3.2.1.1 直接开平方法 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

# 湘教版九年级上册 3.2.1.1 直接开平方法 ## ✅ 知识点 ### 1. 依据 平方根的定义：若$x^2=a(a\ge0)$，则$\boldsymbol{x=\pm\sqrt{a}}$。 > 注意：当$\(a<0\)$时，方程没有实数根。 ### 2. 适用形式 ① $\boldsymbol{x^2=a\quad(a\ge0)}$ 解：$x=\pm\sqrt{a}$，即$x_1=\sqrt{a},\ x_2=-\sqrt{a}$ ② $\boldsymbol{(\(mx+n\))^2=a\quad(a\ge0)}$ 把括号内$\(mx+n\)$看成一个整体， $\(mx+n\)=\pm\sqrt{a}$，再解一次方程。 ### 3. 解题步骤 1. 变形：把方程整理成**左边是完全平方式，右边是非负数**； 2. 开平方：整体开方，右边一定要写$\boldsymbol{\pm}$； 3. 解一次方程，得到两个根； 4. 若右边是负数 → **无实数根**。 > ⚠️易错点：不要漏掉负根；右边小于0，直接写无实数根。 --- ## 专项练习 ### 一、选择题 1. 方程$x^2=16$的根是（） A.$\(x=4\)$ B.$x=-4$ C.$x_1=4,x_2=-4$ D.$\(x=8\)$ 2. 方程$(x-2)^2=9$的解是（） A.$\(x=5\)$ B.$x=-1$ C.$x_1=5,x_2=-1$ D.$x_1=11,x_2=-7$ 3. 方程$(2x+1)^2=-4$的实数根情况是（） A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根 C.无实数根 D.有一个实数根 4. 若方程$(x-m)^2=n$能用直接开平方法求解，则$n$的取值范围是（） A.$n\ge0$ B.$\(n>0\)$ C.$n\le0$ D.$\(n<0\)$ ### 二、填空题 5. $x^2=5$，则$x_1=$________，$x_2=$________。 6. $(x+3)^2=0$，方程的根是________（两个相等实数根）。 7. $3x^2-27=0$，化成$x^2=a$形式为________，根为________。 ### 三、解答题（基础）用直接开平方法解方程 8.$x^2-25=0$ 9.$4x^2=9$ 10.$(x+1)^2=2$ ### 四、解答题（中档） 11.$(2x-3)^2=16$ 12.$2(x-5)^2-8=0$ 13.$(3x+1)^2=(x-1)^2$ ### 五、拓展题 14.已知一元二次方程$(x+a)^2=b$的一个根是$x=-2$，求另一个根（用$\(a,b\)$表示）。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. **C** 解析：$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$ 2. **C** 解析：$x-2=\pm3$，$x-2=3$或$x-2=-3$，得$x_1=5,x_2=-1$ 3. **C** 解析：右边$-4<0$，平方不可能为负数，无实数根。 4. **A** 解析：被开方数必须非负，$n\ge0$。 ### 填空题 5.$\boldsymbol{\sqrt{5}},\boldsymbol{-\sqrt{5}}$ 6.$\boldsymbol{x_1=x_2=-3}$ 7.$\boldsymbol{x^2=9}$；$\boldsymbol{x_1=3,x_2=-3}$ ### 解答题 8. $$ \begin{align*} x^2&=25\\ x&=\pm5\\ \therefore x_1&=5,\ x_2=-5 \end{align*} $$ 9. $$ \begin{align*} x^2&=\frac{9}{4}\\ x&=\pm\frac{3}{2}\\ \therefore x_1&=\frac{3}{2},\ x_2=-\frac{3}{2} \end{align*} $$ 10. $$ \begin{align*} x+1&=\pm\sqrt{2}\\ x&=-1\pm\sqrt{2}\\ \therefore x_1&=-1+\sqrt{2},\ x_2=-1-\sqrt{2} \end{align*} $$ 11. $$ \begin{align*} 2x-3&=\pm4\\ 2x-3=4&\quad\text{或}\quad2x-3=-4\\ 2x=7&\quad\quad\quad2x=-1\\ x_1=\frac{7}{2},&\quad x_2=-\frac12 \end{align*} $$ 12. $$ \begin{align*} 2(x-5)^2&=8\\ (x-5)^2&=4\\ x-5&=\pm2\\ x_1=7,&\quad x_2=3 \end{align*} $$ 13. $$ \begin{align*} 3x+1&=\pm(x-1)\\ ①\ 3x+1&=x-1,\quad 2x=-2,\ x_1=-1\\ ②\ 3x+1&=-(x-1),\ 3x+1=-x+1,\ 4x=0,\ x_2=0 \end{align*} $$ 14. 解：方程$(x+a)^2=b$两根为： $x_1=-a+\sqrt{b},\ x_2=-a-\sqrt{b}$，两根关于$-a$对称。 已知一根为$-2$，两根之和：$(-a+\sqrt{b})+(-a-\sqrt{b})=-2a$ 设另一根为$x_0$，则$-2+x_0=-2a$，得$\boldsymbol{x_0=2-2a}$ --- ## 📌考试易错点总结 1. 开平方一定要写$\boldsymbol{\pm}$，只写正根会丢分； 2. 形如$(...)^2=0$，有**两个相等实数根**，要写$x_1=x_2=\dots$，不能只写一个； 3. 先把常数项移到右边，系数化为1，再开方； 4. 右边是负数，直接写**无实数根**。 要不要继续下一节：**配方法**，或者给你一份无答案版直接开平方法专项练习？ 湘教版（新教材）数学九年级上册 3.2.1.1 直接开平方法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一元二次方程 1 2 3 理解一元二次方程的根（解）的概念（重点） 掌握用直接开平方法对形如x2=a，（ax+b）2=c形式的一元二次方程进行求解（重点） 理解开平方与平方互为逆运算，能根据平方根的定义求解方程（难点） 学习目标 我们七年级下学期学了平方根，什么叫作平方根？ 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根。 根据平方根的意义填空： (1).如果 x2=81,则x= . (2).如果 x2=5,则x= . (3).如果x2=a(a≥0) ,则x= . ±9 求一个数的平方根的运算叫作开平方 情境导入 情景问题 移项得, 开方得, 即。 探究问题 方程怎么解？你能利用平方根知识求出吗？ 课堂小结 知识梳理 4 探究新知 探究一：一元二次方程的解 思考：将本章3.1节“思考”栏目列出的方程整理得,如何求解此方程呢？ 解:移项,得. 这表明是的平方根,根据平方根的意义, 得或, 即. 课堂小结 知识梳理 5 探究新知 归纳总结： 使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 和就是方程的根. 把一元二次方程的所有根都求出来,叫作解一元二次方程. 解一元二次方程,实质上是求用哪个数代入,能够使得方程左边的值与右边的值相等. 课堂小结 知识梳理 6 探究新知 方法总结： 1.求解依据：平方根的意义,即若,则。 2.核心思想：降次,将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 3.关键结论：使方程左右两边相等的未知数的值,就是一元二次方程的根。 课堂小结 知识梳理 7 探究新知 探究一：用直接开平方法解一元二次方程 例1：解方程：. 解原方程经过移项,左右两边同除以,得. 根据平方根的意义,得或, 因此,原方程的根为. 课堂小结 知识梳理 8 探究新知 探究一：用直接开平方法解一元二次方程 说一说：如何解方程? 解:根据平方根的意义得 或, 即或. 解得. 课堂小结 知识梳理 9 知识点1 一元二次方程的解（根） 1. [郴州期末] 已知方程的一个根是1，则 的值为( ) B A. 4 B. C. 3 D. 2. 若是关于的方程 的解， 则代数式 的值是____. 返回 举一反三 10 3. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它 的一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. 4. 下表是代数式 的值的情况，根据表格数据，可知 方程 的根是_______________. （答案不唯一） 0 1 2 3 4 12 6 2 0 0 2 6 12 , 返回 举一反三 11 探究新知 探究一：用直接开平方法解一元二次方程 例2:解方程：. 解：根据平方根的意义, 得或, 即. 注意：通过“降次”,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 课堂小结 知识梳理 12 探究新知 探究一：用直接开平方法解一元二次方程 做一做：解方程 . 解：把方程写成, 根据平方根的意义,得或, 即, 因此,原方程的根为,. 课堂小结 知识梳理 13 探究新知 方法总结： 1.适用类型：形如或 的方程。 2.解题步骤：移项→系数化为 1→直接开平方→解一元一次方程。 3.易错提醒：开方必须写±,右边常数时方程无实数根。 4.整体思想：把含未知数的式子看作一个整体再开方。 课堂小结 知识梳理 14 基础巩固题 新知应用 2. 已知关于x的方程x²+x+2a-4=0的一个根是-1，则a的值是( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 D 分析：将方程的一个根x=-1代入方程x²+x+2a-4=0，得关于a的方程2a-4=0，解得a=2，故选D. 1.下列是方程x2－x－6＝0的根的是(　　) A.x＝－4　 B.x＝－3 C.x＝3　 D.x＝2 C 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的根 基础巩固题 新知应用 3.判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解. 1） x2=2 ( ) 2） p2 - 49=0 ( ) 3） 6 x2=3 ( ) 4) （5x+9）2+16=0    ( ) 5) 121-(y+3) 2 =0 ( ) × √ √ √ √ 直接开平方法的特点： 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数 基础巩固题 新知应用 (1) 方程 x2 = 0.25 的根是 . (2) 方程 2x2 = 18 的根是 . (3) 方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . x1＝0.5，x2＝−0.5 x1＝3，x2＝−3 x1＝2，x2＝−1 4. 填空： 5.解一元二次方程 时，可以将其转化为两个一元一次 方程，若其中一个一元一次方程为 ，则另一个一元一次方程 为( ) A A. B. C. D. 知识点2 解形如 的方程 5. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答 案：甲：;乙：；丙： ；丁： ， .则( ) D A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 6. 若一元二次方程的两根分别是 和 ，则 的值为___. 返回 举一反三 18 7. 用直接开平方法解下列方程： （1） ; 【解】原方程可化为.根据平方根的意义，得 或 ，因此，原方程的根为, . （2） . ，， ， ，所以， . 返回 举一反三 19 知识点3 解形如 的方程 8. 如果关于的方程无解，那么 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. 9. 如图，它是计算机程序设计，若输出的值为36，则输入的 的值为_______. 7或 返回 举一反三 20 10. 用直接开平方法解下列方程： （1） ; 【解】因为.所以 所以 ，解得， . （2） . 开平方，得或 ， 解得, . 返回 举一反三 21 用直接开平方法解一元二次方程 一元二次方程的解 步骤 基本思路 关键要把方程化成 x2=a(a ≥0)或(ax+b)2=c(n ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根 课堂小结 谢谢观看 THANKS $