专题05 弧长及扇形的面积重难点题型专训（1个知识点+8大题型+自我检测）-2026-2027学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题05 弧长及扇形的面积重难点题型专训（1个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求弧长 1 题型二、求扇形半径 2 题型三、求圆心角 3 题型四、求某点的弧形运动路径长度 4 题型五、求扇形面积 5 题型六、求弓形面积 6 题型七、求其他不规则图形的面积 7 题型八、求图形旋转后扫过的面积 8 第二部分·练提高题型 题型一、旋转背景下动点路径长（求点运动轨迹弧长） 1 题型二、图形旋转，求扫过区域的面积 2 题型三、扇形折叠问题综合计算 3 第三部分・自我检测 知识点01 弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 2．（2026·吉林·模拟预测）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【基础题型一 求弧长】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 【例2】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 【答案】 【分析】连接、、、、、、、，从而计算出各段弧所对应的圆心角，再结合弧长公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， ∵正五边形和正方形内接于， ∴，， ∴，，，，，， ∴最长劣弧所对的圆心角为， 则最长劣弧的弧长为． 1．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明． 作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长． 【详解】解：作半径于N， 由折叠的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影的周长==． 故选A． 2．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 3．（25-26九年级上·上海·期末）用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 【答案】45.1m 【分析】首先根据正方形面积计算出边长，然后根据的角和两条半径构成等边三角形确定圆弧半径的长度，最后结合圆弧周长计算公式（n为圆弧所对圆心角，r为半径）和正方形三条边长进行求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形边长为m． ∵， ∴弧（优弧）所对圆心角为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴圆弧的半径m， ∴圆弧的长度， ∴花坛底部的周长m， 取，， 则m． 【基础题型二 求扇形半径】 【例1】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】将已知的圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解半径．即． 【详解】解：设此扇形的半径为，圆心角，弧长， ∴， ∴两边约去，整理得 ， 解得． 【例2】（2026·北京·模拟预测）已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 【答案】 【分析】设此弧所在圆的半径为，根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此弧所在圆的半径为， 根据弧长公式， 将，代入得， 解得， 则此弧所在圆的半径是． 1．（2025·河南周口·二模）如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及弧长公式，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长，，由点P运动到时所经过的路程为，可得出的长为，由弧长公式得，得出，再求解即可． 【详解】解：如图， 由函数图象可得， 点P在内运动轨迹是以点B为圆心，为半径的弧长， ， 点P运动到时所经过的路程为， 的长为， 正，， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是理解圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长．设，则，根据圆锥展开图的扇形弧长等于圆锥的底面周长列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 设，则， 根据题意可得：， 解得：， ， 故答案为：． 3．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【答案】 2 2 /150度 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是，扇形的半径为r，则扇形的弧长l的计算公式为：，扇形的面积公式：． （1）据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式求解即可； （3）先根据求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∴， ∴． 故答案为：2； （2）∵扇形的圆心角为，面积为， ∴ 解得（负值舍去）． 故答案为：2； （3）由（1）知，， ∴， ∴． ∵ ∴． 故答案为：． 【基础题型三 求圆心角】 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 【例2】（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理； 先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接， 设的度数为， ∵， ∴半径， 则， ∴， ∴弦， 故选：C． 2．（2026九年级上·浙江杭州·专题练习）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，的半径为． (1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） (2)已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【答案】(1)的长为及扇形的面积为 (2) 【分析】（1）直接根据弧长公式和扇形面积公式即可得出结论； （2）根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，的半径为， ∴， 答：的长为及扇形的面积为； （2）解：∵的长为，的半径为， ∴， ∴， 答：的度数约为． 【基础题型四 求某点的弧形运动路径长度】 【例1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到，则C点运行痕迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质可得所在圆的半径和圆心角度数，再根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得，， 由弧长的计算方法可得，的长为， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，弧长的计算，理解旋转的性质，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提． 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，再根据旋转的性质得到，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴顶点从开始到结束所经过的路径长． 1．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式．证明是等边三角形是本题的关键．利用含30度的直角三角形三边的关系得到，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，得到，即旋转角为，再利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，即旋转角为， ∴， ∴点走过的路径长为． 故选：A． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折，得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 【答案】/ 【分析】由翻折的性质可得，然后分点在矩形内、外两种情况，通过作垂线构造、，进而推出，确定点在以、为直径的圆上运动，计算对应弧长并相加，得到总路径长． 【详解】解：由四边形为矩形，可知，根据翻折的性质可知，， 如图，当点在矩形内部时，作，交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 当点从点出发，一直运动到落在上时，点的运动路径为， ， 点的运动路径长， 如图，当点在矩形外部时，作，交延长线于点， 同法可证，，，点在以为直径的圆上运动，连接， 当点运动到点时， ，， ， ， ， 根据翻折的性质，， ， ，， 点的运动路径为圆心角为，半径为的， 点的运动路径长， 点的运动总路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，图形翻折的性质，相似三角形判定与性质，圆的轨迹与弧长计算，通过证明三角形相似确定点的轨迹圆是解题关键． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3) 【分析】本题考查平移作图，旋转作图，弧长公式，找出平移、旋转后对应点的位置是解题的关键． （1）将，，分别向右移2个单位，再上移2个单位，再顺次连接即可； （2）将，，分别绕O点顺时针旋转，再顺次连接即可； （3）利用弧长公式求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， 点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长： 【基础题型五 求扇形面积】 【例1】（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∴ ． 【例2】（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】/ 【分析】先根据扇形的面积公式求出中非阴影部分的面积，再用三角形的面积减去三角形中非阴影的面积可得答案． 【详解】解：∵， ∴中非阴影部分的面积为， ∴． 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 2．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，某兴趣小组的同学将边长为的正方形铁丝框变形为以点为圆心，以，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形的面积是多少？ 【答案】 【分析】由正方形的边长为，可得的长度为，然后利用扇形的面积公式（）计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴的长度为， ∴， ∴所得扇形的面积是． 【基础题型六 求弓形面积】 【例1】（25-26九年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了弓形面积计算，阴影面积计算，勾股定理，设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为，得到；正确分割表示阴影的面积是解题的关键． 【详解】设大阴影的面积为，小阴影的面积为，大弓形的面积为，小弓形的面积为，的面积为， 根据题意，得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵中，，， ∴， ． 故答案为：24． 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，进而求解即可； （2）连接，得，则，即可求得和，结合扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图，连接， ∵ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴． 【点睛】此题考查了求扇形面积，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r． 【答案】 【分析】先由弓形高的含义说明 再证明表示然后利用勾股定理列方程，解方程可得答案. 【详解】解：由题意得： 而的半径为 则 解得： 所在圆O的半径r为． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弓形高的含义，垂径定理的应用，勾股定理的应用，灵活运用以上知识解题是解题的关键. 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC． (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分面积为：． 【分析】（1）要证明CF是⊙O的切线，所以想到连接OC，只要证明OC∥BD即可解答； （2）根据已知可得∠CBA=30°，所以可求出∠AOC=60°，再证明△AOC是等边三角形，利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积即可． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵CF⊥BD， ∴∠CFD=90°， ∵， ∴∠ABC=∠CBD， ∵OC=OB， ∴∠ABC=∠OCB， ∴∠OCB=∠CBD， ∴OC∥BD， ∴∠OCF=∠CFD=90°， ∵OC是圆O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠CBD=30°， ∴∠ABC=∠CBD=30°， ∴∠AOC=2∠ABC=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAB=60°，AO=AC=5， ∴AB=10， 由勾股定理得BC=5， ∴△ABC的面积=AC•BC=×5×5=， ∵OA=OB， ∴△AOC的面积=△ABC的面积=， ∴阴影部分面积=扇形AOC的面积-△AOC的面积 ， 答：阴影部分面积为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【基础题型七 求其他不规则图形的面积】 【例1】（2025·河南安阳·二模）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心Q是的中点，若两个扇形的半径都为1，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，根据扇形的面积公式求出面积，过点Q作于M，于N，设、相交于E，、相交于F，然后证明，从而得到中间空白区域的面积等于正方形的面积，从而得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过Q作于M，于N，设、相交于E，、相交于F， 则四边形是矩形， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴中间空白区域面积等于正方形的面积， ∴空白区域的面积为：， ∴图中阴影部分的面积两个扇形面积和个空白区域面积． 故选：A． 【例2】（2026·河南平顶山·模拟预测）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 1．（2026·浙江·模拟预测）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 2．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，＝，＝．将绕点逆时针旋转角后得到，当点的对应点落在边上时，阴影部分的面积为____．      【答案】 【分析】证明三角形是等边三角形即可得到旋转角的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及的两直角边长，进而得出图形面积即可． 【详解】解：如图所示，设交于点，   ，且， 是等边三角形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则阴影部分的面积为： 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形面积，扇形面积以及勾股定理应用，解题的关键是灵活运用以上知识并保证计算正确． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：如图连接，则， ， 平分， ， ， ， 交的延长线于点， ， ， 是的半径，且， 是的切线． (2)． 【分析】本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1)连接，利用得，结合平分得，从而推出，再由得进而推出即可． (2) 要求阴影部分面积，需先求扇形的面积和的面积，再用扇形面积减去三角形面积即可．利用，得，，进而求出，，算出，再求出半径，分别计算，，最后求出阴影面积即可． 【详解】（1）略 （2）是的直径， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ． 【基础题型八 求图形旋转后扫过的面积】 【例1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 【例2】（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是___．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转变换，推出扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 线段所扫过的面积． 【详解】解：线段所扫过的面积 ． 故答案为． 1．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，扇形面积公式，含的直角三角形的相关计算，求旋转图形扫过的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再由旋转性质得，求出旋转角，根据扇形面积计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 由旋转性质可知，，即，， ∴， ∴边扫过的阴影面积为， 故选B． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，等边△ABC中，BC=6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH=AC，AO=AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为 __________________． 【答案】 【分析】连接BH，BH′，作BD⊥AC于D，解直角三角形求出BD、CD，由AH=AC，AO=AB求出AH和AO，即可求得DH，根据勾股定理求出BH，整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形HBH′与小扇形BOO′的面积差． 【详解】解：连接BH，BH′，作BD⊥AC于D， ∵等边△ABC中，BC=6， ∴∠C=60°，AC=AB=BC=6， ∴，， ∵AH=AC，AO=AB， ∴AH=OA=2， ∴CH=OB=6-2=4， ∴DH=3﹣2=1， 由勾股定理得：， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转100°到的位置， ∴∠HBH′=∠OBO′=100°， ∴整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，扇形面积公式，结合题意和图形得到整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积，是大扇形HBH′与小扇形BOO′的面积差是解决本题的关键． 3．（2026·山东潍坊·模拟预测）将一副三角板如图1摆放，已知，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当三角板旋转到时，如图2，线段扫过的面积是________； (2)在旋转过程中，与的交点为P，若为等腰三角形，求t的值； (3)当边与边分别交于点M，N时，如图3，连接，设，，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)当t为3或或12时，有两个内角相等 (3)证明：是的一个外角，是的一个外角，，，，， ，， 又，， ， ， ， 是定值． 【分析】（1）连接，先求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，然后根据三角形外角的性质可得的度数，再根据弧长公式解答即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解； （3）根据三角形外角的性质可得，，再结合三角形内角和定理，即可求证． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意得：， ∵平分， ∴， 在等腰直角三角形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积是； （2）解：∵平分， ∴， 如图，当时， 此时； 如图，当时， ∵，， ∴， 此时； 如图，当时， ， 此时， 综上所述：当 t 为 3 或或 12 时，有两个内角相等； （3）略 【提高题型一 旋转背景下动点路径长（求点运动轨迹弧长）】 【例1】（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点，，均在格点上． (1)在网格图中画出绕点顺时针旋转90°后的． (2)在（1）的条件下，求旋转过程中，点所经过的弧长．（结果保留） 【答案】(1)如图，△OB1C1即为所求； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质即可在网格图中画出△OBC绕点O顺时针旋转90°后的△OB1C1． （2）根据弧长公式即可求旋转过程中，点C所经过的弧长． 【详解】（1）略 （2）解：∵OC＝ ， ∴点C所经过的弧长＝ ． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换，弧长的计算，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 1．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是、． (1)若关于原点对称的三角形为，则的坐标为　　　　； (2)将绕点O逆时针旋转90°后得到，请在图中作出并求出这时点的坐标； (3)在（2）中的旋转过程中，求出点A的运动轨迹的长度． 【答案】(1) (2)画图见解析， (3) 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特点求解即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、即可； （3）先利用勾股定理计算出，然后根据弧长公式计算． 【详解】（1）∵关于原点对称的三角形为， ∴点B和点关于原点对称， ∵ ∴； （2）如图所示，即为所要求作的三角形， 此时点的坐标为； （3）由题可知：线段OA扫过的图形是以点O为圆心，以长为半径的扇形的弧长， ∵ ∴ ∵绕点O逆时针旋转90°后得到 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：旋转的性质，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也弧长公式． 2．（2026·河北廊坊·二模）如图1，四边形是正方形，且，点与点重合，以为圆心，作半径长为3的半圆，交于点，交于点，交的延长线于点． (1)发现：是半圆上任意一点，连接，则的最大值为_________． (2)思考：将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为． 如图2，若半圆直径经过点时，求点转过的弧长． (3)在旋转过程中圆心到和的距离相等时，求． (4)探究：在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切，求点到切点的距离． （参考数据：，，） 【答案】(1)7 (2) (3) (4)半圆与正方形的边相切，点到切点的距离为1+或4-或． 【分析】（1）找到当割线AM经过圆心时最大，根据正方形于半圆的半径求解决可； （2）利用三角函数求出∠CFB，然后利用弧长公式计算即可； （3）取CD中点E，过点E作EH⊥CD于E，交AB于H，根据在旋转过程中圆心到和的距离相等，当点O在EH上时，OD=OC，根据EH为CD的垂直平分线，DCDE=CE=2，∠CEH=90°，可证四边形EHBC为矩形，得出HB=EC=2，EH=BC=4，根据勾股定理即可； （4）半圆O与正方形ABCD的边相切共有三种情况：当半圆O于CD相切于Q，过Q作QP⊥CD于Q，交AB于P，当半圆O与AD相切于K，过K作KL⊥AD于K，交BC于L，当半圆O于AB相切于F点，FQ⊥AB于F，交CD于Q求解即可． 【详解】（1）解：是半圆上任意一点，当AM经过圆心时AM值最大为AB+OG=4+3=7， 故答案为7； （2）解：在Rt△FBC中，FB=3，BC=4， ∴tan∠CFB=， ∴∠CFB=53°， ∴点转过的弧长为：； （3）解：取CD中点E，过点E作EH⊥CD于E，交AB于H， 在旋转过程中圆心到和的距离相等， 当点O在EH上时，OD=OC， ∵EH为CD的垂直平分线， ∴DE=CE=2，∠CEH=90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DCB=∠ABC=90°=∠CEH， ∴四边形EHBC为矩形， ∴HB=EC=2，EH=BC=4， ∴FH=FB-HB=3-2=1， 在Rt△OFH中，， ∴EO=EH-OH=， ∴； （4）解：半圆O与正方形ABCD的边相切共有三种情况： 当半圆O于CD相切于Q，过Q作QP⊥CD于Q，交AB于P， ∵点Q为切点，PQ⊥CD， ∴圆心O在PQ上，OQ=3， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DCB=∠ABC=∠CQP=90°， ∴四边形QPBC为矩形， ∴QP=BC=4，QC=PB， ∴OP=PQ-OQ=1， ∴FP=， ∴PB=FB-FP=3-， ∴QC=PB=3-， ∴DQ=DC-QC=4-（3-）=1+； 当半圆O与AD相切于K，过K作KL⊥AD于K，交BC于L， ∵点K为切点，KL⊥AD， ∴点O在KL上， ∴∠D=∠DCB=∠DKL=90°， ∴四边形DKLC为矩形， ∴KL=DC=4，EK=QO， 同理可证OPBL为矩形， ∴OL=PB， ∵OK=OF=3， ∴OL=KL-OK=1， ∴PF=FB-PB=3-1=2， 在Rt△FOP中，OP=， ∴DK=QO=QP-OP=4-； 当半圆O于AB相切于F点，FQ⊥AB于F，交CD于Q， ∴AP=AB-PB=1， ∴DF=； 综合以上半圆与正方形的边相切，点到切点的距离为1+或4-或． 【点睛】本题考查正方形性质，图形旋转，切线性质，勾股定理，矩形判定与性质，锐角三角函数，弧长公式，掌握正方形性质，图形旋转，切线性质，勾股定理，矩形判定与性质，锐角三角函数，弧长公式是解题关键． 【提高题型二 图形旋转，求扫过区域的面积】 【例1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点C关于的对称点．连接，作点C关于的对称点．根据题意即当点P位于时，与重合．当点P位于时，与重合，从而得出点的运动轨迹是以B为圆心，以长为半径的．连接，过点作于点E．由此即得出线段扫过的区域的面积为，求出和即得出答案． 【详解】如图，作点C关于的对称点．连接，作点C关于的对称点， 即当点P位于（与A点重合）时，与重合．当点P位于（与D点重合）时，与重合． ∴点的运动轨迹是以B为圆心，以长为半径的． 连接，过点作于点E． ∴线段扫过的区域的面积为． ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴． 根据轴对称的性质可知，， ∴， ∴，为等边三角形． ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴线段扫过的区域的面积为． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称变换，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及扇形的面积公式等知识．综合性强，较难．作出辅助线，理解点的运动轨迹是以B为圆心，以长为半径的是解题关键． 【例2】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是____． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算．由将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处，可得，由题给图象可知：可得出阴影部分面积． 【详解】解：中，是直角，， ，． 将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处， ． 所以 ． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； (2)直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，两点间的距离公式，求图形扫过的面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，再顺次连接，利用两点间的距离公式求出的长，即可求出的长； （2）由题意得，线段扫过的区域即为扇形，据此结合扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得； （2）解：由题意得，线段扫过的区域即为扇形， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过区域的面积为． 2．（2026·江西·模拟预测）如图1是一扇门打开后的情景示意图，图2为底面BEB′的平面示意图，其中门的宽度AB＝1 m，EA⊥EB′，A到墙角E的距离AE＝0.5 m．设点E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边BC靠在墙B′C′的位置． (1)求∠EAB′的度数； (2)打开门后，门边上的点B在地面扫过的痕迹为，求与墙角EB，EB′围成区域的面积 (结果精确到0.1 m2；参考数据：π≈3.14，≈1.73) 【答案】(1)60° (2)1.3 m2 【分析】（1）利用余弦三角函数值求∠EAB的度数； （2）先求出扇形BAB′的圆心角，由扇形面积公式和三角形面积公式解答即可； 【详解】（1）解：∵EA⊥EB′， ∴∠AEB′＝90°， ∵AB′＝AB＝1 m，AE＝0.5 m， ∴cos∠EAB′＝＝， ∴∠EAB′＝60°； （2）解：在Rt△AEB′中，B′E＝AB′·sin 60°＝， ∵∠EAB′＝60°， ∴∠BAB′＝180°－60°＝120°， ∴S＝S△EAB′＋S扇形BAB′＝××＋＝＋≈0.22＋1.05≈1.3 m2； 答：与墙角EB，EB′围成区域的面积约为1.3 m2． 【点睛】本题考查了由特殊角三角函数值求角的度数，扇形面积公式；熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 3．（25-26九年级上·上海金山·期末）如图，正方形，点是线段延长线上一点，连接，，且． (1)将线段沿着射线运动，使得点与点重合，那么线段扫过的平面部分的面积是______． (2)将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积．（结果用含的代数式表示且保留） (3)将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角． 【答案】(1)25 (2)逆时针旋转时，；顺时针旋转时， (3) 解：如图1，旋转中心：边的中点为，顺时针， 如图2，旋转中心：点，顺时针旋转， 如图3，旋转中心：正方形对角线交点，顺时针旋转，                ． 【分析】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答． （1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据扇形的面积计算即可； （3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】（1）解：将线段沿着射线运动，使得点与点重合，则线段扫过的平面部分的面积是， 故答案为：25； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 逆时针旋转时，， 顺时针旋转时，； （3）略 【提高题型三 扇形折叠问题综合计算】 【例1】（2026·宁夏吴忠·一模）如图，把半径为的沿弦，折叠，使和都经过圆心，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，扇形面积，及圆的面积公式和解直角三角形等知识作于点，连接，，，由得，从而得，同理，所以，根据阴影部分的面积面积即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于点，连接，，，如图所示， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∴，同理， ∴， ∴阴影部分的面积面积 ， 故选：． 【例2】（2026·河南安阳·一模）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和圆的半径相等，可得到，是等边三角形，由此可得圆心角的度数为，利用直角三角形所对的边等于斜边的一半和勾股定理可解得，，用扇形面积减去四边形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：连接，交于点， 由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在弧上的点处， ∴、、为扇形的半径， ∴， ∴在中，， ∴是等边三角形， ∴， 同理，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，扇形的圆心角， ∴， 扇形的面积， ∴，， ∴，， ∴， 菱形的面积， 阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积． 1．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 【答案】剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 【分析】连接，先根据圆周角所对的弦为直径，确定为的直径，长度为，通过勾股定理算出扇形的半径的长度，再利用圆的面积公式算出整块圆形铁皮的总面积，用扇形面积公式算出剪下的扇形面积，两者作差，得到剩余部分的面积，最后根据扇形的弧长和圆锥底面的周长相等，通过弧长公式算出扇形的弧长，再结合圆的周长公式建立方程，求解出圆锥的底面圆半径．注意剩余部分的面积和圆锥的底面圆半径均按要求保留两位小数． 【详解】解：连接，如图 由可知，为的直径，， 根据勾股定理，在中，， 在扇形中，， ， 圆形铁皮直径为， 圆形铁皮的半径为， 圆形铁皮的总面积， 剪下的扇形面积， 剩余部分面积， 扇形的弧长， 设圆锥底面圆的半径为，则，即， 解得． 答：剩余部分的面积约为，圆锥底面圆的半径长约为． 2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 【答案】(1)扇形圆心角的度数为 (2)花窗的面积为 【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键． （1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可； （2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可． 【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点， ∴， 设的度数为， ∵的长度为． ∴，解得， ∴扇形圆心角的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∴花窗的面积为． 3．（24-25九年级上·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 【答案】(1) (2) 解：他的猜想正确．理由如下： 设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； (3) (4)； 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用． （1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果． （2）根据（1）的公式进行计算即可求解； （3）根据（2）的结论进行计算即可求解； （4）根据弧长公式得出，进而根据得出圆心角的度数，进而求得，即可求解． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：，圆心角为， 即， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ； （4）解：∵，， ∴， ∵，即， 解得： ∴，即 故答案为：，． 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意：， 解得， ∴扇形的弧长， 故选：C． 2．（2026·宁夏·模拟预测）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：， ， 是的外角， ， 是的直径， 的半径为， 的长为：． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明准备制作棱长为的正方体纸盒，现选用一张圆形纸板进行设计，设计方案如图所示，点，，都在圆上，根据设计方案，需将图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三块阴影区域剪去，则区域Ⅰ的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和扇形的面积公式，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，圆周角的性质是解题的关键．连接、、，由，，根据勾股定理的逆定理，即可求得，又由的圆周角所对的弦是直径，则可证得为该圆的直径，取中点为O，扇形的圆心角为，最后利用扇形面积减去空白的两个小直角三角形即可求出区域Ⅰ的面积． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∴为该圆的直径， ∴半径， 取中点为O， O即为圆心， 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查弧长的计算和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质，此题难度不大． 首先作出图形，于是可得点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧，根据弧长公式即可求出总长度． 【详解】解：作图如图 点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧， 故总长度为． 故选：C． 5．（2025·河南周口·一模）一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键． 连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E， 由旋转知，经过点O，且， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选A． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为__________．（结果保留） 【答案】 【分析】首先根据扇形的面积公式求得扇形的半径，根据弧长的计算是即可求出扇形的弧长． 【详解】解：设扇形的半径是r， 由题意得， 解得， ∴扇形的弧长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长． 7．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 8．（2026九年级·江西赣州·模拟预测）如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是理解顶点O经过的路线可得，则顶点O经过的路线总长为三个扇形的弧长，难度一般．仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可． 【详解】解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧切直线l于点B时，有直线l，此时O点绕点B转过了； 第二段：直线l到直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终垂直直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长为的弧长，即为的弧长； 第三段：直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了； 所以，O点经过的路线总长； 故答案为 9．（2026·湖北孝感·二模）如图，已知菱形，以为直径作，与交于点E，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得∴，；连接OE，过点O作OF BE于点F，在Rt△OBF中，求得OF=，；根据垂径定理求得；根据等腰三角形的性质求得，由即可求得图中阴影部分的面积． 【详解】∵菱形，，， ∴，， 连接OE，过点O作OF BE于点F， ∵为的直径， ∴OB=OE=3， 在Rt△OBF中，，OB= 3， ∴OF=，， ∵OF BE， ∴； ∵OB=OE=3，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、垂径定理、求不规则阴影部分的面积，正确求得的长是解决问题的关键． 10．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，掌握不规则图形面积的计算是解题的关键． 由直角三角形的性质求出，的长，由阴影的面积，应用扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴阴影的面积 ． 故答案为：． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 【答案】证明：如图，连接， 设的半径，则， ∵的长度， 的长度， ∴两弧的长度相等． 即：的长等于的长． 【分析】根据圆周角定理可得出，设，则，再根据弧长公式可得出结论． 【详解】略 12．（2026·河北邯郸·一模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，垂径定理，弧长公式，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）在中，利用正切定义求出，然后在中，利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）连接，利用弧长公式求出的度数，进而求出的度数，过点O作于E点，在中，利用正切定义可得出，利用勾股定理可求出，由垂径定理求出，过D作于点，则可证四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∵， ∴； （2）解：连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点O作于E点， ∴， ， ∴， ， ，， ， ， 过D作于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 13．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将平移，使点平移到，请画出平移后的，此时线段的长度是 ； (2)画出绕坐标原点顺时针旋转后的，在旋转过程中点走过的路径长为 ． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求， 【分析】（1）根据平移坐标为，得到向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，确定，的平移后坐标，画图形即可，利用两点间的距离公式计算即可． （2）根据勾股定理计算半径，根据旋转得到圆心角，利用弧长公式计算即可． 【详解】（1）∵平移坐标为， ∴向左平移4个单位长度，向上平移1个单位长度，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵旋转 ∴旋转过程中点C走过的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移规律，旋转的性质，勾股定理，弧长公式，熟练掌握平移规律是解题的关键． 14．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点M，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____________． ②当时，求阴影部分面积． 【答案】(1)4 (2)①或；② 【分析】（1）连接，过点作于点，根据圆的基本性质可得为等边三角形，从而得到，然后根据切线的性质可得，最后由30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案； （2）①分两种情况讨论：直线在的左侧和直线在的右侧时，根据切线的性质和平行线的性质可求的，再结合已知即可解答； ②连接，过点作于点，设与交于点，由题意可知，易证四边形为矩形，得到，然后根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，，最后根据阴影部分面积即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作于点，如图， ， 为等边三角形， ， ∵优弧与直线相切于点， ， ， ， ， ∴点到直线的距离为4； （2）解：①I．当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ， ∵直线， ， ， 从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ， ； II．当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ， ∵直线， ， ， 的旋转的度数为， 从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ， ； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或． 故答案为：或．         ②连接，过点作于点，设与交于点，如图， ， ， ∵优弧与直线相切于点， ， ∵直线， ∴直线， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ∴阴影部分面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识点，熟练掌握切线的性质，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． 15．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将向左平移2个单位，画出平移后的； (2)以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得，画图，并写出的坐标______； (3)在（2）旋转过程中线段扫过的面积为______． 【答案】(1)如图所示：即为所求， (2)如图所示：即为所求，， (3) 【分析】本题考查作图—平移变换、旋转变换，扇形面积公式，网格与勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质得出对应点坐标进而得出答案； （2）根据旋转的性质得出对应点坐标，进而得出对应点坐标即可； （3）根据旋转的性质以及运用扇形面积公式进行列式计算，得出线段扫过的面积，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）解：如图所示：即为所求，， 故答案为：； （3）解：根据题意，每个小正方形的边长为， ∴， ∴在（2）旋转过程中线段扫过的面积为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 弧长及扇形的面积重难点题型专训（1个知识点+8大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求弧长 1 题型二、求扇形半径 2 题型三、求圆心角 3 题型四、求某点的弧形运动路径长度 4 题型五、求扇形面积 5 题型六、求弓形面积 6 题型七、求其他不规则图形的面积 7 题型八、求图形旋转后扫过的面积 8 第二部分·练提高题型 题型一、旋转背景下动点路径长（求点运动轨迹弧长） 1 题型二、图形旋转，求扫过区域的面积 2 题型三、扇形折叠问题综合计算 3 第三部分・自我检测 知识点01 弧长及扇形的面积 设的半径为，圆心角所对弧长为， （一）弧长的计算 （1）弧长公式： （2）公式推导：在半径为的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所 对的弧长是即于是的圆心角所对的弧长为 注意：（1）在弧长公式中，表示的圆心角的倍数，不带单位。例如圆的半径，计算的圆心角 所对弧长时，不要错写成 （2）在弧长公式中，已知，中的任意两个量，都可以求出第三个量。 （二）扇形面积的计算 （1）扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形。 （2）扇形的面积：为扇形所在圆的半径，为扇形的弧长。 （3）公式推导： ①在半径为的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是于是圆心角为的扇形面积是 ②即其中为扇形的弧长，为半径。 点拨：（1）扇形面积公式与三角形的面积公式有些类似，只需把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看成底，半径看成高即可。 （2）在求扇形面积时，可根据已知条件来确定是使用公式还是 （3）已知四个量中任意两个，都可以求出另外两个。 （4）公式中的“”与弧长公式中的“”的意义是一样的，表示“”的圆心角的倍数，计算时不带单位。 【即时训练】 1．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·模拟预测）如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【基础题型一 求弧长】 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）新考法我们将小于半圆的弧叫作劣弧．如图，已知的半径为2，正五边形和正方形内接于，在由8个顶点分得的所有劣弧中，最长劣弧的弧长为___________． 1．（2025·河南洛阳·一模）如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 3．（25-26九年级上·上海·期末）用计算器计算： 在地面建立一个花坛，底部形状如图，它的外周由圆弧与正方形的三条边组成（如图的实线部分）．已知，正方形的面积为，求花坛底部的周长（结果保留三位有效数字）． 【基础题型二 求扇形半径】 【例1】（2026·安徽阜阳·二模）已知一个扇形的圆心角为，它所对的弧长是，则此扇形的半径是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例2】（2026·北京·模拟预测）已知的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径是________． 1．（2025·河南周口·二模）如图1，点从正的顶点出发，沿方向运动到某一点后，再经过正三角形内部运动到边上某一点，然后沿方向运动到点停止，设点的运动路程为，，已知点运动时，随变化的关系图象如图2所示，则正的边长为（   ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________ 3．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）（1）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为___________． （2）若扇形的圆心角为，面积为，则它的半径为___________． （3）一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是___________． 【基础题型三 求圆心角】 【例1】（2025九年级·全国·专题练习）已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．6 2．（2026九年级上·浙江杭州·专题练习）“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则________． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，的半径为． (1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） (2)已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【基础题型四 求某点的弧形运动路径长度】 【例1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到，则C点运行痕迹长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东泰安·模拟预测）如图，把一块的直角三角板绕点旋转到的位置．使得三点、在一直线上，若，则顶点从开始到结束所经过的路径长为______． 1．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若．，则点走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折，得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且，当点从点运动到点时，点运动的路径长是______． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【基础题型五 求扇形面积】 【例1】（2026·内蒙古兴安·二模）如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，在中，分别以A，B，C为圆心作半径均为2的圆，且三个圆两两不相交，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________． 1．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东茂名·模拟预测）如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，某兴趣小组的同学将边长为的正方形铁丝框变形为以点为圆心，以，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形的面积是多少？ 【基础题型六 求弓形面积】 【例1】（25-26九年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【例2】（25-26八年级下·四川德阳·阶段检测）如图，在中，，，分别以的边为直径画半圆，则阴影部分的面积是_____________． 1．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，AB为⊙O的直径，点D为圆外一点，连接AD、BD，分别与⊙O相交于点C、E，且，过点C作CF⊥BD于点F，连接BC． (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若∠CBD＝30°，AC＝5，求阴影部分面积（结果保留π）． 【基础题型七 求其他不规则图形的面积】 【例1】（2025·河南安阳·二模）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心Q是的中点，若两个扇形的半径都为1，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南平顶山·模拟预测）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 1．（2026·浙江·模拟预测）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图，在中，＝，＝．将绕点逆时针旋转角后得到，当点的对应点落在边上时，阴影部分的面积为____．      3．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，四边形内接于，是的直径，且交的延长线于点，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【基础题型八 求图形旋转后扫过的面积】 【例1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·上海长宁·期末）如图，直角的直角顶点为B，且，，，将此三角形绕着顶点A逆时针旋转72度到直角的位置，在旋转过程中，线段扫过的面积是___．（结果保留） 1．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图，等边△ABC中，BC=6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH=AC，AO=AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为 __________________． 3．（2026·山东潍坊·模拟预测）将一副三角板如图1摆放，已知，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F以每秒的速度顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当三角板旋转到时，如图2，线段扫过的面积是________； (2)在旋转过程中，与的交点为P，若为等腰三角形，求t的值； (3)当边与边分别交于点M，N时，如图3，连接，设，，，证明：为定值． 【提高题型一 旋转背景下动点路径长（求点运动轨迹弧长）】 【例1】（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），点，，均在格点上． (1)在网格图中画出绕点顺时针旋转90°后的． (2)在（1）的条件下，求旋转过程中，点所经过的弧长．（结果保留） 1．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是、． (1)若关于原点对称的三角形为，则的坐标为　　　　； (2)将绕点O逆时针旋转90°后得到，请在图中作出并求出这时点的坐标； (3)在（2）中的旋转过程中，求出点A的运动轨迹的长度． 2．（2026·河北廊坊·二模）如图1，四边形是正方形，且，点与点重合，以为圆心，作半径长为3的半圆，交于点，交于点，交的延长线于点． (1)发现：是半圆上任意一点，连接，则的最大值为_________． (2)思考：将半圆绕点逆时针旋转，记旋转角为． 如图2，若半圆直径经过点时，求点转过的弧长． (3)在旋转过程中圆心到和的距离相等时，求． (4)探究：在旋转过程中，若半圆与正方形的边相切，求点到切点的距离． （参考数据：，，） 【提高题型二 图形旋转，求扫过区域的面积】 【例1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是____． 1．（25-26九年级上·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； (2)直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 2．（2026·江西·模拟预测）如图1是一扇门打开后的情景示意图，图2为底面BEB′的平面示意图，其中门的宽度AB＝1 m，EA⊥EB′，A到墙角E的距离AE＝0.5 m．设点E，A，B在一条直线上，门打开后被与门所在墙面垂直的墙阻挡，边BC靠在墙B′C′的位置． (1)求∠EAB′的度数； (2)打开门后，门边上的点B在地面扫过的痕迹为，求与墙角EB，EB′围成区域的面积 (结果精确到0.1 m2；参考数据：π≈3.14，≈1.73) 3．（25-26九年级上·上海金山·期末）如图，正方形，点是线段延长线上一点，连接，，且． (1)将线段沿着射线运动，使得点与点重合，那么线段扫过的平面部分的面积是______． (2)将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积．（结果用含的代数式表示且保留） (3)将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角． 【提高题型三 扇形折叠问题综合计算】 【例1】（2026·宁夏吴忠·一模）如图，把半径为的沿弦，折叠，使和都经过圆心，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【例2】（2026·河南安阳·一模）如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧上的点处，则图中阴影部分的面积为______． 1．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数点后两位）？ 2．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为． (1)求扇形的圆心角度数； (2)依据相关数据，求花窗的面积． 3．（24-25九年级上·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推的公式：_______①，并通过比较扇形面积公式与弧长公式_______②，得出扇形面积的另一种计算方法：_____▲③．请解决下列问题： 问题Ⅰ：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知弧和弧所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，，求花坛的面积． (1)请你解答问题Ⅰ； (2)在解决问题Ⅱ的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁母线长，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） (4)丙同学认为，要想准确画出纸杯的侧面展开图，需要确定图3中弧和弧所在圆的半径，的长以及圆心角的度数，那么根据（3）中的尺寸，弧所在圆的半径_______；它所对的圆心角的度数为_______． 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·宁夏·模拟预测）如图，的直径，是弦，．的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）小明准备制作棱长为的正方体纸盒，现选用一张圆形纸板进行设计，设计方案如图所示，点，，都在圆上，根据设计方案，需将图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三块阴影区域剪去，则区域Ⅰ的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南周口·一模）一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为__________．（结果保留） 7．（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 8．（2026九年级·江西赣州·模拟预测）如图，将半径为1、圆心角为的扇形纸片，在直线上向右作无滑动的滚动至扇形处，则顶点O经过的路线总长为____________． 9．（2026·湖北孝感·二模）如图，已知菱形，以为直径作，与交于点E，，，则图中阴影部分的面积为______． 10．（2025·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为______． 11．（26-27九年级上·浙江杭州·课后作业）已知：如图，的半径为的直径，的半径交于点B．求证：的长等于的长． 12．（2026·河北邯郸·一模）某水渠的横断面是以为直径的半圆O，图1表示水渠正好盛满了水，点D是水面上只能上下移动的浮漂，是垂直水面线的发光物体且从点B发出光线，测得、分别为，，已知． (1)求的长； (2)如图2，把水渠中的水放掉一部分，得到水面线为，若的长为，求的长． 13．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是． (1)将平移，使点平移到，请画出平移后的，此时线段的长度是 ； (2)画出绕坐标原点顺时针旋转后的，在旋转过程中点走过的路径长为 ． 14．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点M，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____________． ②当时，求阴影部分面积． 15．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将向左平移2个单位，画出平移后的； (2)以点为旋转中心，将逆时针方向旋转得，画图，并写出的坐标______； (3)在（2）旋转过程中线段扫过的面积为______． 学科网（北京）股份有限公司 $