大题专项-专题1 函数（讲义）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》大题专项的第1个专题，内容为函数。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题1 函数 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 二次函数与反比例函数 二次函数的值域 2026 解答 7 二次函数的综合应用 2023 解答 7 反比例函数 2022 解答 7 指数函数与对数函数 指数函数的值域 2026 解答 7 对数函数的值域 2024 解答 7 命题轨迹透视： 函数连续五年在山东省春季高考考试中考查1道解答题，为每年必考题目。主要考查二次函数的解析式、值域、反比例函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、值域等，分值7分。 【考点1：二次函数与反比例函数】 1．（25-26高三下·山东·二模）已知二次函数的图像经过点． (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，将三点代入解方程即可. （2）首先令，再由题意列一元二次不等式求解，最后由对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 将代入得， ，即， 解得， 所以. （2）令， 由（1）可知，， 则，即， 得，即， 解得或， 所以或， 因为在上为增函数， 所以由，得， 所以，由， 得，所以， 所以x的取值集合为 2．（2025-2026学年济南市中等职业学校教学质量检测（一模）数学试卷）已知二次函数的图像关于直线对称，且过点． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式和已知点坐标来确定函数解析式； （2）根据一元二次不等式恒成立问题的解法，利用判别式来确定的取值范围. 【详解】（1）因为二次函数的图像关于直线对称， 所以，解得，则， 又函数图像过点，即， 则，解得， 所以函数的解析式为； （2）因为对任意的实数x，不等式恒成立， 则，即恒成立， 则有， 即，解得， 所以的取值范围为． 3．（25-26高三上·江苏·一模）已知函数在区间上的最大值与最小值的差为3． (1)求实数a的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据反比例函数的单调性确定最值，再由最值之差为3列方程求解即可. （2）根据0和负数无对数，以及对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）因为反比例函数在上是减函数， 所以在区间的最大值为， 最小值为，所以最大值与最小值的差为， 所以，解得． （2）因为，所以函数在上是增函数， 由， 得， 所以，即， 解得， 所以原不等式的解集为 1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当x＝－时， y有最小值ymin＝ 当x＝－时， y有最大值ymax＝ 2.反比例函数 （1）反比例函数的定义 形如的函数叫做反比例函数． (2)反比例函数函数的性质 ①定义域：； ②值域：； ③单调性：． 1．二次函数的图像的对称轴为直线，且满足， (1)求二次函数的解析式； (2)求函数的最大值及单调区间. 2．某公司推出一新产品，其成本为500元/件，经试销得知，当销售价为650元/件时一周可卖出350件；当销售价为800元/件时一周可卖出200件.如果销售量y可近似地看成销售价x的一次函数. (1)求k，b. (2)当销售价定为多少时，此产品一周能获得的利润最大. 3．若二次函数的图像经过原点，顶点坐标为. (1)求的函数解析式. (2)若函数的图像与轴不相交，求实数的取值范围. 4．已知函数，． (1)当时，求的最值； (2)求实数a的取值范围，使在区间上是单调函数. 5．已知函数，若在区间上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若在上是单调函数，求m的取值范围. 6．已知二次函数同时满足下列条件：（1）有最大值4；（2）；（3）的图象在轴上截得的线段长为. (1)求表达式； (2)若方程有两个不相等的实根，求实数的范围. 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1) (2)函数的最大值4，增区间为，减区间为 【分析】（1）根据对称轴方程可得，由，，可得，，据此可求解； （2）将（1）中所求解析式配方，根据二次函数的图像和性质可求解. 【详解】（1）因为二次函数的图像的对称轴为直线， 所以，即——① 由，可得——② 由，可得——③ 由①②③解得，. 所以； （2）由（1）可知，， 因为函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 所以函数的最大值4，增区间为，减区间为. 2．(1)， (2)750元/件 【分析】（1）根据题意结合待定系数法即可求解. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得： ， 解得，. （2）设销售价定为x元/件时， 此产品一周能获得的利润           当时，y取最大值 即当商品销售价定为750元/件时， 此产品一周能获得的利润最大. 3．(1). (2). 【分析】（）由待定系数法求出二次函数解析式即可得解. （）根据图像的平移即可得解. 【详解】（1）因为二次函数的图像经过原点，顶点坐标为. 所以二次函数开口向下. 设. 所以 所以. （2）因为开口向下，最大值为，且函数的图像与轴不相交. 所以图像向下平移的长度超过，即. 所以的取值范围为. 4．(1)的最小值是，最大值是35 (2)或 【分析】（1）根据二次函数的单调性求最值即可. （2）由二次函数的对称轴结合函数的单调性即可求出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时， ， 对称轴为， 由于 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值是， 又， ， 故的最大值是． （2）由于函数的图象开口向上， 对称轴是， 所以要使在上是单调函数， 应有或 即或． 5．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可求出二次函数的对称轴，再根据函数的单调性求解； （2）根据题意先求出的解析式，进而求解. 【详解】（1）已知函数， 对称轴为， 因为，则函数图像开口向上，在区间上单调递增， 由题意得； （2）由（1）知，， 则， 对称轴为 再由在上是单调函数， 可得或， 解得或， 故m的取值范围为. 6．(1). (2). 【分析】（）根据题意求出对称轴，设出顶点式方程，求出与轴的交点坐标，代入方程中即可得解. （）根据二次函数的解析式得出最大值即可得解. 【详解】（1）因为二次函数，. 所以对称轴为. 因为的最大值为. 设二次函数. 又因为的图象在轴上截得的线段长为，且对称轴为. 所以与轴的交点坐标为. 将代入中得，解得. 所以化成一般式为. （2）因为. 若方程有两个不相等的实根，则. 所以，解得. 所以实数的范围为. 7．(1)， (2) 或 【分析】（1）利用已知的交点坐标代入函数的表达式求解； （2）根据交点两点的坐标，观察两个函数图象的位置关系，得出的取值范围. 【详解】（1）因为点在反比例函数的图象上，可得，解得， 所以反比例函数的表达式为， 又因为点在反比例函数的图象上， 可得，解得，即点的坐标为， 由于点和点都在一次函数的图象上， 可得，解得，， 所以一次函数的表达式为. （2）已知两个函数图象的交点为和， 从图象上可以看出，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 故当时，的取值范围是：或. 8．(1)， (2) 【分析】（1）根据两点代入一次函数与反比例函数，求出即可. （2）分别求出的坐标，再根据三角形面积求解即可. 【详解】（1）已知点，在一次函数与反比例函数的图象上且点，的横坐标分别为和， 则，得，解得， 所以. （2）由（1）知，一次函数的解析式为． 令，即，解得， 所以点的坐标为，则． 令，则， 所以点的坐标为，则． 因为轴轴，所以为直角三角形， 所以． 【考点2：指数函数与对数函数】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数的图象过点和点. (1)求常数和的值； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数过点代入求解和的值即可； （2）将自变量代入函数解析式，再根据对数的运算法则求解函数值即可； （3）根据对数函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）函数的图像过点和点. 可得，解得， 所以常数. （2）由（1）可得， 所以 . （3）由，可知，， 所以，则， 因为在上单调递增， 解得，即不等式的解集是. 2．（21-22高三上·山东济南·一模）已知函数在区间上的最大值为2. (1)求a的值； (2)若且，求实数m的取值集合. 【答案】(1)或2 (2)或 【分析】（1）分为，两种情况，根据对数函数的单调性求最值，列式求解即可； （2）根据对数函数的单调性及绝对值不等式的解法求解即可． 【详解】（1）当时，函数在区间单调递减， ∴函数的最大值为，解得； 当时，函数在区间单调递增， ∴函数的最大值为，解得， ∴a的值为或2. （2）∵，∴由（1）知， ∴，即， 所以，转化为或， 解得或， 所以，实数m的取值集合为或. 3．（17-18高三·江苏·二模）已知函数是指数函数. (1)求的表达式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数的定义得到关于的方程，解之即可得解； （2）利用对数函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为是指数函数， 所以且，，解得或（舍去）， 所以； （2）因为在上单调递增， 不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. 1．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 2．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R　　　　 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 大题专项1讲义2 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．设函数. (1)求的定义域； (2)当时，求出的取值范围. 2．已知函数，且. (1)求的解析式； (2)设常数b满足，试比较b与3的大小. 3．已知函数，求： (1)的定义域； (2)的单调区间． 4．已知函数， (1)求函数的定义域. (2)解不等式：. 5．已知函数 (1)当时，求该函数的定义域； (2)如果恒成立，求实数a的取值范围． 6．已知函数 (1)若不等式的解集为，求实数a的值； (2)在（1）的条件下，解不等式. 7．已知函数的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)若函数，求函数的值域． 8．已知函数的图象过点． (1)求的值； (2)解不等式：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数真数大于即可求解. （2）根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则 解得. 所以的定义域是. （2） . 当时，即. ∴. 因为函数在上是增函数， 所以，则， 解得. 又因为定义域为， 所以当时，. 2．(1) (2) 【分析】（1）代值计算即可求解； （2）根据指数函数的单调性即可判断. 【详解】（1）由题设，因为，代入得， 故所求的函数解析式为. （2）函数在上是增函数， 由，得. 3．(1){x|或} (2)在上单减，在上单增.. 【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域； （2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间. 【详解】（1）令，可得， 解得或， 故定义域为{x|或} （2）由（1）知函数的定义域为{x|或}， 令，则u在上单增，在上单减， 又在上单减，所以在上单减，在上单增. 4．(1)或 (2) 【分析】（）由复合型对数函数的定义域即可得解. （）利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】（1）要使函数有意义. 则，解得或. 则函数定义域为或. （2），则 解得：. 所以不等式的解集为. 5．(1) (2) 【分析】（1）由对数函数真数大于0即可求解； （2）转化条件为恒成立，结合二次不等式恒成立即可求解. 【详解】（1）当时，， 由，解得或， ∴函数的定义域为. （2）由恒成立得恒成立 当时，不恒成立，不满足条件； 当时，，解得； 综上，a的取值范围为 6．(1)2 (2) 【分析】（1）先解含参数的绝对值不等式，再根据不等式的解集，求得参数. （2）根据指数函数的单调性解不等式. 【详解】（1）∵，而， 即，∴，得到. 又∵不等式解集为， ∴，得到. （2）由（1）可知，， ∴不等式可化为， 函数在定义域上是增函数， ∴，即. 即不等式的解集为. 7．(1) (2) 【分析】（1）将函数上的点代入解析式联立，即可解得函数关系式. （2）根据已知求出解析式，再根据二次函数值域即可解得. 【详解】（1）由题，函数且过点， 将两点分别代入得， 解得， ∴. （2）∵∴， 令， ∴，即. 又函数在定义域上单调递减， ∴，即. 即函数的值域为 8．(1) (2)或 【分析】（1）根据已知将点代入函数解析式即可解得. （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）将点代入，得， 则，即， 解得：. （2）由（1）得， 即， 因为函数在定义域上单调递增， 则有：，解得， 即， ∴不等式的解集为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $