专题11 空间几何体与三视图（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题11 空间几何体与三视图 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 空间几何体的体积与表面积 多面体的体积 2025 单选 3 圆柱的体积 2023 填空 3 正四棱锥的体积 2022 填空 3 三视图 圆柱的三视图 2026 填空 3 斜二测作图 2024 单选 3 圆锥的三视图 2023 单选 3 正四棱柱的三视图 2022 单选 3 命题轨迹透视： 空间几何体与三视图连续五年在山东省春季高考考试中都进行了考查，内容主要涉及空间几何体的体积与表面积、直观图、三视图等，题型为单选题或填空题，分值3-6分。 【考点1：空间几何体的体积与表面积】 1．（25-26高三下·山东德州·三模）已知圆柱形烧杯内壁半径为5，两个半径均为5的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面下降高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球与圆柱的体积公式求解. 【详解】由题意得，水面下降体积等于两铜球体积之和， 一个铜球的体积，烧杯底面积， 所以烧杯内的水面下降高度. 故选：C. 2．（25-26高三下·山东德州·三模）在长方体中，点E为棱的中点，则三棱锥的体积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】三棱锥的底面积，高， 所以三棱锥的体积 故选：A.    3．（18-19高三下·山东·三模）若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据球的体积与表面积公式列方程求解即可. 【详解】设球的半径为，则球的体积，表面积为， 若球的体积与其表面积的数值相等， 则，因为，解得， 所以球的半径为3， 故选：B. 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的结构特征 (1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到． (2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到． (3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到． 3．柱、锥、台和球的侧面积和体积 面　积 体　积 圆柱 S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圆锥 S侧＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圆台 S侧＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S侧＝Ch V＝Sh 正棱锥 S侧＝Ch′ V＝Sh 正棱台 S侧＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 4.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． 1．具备下列哪一个条件的棱柱是直棱柱（    ） A．有一个侧面是矩形 B．有两个侧面是矩形 C．有两个相邻侧面是矩形 D．两个底面都是正多边形 2．下列说法中正确的是（    ） A．可以画一个面积为的平面 B．若两条直线都和直线l平行，则这两条直线也互相平行 C．若两条直线都和直线l异面，则这两条直线也是异面直线 D．正方体属于斜棱柱 3．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（    ） A．2 B． C．或 D．或 4．下列各几何体中是旋转体的是（　　） A．斜三棱柱 B．正三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥 5．圆锥高为，底面半径为，则母线长是（　　）. A． B． C． D． 6．下列说法中，符合棱柱特征的是（　　） A．两个底面互相平行且全等 B．只有一个底面 C．所有面都是三角形 D．没有侧棱 7．正方体的内切球与外接球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 8．如图，半径为2的半球的表面积是___________    9．已知圆锥的母线长为2，高为1，则圆锥的体积为___________ 10．圆柱的高是，全面积是，则圆柱的底面半径是_________ 11．如图，长方体的体积是120，为的中点，则三棱锥的体积是______.    12．已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为______. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．C 【分析】根据直棱柱的定义分析各个选项. 【详解】选项A：有一个侧面是矩形，不能保证该棱柱的侧棱垂直于底面，所以不能判定该棱柱是直棱柱， 选项B：有两个侧面是矩形，这两个矩形侧面可能是相对的，它们的存在并不能说明侧棱与底面的垂直关系，所以不能判定该棱柱是直棱柱， 选项C：相邻侧面是矩形，由于相邻侧面的公共边就是棱柱的侧棱，而矩形的邻边是相互垂直的，说明侧棱垂直于底面，满足直棱柱的定义，所以可以判定该棱柱是直棱柱， 选项D：两个底面都是正多边形，只能说明底面的形状是正多边形，但不能保证侧棱垂直于底面，所以不能判定该棱柱是直棱柱， 故选：C. 2．B 【分析】根据平面、直线位置关系以及棱柱的相关概念逐一分析每个选项. 【详解】选项A：平面是无限延展的，没有面积的概念，所以不能说画一个面积为的平面，该选项错误. 选项B：若两条直线都和直线平行，根据平行公理可知，这两条直线也互相平行，该选项正确. 选项C：若两条直线都和直线异面，这两条直线可能异面、相交或者平行，该选项错误. 选项D：正方体属于直棱柱，而不是斜棱柱，该选项错误. 故选：B. 3．C 【分析】分类讨论圆柱底面的周长的组成情况，利用圆的周长公式即可得解. 【详解】如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长， 则，所以； 同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则，所以. 故选：C. 4．D 【分析】由旋转体的定义，即一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，即可求解. 【详解】斜三棱柱、正三棱柱、三棱锥无法通过平面图形旋转得到， 圆锥可由直角三角形沿着直角边旋转得到. 故选：D． 5．B 【分析】根据圆锥的结构特征，结合勾股定理即可求解. 【详解】圆锥高为，底面半径为，则母线长是. 故选：B. 6．A 【分析】根据棱柱的定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A：根据棱柱的定义，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱， 这两个互相平行的面叫做棱柱的底面，且棱柱的两个底面是全等的多边形， 所以“两个底面互相平行且全等”符合棱柱的特征， 选项B：由棱柱的定义可知，棱柱有两个底面，而不是只有一个底面， 所以该选项不符合棱柱的特征， 选项C：棱柱的侧面是四边形，底面是多边形，并非所有面都是三角形， 所以该选项不符合棱柱的特征， 选项D：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱是有侧棱的， 所以该选项不符合棱柱的特征， 故选：A. 7．C 【分析】根据题意，可设出正方体的棱长，继而表示出正方体的内切球和外接球的半径，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，设正方体的棱长为a，则体对角线为, 即正方体的内切球的半径,外接球的半径为， 所以内切球的体积， 外接球的体积， 所以，即正方体的内切球与外接球的体积之比为. 故选：C. 8． 【分析】半球表面积包含曲面与底面圆面积，分别计算再求和即可. 【详解】半球表面积由半球面面积和底面圆形面积两部分组成， 半球面面积：，底面圆面积：， 代入半径， . 故答案为：. 9． 【分析】根据圆锥的母线长和高确定底面圆的半径，再由圆锥的体积公式求值即可. 【详解】由题知圆锥的母线长，高， 则底面圆的半径， 则该圆锥的体积， 故答案为：. 10． 【分析】根据圆柱的全面积公式列方程求解即可. 【详解】设圆柱的底面半径是， 则，即， 则，解得或， 因为，即， 故答案为：. 11． 【分析】根据长方体及三棱锥体积公式计算即可. 【详解】设，，， 则长方体体积为：， 因为为的中点，所以， 三棱锥体积为：. 故答案为：. 12． 【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案. 【详解】由题意得，圆锥的底面半径为，母线长为， 故圆锥的侧面积为. 故答案为： 【考点2：三视图】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）如图所示，是边长为4的等边三角形用斜二测画法画出的水平放置的直观图，则的边长等于（   ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出辅助线，结合斜二测画法的性质求出的长度，利用余弦定理即可得解. 【详解】    如图所示，取的中点为，则，，    如图所示，得到原图，则，， 由余弦定理可知. 故选：D. 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）如图所示，在某几何体的三视图中，已知正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是圆，则该几何体的体积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图还原几何体，再结合圆柱的体积公式即可求解. 【详解】由三视图知，该几何体是圆柱， 其中圆柱的母线长为2，底面圆的直径为2， 所以底面圆半径为1， 所以该几何体的体积为. 故选：B. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（    ） A．24 B．36 C．48 D．52 【答案】A 【分析】由三视图复原的几何体是底面是直角三角形，高为3的直三棱柱，再利用棱柱体积公式即可求得. 【详解】从三视图可判断，这个几何体是一个长、宽、高分别为4、3、4的长方体沿对角面切开后的一半，即该几何体为底面是直角三角形，高为3的直三棱柱， 所以体积. 故选：A 4．（25-26高三下·山东·三模）一个四棱柱的正视图、左视图如图所示，则其表面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四棱柱的正视图和左视图确定底面的长和宽，以及棱柱的高，再由棱柱的表面积公式求值即可. 【详解】根据该四棱柱的正视图和左视图可得， 底面的长为，宽为，四棱柱的高为， 所以其表面积为， 故选：A. 5．（25-26高三上·山东·一模）如图所示，一个正方体挖去一个圆锥，圆锥的高和底面直径都等于正方体的棱长，则该几何体三视图中的左视图是（   ）    A．    B．   B． C．   D．   【答案】A 【分析】根据三视图的概念求解即可. 【详解】一个正方体的左视图是正方形，一个倒立的圆锥的左视图是三角形， 则该几何体的左视图为正方形中有一个倒立的三角形，且三角形为虚线， 由此可知A选项满足题意. 故选：A. 1．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图． 2．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 1．在如图所示的直观图中，，则其平面图形的面积是（   ） A．4 B． C． D．8 2．利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，可能是下面的（    ）． A．   B．   C．   D．   3．一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图的面积为1，则原梯形的面积为 （      ）    A．1 B． C．2 D． 4．在斜二测画法中，平行于轴的线段长度（    ） A．不变 B．变为原来的一半 C．变为原来的两倍 D．不确定 5．如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（      ）    A． B．1 C． D． 6．从正面观察一个圆柱，通常看到的主视图是（　　） A．矩形 B．圆 C．三角形 D．五边形 7．如图所示为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ） A． B． C． D． 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 10．圆锥正视图的底边长为、高为，则圆锥底面半径为______. 11．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________ m3. 12．已知某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的侧面中共有___________个直角三角形，该几何体的体积为___________. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．A 【分析】由斜二测画法还原出原图，即可求面积． 【详解】由斜二测画法可知,原图应为两条直角边长分别为2和4的直角三角形， 如图所示，所以其面积为． 故选：A. 2．C 【分析】根据斜二测画法的定义即可求解. 【详解】正方形的直观图是平行四边形，且邻边长不相等，分别为和，只有选项满足. 故选：. 3．D 【分析】解法一：根据斜二测画法，把该梯形的直观图还原为原梯形，即可求出原梯形的面积. 解法二：由原图与直观图的面积关系求解. 【详解】解法一：把该梯形的直观图还原为原梯形，如图所示，    设原梯形的上底为a，下底为b，高为h， 则直观图中等腰梯形的高为 因为直观图的面积为 ， 所以 所以原梯形的面积为 故选：D. 解法二：由原图与直观图的面积关系可得 故选：D. 4．B 【分析】根据题意，结合斜二测画法，即可求解. 【详解】斜二测画法中，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 故选：B. 5．A 【分析】由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积. 【详解】正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以， 所以原图形如图所示：    由斜二测画法的规则可知，原图形为平行四边形，底边长为1，高为， 所以原图形的面积为. 故选：A. 6．A 【分析】根据主视图的定义即可得解. 【详解】从正面观察一个圆柱，通常看到的主视图是矩形， 故选：. 7．C 【分析】根据三视图还原几何体，利用圆柱和圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】由三视图可知该几何体的上半部分为圆锥，下半部分为圆柱， 对于圆锥的部分，高为，底面圆的半径为， 所以圆锥的母线为， 所以圆锥的侧面积为， 对于圆柱部分，高为，底面圆的半径为， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的下底面的面积为， 所以该几何体的表面积为. 故选：C. 8．C 【分析】根据题意，结合几何体的三视图的规则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以A不合题意； 对于B中，由三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，所以B不合题意； 对于C中，由正方体的三视图都是正方形，所以C符合题意； 对于D中，由圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，所以D不合题意. 故选：C. 9．B 【分析】根据给定条件，利用几何体主视图、左视图的特征判断即可. 【详解】由三视图知，几何体的主视图为直角三角形，左视图为矩形， 选项AC的主视图均为矩形，不符合题意，选项D的左视图为等腰三角形，不符合题意， 选项B的三视图与题意相符. 故选：B 10．3 【分析】据正视图的底边对应圆锥的直径即可得解. 【详解】 如图，正视图的底边对应圆锥底面圆的直径， 因为正视图的底边长为，则圆锥底面半径为3． 故答案为：3. 11．4 【分析】根据三视图还原成直观图看出组合体的形状，即可求解. 【详解】根据三视图还原成直观图，可以看出， 该组合体是由两个形状一样的，底面为正方形且边长为1，高为2的长方体叠加而成， 故其体积（m3）. 故答案为：4. 12． /0.5 【分析】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如图所示，从而可求得结果 【详解】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，如图所示，且底面，，∥，， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 因为，∥， 所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 综上，该几何体的侧面中共有3个直角三角形， 该几何体的体积为， 故答案为：3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $