大题专项-专题2 立体几何（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》大题专项的第2个专题，内容为立体几何。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题2 立体几何 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 空间直线、平面的平行 证面面平行、求线面角 2023 解答 8 证线面平行、异面直线垂直 2022 解答 8 空间直线、平面的垂直 直线与平面垂直的证明、求点面距 2026 解答 8 证异面直线垂直、求体积 2025 解答 8 证异面直线垂直、求异面直线所成角 2024 解答 8 命题轨迹透视： 立体几何连续五年在山东省春季高考考试中考查1道解答题，为每年必考题目。主要考查空间直线、平面位置关系的判断与证明、空间几何体体积的求解、直线与平面所成的角、点到面的 距离、异面直线所成的角等内容，分值8分。 【考点1：空间直线、平面的平行】 1．（24-25高三下·山东聊城·三模）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取与的交点，证，即可证得平面. （2）先求的面积，再由三棱锥的体积公式可得. 【详解】（1）连接 ,与相交于，连接，则是的中点. 又为的中点，所以，平面，平面. 所以平面．    （2）在正三棱柱中，，，点为的中点， ， . 故三棱锥的体积． 2．（22-23高三·四川·模拟预测）如图所示，在直三棱柱中，分别为，的中点，点F在侧棱，且，. (1)求证：直线平面； (2)若，求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据平行线的传递性得出，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质得出平面， 再由线面垂直的判定定理得平面，得出为与平面所成角，再由余弦函数的定义和诱导公式求值即可. 【详解】（1）分别为，的中点， 为的中位线， ，为直三棱柱， ，， 平面，平面， 直线平面. （2）为直三棱柱， 平面，平面， ，， 且平面，平面，， 平面， ，平面， 平面，， ，且平面， 平面，， 平面， 故为与平面所成角. ，， ， 在中，， ， ，， ， 与平面所成角的余弦值为. 3．（22-23高三·湖南·二模）如图所示，在正三棱柱中，，是边的中点，交于点. (1)证明：平面; (2)若直线与平面所成的角为60°，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）由中位线可得，从而得证； （2）找到与平面所成的角，并求得，变换三棱锥的顶点和底面，易求其体积. 【详解】（1）证明：由题意可知E为的中点，D是BC的中点， 所以DE是的一条中位线， 于是 而平面，平面， 所以平面. （2）在中，，， 在正三棱柱中，平面 在平面内的射影为， 即是与平面ABC所成的角 故， 所以在中， . 故三棱锥的体积为 . 1．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 1． 已知正方体中，E，F分别为棱和棱的中点，求异面直线AC和EF所成的角． 2．如图所示，在长方体中，已知，求异面直线与所成角的余弦值. 3．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD.点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割： (1)试在棱PC上确定一点G，使得平面ABG； (2)过点A，E，F的平面交PD于点H，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值. 4．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 5．如图，已知正方体的棱长为．    (1)证明：平面； (2)证明：⊥平面. 6．如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面AD1E; (2)求直线到平面的距离. 7．如图所示，已知αβ，GH，GD，HE分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA=9，AB=12，BH=16，S△AEC=72，求S△BFD.    8．已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点分别在和上，并且，平面，求线段的长．    试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1． 【分析】首先找到异面直线AC和EF所成的角，再在三角形中求解即可. 【详解】连接，如图所示． E，F分别为棱和棱的中点，可得， 根据正方体的结构特征，， 所以为平行四边形，可得 则即为异面直线AC和EF所成的角（或其补角）． ∵， ∴为等边三角形，故，即异面直线AC和EF所成的角为． 2．. 【分析】首先找出异面直线所成的角，再根据余弦定理求解. 【详解】 连接. 因为，所以四边形为平行四边形，所以. 即是与所成的角. ， . 由余弦定理得. 异面直线与所成角的余弦值为. 3．(1)PC上靠近C的四等分点为G (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理去确定点G； （2）先画出截面确定H点的位置，再去求的值. 【详解】（1）由已知得，点E在棱PB上，满足，点F在棱PC上，满足， 所以，取PC上靠近C的四等分点为G，则必有， 则根据三角形相似，必有，又平面ABG，平面ABG 则有平面ABG （2）延长FE，与延长CB交于M，连接MA，并延长与CD的延长线交于N， 连接FN，交PD于H， 由（1）可得，由，可得， 由可得， 在三角形PCD中，取，连接FK，则， 又，则，则. 4． 平面PAC，证明见解析 【分析】先证明,即可证明 平面ABC，利用线面平行的性质定理可说明EF∥l，根据线面平行的而判定定理即可证明平面PAC. 【详解】直线平面PAC. 证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点， 所以. 又 平面ABC，且 平面ABC， 所以平面ABC. 而 平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l， 所以 . 因为平面PAC， 平面PAC， 所以平面PAC. 5．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先证明为平行四边形，即可得到，从而得证； （2）由正方体的性质可得、，从而得证. 【详解】（1）在正方体中，且， ∴为平行四边形，∴，∵平面，平面， ∴平面； （2）∵正方体，底面，底面，∴， ∵正方形中，， 又∵平面，平面，， ∴平面； 6．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，四边形为平行四边形，，面，面，平面． （2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，，，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，直线到平面的距离为. 7．96 【分析】由面面平行的性质有ACBD、AEBF，可知∠EAC=∠FBD及、的值，由结合三角形面积公式得，即可求. 【详解】解：∵α∩平面GAC=AC，β∩平面GBD=BD，且αβ， ∴ACBD. 同理有AEBF，又∠EAC与∠FBD同向， ∴∠EAC=∠FBD，又GA=9，AB=12，AC//BD， ∴，同理，由HB=16，AB=12，AEFB，可得. ∴， ∴. 8． 【分析】过P作，交于M，连结，分别求出，利用余弦定理求出，由此利用余弦定理能求出线段的长． 【详解】过P作，交于M，连结， ∵正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点分别在和上， 并且，平面， ∵平面，平面，∴平面， 又平面，∴平面平面， ∵平面平面,平面平面, ∴， ， 由余弦定理可知：， 则， ∴.    【考点2：空间直线、平面的垂直】 1．（22-23高三·浙江·模拟预测）三棱锥中，底面为直角三角形，，，二面角成直二面角，，求： (1)与平面所成角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，可得面，则为与平面所成的角，求解即可； （2）利用棱锥的体积公式求解． 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， ∵二面角成直二面角，即面面， 面面，面， ∴面， ∴为在平面上的射影， ∴为与平面所成的角， ∵， ，， ∴，∴． （2）∵面，，，， ∴三棱锥的体积． 2．（20-21高三·江西九江·模拟预测）等腰直角中，，，现沿底边上的高折成直二面角，求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意做出图形，结合线面垂直，线线垂直找出二面角，并利用角的三角函数求解. （2）根据等体积法求得点到平面的距离. 【详解】（1）如下图所示，等腰直角中，， ，现沿底边上的高折成直二面角，连接， ，，，平面，平面， 平面，即为二面角的平面角， 二面角为直二面角，， 取中点，连接、， ，，为中点， ，， 即为二面角的平面角， 因为，， ，，则， 平面，， ， ，即 二面角的大小为； （2）设到平面的距离为， ， ，， 点到平面的距离为. 3．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)1. 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直，即可证明平面. （2）根据线面角的定义求出与平面所成角，再结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，因为平面，平面，所以， 所以点到平面的距离为线段的长度，则在平面的投影为线段， 所以与平面所成角为，即， 因为，所以， 所以点到平面的距离为1. 1．直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 2．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 3．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β. 4．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 1．如图，在三棱柱中，平面，且四边形是菱形，.    (1)求证：； (2)若，三棱锥的体积为，求的面积. 2．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，且侧面底面. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 3．如图所示，平面，，求二面角的大小.                                    4．如图，已知正方体，棱长为1，求：    (1)点到直线的距离； (2)二面角的正切值. 5．如图所示，为矩形所在平面外一点，且平面．若，，，求：    (1)与平面所成的角； (2)二面角的正切值． 6．如图三棱锥中，平面平面，，，，且与平面所成的角为，求二面角的正切值.    7．如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 8．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1)证明过程见详解. (2) 【分析】通过连结利用线面垂直得出,再根据四边形是菱形,得出,平面,所以. 设菱形的边长为,求出,再根据题意,三棱锥的体积为可算出,进而求出. 【详解】（1）   连结, 因为平面,平面, 所以, 因为四边形是菱形, 所以, 因为, 所以平面，平面 所以. （2）由平面,,得, 设菱形的边长为, 因为, 所以, 因为, 所以,， 所以, 因为侧面,侧面, 所以, 所以在中,, 因为三棱锥的体积为, 所以，整理得, 解得, 所以,, 所以. 2．(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）由题可判断线面垂直即可得结果； （2）由几何关系可知此棱锥的体积. 【详解】（1）解：∵侧面为正三角形，底面为菱形，过点作于点， 连接，另外，由已知条件可得，即面和面均 为等腰三角形，∴知，，∵，平面， 且与交于点，∴平面，∵平面，∴； （2）∵侧面为正三角形，取中点，连接，∴， ∵侧面底面，平面，∴平面， ，， . 3． 【分析】先找到二面角的平面角，再利用锐角三角函数求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以.​ 4．(1) (2) 【分析】（1）找到过点作的垂线，即在等边三角形中找边上的高，再根据勾股定理求各边长即可. （2）根据二面角定义找到二面角的平面角，再在直角三角形中求平面角的正切值即可. 【详解】（1）取中点记为，连接，    因为正方体棱长为1， 所以， 且在等边三角形中，既是中线也是高， 且， 所以. 所以点到直线的距离为. （2）连接，    因为，为中点，所以， 由（1）可知，， 所以即二面角的平面角， 由（1）可知，， 且，， 所以，即， 所以 即二面角的正切值为. 5．(1) (2) 【分析】（）根据题意结合线面垂直的性质及勾股定理求出所需线段的值，利用线面角的定义即可得解. （）根据线面垂直的判定及性质，找出二面角的平面角即可得解. 【详解】（1）    如图所示，连接，因为平面， 所以与平面所成的角为， 因为平面，所以， 在中，，，， 因为平面，所以， 在中，，，， 所以， 因为平面，所以， 则，又， 所以， 即与平面所成的角为. （2）因为在矩形中，， 又因为平面，平面，所以， ，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为， 因为平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， 则， 所以二面角的正切值为. 6．2 【分析】过点在平面内作于，过点在平面内作于，连接，可得即直线与平面所成的角，结合已知可证得即二面角的平面角，解，和可得答案． 【详解】过点在平面内作于，过点在平面内作于，连接，    又∵平面平面，且平面平面， ∴平面， ∴即直线与平面所成的角，∴， ∵平面，平面，∴， ∴在中，由得：， 又∵，且，，平面， ∴平面， ∵平面，∴， ∴即二面角的平面角， 又∵中，，知，， ∴在中：． ∴在中：， 即二面角的正切值为． 7．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面角的定义结合面面垂直的性质定理可知为与平面所成的角，设，根据已知条件结合直角三角形中正切的定义即可求解. （2）利用面面垂直的性质定理即可证明. 【详解】（1）取中点，连接，因为为等边三角形，所以． 又平面平面，交线为，所以平面， 又平面，所以， 则为与平面所成的角， 设，则 ． 在平面中，过作于， 因为 ，所以，又， 所以 ， 所以．    （2）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． 8．(1)证明过程见解析. (2)1. 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直，即可证明平面. （2）根据线面角的定义求出与平面所成角，再结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，因为平面，平面，所以， 所以点到平面的距离为线段的长度，则在平面的投影为线段， 所以与平面所成角为，即， 因为，所以， 所以点到平面的距离为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $