移过程中，若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）延长交x轴于点E，利用勾股定理和菱形的性质求出，得到，然后代入即可求解； （2）将代入求出，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点E， ∵点在轴的正半轴上，四边形是菱形， ∴，， ∵点的坐标为，即，， ∴， ∴， ∴， 将代入，得， 解得； （2）解：∵， ∴反比例函数， 当点D落在时，将代入得，， 解得， ∴， ∴若反比例函数的图象与菱形的边始终有交点，． 【题型一】反比例函数的概念辨析 【例1】关于函数的说法错误的是（     ） A．它是反比例函数 B．它的图象位于第二、第四象限 C．它的图象经过点 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】先确定反比例函数的比例系数k，再结合其定义、性质及图象上点的坐标特征逐一判断． 【详解】解：∵， ∴该函数是反比例函数，其中，故A正确，不符合题意； ∴函数图象位于第二、四象限，且当时，随的增大而增大，故B、D正确，不符合题意； 将代入，得，故C错误，符合题意． 【变式1-1】溶液中溶质的质量分数．当某溶液中溶质质量一定时，溶质质量分数与溶液质量满足的函数关系是（     ） A．反比例函数关系 B．一次函数关系 C．正比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】A 【分析】根据各种函数关系的定义判断即可． 【详解】解：设溶质质量为定值（），由题意得， ∵为定值， ∴为非零常数， ∴与满足反比例函数关系． 【变式1-2】已知函数 （为常数）． (1)若该函数是反比例函数，则________； (2)若该函数是正比例函数，则________． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据反比例函数的定义，得且，解答即可； （2）根据正比例函数的定义，且，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得且， 故且， 故且， 综上所述，． （2）解：根据题意，得且 且 故且 综上． 【变式1-3】写出下列函数解析式，指出其中的正比例函数和反比例函数． (1)火车从北海驶往相距约的南宁，若火车的平均速度为，求火车距北海的距离与行驶的时间之间的函数解析式； (2)某中学现有存煤，如果平均每天烧煤，共烧了y天，求y与x之间的函数解析式； (3)俊俊想存钱购买一套售价为6000元的户外活动设备，若他目前已有存款2000元，后期每个月计划存相同金额，求他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数解析式． 【答案】(1)解：由题意，得，是正比例函数 (2)解：由题意，得，是反比例函数 (3)解：由题意，得，即，是反比例函数 【分析】根据题意写出函数关系式并判断，即可解答. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型二】反比例函数与二次函数图象的综合判断 【例1】（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数的图象．由点关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，从而排除选项A． 【详解】解：由在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意； 由在同一个函数图象上，可知在y轴的左侧，y随x的增大而减小，故选项A不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 【变式1-1】已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、反比例函数的图象、一次函数的图象．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，∵对称轴在y轴右边 ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 【变式1-2】已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 【变式1-3】如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 【题型三】用反比例函数图象的对称性求解 【例1】【变式1-1】（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）双曲线上有两点，若，则的值为（     ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：∵点，在双曲线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 【变式1-2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）若一个正比例函数的图象与反比例函数y=的图象交于，两点，则的值为________ ． 【答案】 【分析】正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两交点关于原点对称，得到两点坐标的关系，再结合交点在反比例函数上得到的值，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象均关于原点中心对称， ∴两交点，关于原点对称， ∴，， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ， ， ， ． 【变式1-3】（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，已知函数和的图像交于点，，过点A作垂直于x轴于点E，，则的值是________． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，待定系数法求函数解析式，能够根据反比例函数图象关于原点对称的性质求出点坐标是解题关键． 根据反比例函数图象关于原点对称的性质，可得，利用勾股定理求出的长，进而得出A点坐标，代入解析式求出的值后相乘即可． 【详解】解：由题得， 轴， ， ， 把代入和得 ， 解得， ． 故答案为：16． 【题型四】反比例函数与一次函数的综合判断 【例1】已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】对于反比例函数：当时，在第一象限内（），随的增大而减小；当时，在第四象限内（），随的增大而增大，据此可确定的符号，进而判断一次函数的大致图象． 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，从左上到右下，与轴交于正半轴， 只有C选项满足题意． 【变式1-1】（26-27九年级上·四川·开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 的图象大致是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． 【变式1-3】若对于一次函数，y的值随x的值的增大而减小，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是下列哪个？ 【答案】（2） 【分析】根据一次函数的增减性得到k的取值范围，再判断正比例函数和反比例函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵对于一次函数，y的值随x的值的增大而减小， ∴， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴只有（2）中的函数图象符合题意． 【题型一】反比例函数与几何的综合问题 【例1】如图，等边的边长为，反比例函数的图象交于点，交于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点、分别作轴的垂线，构造直角三角形，利用等边三角形性质表示出、坐标，代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 设，则． 为边长为5的等边三角形， ，． 在中，，， ，． 点在第三象限， ． 在中，，， ，． ，点在第三象限， ． 点、在反比例函数图象上， ． ． ， ． ，解得． ． 【变式1-1】如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数的图象上，轴，轴，五边形的面积为56，四边形的面积为32，则的值为_____，的值为_____． 【答案】 24 【分析】本题考查反比例函数的性质以及与几何综合，设，由关于原点对称，得，由轴，则，由轴，得，，可分别得B、C、D、E的坐标，再根据条件中的面积关系列出方程即可． 【详解】解：由题意知，关于原点对称， 设，则， 轴， ， 轴， ，，即，， 又五边形的面积为56，四边形的面积为32， ， 解得， 如图，延长、交于点G，则， ， ， ， 又，即， ，即， 解得， ， ． 【变式1-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作轴，垂足为点M，，点A的纵坐标为4． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)直线交x轴于点D，过点D作直线轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形是矩形，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）求出点B的坐标，可求出反比例函数的解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法，即可求解； （2）设，根据四边形是矩形，可得，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点A的纵坐标是4， ∴，解得：， ∴点A的坐标为， 把点，代入，得： ，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：存在， 对于，当时， ∴， ∴， ∵直线轴， ∴可设， ∵四边形是矩形， 如图，此时， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式1-3】如图1，的边在轴的正半轴上，，反比例函数（）的图象经过点． (1)求反比例函数的关系式和点B的坐标； (2)如图2，过的中点D作轴交反比例函数图象于点P，连接、． ①求的面积； ②M是边上的一点，N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（）；点 (2)①3；存在，点M的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数关系式，再根据平行四边形的性质结合点A、O、C的坐标即可求出点B的坐标； （2）①延长DP交OA于点E，由点D为线段BC的中点，可求出点D的坐标，再令反比例函数关系式中y＝2求出x值即可得出点P的坐标，作AE⊥x轴，PF⊥x轴，由此即可得出AE，PF，EF的长度，根据反比例中的模型：三角形的面积公式等于梯形面积，即可得出结论； ②首先，由于四边形是矩形，其邻边必然垂直，即，过作的垂线分别交，于点，，已知点，所以可以求出直线的解析式；接下来，因为点必须落在平行四边形的边上，所以需要分情况讨论：分别令直线与平行四边形的两条边（、）所在的直线方程联立求解，最后，通过验证求出的交点是否在线段范围内，即可筛选出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的关系式为. 四边形为平行四边形，且点，，点， 点，点. （2）解：①作轴于点E，作轴于点F，如图3所示， 点为线段的中点，点、， 点， 令中，则， 点， 根据反比例函数的几何意义得， ， ②假如四边形是矩形，则，过作的垂线分别交，于点，，作轴于点，如下图： 点， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得， ， 直线的关系式为， 联立， 解得， ； ∴点的坐标为或． 【题型二】反比例背景下的规律探究问题 【例1】（25-26九年级下·山东济宁·期末）如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 【变式1-1】如图，在轴的正半轴上依次截取 ，过，，，，，分别作轴的垂线，与反比例函数的图象交于点，，，，，，并设，，，的面积分别为，，，，按此作法进行下去，则的值为_____________________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的系数k的几何意义解答． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，轴于 ∴， 连接，， ， 同理， ∵ ， ∴， ， … ∴， ∴当时，． 【变式1-2】（25-26八年级下·四川遂宁·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 【题型三】一次函数与反比例函数的综合问题 【例1】【变式1-1】如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，的面积为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若将直线向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线的交点情况； (3)P为坐标轴上的一点，若的面积等于面积的一半，请直接写出符合条件的点P坐标． 【答案】(1) (2)平移后的直线与双曲线只有一个交点 (3)或或或 【分析】（1）令直线与y轴的交点为点D，过点B作轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式； （2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论； （3）连接，先求出的面积，进而得到，再分点在轴、轴上，结合面积公式求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴于点E，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． ∵的面积是， ∴， 解得：． 结合题意可知点B的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， 即反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向下平移1个单位得到的直线的解析式为， 将代入到中，得：， 整理得：，解得，又， ∴平移后的直线与双曲线只有一个交点； （3）解：连接， 联立直线与曲线， 即，整理得， 解得， ， 设直线与轴的交点为， 令，则， ， ， ， 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 当点在轴时，设， ， 则， ，，解得或， 或； 综上，或或或． 【变式1-1】如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与反比例函数(，)的图像交于点、，交轴于点，分别过点、作轴的垂线，垂足为、．若，则的值为________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，先求出，，继而可得，则，设，表示出，，再将点代入反比例函数表达式解方程即可． 【详解】解：设直线与轴交于点 对于一次函数，当时，； 当时，，解得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵与轴垂直， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴ 整理得， 解得或（舍） ∴． 【变式1-3】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为， 直线的解析式为，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 技巧 要点 求解析式 反比例函数只需一个点即可确定k值 k的几何意义 矩形面积=|k|，三角形面积= 比较大小 同象限用增减性，不同象限直接看正负 交点对称 反比例函数与一次函数的两个交点关于原点对称 数形结合 画图象辅助分析，特别注意渐近线（坐标轴） 试卷第46页（共47页） 股份有限公1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $