3.1一元二次方程的概念（课件）--2026-2027学年湘教版数学九年级上册

# 湘教版九年级上册 \(\boldsymbol{3}\).\(\boldsymbol{1}\) 一元二次方程的概念 ## ✅ 知识点 ### \(\boldsymbol{1}\). 一元二次方程定义 只含有**一个未知数**，并且未知数的**最高次数是2**的**整式方程**，叫做一元二次方程。 三个必备条件（缺一不可）： ① 是**整式方程**（分母不含未知数，根号内不含未知数） ② 只含**\(\boldsymbol{1}\)个未知数** ③ 未知数最高次数为**2**，且二次项系数≠\(\boldsymbol{0}\) ### 2. 一元二次方程一般形式 $$\boldsymbol{ax^2+bx+c=\(\boldsymbol{0}\)}\quad(a,b,c\(\boldsymbol{ax^2+bx+c=\(\boldsymbol{0}\)}\quad(a,b,c为常数，\boldsymbol{a eq\(\boldsymbol{0}\)})\)\boldsymbol{a eq\(\boldsymbol{0}\)})$$ - $ax^2$：二次项，$a$ 是**二次项系数**（$a$不能等于\(\boldsymbol{0}\)！若$\(a=\(\boldsymbol{0}\)\)$，方程变成一次方程） - $bx$：一次项，$b$ 是一次项系数 - $c$：常数项（可以是\(\boldsymbol{0}\)） > 注意：化为一般形式时，右边必须整理为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{0}\)}$，左边按降幂排列。 > $b$、$c$可以为\(\boldsymbol{0}\)： > - $ax^2=\(\boldsymbol{0}\)$（$b=\(\boldsymbol{0}\),c=\(\boldsymbol{0}\)$）仍是一元二次方程； > - $ax^2+c=\(\boldsymbol{0}\)$（$b=\(\boldsymbol{0}\)$）； > - $ax^2+bx=\(\boldsymbol{0}\)$（$c=\(\boldsymbol{0}\)$）。 ### \(\boldsymbol{3}\). 一元二次方程的根（解） 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根。 --- ## 专项练习 ### 一、选择题 \(\boldsymbol{1}\). 下列方程是一元二次方程的是（） A.$\(x+2y=\(\boldsymbol{1}\)\)$　B.$x^2-5=\(\boldsymbol{0}\)$　C.$x^2+\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)}{x}=\(\boldsymbol{3}\)$　D.$x^\(\boldsymbol{3}\)+x^2=4$ 2. 将方程$2x^2=\(\boldsymbol{3}\)x-\(\boldsymbol{1}\)$化为一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A.$2,\(\boldsymbol{3}\),-\(\boldsymbol{1}\)$　B.$2,-\(\boldsymbol{3}\),\(\boldsymbol{1}\)$　C.$2,-\(\boldsymbol{3}\),-\(\boldsymbol{1}\)$　D.$\(2,\(\boldsymbol{3}\),\(\boldsymbol{1}\)\)$ \(\boldsymbol{3}\). 若方程$(m-2)x^2+\(\boldsymbol{3}\)x-\(\boldsymbol{1}\)=\(\boldsymbol{0}\)$是一元二次方程，则$m$的取值范围是（） A.$m eq2$　B.$\(\(m=\)2\)$　C.$\(m>2\)$　D.$\(m<2\)$ 4. 已知$\(x=2\)$是方程$x^2-ax-2=\(\boldsymbol{0}\)$的一个根，则$a$的值为（） A.$\(\boldsymbol{1}\)$　B.$-\(\boldsymbol{1}\)$　C.$2$　D.$-2$ ### 二、填空题 5. 方程$\(\boldsymbol{3}\)x^2-5x=7$的一般形式是____________，二次项系数：____，一次项系数：____，常数项：____。 6. 若$(k+\(\boldsymbol{1}\))x^{k^2+\(\boldsymbol{1}\)}+2x-\(\boldsymbol{3}\)=\(\boldsymbol{0}\)$是一元二次方程，则$\(k=\)$________。 7. 已知$x=-\(\boldsymbol{1}\)$是方程$x^2+mx-\(\boldsymbol{3}\)=\(\boldsymbol{0}\)$的根，则$\(m=\)$________。 ### 三、解答题 8. 判断下列方程是不是一元二次方程，并说明理由： (\(\boldsymbol{1}\))$x^2-4=\(\boldsymbol{0}\)$ (2)$\(\boldsymbol{3}\)x^2-2x=\(\boldsymbol{3}\)x^2+\(\boldsymbol{1}\)$ (\(\boldsymbol{3}\))$(x+\(\boldsymbol{3}\))(x-\(\boldsymbol{3}\))=4x$ (4)$\dfrac{\(\boldsymbol{1}\)}{x^2}+\(x=2\)$ 9. 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出各项系数： (\(\boldsymbol{1}\))$x(x-2)=5$ (2)$(2x-\(\boldsymbol{1}\))(x+\(\boldsymbol{3}\))=x$ \(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{0}\). 已知关于$x$的方程$(m^2-\(\boldsymbol{1}\))x^2+(m+\(\boldsymbol{1}\))x-2=\(\boldsymbol{0}\)$。 （\(\boldsymbol{1}\)）当$m$为何值时，此方程是一元二次方程？ （2）当$m$为何值时，此方程是一元一次方程？ --- # 参考答案与解析 ### 选择题 \(\boldsymbol{1}\). **B** 解析：A两个未知数；C不是整式方程；D最高次数\(\boldsymbol{3}\)。 2. **B** 解：$2x^2-\(\boldsymbol{3}\)x+\(\boldsymbol{1}\)=\(\boldsymbol{0}\)$，二次项系数2，一次项系数$-\(\boldsymbol{3}\)$，常数项$\(\boldsymbol{1}\)$。 \(\boldsymbol{3}\). **A** 解析：二次项系数$m-2 eq\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow m eq2$ 4. **A** 把$\(x=2\)$代入：$2^2-2a-2=\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow4-2a-2=\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow a=\(\boldsymbol{1}\)$ ### 填空题 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)x^2-5x-7=\(\boldsymbol{0}\)}$；$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$；$\boldsymbol{-5}$；$\boldsymbol{-7}$ 6.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)}$ 解析：$\begin{cases}k^2+\(\boldsymbol{1}\)=2\\k+\(\boldsymbol{1}\) eq\(\boldsymbol{0}\)\end{cases}$，$k^2=\(\boldsymbol{1}\),k eq-\(\boldsymbol{1}\)$，$\therefore \(k=\)\(\boldsymbol{1}\)$ 7.$\boldsymbol{-2}$ 代入$x=-\(\boldsymbol{1}\)$：$(-\(\boldsymbol{1}\))^2-m-\(\boldsymbol{3}\)=\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow\(\boldsymbol{1}\)-m-\(\boldsymbol{3}\)=\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow \(m=\)-2$ ### 解答题 8. (\(\boldsymbol{1}\)) 是；整式方程，只含一个未知数，最高次数2。 (2) 不是；整理后：$-2x-\(\boldsymbol{1}\)=\(\boldsymbol{0}\)$，最高次数是\(\boldsymbol{1}\)，一元一次方程。 (\(\boldsymbol{3}\)) 是；展开：$x^2-9=4x$，$x^2-4x-9=\(\boldsymbol{0}\)$，符合定义。 (4) 不是；分母含有未知数，不是整式方程。 9. (\(\boldsymbol{1}\)) $x^2-2x-5=\(\boldsymbol{0}\)$；二次项系数$\(\boldsymbol{1}\)$，一次项系数$-2$，常数项$-5$。 (2) 展开：$2x^2+6x-x-\(\boldsymbol{3}\)=x$，$2x^2+4x-\(\boldsymbol{3}\)=\(\boldsymbol{0}\)$；二次项系数$2$，一次项系数$4$，常数项$-\(\boldsymbol{3}\)$。 \(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{0}\). (\(\boldsymbol{1}\)) 一元二次方程：$m^2-\(\boldsymbol{1}\) eq\(\boldsymbol{0}\)$，即$\boldsymbol{m eq\pm\(\boldsymbol{1}\)}$。 (2) 一元一次方程：$\begin{cases}m^2-\(\boldsymbol{1}\)=\(\boldsymbol{0}\)\\m+\(\boldsymbol{1}\) eq\(\boldsymbol{0}\)\end{cases}$，得$\(m=\)\(\boldsymbol{1}\)$。 --- ## 📌 考试易错点 \(\boldsymbol{1}\). 判断一元二次方程，**一定要先化简**，化简后再看次数； 2. $ax^2+bx+c=\(\boldsymbol{0}\)$中，**$a≠\(\boldsymbol{0}\)$是重中之重**，题目带参数求取值范围必考； \(\boldsymbol{3}\). 写系数时，**要带上前面的正负号**； 4. 分式方程、带根号未知数的方程，一定不是整式方程，不可能是一元二次方程。 > 简答模板：一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，一般形式为$ax^2+bx+c=\(\boldsymbol{0}\)(a≠\(\boldsymbol{0}\))$。 要不要我继续做下一节：**\(\boldsymbol{3}\).2 一元二次方程的解法（直接开平方法）**？或者先出一份不带答案的自测卷？ 湘教版（新教材）数学九年级上册 3.1 一元二次方程的概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一元二次方程 1 2 3 理解一元二次方程的概念，能识别一元二次方程（重点） 掌握一元二次方程的一般形式，能写出各项的系数（重点） 能根据具体问题的数量关系列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型（难点） 学习目标 笨汉持长竿进城，横竖皆被城门所阻，后依智者之言斜持而入。 已知城门高比宽多6尺，竹竿长度恰好等于城门的对角线长度，且竹竿比城门的宽多9尺。若设城门的宽为 x 尺，你能根据勾股定理列出方程吗？ 设宽为x尺，则高为(x+6)尺，竿长为(x+9)尺。 由勾股定理得： x² + (x+6)² = (x+9)²， 化简后得到方程：x² - 6x - 45 = 0 这是什么方程？ 情境导入 情景问题 由题意列:, 整理得 。 一个正方形边长增加 后,面积变为 ,求原边长 ,请列出方程。 课堂小结 知识梳理 4 探究新知 探究一：一元二次方程组的概念 思考：已知一矩形的长为,宽为. 从中挖去一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的 ,如图所示. 若挖去的圆的半径为,如何列出应满足的方程（其中圆周率取）？ 课堂小结 知识梳理 5 探究新知 探究一：一元二次方程组的概念 上面问题中涉及的等量关系为： 原矩形的面积 - 挖去的圆面积 = 原矩形面积的 . 根据这个等量关系,可以列出方程 . 移项,整理得 . ① 议一议：方程①中含有几个未知数,未知数的最高次数是多少？ 有一个未知数，未知数的最高次数是1. 课堂小结 知识梳理 6 探究新知 探究一：一元二次方程组的概念 归纳：如果一个方程只含有一个未知数,经过整理后含未知数的项的最高次数是,那么这样的方程称为一元二次方程 . 一般地,关于的一元二次方程通过整理可以使右边为,它的一般形式是（是常数,）, 其中分别叫作二次项系数、一次项系数和常数项. 例如,方程 中二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 课堂小结 知识梳理 7 探究新知 方法总结： 1.判定三要素：只含一个未知数、最高次数为 2、整式方程。 2.一般形式： ，必须强调二次项系数不为0。 3.识别步骤：先整理成一般形式，再对照三要素判断。 试试看，你掌握一元二次方程的概念了吗？ 课堂小结 知识梳理 8 知识点1 一元二次方程的概念 1. [永州模拟] 下列式子：； ； ； ； ； ．其中是一 元二次方程的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 举一反三 9 2. 已知关于 的方程 是一元二次方程，则 的值 为( ) C A. B. 3 C. D. 不能确定 举一反三 10 解题支架 返回 举一反三 11 探究新知 探究二：一元二次方程的概念的应用 例:方程是否为一元二次方程？若是,指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:将原方程去括号,得. 移项,合并同类项,得, 这是一元二次方程,其中二次项系数是,一次项系数是,常数项是. 注意:可以写成吗? 可以 课堂小结 知识梳理 12 探究新知 探究二：一元二次方程的概念的应用 做一做:若关于的方程是一元二次方程,求常数应满足的条件. 你的结果与其他同学相同吗？ 解:移项,得。 方程是一元二次方程， 二次项系数，即。 课堂小结 知识梳理 13 探究新知 方法总结： 1.整理步骤：去括号→移项→合并同类项→右边化为 0→二次项系数化正。 2.识别要点：分清二次项、一次项、常数项与对应系数，注意符号。 3.含参方程判定：先合并同类项，令二次项系数≠0。 课堂小结 知识梳理 14 基础巩固题 新知应用 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. D ①整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 一元二次方程 整理 三个关键条件: D选项通过化简得 2x-5=0 基础巩固题 新知应用 2. 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） C a≠0 化简为 x2 +x-3= 0 含两个未知数 A. B. C. D. 不是整式方程 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断. 基础巩固题 新知应用 3.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x²+2+8x=12 m²-2m+8=10 5y²+8=12 （2x+1）(x-1)=0 x²+8x-10=0 m²-2m-2=0 5y²-4=0 2x²-x-1=0 1 8 -10 1 -2 -2 5 -4 0 2 -1 -1 基础巩固题 新知应用 4. 将一元二次方程3x-x(2x-1)=9化成ax²+bx+c=0(a＞0)的形式后，一次项的系数和常数项是( ) A. 3和-10 B. -3和10 C. 4和-9 D. -4和9 D 原方程化成一般形式为 2x²-4x+9=0 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程 化成一般形式 （二次项系数为正数）后， 的值为___． 4. [娄底模拟] 若关于 的一元二次方程 的常数项等于0，则 的值为___． 2 2 返回 举一反三 19 知识点3 建立一元二次方程模型 5. 第三届湖南旅发大会在衡阳隆重召开，喜迎 全国游客．据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万 人次，10月3日接待游客人数达到12.1万人次．设这两天的平 均增长率为 ，下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 20 6. 在第十五届全国运动会上，乒乓球项目备 受关注.男子团体赛第一阶段采用单循环赛（每两队之间都赛 一场）．计划分为4组，其中一组安排了10场比赛，设该组 邀请了 个球队参加比赛，可列方程为_______________. 返回 举一反三 21 7. 如图，一张长方形纸板长,宽 ,剪掉2个小正方形 和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分）,剩余的部分可折成 一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面 的面积等于 ,设剪掉的小正方形边长为 ,则根据题意可得方程 _________________________. 返回 举一反三 22 8. [衡阳期末] 关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 3 D. 返回 举一反三 23 9. 一元二次方程 化为一般形式为，则一次函数 的 图象不经过( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 举一反三 24 课堂小结 知识点： 1.一元二次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为的整式方程。 2.一般形式：，其中。 3.各项名称：二次项、一次项、常数项；对应系数为a、b、c。 4.判定步骤：先化为一般形式，再验证三要素与。 5.建模思想：从实际问题中抽象出一元二次方程模型。 知识梳理 课堂小结 知识梳理 25 谢谢观看 THANKS 二一教育 $