专题12 空间直线、平面的位置关系（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题12 空间直线、平面的位置关系 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 空间直线、平面的平行 异面直线的判定 2023 单选 3 证面面平行、求线面角 2023 解答 8 证线面平行、异面直线垂直 2022 解答 8 空间直线、平面的垂直 直线与平面垂直的证明、求点面距 2026 解答 8 证异面直线垂直、求体积 2025 解答 8 点到线的距离 2025 填空 3 线面角 2024 单选 3 证异面直线垂直、求异面直线所成角 2024 解答 8 命题轨迹透视： 空间直线、平面的位置关系是山东省春季高考考试的重点，为每年必考题目。主要考查异面直线的判定及所成角的求法、直线与平面的平行与垂直的证明、线面角、点面距的求解；单选题、填空题、解答题均有涉及，分值8-11分。 【考点1：空间直线、平面的平行】 1．（25-26高三下·山东·二模）已知正方体的平面展开图如图所示，则下列叙述正确的是（   ）    A． B．与是异面直线 C．与所成的角是 D．与互相垂直 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，及异面直线所成角、线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】    由题意，将正方体的平面展开图还原成正方体，如上图所示： 所以是异面直线，而不平行，故选项A错误； 所以，故选项B错误；    连接，则是等边三角形，故， 因为，所以与所成的角也是，故选项C错误；    连接，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故选项D正确. 故选：D. 2．（24-25高三下·山东·模拟预测）已知直线和平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若， 则与相交或平行，故A错误； 对于B，若，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若， 则与不一定垂直，故D错误. 故选：B. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）如图所示，在三棱锥中，二面角是直二面角，，分别是，的中点，且．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线定理证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用等腰三角形“三线合一”性质证明，再结合面面垂直的性质定理证明，最后由线面垂直的定义得证． 【详解】（1）因为，分别是，的中点， 所以在中，是的中位线， 所以． 又因为，， 所以． （2）因为，是的中点， 所以． 因为二面角是直二面角，即平面， 且平面，， 所以． 又因为， 所以． 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）在正方体中，为棱的中点，底面对角线与相交于点．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1) 证明过程见解析 (2) 证明过程见解析 【分析】（1）利用三角形的中位线定理结合线面平行的判定定理即可求解. （2）根据正方体的性质结合利用线面垂直性质定理即可求解. 【详解】（1）连接，底面为正方形，对角线与相交于点， 所以为的中点，在中，为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在正方体中底面为正方形，所以， 又底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. 1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 1．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，，下面命题正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若 ，则 2．若平面，直线，点，则在β内过点B的所有直线中（    ） A．只有一条直线与m平行的直线 B．只有两条直线与平行的直线 C．存在无数条直线与m平行的直线 D．有且只有一条直线与平行的直线 3．为三个不同平面，为两条不同直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若则 4．已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．设a，b是两条直线，，是两个平面，若，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列命题中，错误的是（    ） A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 7．若平面外直线平行于平面内一条直线，则与（　　）. A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合 8．如图所示，P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：平面BDQ. 9．如图，在长方体中，，，，分别为的中点，求证：平面平面． 10．如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．求证：.    11．圆柱如图所示，为下底面圆的直径，为上底面圆的直径，底面，证明：面. 12．在直三棱柱中，D为中点，点P在侧面上运动，当点P满足条件___________时，平面（答案不唯一，填一个满足题意的条件即可）    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．A 【分析】由直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系判断选项即可. 【详解】根据面面垂直的判定定理，若，，则，故A选项正确； 若 ，则或或异面，故B选项错误； 若，，则需平面内两条相交直线平行于平面，才能得到，故C选项错误； 若 ，则或异面，故D选项错误； 故选：A. 2．A 【分析】根据面面平行的性质分析即可. 【详解】已知平面，直线， 根据两个平面平行， 其中一个平面内的直线与另一个平面平行，可得， 又因为点，且点不在直线上，且， 过与可确定唯一平面，该平面与的交线唯一， 即平面内过点有且只有一条直线与平行， 故选：A. 3．D 【分析】根据面面，线面及面面的位置关系即可得解. 【详解】若，则或平面与平面相交，故错误； 若，则或平面与平面相交，故错误； 若，则或，故错误； 若则，故正确， 故选：D． 4．D 【分析】根据题意，由直线与平面平行的性质以及点线面位置关系，依次分析选项，综合可得答案. 【详解】对于A，若，则或与异面，故A错误； 对于B，若，则或与相交，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则由线面平行性质定理可得，故D正确. 故选：D. 5．A 【分析】结合面面平行、线面垂直的性质判断充分性，再通过线线垂直、线面垂直的关系分析平面的可能位置判断必要性. 【详解】充分性证明：若，由，可得. 又，因此，即，故充分性成立. 必要性证明：若，已知， 此时平面与可能相交，只要平行于与的交线，即可满足， 不一定有，因此必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．C 【分析】根据面面平行、线面平行的判定定理即可解得. 【详解】对A：三角形的两条边是平面内两条相交直线， 它们都平行于另一个平面，由面面平行判定定理，两平面平行，故A项正确； 对B：平行于同一个平面的两个平面互相平行（面面平行传递性），故B项正确； 对C：  两个平面平行，两个平面内的直线可能平行，也可能异面，故C项错误； 对D：根据面面平行的性质可知：如果两平面平行， 则一个平面内任意直线都平行于另一个平面，故D项正确. 故选：C. 7．A 【分析】根据线面平行的判定定理即可求解. 【详解】若平面外直线平行于平面内一条直线，则 . 故选：A. 8．证明见解析 【分析】根据中位线定理以及线面平行的判定定理求解即可. 【详解】连接AC交BD于点O，再连接OQ， ∵是平行四边形，为中点. ∵Q是PA的中点，∴OQ是△APC的中位线，∴. ∵平面，平面BDQ, ∴平面. 9．证明见解析. 【分析】根据题意结合面面平行的判定定理即可得解. 【详解】证明：因为是的中点，是的中点， 所以，所以四边形是平行四边形，所以． 又因为平面平面，所以平面． 又因为是的中点，所以， 因为平面平面，所以平面． 因为平面平面，所以平面平面． 10．证明见解析 【分析】由可得平面，再根据线面平行的性质定理得出. 【详解】在梯形中，，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 11．证明见解析. 【分析】连接，，，可证明四边形为平行四边形，得到，再通过线面平行的判定定理即可证明 【详解】 证明：连接，，，可得平面， ∵平面，∴， ∵，∴四边形为平行四边形， ∴，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 12．P是中点（答案不唯一） 【分析】根据线面平行的判定求解即可； 【详解】取的中点，连结，    因为在直三棱柱中，为中点，点在侧面上运动， 所以当点满足条件是中点时，， 因为平面，平面， 所以当点满足条件是中点时，平面. 故答案为：是中点（答案不唯一）. 【考点2：空间直线、平面的垂直】 1．（22-23高三·山东济南·三模）已知，表示平面，，表示直线，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】选项.若则或,故错误. 选项,,则不一定平行,可能异面，故错误. 根据线面垂直的性质该选项正确. 选项,,则不一定平行,可能相交，故错误. 故选:. 2．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)1. 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直，即可证明平面. （2）根据线面角的定义求出与平面所成角，再结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，因为平面，平面，所以， 所以点到平面的距离为线段的长度，则在平面的投影为线段， 所以与平面所成角为，即， 因为，所以， 所以点到平面的距离为1. 3．（21-22高二下·山东济宁·阶段检测）已知多面体中，平面，，，，为中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）先根据二面角的定义找到二面角的平面角，再根据直角三角形边长关系求解即可. 【详解】（1），所以为等腰三角形， 因为为中点， 平面，平面，， 因为、在平面上，且， 所以平面. （2）取中点，连接，，,    因为为中点，在中，且， 由题意得：且，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 因为在平面上，. ，为的中点，， 因为与在平面上，且，所以平面， 就是求直线与平面所成角. 因为在直角三角形中，，， 所以， 因为平面，，所以平面， 所以为直角三角形，因为，， 所以， 在中，， 直线与平面所角的正弦值为. 4．（23-24高三上·江西萍乡·一模）四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当且为的中点时，求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由,证平面，即可证明平面平面. （2）设 连结，找出是与平面所成角，再在求解的角度即可. 【详解】（1）证明： 底面，   是正方形，     又 平面， 平面，， 平面，又平面，    平面平面. （2）设 连结, 平面  是与平面所成角， 为的中点，为的中点，，     , 又是正方形，, 在直角中， , . 所以，与平面所成角为. 1．直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 3．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β. 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 1．如图所示的四个正方体中，M，N，P，Q均为正方体的顶点，其中满足的正方体个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．过正方形的顶点作平面，且，则平面与平面所成的二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．在长方体中，已知，，则直线与底面所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 4．设为平面，为直线，则的一个充分条件为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在三棱锥中，平面，，于点，于点，，.    (1)证明：. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．如图，是直角斜边上的高，，把绕旋转到的位置，使二面角为.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 7．如图所示，已知，且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 8．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.求证：平面平面； 9．如图所示，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于的点.    (1)求证：平面； (2)若，求圆柱的侧面积. 10．如图所示，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，C为圆上一点，且，，M为的中点.    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 11．如图所示，在边长为2的正方形中，点E，F分别是的中点，将分别沿折起，使A，C两点重合于点． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 12．腰长为的等腰中， ，平面，且，则点到边的距离是_________. 【答案】 1．C 【分析】通过求解所成的角，结合线面垂直的性质判断两直线是否垂直. 【详解】第一个正方体：如图，由正方体的性质可知，， 由于，所以所成的角等于所成的角， 所以所成的角为，不符合题意；    第二个正方体：如图，由正方体的性质可知，， 所以，符合题意；    第三个正方体：如图，由正方体的性质可知，，从而， 由于，所以所成的角等于所成的角， 所以所成的角为，不符合题意；    第四个正方体：如图，由正方体的性质可知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以，符合题意；    综上，满足的正方体有2个， 故选：C. 2．B 【分析】根据题意构造正方体，找到二面角的平面角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】    如图所示，过正方形的顶点作平面，，还原成正方体， 所以平面与平面所成的二面角即为平面与平面所成的二面角， 平面平面， 在正方体中，，，所以为二面角的平面角， ， 所以平面与平面所成的二面角的大小为， 故选：. 3．B 【分析】根据题意找到直线与平面所成角，求出正切值即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为平面，所以直线与底面所成角为， 因为，，则， 所以， 因为，所以， 则直线与底面所成角的大小为， 故选：. 4．B 【分析】由面面垂直的性质，空间平面与平面，直线与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】由面面垂直的性质可知，，缺少条件， 故不能推出，故A错误， 由，得，所以若，则，故B正确， ， 而与可能平行，也可能相交， 则与不一定垂直，故C错误， ，而与可能平行， 也可能相交，则与不一定垂直，故D错误， 故选：B. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据题意利用直线与平面垂直的判定定理及性质即可得解. （）找到线面角，利用线面垂直的性质、解三角形求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）在三棱锥中，平面， 平面，则， 因为，则， 因为，平面，所以平面， 平面，则， 又因为，平面，， 所以平面， 平面，所以. （2）连接，如图，    由（1）知平面，则就是直线与平面所成的角， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，即， 因为，则E为的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以，，， 由，解得， 在中，， 综上所述，直线与平面所成角的正弦值为. 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质得到，利用二面角的定义可知，通过解三角形得到，再利用平面与平面垂直的判定定理即可得解. （）根据题意找到二面角的平面角即可得解. 【详解】（1）证明：是直角斜边上的高， 则 ，则，，平面， 则平面，平面，， ，二面角为， 则，，所以，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）由（1）知平面， 平面，则，平面，则， 平面，平面， 二面角的平面角为， 则. 7．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）根据题意利用直线与平面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意找到直线与平面所成角即可得解. 【详解】（1）因为， 则，，平面， 所以平面，平面，则， 又因为，平面，， 所以平面. （2）因为平面， 所以与平面所成的角是， 因为平面，所以， 在中，，所以， 则与平面所成的角为. 8．证明见解析 【分析】根据面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为，，为的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以，即. 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 9．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再由直线与平面垂直的判断定理证明平面即可； （2）先利用勾股定理求出圆柱的底面圆的半径和母线，再求出圆柱的侧面积即可. 【详解】（1）∵是圆柱的母线， 底面， 又底面， . 又是底面圆周上异于的点，是圆柱的底面的直径， ，且， 平面平面， 平面. （2）在中，由， 得. 又在中，，得. 圆柱的底面半径为，母线长为， 圆柱的侧面积为. 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证； （2）根据题意，依次求得三棱锥的高与底面积，再利用锥体的体积公式即可得解. 【详解】（1）因为PA垂直于圆所在的平面，圆所在的平面，所以， 又因为AB是圆的直径，为圆上一点，所以， 而平面PAC，所以平面PAC， 因为平面PAC，所以. （2）因为平面ABC，M为PB的中点， 所以到平面ABC的距离为PA长度的一半，即， 因为是圆的直径，所以是等腰直角三角形， 所以，则， 所以三棱锥的体积. 11．(1)证明见解析. (2). 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判断及性质即可得解. （）根据勾股定理结合棱锥体积公式即可得解. 【详解】（1）证明：由题意得， 又因为平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）由已知得， 所以，即， 所以的面积， 又因为平面，且， 所以三棱锥的体积． 12．3 【分析】由平面，运用线面垂直的判定定理得出平面，找出到的距离为，再结合长度计算即可. 【详解】在等腰中，，腰长. 根据勾股定理，可得， 过点作于点， 是等腰直角三角形，底边上的高等于底边的一半， 为中点，则， ， 又知平面，平面，可得， 又，，，平面， 平面. 平面，平面， ，即为点到边的距离， 在中，，根据勾股定理， 可得，，即点到边的距离是.    故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $