第二十六章　二次函数 单元测评 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章　二次函数 测评 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1. 抛物线y＝－（x＋3）2－2的顶点所在的象限是（　　　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 将抛物线y＝（x＋1）2＋3先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的二次函数解析式为（　　　　） A. y＝（x＋3）2＋2 B. y＝（x－1）2＋2 C. y＝（x－1）2＋4 D. y＝（x＋3）2＋4 3. 已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是（　　　　） A. x1＝0，x2＝4 B. x1＝1，x2＝5 C. x1＝1，x2＝－5 D. x1＝－1，x2＝5 4. 若A（－5，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－（x＋1）2＋3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　　　） A. y2＞y3＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y2＞y1 D. y3＞y1＞y2 5. 二次函数y＝ax2＋bx＋1与一次函数y＝2ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　　　） 6. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，0），（3，0），且与y轴交于点（0，－5），则当x＝2时，y的值为（　　　　） A. －5 B. －3 C. －1 D. 5 7. 已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－1），当x＝－1时，函数取得最大值，当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是（　　　　） A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 8. 已知二次函数y＝x2－2bx＋2b2－4c（其中x是自变量）的图象经过不同的两点A（1－b，m），B（2b＋c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b＋c的值为（　　　　） A. －1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图①是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图②所示建立平面直角坐标系，得到抛物线对应的函数解析式为y＝－x2，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　　　） A. 10m B. 12m C. 24m D. 48m 10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，且a≠0）如图所示，对称轴为直线x＝－1.给出下列结论：① abc＜0；② 2a－b＝0；③ a－b＋c＞0；④ 9a－3b＋c＜0.其中，正确的共有（　　　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、 填空题（每小题3分，共18分） 11. 若抛物线y＝x2＋4x＋5－m与x轴只有一个交点，则m的值为　　　　. 12. 如图所示为二次函数y＝x2＋bx＋c的图象，则方程x2＋bx＋c＝0的解为　　　　. 13. 已知a，b，c三个实数，点A（a＋1，b），B（a＋2，c）在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b　　　　c（填“＞”或“＜”）. 14. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2（x－3）2先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为　　　　. 15. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式为s＝－0.25t2＋8t，则无人机着陆后滑行　　　　秒才能停下来. 16. 如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y＝－x2＋8.施工队计划在隧道正中间搭建一个矩形脚手架DEFG. 已知DE∶EF＝3∶2，则脚手架的高DE为　　　　m. 三、 解答题（每小题12分，共72分） 17. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）. （1） 求该二次函数的解析式； （2） 按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象（要求至少描出5个点）； （3） 当0≤x≤3时，y的取值范围是　　　　. 18. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C（0，－6），与x轴的一个交点A的坐标是（－2，0）. （1） 求抛物线对应的二次函数解析式，并写出抛物线的顶点B的坐标； （2） 将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当y＜0时，求x的取值范围. 19. 如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4－（6－x）2上，且在抛物线的对称轴右侧. （1） 写出抛物线的对称轴，并求a的值. （2） 在平面直角坐标系中放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及抛物线C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝－（x－3）2.写出胶片平移的最短距离. 20. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分图象如图所示. （1） 求这段时间内y与x之间的函数解析式. （2） 在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，则当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称P为“和谐点”.例如：（1，1），（,），（－,－）都是“和谐点”. （1） 判断函数y＝2x＋1的图象上是否存在“和谐点”，若存在，求出其“和谐点”的坐标. （2） 若二次函数y＝ax2＋6x＋c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”（,）.① 求a，c的值；② 当1≤x≤m时，函数y＝ax2＋6x＋c＋（a≠0）的最小值为－1，最大值为3，求实数m的取值范围. 22. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a＜0，b＞0）. （1） 当a＝－1，b＝2，c＝3时，求该抛物线顶点P的坐标. （2） 已知A（－1，0）和B为抛物线与x轴的两个交点，C为抛物线与y轴的交点.① 当a＝－2时，若点D在抛物线上，∠CAD＝90°，AC＝AD，求点D的坐标；② 若点B（m，0），∠CAB＝2∠ABC，以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上.当CE＋CF取得的最小值为2时，求顶点E的坐标. 参考答案 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1. C 2. B 3. D 4. A 5. A 6. A 7. C 8. C 9. C 10. C 二、 填空题（每小题3分，共18分） 11. 1 12. x1＝－4，x2＝2 13. ＜ 14. y＝2（x－6）2＋1 15. 16 16. 6 三、 解答题（每小题12分，共72分） 17. 解：（1） ∵ 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴ y＝a（x－1）（x－3）.把C（0，3）代入，得3＝3a，解得a＝1.∴ y＝（x－1）（x－3）＝x2－4x＋3（2） 列表、描点不唯一，如列表如下：x 0，1，2，3，4；y 3，0，－1，0，3.描点，画图如图所示（3） －1≤y≤3 18. 解：（1） 把C（0，－6）代入y＝x2＋bx＋c，得c＝－6.把A（－2，0）代入y＝x2＋bx－6，得4－2b－6＝0，解得b＝－1.∴ 二次函数的解析式为y＝x2－x－6＝（x－）2－.∴ 抛物线的顶点B的坐标为（,－）（2） 将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式为y＝（x＋2）2－.令y＝0，则（x＋2）2－＝0，解得x1＝，x2＝－.∴ 由图象，知当y＜0时，x的取值范围是－＜x＜ 19. 解：（1） ∵ y＝4－（6－x）2＝－（x－6）2＋4，∴ 抛物线的对称轴为直线x＝6.将P（a，3）代入抛物线对应的函数解析式，得3＝－（a－6）2＋4，解得a＝5或7.∵ 点P在抛物线的对称轴右侧，∴ a＝7（2） 由（1），得抛物线C的顶点坐标为（6，4）.∵ C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝－（x－3）2，∴ C′所在抛物线的顶点坐标为（3，0）.∴ 胶片平移的最短距离为＝5 20. 解：（1） 设一次函数的解析式为y＝kx＋b.由题意，得100k＋b＝300，120k＋b＝200，解得k＝－5，b＝800.∴ 这段时间内y与x之间的函数解析式为y＝－5x＋800（2） 由题意，得x≥100，－5x＋800≥220，∴ 100≤x≤116.设商场所获利润为w元.由题意，得w＝（x－80）（－5x＋800）＝－5x2＋1200x－64000＝－5（x－120）2＋8000.又∵ －5＜0，100≤x≤116，∴ 当x＝116时，w最大，最大值为7920.∴ 当销售单价为116元时，商场获得的利润最大，最大利润是7920元 21. 解：（1） 存在“和谐点”　设函数y＝2x＋1的图象上的“和谐点”的坐标为（x，x）.∴ 2x＋1＝x，解得x＝－1.∴ “和谐点”的坐标为（－1，－1）（2） ① ∵ （,）是二次函数y＝ax2＋6x＋c（a≠0）的图象上的“和谐点”，∴ ＝a＋15＋c.∴ c＝－a－.∵ 二次函数y＝ax2＋6x＋c（a≠0）的图象上有且只有一个“和谐点”，∴ ax2＋6x＋c＝x，即ax2＋5x＋c＝0有且只有一个根.∴ Δ＝25－4ac＝0.又∵ c＝－a－，∴ a＝－1，c＝－② 由①，知y＝－x2＋6x－6＝－（x－3）2＋3.∴ 其图象的对称轴为直线x＝3.当x＝1时，y＝－1；当x＝3时，y＝3；当x＝5时，y＝－1.∵ 函数的最大值为3，最小值为－1，∴ 3≤m≤5 22. 解：（1） ∵ a＝－1，b＝2，c＝3，∴ 该抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.∵ y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴ 该抛物线顶点P的坐标为（1，4）（2） ① ∵ 点A（－1，0）在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，∴ 0＝a－b＋c，即c＝b－a.又∵ a＝－2，点C（0，c），∴ OC＝c＝b＋2，AO＝1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－2x2＋bx＋b＋2.如图①，易知点D在第四象限，过点D作DH⊥x轴于点H，∴ ∠AHD＝90°.∴ ∠HAD＋∠ADH＝90°.∵ ∠CAD＝90°，∴ ∠CAO＋∠HAD＝90°.∴ ∠ADH＝∠CAO. 又∵ AD＝CA，∠AHD＝∠COA＝90°，∴ △ADH≌△CAO. ∴ DH＝AO＝1，AH＝CO＝b＋2.∵ OH＝AH－AO，∴ OH＝b＋2－1＝b＋1.∴ 点D的坐标为（b＋1，－1）.∵ 点D在抛物线y＝－2x2＋bx＋b＋2上，∴ －1＝－2（b＋1）2＋b（b＋1）＋b＋2，整理，得b2＋2b－1＝0，解得b1＝－1＋，b2＝－1－.∵ b＞0，∴ b＝－1＋.∴ 点D的坐标为（,－1）② ∵ c＝b－a，a＜0，b＞0，∴ c＞0，m＞1.如图②，在x轴上点A的左侧取点G，使GA＝AC，连接GC. ∴ ∠ACG＝∠CGA，得∠CAB＝2∠CGA. ∵ ∠CAB＝2∠ABC，∴ ∠ABC＝∠CGA. ∴ CG＝CB. ∵ CO⊥GB，∴ GO＝OB. 在Rt△AOC中，根据勾股定理，得AC2＝AO2＋OC2，∴ AC＝.∴ GA＝.∴ GO＝GA＋AO＝＋1.又∵ 点B（m，0），即OB＝m，∴ ＋1＝m，即c2＝m2－2m.根据题意，得点A和点B关于直线l对称，点F在直线l上，∴ AF＝BF. 又∵ 在▱ACEF中，AF＝CE，∴ CE＝BF. ∴ CE＋CF＝BF＋CF≥BC. ∴ 当点F在线段BC上时，CE＋CF取得最小值2，即BC＝2.在Rt△OBC中，OB2＋OC2＝BC2，∴ m2＋c2＝24.将c2＝m2－2m代入，得m2＋（m2－2m）＝24，解得m1＝4，m2＝－3（舍去），∴ c＝2.∴ 点B（4，0），C（0，2）.∴ 易得直线BC对应的函数解析式为y＝－x＋2.设点F的横坐标为x0，则4－x0＝x0－（－1），得x0＝.∴ 点F的坐标为（,）.∵ 线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的，∴ 点E可以看作是由点F向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到的.∴ 点E的坐标为（,） 学科网（北京）股份有限公司 $