大题专项-专题3 数列（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》大题专项的第3个专题，内容为数列。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题3 数列 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 等差数列 等差数列的通项公式、前n项和的性质 2025 解答 8 等差数列的应用 2023 解答 8 等比数列 等比数列前n项和的性质 2026 解答 8 等比数列的通项公式、前n项和公式 2024 解答 8 等比数列的应用 2022 解答 8 命题轨迹透视： 数列连续五年在山东省春季高考考试中考查1道解答题，为每年必考题目。主要考查等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式以及等差等比数列与不等式相结合的综合问题等，分值8分。 【考点1：等差数列】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，前3项之和，求： (1)该数列的通项公式； (2)该数列前项和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及可求出公差，再写出通项公式； （2）先求出等差数列的前项和，再结合二次函数的图象和性质求最值即可. 【详解】（1）在等差数列中，设公差为， 则， 代入 ，， 可得，解得， 所以该数列的通项公式：； （2）该数列前项和， 这是开口向上的二次函数， 当时，取最小值， 因为为正整数， 当 时，， 当时，， 所以的最小值为，在或时取得. 2．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.求： (1)数列的通项公式； (2)的值. 【答案】(1). (2)55. 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式及等比中项公式求出公差即可得解. （）根据等差数列的性质可知数列为首项25，公差的等差数列，代入求和公式即可得解. 【详解】（1）由，，成等比数列，得， ，解得或（舍）， 故. （2）因为数列为首项25，公差的等差数列， 则数列为首项25，公差的等差数列，共项， 则，则和为. 3．（21-22高三·山东淄博·一模）已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合题中条件得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结果得到，证得是等比数列，再利用等比数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可得，， 则，， 所以数列是的等比数列， 所以数列的前n项和. 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数． 2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d. (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项) 3．等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 1．已知等差数列满足．数列的前项和为，且． (1)求数列与的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 2．已知数列的前n项和， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项的和. 3．一个剧场，设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，求： (1)第15排共有多少个座位？ (2)这个剧场共设置了多少个座位？ 4．在等差数列中中，，，求. 5．已知数列满足（），且.求： (1). (2)数列的通项公式. (3)若等比数列中，，，求数列的前5项和. 6．已知数列是一个等差数列，且． (1)求的通项； (2)求前n项和的最大值． 7．已知在等差数列中，， (1)求和的值； (2)设，求等比数列的前6项和. 8．在等差数列{}中，已知． (1)求的值； (2)若，求数列{}的前n项和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1)；. (2). 【分析】（）根据等差数列的性质求出的公差，代入等差数列的通项公式即可求出，利用即可得解. （）根据题意求出和，结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，由，解得， 所以， 数列的前项和为，且①， 当时，② ①②，得， 当时，，满足， 所以． （2）因为， 所以③， ④， ③④，得， 所以． 2．(1) (2) 【分析】（1）根据与之间的关系求解即可. （2）先求出数列的通项公式，再由等差数列的前n项和求解即可. 【详解】（1）因为数列的前n项和， 所以当时，，解得， 因为当时，， 又有， 即，整理得， 所以当时，， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）知，，记数列的前n项和为， 所以， 所以 3．(1)66 (2)1140 【分析】(1)将各排座位数依次排列，构成等差数列，依等差数列通项公式可求解； (2)利用等差数列的求和公式，设置的座位数总数为，据此可求解. 【详解】（1）由题意知，各排座位数依次排列，构成等差数列， 其中公差，首项， 故，所以第15排共有66个座位. （2）由等差数列的求和公式可知， 故这个剧场共设置了1140个座位. 4． 【分析】由等差数列的概念求公差，利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】在等差数列中，设公差为d， ∵，， ， 由，得，所以， ， ∴. 5．(1)16 (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式求解即可. （2）由等差数列的定义证明并求解通项公式即可. （3）先求出等比数列的公比和首项，再由等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）. （2）∵， ∴， ∴是首项为18，公差为的等差数列， 此数列通项公式为： . （3）∵， ∴而， 公比，， 等比数列的前5项和为： 6．(1) (2) 【分析】(1)由数列是等差数列，得到，，求解得可写出通项公式； (2)根据等差数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）因为为等差数列， 所以， 解得， 则的通项公式为. （2）根据等差数列前项公式可得： ， 所以当时，最大值为. 7．(1)； (2)364 【分析】（1）利用等差数列的通项公式，即可求解. （2）利用等比数列的通项公式以及求和公式，即可求解. 【详解】（1）令等差数列公差为， 可得，解得， 所以，. （2）令等比数列公比为，可得， 解得， 所以等比数列的前6项和. 8．(1)17 (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质进行求解即可. （2）先求解等差数列的首项和公差，再由等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）在等差数列中，， ，∴， 解得. （2）在等差数列中，设等差数列的公差为d， ∵，， ∴，解得， ∴， 数列的前项和是. 【考点2：等比数列】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列通项公式求解； （2）利用分组求和法，结合等差数列与等比数列的前项和公式求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 在等比数列中，，， 可得，且，解得，， 所以数列的通项公式为. （2）因为，所以， 那么数列的前项和 ， ， . 2．（25-26高三下·山东·三模）在各项为正数的等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前20项和. 【答案】(1) (2)690 【分析】（1）根据题意，结合等比数列的概念，先求得等比数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意，结合数列的通项公式，先表示出数列的通项公式，继而判断数列是等差数列，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式. （2）由得， 所以，， 所以数列是首项为6，公差为3的等差数列， 所以该数列的前20项和为， 所以数列的前20项和为690. 3．（21-22高三·山东青岛·模拟预测）已知等比数列的前项和为是，且，，成等差数列， (1)求的通项公式 (2)求数列的前项和的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）由等差中项及等比数列的通项公式即可得解. （）由等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）∵，，成等差数列. ∴. 整理得. ∴. ∵. ∴. ∴整理得. （2）. 1．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数． (2)等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，. 3．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 1．等比数列中，已知，，且，求数列的通项公式. 2．在等比数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在这样的n，使得数列的前n项和？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由. 3．已知等比数列，，，，求： (1)数列，的通项公式，； (2)若，求数列的前6项和. 4．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求. 5．已知等比数列满足：，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和，求的值. 6．已知为等比数列，且． (1)求的值． (2)求的前n项和． 7．在等差数列中，，且成等比数列，求： (1)等差数列的通项公式． (2)等差数列的前13项的和． 8．已知等比数列的公比不为1，前项和为，满足，且成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1． 【分析】根据等比数列的概念与通项公式求值即可. 【详解】已知为等比数列，且， 设公比为，则，且， 所以，所以，且， 所以， 则. 2．(1) (2)存在，，理由见解析 【分析】（1）由，求出公比，再写出的通项公式即可. （2）假设存在，再由利用等比数列求和公式是否能求出即可. 【详解】（1）因为是等比数列， 由得， 即，解得. 因此，数列的通项公式为. （2）假设存在，使得数列的前项和. 因为， 所以由得， 即有，解得. 因此，存在，使得. 3．(1)， (2)99 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，可得，代入可得； （2）由（1）知，分组求和可得结果. 【详解】（1）因为等比数列，，， 所以； 又因为， 所以， 即； （2）由（1）知，， 所以数列的前6项和 . 4．(1) (2) 【分析】（1）将项转化为表示的式子，结合等比中项的应用即可求解公差进而得到首项，即可得到答案. （2）根据等差数列的前n项和性质求解即可. 【详解】（1）因为. 又因为成等比数列 ， 所以，即，解得. 所以. 所以. （2）由（1）可知，. 所以数列是首项为9，公差为的等差数列. 因为 所以. 5．(1) (2) 【分析】（1）等比数列的通项公式即可得解. （2）由等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）∵,. ∴. 得公比 . . ∴的通项公式是. （2）依题意得. 整理得. 解得. 所以. 6．(1)3 (2) 【分析】（1）根据对数函数的运算法则，结合等比数列的性质即可求解； （2）根据等比数列前n项和公式即可求解. 【详解】（1）已知为等比数列，且， 可知， 所以 . （2）由已知得，， 则. 7．(1)或. (2)或. 【分析】（）设出等差数列的公差，将表示出来，代入求出公差即可得解. （）代入等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，， 因为成等比数列，则， 解得或， 当时，， 当时，， 所以或. （2）设等差数列的前项和为， 当时，， 当时，， 所以等差数列的前13项的和为或. 8．(1) (2) 【分析】（1）根据三项成等差数列的条件列式并化简求出公比，再代入前6项和中算出首项，最后再代等比数列通项公式即可求解. （2）代等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列公比为，则， 由成等差数列可得：，即， 化简整理得，解得（舍去）， 则，解得. 则. （2）由（1）可知，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $