大题专项-专题2 立体几何（B卷·能力提升）-2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和 最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学 习体系，每个专题均配套讲义、课件和B卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》大题专项的第2个专题，内 1容为立体几何。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题2立体几何 (B卷·能力提升) 1·如图，在正方形ABCD中，O为AC与BD的交点，将三角形ACD沿AC翻折至三角形 ACD' D ABC 使得不在平面 内 (1)证明：平面ACD'⊥平面OBD': (2)若BD'=OB,求二面角D'-BC-A的正切值. D D B 2.已知PA⊥矩形ABCD,AB=4,BC=3,PA=1 (1)求PB,PD的长： (2)求PC与平面BD所成角的正切值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 A B D 3.如图，在Rt△ABC中，已知∠4CB=90°，AC=I.BC=5PA上平面ABC且PB 与平面ABC所成角为45°，求： (1)PC与平面ABC所成的角； (2)三棱锥P-ABC的体积. B 4.知同K方休4D-449A为休灵万2且8=C=24.求 (1)该长方体的表面积S, (2)二面角 A-DB-A 的正切值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 今AI职教》 D C A D B 5.已知在长方体 BCD-ABCD中，AB=5.MD=MM=I a求4B与0C所成的角： 2)类B 平面ABCD所成的角. D B 6.如图，VA,B,C两两垂直，且VA=B=VC=a. (1)求C到AB的距离； (2)求平面ABC和平面ABV所成二面角的正切值 7,在三棱锥S-ABC中，已知△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC,D ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 为4C的中点.且SM=SC=2W5求 (1)二面角A-SD-B的大小： (2)三棱锥S-ABC的体积. S D 8.如图所示，在四面体C-ABD中，CD⊥平面ABD,D为垂足，∠CAD=30° ∠CBD=45°AABC ∠ACB=90° 为直角三角形，且 (1)求二面角C-AB-D的平面角的大小； (2)若CD=2,求这个四面体的体积. C D 9.已知4c+.∠AC8=0·M1面4CAD1CC-9万.0=3 7 AC=4△SAC,△ABC 面积相同. (1)求AD与平面SBC所成的角； 2)求四面体A-SBC的体积. ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 今A职教》 D 10.如图，已知AB⊥BC,△PAB是边长为4的等边三角形，平面PAB⊥平面ABC (1)求证：BC⊥PA: 2)考BC=4V2 求直线PC与平面PM夹角的正切值 B 1.如网所示.在径长为”正方经D-4CA。早面C把正方体分成两部分 求 1)平面9D ADC 与平面 所成二面角的平面角的余弦值； (2)两部分中体积大的部分的体积. D C B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9A1职教》 12.如图所示，已知四边形ABCD为菱形，且∠A=60°，沿对角线BD将ABCD折成二面 角ABD-C连接4C设AB=a4C=。求 2 (1)三面角A-BD-C的大小 (2)三棱锥B-ADC的体积. A D D B B ① ② 13.如图所示，已知正三棱柱 BC-4BG的底面边长为4，高为5，点B为棱BC的中点， 求： )45与平面MBC, 所成角的正切值 (棱锥 E-AABB 的体积. B 14.四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上 (1)求证：平面AEC⊥平面PDB; 2当PD=V5MB且E为PB的中点时：求4B与平面PDB所成角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 15.如图所示，在三棱锥A-BPC中，AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点，D为PB的 中点，且△PMB为正三角形， (1)求证：DM∥平面APC. (2)求证：BC⊥平面APC. (3)若BC=4,AB=10,求三棱锥D-BCM的体积 B 16.如图所示，直四棱柱 ABCD-ABCD的底面MBCD为梯形。 AB//CD,AB L AD,AB=2,AD=3,DC=4 AB//DCCD (1)证明： 平面 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 (2)若直四棱柱 BCD-4BCD的体积为36.求二面角4-BD-4 的正切值. A A B D 17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明：PB/平面AEC; 2 2)设直线PB与底面ABCD所成角的正切值为3，AP=IAD=V3,求直线PC与平面 PAD所成角的正弦值， E D B 18.如图，平面ABCD外一点P, PA⊥平面ABCD ADI/BC AB⊥BCPA=AD=4 BC=1 AB=3 CD=23 (1)求异面直线PC与AD所成角的大小的正切值； ©⑨原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 今AI职教》 (2)证明：DC⊥平面PAC: 19.如图所示，已知棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=1, BD=√2 (1)求证：BD⊥平面PAC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成角的正切值· B C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2027版山东省（春季高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》大题专项的第2个专题，内容为立体几何。 2027年山东省春季高考《数学二轮讲练测》 专题2 立体几何 （B卷·能力提升） 1．如图，在正方形中，为与的交点，将三角形沿翻折至三角形，使得不在平面内． (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用翻折不变性得到，再结合题意，证面面垂直； （2）结合题意作辅助线，结合三垂线定理找出二面角平面角，计算正切值. 【详解】（1）正方形ABCD中，对角线, 翻折后，， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2） 设正方形边长为，则， 已知， 所以三角形是等边三角形， 由（1）可知，平面平面， 交线为AC， 作交于点H， 则平面ABC， 在等边三角形中，， 过H作交于点E，连接， 由三垂线定理得：， 故就是二面角的平面角， O是正方形中心， ， H在直线OB上，， ， ， 因为，三角形是等腰直角三角形， ， . 2．已知矩形，，， (1)求，的长； (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形可知，，利用勾股定理可求，； （2）连接，推得为与平面所成角，再根据正切等于直角三角形对边比邻边可求. 【详解】（1）由矩形，平面，则，， 根据勾股定理有，，即； ，，所以； （2）连接， 因为矩形，平面， 则，为与平面所成角， 在中，，； 所以. 3．如图，在中，已知，，，平面，且与平面所成角为，求： (1)与平面所成的角； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得与平面所成的角为，根据所给条件求出即可； （2）根据三棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）平面， 与平面所成角为. ，，， . 平面所成角为， ， ， ， . （2）由题意可得. 4．如图，长方体为体积为32，且．    求 (1)该长方体的表面积S； (2)二面角的正切值． 【答案】(1)64 (2)． 【分析】（1）根据长方体的体积公式及已知，可得，据此可求解； （2）连接交于点O，连接，可得即为二面角的平面角，在中可求解. 【详解】（1）由， 又由，得， 解得. . （2）    连接交于点O，连接， 因为， 所以四边形为正方形， 所以，. 故为二面角的平面角。 在长方体中， 平面，平面， 所以. 在中，, . 故所求二面角的正切值为． 5．已知在长方体中，，， (1)求与所成的角； (2)求与平面ABCD所成的角； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异面直线转化到同一平面解三角形即可得解； （2）将线面角转化为三角形中的角解三角形即可得解. 【详解】（1）由题在长方形中，， 则即为与所成的角， 在直角三角形中，， 故，故与所成的角为. （2）因为在长方体中，平面， 则为与平面所成的角， 在直角三角形中，， 故，故与平面所成的角为. 6．如图，，，两两垂直，且. (1)求C到的距离； (2)求平面和平面所成二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，两两垂直且相等，求得，从而得到的高即为C到的距离，由此得解； （2）先判断得为平面和平面所成二面角的平面角，再利用线面垂直的判定与性质定理，结合直角三角形的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，，两两垂直，且， 所以， 则为等边三角形， 所以C到的距离为等边三角形的高，即. （2）取的中点D，连接，，如图， 则，都垂直于， 所以为平面和平面所成二面角的平面角. 因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，，， 所以. 7．在三棱锥中，已知是边长为4的正三角形，平面平面，为的中点，且.求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】推导出从而是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小. 推导出SD平面ABC,由此能求出三棱锥的体积. 【详解】（1）在三棱锥中，已知是边长为4的正三角形，平面⊥平面，D为AC的中点，且， 则 平面SAC平面ABCAC 所以平面ABC 平面ABC 所以 所以是二面角的平面角 因为 所以 所以二面角的大小为 （2）因为是边长为4的正三角形，D为AC的中点，且 所以 因为,AC与BD在同一平面内 所以平面ABC 所以三棱锥的体积为： 8．如图所示，在四面体中，平面，D为垂足，，，为直角三角形，且. (1)求二面角的平面角的大小； (2)若，求这个四面体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 作交于，连接，证明，可寻找到二面角的平面角为，在中可求解； (2)计算出的面积，利用体积公式可求解. 【详解】（1） 如上图，作交于，连接， 因为平面，所以， ，且两直线是平面内的相交直线， 平面， 即为二面角的平面角. 设，由已知条件，在可求得：， 在可求得：， 在可求得：， 由可得，， 在中，， 故，即二面角的平面角的大小为. （2）由(1)知，， 在中， ， 故， 即这个四面体的体积为. 9．已知中，，面，，，，，与面积相同.    (1)求与平面所成的角； (2)求四面体的体积. 【答案】(1)90° (2) 【分析】（1）利用线面垂直证明与平面垂直，即可求解线面角. （2）利用面积相等求解BC与SA的值，代入四面体体积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为面，面， 所以， 因为，面，面， 所以面， 因为面， 所以， 又因为， ，面，面， 所以面， 所以与平面所成角为90°. （2）以为， 所以有， 所以， 所以， 所以. 10．如图，已知是边长为4的等边三角形，平面平面    (1)求证：； (2)若，求直线与平面夹角的正切值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质,得出平面又由线面垂直的性质即可证明. （2）由（1）知,平面得再根据已知条件, 在中,即为与平面夹角,即可求出. 【详解】（1）证明：因为平面平面, 又因为,平面平面 平面, 所以平面 又平面 所以. （2）由（1）知,平面所以是与平面所成的角， 因为平面 所以则是直角三角形, 因为是边长为4的等边三角形, 所以 又 在中,即为与平面夹角, 所以 11．如图所示，在棱长为正方体中，平面把正方体分成两部分；求： (1)平面与平面所成二面角的平面角的余弦值； (2)两部分中体积大的部分的体积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理找出二面角，再利用勾股定理即可求解. （2）根据棱柱与棱锥度体积公式即可求解. 【详解】（1）取的中点，连，， 因为是正方形的中点，所以. 在正方体中平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为平面平面， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 在中，，，则， ， 所求二面角的余弦值为. （2）因为正方体的一部分体积为：； 另一部分的体积为：. 所以两部分中体积大的部分的体积为：. 12．如图所示，已知四边形为菱形，且，沿对角线将折成二面角，连接.设，，求： (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，在等边三角形和等边三角形中，，，故为二面角的平面角； （2）根据棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接，. 由题意，易得和均为正三角形，，. 即为二面角的平面角.    ，， ， 为直角三角形，且， 二面角的大小为. （2）∵AE⊥EC，AE⊥BD，EC∩BD＝E，EC,BD均在平面BDC内， ∴AE⊥平面BDC， ∴. 13．如图所示，已知正三棱柱的底面边长为4，高为5，点E为棱的中点．求：    (1)与平面所成角的正切值； (2)四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在正三棱柱中，由平面知，在平面内的射影为，即为与平面所成角，在中可求解； （2）取的中点，连接，取的中点，连接，在正三角形中，易证，同时证得平面，即是四棱锥的高，据此可求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，平面， 所以在平面内的射影为， 即为与平面所成角. 在正三角形中，各边长为4，点E为的中点， 所以. 在中，， ； （2）    如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 在正三角形中，E为的中点， 则有，，， ，. 平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 故四棱锥的体积 . 14．四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当且为的中点时，求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由,证平面，即可证明平面平面. （2）设 连结，找出是与平面所成角，再在求解的角度即可. 【详解】（1）证明： 底面，   是正方形，     又 平面， 平面，， 平面，又平面，    平面平面. （2）设 连结, 平面  是与平面所成角， 为的中点，为的中点，，     , 又是正方形，, 在直角中， , . 所以，与平面所成角为. 15．如图所示，在三棱锥中，，，M为的中点，D为的中点，且为正三角形. (1)求证：平面. (2)求证：平面. (3)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见详解; (2)证明见详解; (3) 【分析】(1)先证可证平面. (2)先证平面,得结合可证得平面. (3)等积转换,由可求得体积. 【详解】（1）证明:因为为的中点, D为的中点, 所以是的中位线, 又平面,平面, 所以平面. （2）证明:因为为正三角形, D为的中点,所以 又所以 又因为,且两直线在平面内， 所以平面. 因为平面,所以 又因为且两直线在平面内， 所以平面. （3）因为平面, 所以平面,即是三棱锥的高. 因为, M为的中点,为正三角形, 所以 由平面,可得 在直角三角形中,由可得 于是 所以. 16．如图所示，直四棱柱的底面为梯形，．    (1)证明：平面； (2)若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过证明面面平行，再证明平面即可. （2）过点作于，连接，通过线面垂直证明线线垂直，得出二面角，再求出结果即可. 【详解】（1）证明：因为,平面， 平面,所以平面. 又因为,平面,平面 所以平面. 因为平面, 平面,所以平面平面. 因为平面,所以平面. （2）    过点作于，连接. 在中,. 所以. 因为四棱柱的体积为， 所以. 因为平面平面， 所以. 又因为平面， 所以平面. 因为平面,所以. 由此可知为二面角的平面角. 故. 17．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可； （2）根据线面夹角的定义及已知可求得AB长，再根据线面垂直判定直线与平面所成角即∠CPD，解三角形即可. 【详解】（1）连接，记， 为中点， 为中点， ， 又，，∴平面；    （2）因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.   因为矩形中，所以.   因为平面，平面，所以， 计算可得. 又，，，平面，所以， 所以即为直线与平面所成线面角，解得. 18．如图，平面ABCD外一点P，，，，，，，.    (1)求异面直线PC与AD所成角的大小的正切值； (2)证明：平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过做平行线将异面直线的角转化成求，利用勾股定理和余弦定理即可求出异面直线PC与AD所成角的大小； （2）通过证明，即可证明结论； 【详解】（1）由题意， 在四棱锥中，，， 面，面， ∴， ∵，，， 作且，则即为异面直线PC与AD所成角 ，，      由几何知识得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 解得：， ∴， ， （2）由题意及（1）得， 在四棱锥中， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵，平面， ∴平面. 19．如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找出平面与平面所成角，再求解即可. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以. 因为底面是矩形，，，所以. 所以底面是正方形，进而. 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又，，平面，所以平面， 进而.因此，是平面与平面所成角的平面角. 在中，所以， 所以平面与平面所成角的正切值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $